Institutt for fysikk, NTNU FY1003 Elektrisitet og mgnetisme TFY4155 Elektromgnetisme Vår 2008 Løsningsforslg, Midtsemesterprøve torsdg 6. mrs 2008 kl 1000 1200. Fsit side 12. Oppgvene med kort løsningsskisse 1) Hvilken påstnd er feil? En kondenstors kpsitns øker lineært med ldningen på kondenstoren. En kondenstors kpsitns vhenger ikke v ldningen på kondenstoren. (59% svrte riktig.) 2) Hvilken påstnd er riktig? D Elektrisk polrisering kn måles i enheten /m 2. Polrisering er dipolmoment pr volumenhet, og dipolmoment hr enhet som ldning multiplisert med lengde. (85% svrte riktig.) 3) Fire punktldninger, to positive (Q) og to negtive (), er plssert i hvert sitt hjørne v et kvdrt. Rnger det elektriske potensilet i de fire punktene 1, 2, 3 og 4. (Punkt 1 er midt på venstre sideknt, punkt 2 er midt i kvdrtet.) 1
Q 4 V 3 > V 1 = V 2 > V 4 1 2 3 Q Plnet gjennom 1 og 2 smt plnet gjennom 2 som står vinkelrett på det første hr begge null potensil, fordi lle posisjoner i disse to plnene hr prvis like store vstnder til en positiv og en negtiv ldning. Videre hr vi høyt potensil i nærheten v en positiv ldning og lvt potensil i nærheten v en negtiv ldning. Dermed må vi h V 4 < 0 og V 3 > 0, og som sgt V 1 = V 2 = 0. (72% svrte riktig.) 4) Fire store prllelle pln hr innbyrdes vstnd d, 2d og d/2 som vist i figuren. Plnene hr ldning pr flteenhet σ, σ, σ og σ (fr venstre mot høyre, og σ > 0). Rnger det elektriske potensilet i de fire punktene merket med 1, 2, 3 og 4. d 2d d/2 B V 1 > V 4 > V 2 = V 3 1 2 3 4 σ σ σ σ Mellom de to plnene lengst til venstre hr vi elektrisk feltstyrke σ/ε 0, med retning mot høyre, mellom de to plnene lengst til høyre ditto feltstyrke, men med retning mot venstre. Forøvrig er E = 0. Dermed vtr potensilet med σd/ε 0 fr 1 til 2, forblir konstnt fr 2 til 3, og øker med σd/2ε 0 fr 3 til 4. Følgelig lterntiv B. (29% svrte riktig.) 5) To punktldninger ±q er plssert i x = ± (y = = 0). Hv blir netto elektrisk fluks gjennom en kuleflte med rdius 3/2 og sentrum i origo? 2
B 0 q 0 q x Guss lov: Null netto ldning innenfor kuleskllet gir null netto elektrisk fluks gjennom kuleskllet. (94% svrte riktig.) 6) To punktldninger ±q er plssert i x = ± (y = = 0). Hv blir netto elektrisk fluks gjennom den delen v y-plnet som vgrenses v y, (og x = 0)? D q/3ε 0 x Det skrverte plnet utgjør 1/6 v overflten v en terning med sideknter 2, der vi kn tenke oss både q og q i sentrum v terningen. Symmetribetrktninger gir dermed t en fluks q/6ε 0 fr hver v de to ldningene psserer gjennom det skrverte plnet, i begge tilfeller fr høyre mot venstre. Alt i lt en fluks q/3ε 0 gjennom plnet. (33% svrte riktig.) q y 2 2 q 7) Det elektriske feltet i et område er E(x, ) = ˆx E 0 coskx ẑ E 0 sin k, der k og E 0 er konstnter. Hv er d potensilforskjellen mellom origo og punktet (π/k, π/k, π/k), dvs V = V ( π k, π k, π ) V (0, 0, 0)? k D V = 2E 0 /k Forflytningen i x-retning gir en potensilendring π/k V 1 = E 0 coskxdx = 0 0 3
Forflytningen i y-retning gir null potensilendring ettersom det elektriske feltet ikke hr noen y- komponent. Endelig gir forflytningen i -retning en potensilendring π/k V 3 = ( E 0 sin k)d = π/k E 0 0 0 k cosk = 2E 0 k som d også blir den totle potensilendringen V. (54% svrte riktig.) 8) Potensilet i et område er V (y) = k V 0 y, der k og V 0 er konstnter. Hvor mye potensiell elektrisk energi U E befinner seg d i volumet vgrenset v 0 x π/k, 0 y π/k, 0 π/k? A U E = ε 0 V 2 0 π 3 /2k Det oppgitte potensilet betyr t det elektriske feltet er k V 0 ŷ, slik t energien pr volumenhet er u E = ε 0 E 2 /2 = ε 0 k 2 V0 2/2. Det oppgitte området hr volum (π/k)3, slik t den elektriske energien i dette området blir U E = ε 0 V0 2 π 3 /2k. (71% svrte riktig.) 