arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

arbeid - massesenter - Delvis integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. oktober 2011

Kapittel 6.6. Arbeid

3 Arbeid definisjon Definisjon (Arbeid ved konstant kraft) Arbeid = Kraft Vei W = F s Måleenheter er ofte Kraft måles i Newton. Eksempel F = 30,0 N.

3 Arbeid definisjon Definisjon (Arbeid ved konstant kraft) Arbeid = Kraft Vei W = F s Måleenheter er ofte Kraft måles i Newton. Eksempel F = 30,0 N. Vei måles i meter. Eksempel s = 2,0 m.

3 Arbeid definisjon Definisjon (Arbeid ved konstant kraft) Måleenheter er ofte Arbeid = Kraft Vei W = F s Kraft måles i Newton. Eksempel F = 30,0 N. Vei måles i meter. Eksempel s = 2,0 m. Arbeid angis i joule = Newtonmeter. Eksempel W = F s = 60,0 Nm = 60,0 J.

4 Hookes lov for fjærer Kraften for å strekke eller presse en fjær er proposjonal med hvor mye vi strekker eller presser. F = k x Konstanten k kalles for fjærkonstanten. x F x

4 Hookes lov for fjærer Kraften for å strekke eller presse en fjær er proposjonal med hvor mye vi strekker eller presser. F = k x Konstanten k kalles for fjærkonstanten. x F x

4 Hookes lov for fjærer Kraften for å strekke eller presse en fjær er proposjonal med hvor mye vi strekker eller presser. F = k x Konstanten k kalles for fjærkonstanten. x F x

5 Eksempel Hookes lov Eksempel En fjær har fjærkonstanten k = 2,0 N/cm, og er presset 1,0 cm sammen. Hvor mye arbeid trengs for å presse den ytterligere sammen 1cm 2 cm F F x W = b a F(x) dx

6 Arbeid ved variabel kraft Situasjon: Kraften varierer med posisjonen F = F(x).

6 Arbeid ved variabel kraft Situasjon: Kraften varierer med posisjonen F = F(x). Finn arbeidet som uføres ved forflytning fra x = a til x = b

6 Arbeid ved variabel kraft Situasjon: Kraften varierer med posisjonen F = F(x). Finn arbeidet som uføres ved forflytning fra x = a til x = b Idéen: Del opp strekningen i n små intervaller med lengde. x = b a n

6 Arbeid ved variabel kraft Situasjon: Kraften varierer med posisjonen F = F(x). Finn arbeidet som uføres ved forflytning fra x = a til x = b Idéen: Del opp strekningen i n små intervaller med lengde x = b a n. Arbeidet i et lite intervall W k = F(xk ) x

6 Arbeid ved variabel kraft Situasjon: Kraften varierer med posisjonen F = F(x). Finn arbeidet som uføres ved forflytning fra x = a til x = b Idéen: Del opp strekningen i n små intervaller med lengde x = b a n. Arbeidet i et lite intervall W k = F(xk n n ) x Samlet arbeid: W = W k = F(xk ) x k=1 k=1

6 Arbeid ved variabel kraft Situasjon: Kraften varierer med posisjonen F = F(x). Finn arbeidet som uføres ved forflytning fra x = a til x = b Idéen: Del opp strekningen i n små intervaller med lengde x = b a n. Arbeidet i et lite intervall W k = F(xk n n ) x Samlet arbeid: W = W k = F(xk ) x k=1 Skriver som integral W = k=1 b a F(x)dx

7 Arbeid mange masser og varierende strekning 10 m 5 m h m A(h) 10 m Problem Vi vil fylle opp en tank med vann. Tanken er 5 m høy og er formet som en pyramide opp ned med kvadratisk toppflate med sider lik 10,0 m Hva blir arbeidet hvis alt skal fra grunn-nivå (spissen av pyramiden)?

