Fysikk Eksempeloppgae Løsningsfoslag til eksempeloppgae 1 i fysikk, 008 Del 1 Oppgae 1 Riktige sa på flealgsoppgaene a j e: a) B b) D c) D d) D e) B f) D g) B h) B i) C j) B Sa på kotsasoppgaene k n: k) I uttykket Mm γ m stå γ fo gaitasjonskonstanten, M fo sentallegemets masse, m stå fo satellittens masse, fo adien i satellittens bane og e faten til satellitten i banen. Uttykket på enste side i likningen e gaitasjonskaften på satellitten i følge Newtons gaitasjonslo. Høye side e lik massen til satellitten multipliset med aksleasjonen a i sikelbeegelsen. Likningen e altså Newtons. lo på satellitten idet gaitasjonskaften e den eneste kaften på satellitten. Vi multiplisee likningen med og diidee med γm på begge side i likningen og få: Mm γ m γ m M m γ m M γ l) Du skal elge ett a temaene. Vi gjø he kot ede fo alle de fie temaene: 1) Tidom Einsteins gaitasjonsteoi (den geneelle elatiitetsteoien) e en geometisk beskielse a gaitasjon. Tid og om e foent i et fiedimensjonalt tidom. To begienhete som skje på samme sted, men til foskjellig tid, ha ulike koodinate i tidommet. Geometien e ikke den anlige euklidske som i kjenne fa skolematematikken. Tidommet e kumt og legeme (f.eks. planete) beege seg langs den «ette» banen i tidommet. Et legeme (f.eks. sola) påike «kumningen» a tidommet undt legemet. / RSTnett 1
Fysikk Eksempeloppgae ) Inetialsystem Et inetialsystem (elle teghetssystem) e et efeansesystem de Newtons 1. lo gjelde. Det kan f.eks. æe et tog som beege seg med konstant fat på en ettlinjet stekning. I newtonsk mekanikk gjelde elatiitetspinsippet: Mekanikkens loe ha samme fom i alle inetialsysteme. I Einsteins spesielle elatiitetsteoi bli elatiitetspinsippet utidet til å si at alle fysikkens loe ha samme fom i alle inetialsysteme. 3) Heisenbegs uskaphetselasjone En konsekens a kantemekanikken e at i ikke samtidig kan bestemme sel ikke i pinsippet edien a isse pa a støelse helt nøyaktig. His i f.eks. bestemme posisjonen til en patikkel med sto nøyaktighet, så føe det til at beegelsesmengden bli me ubestemt. Sammenhengen mellom uskaphetene i posisjon x og beegelsesmengde p en a Heisenbegs uskaphetselasjone e: h ΔΔ x p 4π de h e planckkonstanten. En annen a uskaphetselasjonene fobinde uskapheten i samtidig måling a tid t og enegi E: h ΔΔ t E 4π 4) Sammenfiltede fotone Sammenfiltede fotone e begep som beskie en egenskap ed fotone som den klassiske fysikken ikke kan foklae. His to fotone bli dannet slik at de f.eks. ha polaisasjon som e inkelett på heande, il en måling på polaisasjonen til et a fotonene, samtidig gi polaisasjonen til det ande, på samme måte som fo de klassiske patiklene. Men det ise seg at his ett a fotonene passee et filte, og demed få samme polaisasjon som filteet, il det ande fotonet helt sikket i samme øyeblikk ha en polaisasjon som e inkelett på denne. Det stide mot klassisk fysikk, fodi det e filteet som ha bestemt polaisasjonen til det ene fotonet, og det ha i klassisk fysikk ingen betydning fo polaisasjonen til det ande fotonet. Nå det ene fotonet fikk bestemt sin polaisasjon, fikk det ande det også. De oppte som en enhet, elle som sammenfiltet. m) Ekialenspinsippet Einsteins ekialenspinsipp sie at et efeansesystem i o i et gaitasjonsfelt e ekialent med et akseleet efeansesystem. Vi kan altså ikke gjøe noe ekspeiment fo å agjøe om i e i o i et gaitasjonsfelt elle om i e i et akseleet efeansesystem. Einstein bukte tankeekspeimente fo å ise at pinsippet e imelig. Et slikt / RSTnett