9) Figuren viser et system med 3 punktldninger loklisert på -ksen: i = og i =, og 2Q i = 0. Hv er dette systemets elektriske dipolmoment p? A p = 0 x 2Q Dette kn vi se for oss som to dipoler med motstt retning, følgelig totlt dipolmoment null. (84% svrte riktig.) 10) Hv er det elektriske feltet E(x) på den positive x-ksen i oppgve 9? D E(x) = Qˆx [ ] 1 2πε 0 x x 2 (x 2 + 2 ) 3/2 Vi kn uten videre stryke lterntivene A og B ettersom vi der hr smme fortegn på bidrgene 4
inne i prentesen. Videre må vi multiplisere bidrgene fr de to negtive ldningene med en fktor x/ x 2 + 2 for å finne x-komponenten. Dermed ser vi t lterntiv D er eneste mulighet. (46% svrte riktig.) 11) Lngt ute på den positive x-ksen (dvs x ) kn potensilet V (x) i oppgve 9 tilnærmet skrives som V (x) Q2 4πε 0 x 3 Her hr vi minst et pr muligheter: Vi kn summere bidrgene fr de tre ldningene og finne ledende ordens bidrg for store verdier v x. Alterntivt kn vi innse t potensilet fr dette systemet må vt rskere enn potensilet fr en dipol. D potensilet fr en dipol vtr som 1/x 2 for store vstnder x, må vi her velge lterntiv. (22% svrte riktig.) 12) Systemet i oppgve 9 hr potensiell energi D U = 7Q2 8πε 0 Med tre punktldninger hr vi 3 ldningspr som bidrr til totl energi: (75% svrte riktig.) U = 2 2Q 2 4πε 0 + Q 2 4πε 0 2 = 7Q2 8πε 0 13) Tre tynne uniformt ldete store prllelle metllplter med rel A og ldning, 2Q, er loklisert i =, 0,, som vist i figuren til høyre. Hvilken grf viser korrekt resulterende elektrisk felt E() (slik t E() = E() ẑ)? A E() B E() E() D E() 0 2Q 5
Legger vi smmen elektriske feltbidrg fr de 3 plnene, finner vi ut t det totle feltet er Q/ε 0 A mellom = og =, med retning oppover for > 0 og retning nedover for < 0. Følgelig er grf A den riktige. (84% svrte riktig.) 14) Hv er totl potensiell energi for de tre ldete pltene i oppgve 13? D U = Q2 ε 0 A Vi hr uniform energitetthet lik ε 0 E 2 /2 = Q 2 /2ε 0 A 2 i hele volumet mellom nederste og øverste plte. Totl energi blir dermed U = Q2 2ε 0 A 2 A = Q2 2 ε 0 A (72% svrte riktig.) 15) For systemet i oppgve 13 settes potensilet lik null på den nederste plten, dvs V ( ) = 0. Hv er d potensilene V (0) og V () på henholdsvis midtre og øverste plte? A V (0) = Q ε 0 A, V () = 0 Potensilet øker med Q/ε 0 A fr nederste til midtre plte, for så å vt med smme beløp fr midtre til øverste plte. Følgelig lterntiv A. (69% svrte riktig.) 16) I systemet i oppgve 13 fylles volumet mellom midtre og øverste plte med en dielektrisk skive med reltiv permittivitet ε r = 10. Hv blir nå potensilforskjellen V = V () V ( ) mellom øverste og nederste plte? 0 ε r =10 2Q B V = 9Q 10ε 0 A 6
Den elektriske feltstyrken er nå redusert med en fktor 10 i volumet mellom midtre og øverste plte, smmenlignet med før vi stte inn den dielektriske skiv. Følgelig vtr potensilet bre med Q/10ε 0 A når vi går fr midtre til øverste plte. Dermed blir potensilforskjellen mellom øverste og nederste plte 9Q/10ε 0 A. (72% svrte riktig.) 17) Øverste og nederste plte i oppgve 16 forbindes med en tynn elektrisk leder slik t de to pltene oppnår smme elektriske potensil. Bestem resulterende ldning 1 og 2 på henholdsvis øverste og nederste plte. (Du kn nt t den tynne lederen som forbinder de to pltene hele tiden er elektrisk nøytrl.) A 1 = 20Q/11, 2 = 2Q/11 0 1 ε r =10 2Q 2 Smme potensil på øverste og nederste plte innebærer t vi må h smme elektriske feltstyrke i øvre hlvdel (der vi hr dielektrikum) som i nedre hlvdel (der vi hr luft/vkuum), men med motstt retning. Vi legger smmen bidrgene fr de tre pltene, og finner: Dessuten må vi selvsgt h 2Q 2Aε 0 10 + Q 1 2Aε 0 10 Q 2 2Aε 0 10 = 2Q 2Aε 0 + Q 2 2Aε 0 Q 1 2Aε 0 Q 1 + Q 2 = 2Q Løser vi disse to ligningene med hensyn på de to ukjente ldningene, finner vi Q 1 = 20Q/11 og Q 2 = 2Q/11. (52% svrte riktig.) 18) Ei metllkule med rdius R og (negtiv) ldning er omgitt v et vkuumsjikt med tykkelse R fulgt v et metllisk kuleskll med tykkelse R og ldning 3Q. Hvor mye ldning befinner seg på kuleskllets ytre overflte? 7
4R 6R 2R 2Q 3Q Guss lov med gussflte inne i det metlliske kuleskllet gir t en ldning Q må ligge på indre overflte. Dermed blir det igjen 2Q på ytre overflte. (98% svrte riktig.) 19) Hvilken grf viser korrekt E(r) (slik t E(r) = E(r) ˆr) for systemet i oppgve 18? E(r) A E(r) B R 3R r R 3R r E(r) E(r) D R 3R r R 3R r Her skl det vel litt fntsi til for å foreslå noe nnet enn lterntiv A. (89% svrte riktig.) 20) Hv er potensilforskjellen mellom kuleskllet og et punkt som ligger i vstnd 6R fr sentrum v systemet i oppgve 18, dvs V = V (r = 3R) V (r = 6R)? V = Q/12πε 0 R 8
Utenfor kuleskllet er E(r) = 2Q/4ε 0 r 2, slik t (67% svrte riktig.) 3R V = 6R 2Q dr 4ε 0 r 2 = Q 12πε 0 R 21) To store metlliske pln hr rel A og ldning pr flteenhet henholdsvis σ 0 (øverste plte) og σ 0 (nederste plte). Pltevstnden er d. Volumet mellom metllpltene er fylt med to dielektriske skiver. Medium 1, i øverste hlvdel, hr reltiv permittivitet ε r mens medium 2, i nederste hlvdel, hr reltiv permittivitet 2ε r. Hvor stor blir polriseringen P 1 i medium 1? A P 1 = (1 1 ) εr σ 0 σ 0 d/2 1 ε r P 1 d/2 2 2ε r σ 0 P 1 = χ 1 ε 0 E 1 = (ε r 1)ε 0 D ε r ε 0 = (1 1/ε r )σ 0 der vi hr brukt t den elektriske forskyvningen D = σ 0 (den smme i hele volumet mellom metllpltene). (69% svrte riktig.) 22) Hv blir kpsitnsen til prllellpltekondenstoren i oppgve 21? (Tips: Dette kn betrktes som en seriekobling v to kpsitnser.) B = 4ε r ε 0 A/3d Kpsitnsen til øverste hlvdel: Kpsitnsen til nederste hlvdel: 1 = ε r ε 0 A/(d/2) 2 = 2ε r ε 0 A/(d/2) 9
Totl kpsitns til to seriekoblede kpsitnser finner vi deretter ved å t den inverse v summen v inverse enkeltkpsitnser: (80% svrte riktig.) = (1/ 1 + 1/ 2 ) 1 = 4ε r ε 0 A/3d 23) Hvilken v figurene nedenfor illustrerer feltlinjer for det elektriske feltet E i prllellpltekondenstoren i oppgve 21? A B D Svkere elektrisk felt der vi hr størst reltiv permittivitet. Altså lterntiv B. (79% svrte riktig.) 24) Figuren viser en smmenkobling v 4 kpsitnser,, 2, 3 og 4. Hv blir totl kpsitns for hele smmenkoblingen? 2 20/29 A B Q 4 De to prllellkoblede i midten hr til smmen kpsitns 5. Dermed: totl = (1/ + 1/5 + 1/4) 1 = 20/29 (86% svrte riktig.) 3 25) Ant t det mellom endepunktene A og B i oppgve 24 er en potensilforskjell V 0 = V A V B. Hvor mye ldning (±)Q befinner seg d på kpsitnsen 3? 10
D Q = 12V 0 /29 L oss klle ldningen på og 4 for Q 0. Med Q på 3 blir det d ldning Q 0 Q på 2. Smme potensilforskjell over 2 og 3 gir d ligningen dvs og Q 3 = Q 0 Q 2 Q = 3 5 Q 0 Q 0 = 5 3 Q Totl potensilforskjell V 0 fr A til B gir og dermed (61% svrte riktig.) V 0 = 5Q 3 + Q 3 + 5Q 12 = 29Q 12 Q = 12V 0 /29 11
Institutt for fysikk, NTNU FY1003/TFY4155 Elektrisitet og mgnetisme/elektromgnetisme Midtsemesterprøve torsdg 6. mrs 2008 kl 1000 1200. Fsit Oppgve A B D Oppgve A B D 1 X 14 X 2 X 15 X 3 X 16 X 4 X 17 X 5 X 18 X 6 X 19 X 7 X 20 X 8 X 21 X 9 X 22 X 10 X 23 X 11 X 24 X 12 X 25 X 13 X 12