Fysikk Eksempeloppgae tankeekspeiment e dette: Tenk deg at du e om bod i et omskip som beege seg med konstant akseleasjon i et omåde de det ikke e gaitasjonsfelt. Vi anta at akseleasjonen a til omskipet e lik tyngdeakseleasjonen g ed jodas oeflate. På figuen til enste nedenfo e kaften F fa golet på deg tegnet inn. Siden omskipet akseleee med a g, gi Newtons. lo at F ma mg. His du slippe en blyant i omskipet, se du at den akseleee mot golet med akseleasjonen a g. Romskipet akseleee med a g i et om uten gaitasjonsfelt. Romskipet stå i o på jodas oeflate. På figuen til høye oenfo tenke i oss at e du e i et omskip som stå i o på jodas oeflate. Du befinne deg altså i jodas gaitasjonsfelt. Newton 1. lo gi at kaften fa golet på deg e F mg. Du slippe en blyant, og den akseleee mot golet med a g. Vikningen a jodas gaitasjonsfelt e altså den samme som ikningen a konstant akseleasjon. De to tilstandene e ekialente. n) Nå klossen gli nedoe skåplanet med konstant fat, kan i buke Newtons. lo. Fo x-etningen, som e paallell med skåplanet, få i: ΣF x ma x de a x 0 / RSTnett 3
Fysikk Eksempeloppgae R G p 0 R mgsin α de G p mgsin α Oppgae a) I denne oppgaen stå det «Du kan fo eksempel ta fo deg noen a disse begepene». Da kan du også ta fo deg ande begepe enn de som e nent, foutsatt at det e sentale begepe i fobindelse med sampling a lyd. Vi ta med sampelfekens og sampelinteall i tillegg til noen a de begepene som e listet opp i oppgaen. Sampelfekens f S e antall målinge pe sekund som bli gjot ed sampling a et lydsignal. Sampelinteall Δt e tida mellom to samplinge. Dynamisk omåde fo en lydsenso e det inteallet a utslag y som kan måles med lydsensoen. Klipping e akutting a lydniåe utenfo det dynamiske omådet til sensoen. Det il si at y-edie som ligge utenfo det dynamiske omådet bli gjengitt ed næmeste edi innenfo det dynamiske omådet. Filstøelse e støelsen a den datafilen som oppettes ed sampling og digitaliseing a et lydsignal. Støelsen bestemmes a sampelfekensen og tida fo opptaket. Med en sampelfekens på 44,1 khz 44100 Hz bli det fo et opptak som ae i ett minutt: 44100 s 1 60 s,646 megabit,646 Mb b) A gafen lese i a peioden, det il f.eks. si tida fa en topp til den neste toppen. Den e T 0,00010 s. Fekensen e da 1 f T 1 10 000 Hz 10 khz 0,00010 s Amplituden det støste utslaget fa likeektslinjen e A,0. c) Sampelinteallet tida mellom he måling e da 1 Δ t de fs 40 000 Hz fs 1 5,5 10 s 40 000 Hz I he peiode bli det da samplet fie edie a utslaget. Gafen på neste side ise esultatet: / RSTnett 4
Fysikk Eksempeloppgae Sa: Det e mulig å ekonstuee det oppinnelige signalet ut fa sampeldataene fodi sampelfekensen e me enn dobbelt så sto som fekensen til det samplede signalet. d) Sampelfekensen, f S 44,1 khz, e me enn dobbelt så sto som de to føste fekensene, f 1 og f, i signalet, men ikke dobbelt så sto som fekensen f 3 30 khz. Den siste komponenten kan defo ikke ekonstuees ette sampling. Defo e det fonuftig å filtee bot fekensen f 3. Del Oppgae 3 a) I måleseien a falltide skille den siste målingen seg tydelig ut, og i anta det e en feilmåling. Vi finne den beste edien fo falltida ed å egne ut gjennomsnittsedien a de sju ande målingene:,74 +,8 +,88 +,61+,79 +,85 +,77 t s,78s 7 Det gjennomsnittlige aiket e da (,88 s,61 s)/ 0,135 s. Vi kan da sette som esultat a målingen: t,8 s ± 0,1 s. (Målingen,61 s aike også ganske mye fa de ande målingene og kan æe feil. His i sløyfe også den målingen, og buke de esteende 6 målingene, Finne i t,81 s ± 0,07 s.) Fo å bestemme tyngdeakseleasjonen g N på planeten Naboo, buke i beegelseslikningen s t at Da få i 1 0 + de 0 0 og a g N s 1 g t N / RSTnett 5
Fysikk Eksempeloppgae g s t 0m 5,1 m/s (,8 s) N His i anta høyden e målt med en usikkehet på ±0,5 cm, få i fo den elatie usikkeheten i g N : ΔgN Δs Δt + gn s t 0,5 cm 0,1s + 0,064 0 cm 5,1s Usikkeheten i g N bli da Δ g N 0,064 5,1 m/s 0,3 m/s b) 1) Et askt blikk på dataene i tabellen ise at x øke (i het fall tilnæmet) poposjonalt med tida, mens y øke askee ette het (kanskje poposjonalt med kadatet a tida). En ladd patikkel som beege seg i et magnetfelt, følge en ettlinjet bane med konstant fat (his begynnelsesfaten e null elle paallell med feltet) elle i en sikelbane med konstant banefat. Ingen a delene stemme med dataene. Dataene kan imidletid stemme med beegelsen til en ball som kastes annett i tyngdefeltet his akseleasjonen e konstant lik g. His dataene skulle passe med en kloss som beege seg oppoe et skåplan, måtte x- og y- ediene føst øke og så ata nå klossen snu (elle bli konstant his klossen stoppe pga. fiksjon). Det e ikke tilfelle. Den eneste a de foeslåtte beegelsene som kan beskies a dataene e defo en ball som kastes annett i et tyngdefelt. ) Vi buke poposjonal egesjon på x(t) og kadatisk egesjon på y(t). Vi finne da at følgende paametefamstilling passe sæt godt til dataene: x() t 3,0m/s t y() t 4,9m/s t 3) Med annett x- akse og en y-akse som e loddett og med positi etning nedoe, se i at paametefamstillingen i b stemme med paametefamstillingen a kast i tyngdefeltet med 0x 3,0 m/s, a x 0, 0y 0 og a y 4,9 m/s 9,8 m/s. Legemets akseleasjon e 9,8 m/s nedoe. c) Vi finne den indusete spenningen ε i den sikelfomede ledeen ed hjelp a Faadays induksjonslo ΔΦ ε elle ε Φ '( t) Δ t Vi finne den deiete a fluksen som stigningsfoholdet til gafen i / RSTnett 6
Fysikk Eksempeloppgae tidsommet fa t 0 til t,0 s: 3 3, 0 10 Wb 0 ε 1, 500 mv 1, 5 mv,0 s 0 Så egne i ut stømmen ed hjelp a Ohms lo: U 1,500 mv I 0,75 ma R,0 Ω På tilsaende måte finne i at stømmen i tidsommene t,0 s til t 4,0 s og t 4,0 s til t 5,0 s e 0 og 1,5 ma. (Fotegnet ise etningen til stømmen i fohold til en algt positi etning.) Gafen e ist nedenfo: Oppgae 4 a) Keftene som ike på hoppeen e tyngdekaften G nedoe og en kaft F oppoe fa stikken, se figu a nedenfo til enste. Nå hoppeen henge i o, e summen a keftene på hoppeen lik null, Newtons 1. lo: Σ F 0 F G 0 de F kx og G mg kx mg 0 kx mg mg k x 70 kg 9,81 m/s 110,0 N/m 0,11 kn/m 6, 4 m / RSTnett 7
Fysikk Eksempeloppgae b) Keftene på hoppeen e ist på figuene a og b oenfo. Tyngdekaften G e like sto hele tida. Nå hoppeen e på ei nedoe og folengelsen x e minde enn i a, e kaften F minde enn G, mens kaften F fa stikken e støe enn G nå folengelsen x e støe enn i a. c) Vi se på to posisjone i beegelsen: 1: statposisjonen på bua og : nedeste posisjon nå stikken ha maksimal folengelse, se figu c oenfo til høye. I begge posisjonene e faten til hoppeen lik null slik at han ikke ha noen kinetisk enegi. Vi ha da antatt at hoppeen kaste seg ut fa bua med neglisjeba statfat. Vi elge nullniå fo potensiell enegi i tyngdefeltet i samme punkt som nullniået fo potensiell enegi fo stikken, ds. 31 m nedenfo bua. På bua e stikken ikke stukket slik at den potensielle enegien til stikken de e lik null. Vi anta at total mekanisk enegi e beat (ds. at i se bot fa ikningen a luftmotstand og annen fiksjon): E E 1 mgh + kx mgh + de h x og h 1 L 0 1 1 0 1 kx + mgx mgl0 0 ( mg) ± ( mg) 4( k) ( mgl0 ) x 1 1 k mg ± ( mg) + kmgl k 0 70 kg 9,81 m/s (70 kg 9,81 m/s ) 110,0 N/m 70 kg 9,81 m/s 31 m ± + 110,0 N/m x 6,88 m, x 14,39 m På gunn a åt alg a positi x-etning og siden stikken e stukket må i buke den negatie løsningen. I den laeste posisjonen e lengden a stikken da L L0 x 31 m ( 6,88 m) 58 m / RSTnett 8
Fysikk Eksempeloppgae Sa: Lengden a snoa i nedeste posisjon e mete minde enn 60 m, og det e tygt å kaste seg utfo denne bua his hoppeen e minde enn mete høy. Noe mekanisk enegi gå nok tapt i fallet, og folengelsen a stikken bli minde enn 7 m og hoppet e nok tygt fo lange hoppee også. d) (Vi se a gafen i oppgaen at den maksimale folengelsen a stikken nå e 19 m, som e klat minde enn 7 m. Hoppeen tapte altså enegi alleede på ei ned til den laeste posisjonen.) Vi se igjen på to posisjone i beegelsen: 1: statposisjonen på bua og : sluttposisjonen i likeektsstillingen. I begge posisjonene e faten til hoppeen lik null slik at han ikke ha noen kinetisk enegi. Vi få: E E E tap 1 1 mgh1+ mgh + kx 0 ( ) Nå i buke x 0 som nullniå fo begge typene potensiell enegi, e h 1 31 m og h x 6,4 m. Vi få da E mgh + 0 ( mgh + kx ) 1 tap 1 70 kg 9,81 m/s 31 m + 0 1 (70 kg 9,81 m/s ( 6,4 m) + 110,0 N/m ( 6,4 m) ) 3 kj Oppgaen kan nok tolkes på to ande måte: 1) Tapet egnes fa hoppeen e de ho x 0 elle ) fa de ho stikken føst e stukket maksimalt, ds. x 19 m. Tilfelle 1) e anskelig å egne på fodi i ikke et ho mye enegi som e tapt pga. luftmotstand ned til x 0. Vi skal he egne på tilfelle ). Posisjon 1 e nå de x 19 m. He e faten lik null. Posisjon e som oenfo. Da e h 1 19 m g h x 6,4 m. Vi få da: E mgh + kx ( mgh + kx ) 1 1 tap 1 1 1 70 kg 9,81 m/s ( 19 m) + 110,0 N/m ( 19 m) 1 + (70 kg 9,81 m/s ( 6, 4 m) 110,0 N/m ( 6, 4 m) ) 9,0 kj Oppgae 5 a) Fa faktaaket finne i at toppfaten e 93 m 93 km/h m/s 5,83 m/s 3, 6 og at det høyeste fallet e på H 3 m. His i se bot fa fiksjon, e det bae nomalkaften som ike på ogna i tillegg til tyngdekaften. Siden nomalkaften ikke gjø noe abeid på ogna, e den mekaniske enegien beat. Vi få da nå i elge nullniå fo potensiell enegi nedest i fallet: / RSTnett 9
Fysikk Eksempeloppgae E E 0 1 1 m0 + mgh mm + 0 gh 0 m (5,83 m/s) 9,81 m/s 3 m 6,7 m/s 3 km/h I paksis il det æe fiksjon og luftmotstand slik at faten på toppen må æe støe enn 3 km/h fo å oppnå den oppgitte maksimalfaten. b) Keftene som ike på ogna e tyngdekaften G, kaften fa undelaget som i tenke oss delt i to komponente, nomalkaften N og fiksjonen R, og luftmotstanden L. R og L ike alltid mot fatsetningen og bida til å edusee den mekaniske enegien til ogna. He skal i se bot fa disse to keftene og bae se på G og N. Figuene nedenfo ise disse keftene i noen a stillingene som ogna passee. Figuen til enste ise et etikalt snitt gjennom en del a banen som inneholde en bakketopp, et ett stykke (skåplan) og en bakkebunn. Vi skal egne at bakketoppen og bakkebunnen e dele a sikle med adius. Figuen til høye ise en del a banen de ogna gå i en hoisontal sikelfomet sing. Vi ha tegnet keftene G og N i fie posisjone. På en bakketopp og i en bakkebunn e begge keftene etikale og de ha motsatte etninge, se figuen de også alg a positi etning e angitt. På bakketoppen gi Newtons. lo på en ogn med massen m og faten : Σ F ma de Σ F G N og G N m de G mg a / RSTnett 10
Fysikk Eksempeloppgae N mg m Fo en ogn på 00 kg som passee en bakketopp med en adius 50 m med faten 15 m/s få i fo eksempel: G 00 kg 9,81 m/s 196 N,0 kn (15 m/s) N 00 kg 9,81 m/s 00 kg 106 N 1,1 kn 50 m Tyngdekaften G e natuligis like sto i alle posisjone. I de neste eksemplene egne i defo bae ut nomalkaften. På bakketoppen e N minde enn tyngden G. Det må den alltid æe fo at akseleasjonen skal æe ettet inn mot sentum, ds. nedoe. I en bakkebunn de G og N ha samme etning, gi Newtons. lo på en ogn med massen m og faten : Σ F ma de Σ F N G og N G m de G mg a N mg+ m Fo en ogn på 00 kg som passee en bakketopp med en adius 50 m med faten 15 m/s få i fo eksempel: N 00 kg 9,81 m/s (15 m/s) + 00 kg 50 m 86 N,9 kn I bakkebunnen e N støe enn tyngden G. Det må den alltid æe fo at akseleasjonen skal æe ettet inn mot sentum, ds. oppoe. På skåplanet innføe i et koodinatsystem som ist på figuen. Vi finne nomalaften N fa undelaget ed hjelp a Newtons. lo i y- etningen: Σ F y 0 N G n 0 de Gn mgcosα N mgcosα 00 kg 9,81 m/s cos 57 1068 N 1,1 kn Akseleasjonen til ogna finne i ed å buke Newtons. lo i x- etningen: Σ F ma Gp x ma de Gp mgsinα mg sinα ma / RSTnett 11
Fysikk Eksempeloppgae mg sinα a gsinα m 9,81 m/s sin 57 8, m/s He ha i sett bot fa R og L som il søge fo at akseleasjonen i ikeligheten e minde. I den hoisontale sikelen e ektosummen a keftene ettet inn mot sentum. Banen må da æe doset på passende måte slik at nomalkaften N ha en etikalkomponent oppoe som e like sto som tyngdekaften G. Vi innføe et koodinatsystem som ist på figuen oenfo til høye. Vi finne komponentene a nomalkaften fa undelaget ed å buke Newtons. lo i x- og y-etningene. Fo en ogn på 00 kg med faten 15 m/s få i: Σ F ma Nx N x x ma de m a Σ F y Ny 0 G 0 de G mg N mgcosα y 00 kg 9,81 m/s 196 N (15 m/s) 00 kg 50 N 0 m Vi finne da nomalkaften ed hjelp a lengdefomelen fo en ekto: N N + N x y (50 N) (196 N) 3,0 kn + Vi kan da bestemme doseingsinkelen slik, se figuen oenfo til høye: m N x tanϕ N mg tanϕ g (15 m/s) ϕ 49 y 9,81 m/s 0 m c) Vi nente oenfo at N e minde enn tyngdekaften nå ogna passee en bakketopp. Det e N som gi oss følelse a tyngde. His N 0 på en peson, føle edkommende peson altså ingen tyngde, i sie at han elle hun e ektløs. Oenfo fant i følgende uttykk fo nomalkaften på ogna nå den passee en bakketopp: / RSTnett 1
Fysikk Eksempeloppgae N mg m Dette uttykket gjelde også fo en passasje med massen m. Passasjeen il føle ekt bae nå det e en nomalkaft, altså nå N > 0. Vi løse likningen N 0 og få: mg m 0 som gi g Fa faktaaket se i at adien i etikale sikle aiee fa 1 m til 10 m. Fo å æe i fitt fall på bakketoppe må faten da aiee i omådet 9,81 m/s 1 m 10,8 m/s til 9,81 m/s 10 m 34,3 m/s. Vi huske at minimalfaten e 6,14 m/s og at maksimalfaten e 5,8 m/s. Så stoe adie som 10 m på bakketoppen il altså ikke gi ektløshet. Men det kan tenkes at de støste adiene bae e bukt i bakkebunne, så opplysningen om at en e ektløs på alle bakketoppene kan æe iktig. Foutsetningen e at adien i «bakketoppsiklene» e minde enn g m (5,8 m/s) 9,81 m/s 68 m (En a fofattene ha kjøt denne banen og talte 11 tilfelle a ektløshet.) / RSTnett 13