Kapittel 6.7. Momenter og massesenter

9 To dimensjoner Masser m 1, m 2,..., m n i planet.

9 To dimensjoner Masser m 1, m 2,..., m n i planet. med koordinater (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 ),...,(x n, y n )

9 To dimensjoner Masser m 1, m 2,..., m n i planet. med koordinater (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 ),...,(x n, y n ) Massemoment om x aksen M x = m i y i

9 To dimensjoner Masser m 1, m 2,..., m n i planet. med koordinater (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 ),...,(x n, y n ) Massemoment om x aksen M x = m i y i Massemoment om y aksen M y = m i x i

9 To dimensjoner Masser m 1, m 2,..., m n i planet. med koordinater (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 ),...,(x n, y n ) Massemoment om x aksen M x = m i y i Massemoment om y aksen M y = m i x i Total masse M = m i

9 To dimensjoner Masser m 1, m 2,..., m n i planet. med koordinater (x 1, y 1 ),(x 2, y 2 ),...,(x n, y n ) Massemoment om x aksen M x = m i y i Massemoment om y aksen M y = m i x i Total masse M = m i Massesenter (x C.M, y C.M ) = ( My M, M ) x M

10 Massesenter til tynne plater Problem Finn massesenteret området begrenset av kurvene x = 0, y = f(x) = 0 og y = g(x) = 1 x 2 (jevn massefordeling σ) 1 Deler opp i n staver 1

10 Massesenter til tynne plater Problem Finn massesenteret området begrenset av kurvene x = 0, y = f(x) = 0 og y = g(x) = 1 x 2 (jevn massefordeling σ) 1 Deler opp i n staver Masse m k = σ (g(x k ) f(x k )) x 1

10 Massesenter til tynne plater Problem Finn massesenteret området begrenset av kurvene x = 0, y = f(x) = 0 og y = g(x) = 1 x 2 (jevn massefordeling σ) 1 Deler opp i n staver Masse m k = σ (g(x k ) f(x k )) x Koordinater x k = x k, ỹ k = (g(x) + f(x))/2 1

10 Massesenter til tynne plater Problem Finn massesenteret området begrenset av kurvene x = 0, y = f(x) = 0 og y = g(x) = 1 x 2 (jevn massefordeling σ) 1 Deler opp i n staver Masse m k = σ (g(x k ) f(x k )) x Koordinater x k = x k, ỹ k = (g(x) + f(x))/2 Moment om hver akse M y = σ x k m k M x = σ ỹ k m 1

Finner massen M m k

Finner massen M m k 1 M = dm = σ (g(x) f(x)) dx = σ 0 1 0 (1 x 2 ) dx = 2 3 σ

Finner massen M m k 1 M = dm = σ (g(x) f(x)) dx = σ 0 1 Finner momentet om y-aksen M y x k m k 0 (1 x 2 ) dx = 2 3 σ

Finner massen M m k 1 M = dm = σ (g(x) f(x)) dx = σ 0 1 Finner momentet om y-aksen M y x k m k M y = x dm = σ 1 0 x (g(x) f(x)) dx = σ 0 (1 x 2 ) dx = 2 3 σ 1 0 (x x 3 ) dx = 1 4 σ

Finner massen M m k 1 M = dm = σ (g(x) f(x)) dx = σ 0 1 Finner momentet om y-aksen M y x k m k M y = x dm = σ 1 0 x (g(x) f(x)) dx = σ Finner momentet om x-aksen M x ỹ k m k 0 (1 x 2 ) dx = 2 3 σ 1 0 (x x 3 ) dx = 1 4 σ

Finner massen M m k 1 M = dm = σ (g(x) f(x)) dx = σ 0 1 Finner momentet om y-aksen M y x k m k M y = x dm = σ 1 0 x (g(x) f(x)) dx = σ 0 (1 x 2 ) dx = 2 3 σ 1 0 (x x 3 ) dx = 1 4 σ Finner momentet om x-aksen M x ỹ k m k 1 1 M x = ỹ dm = σ (g(x) + f(x)) (g(x) f(x)) dx 0 2 = σ 2 1 0 (1 2x 2 + x 4 ) dx = 4 15 σ

12 Svar på problemet Massesenterets koordinater x C.M. = M y M = 3 8 1 y C.M. = M x M = 2 5 1

Kapittel 7.1. Delvis integrasjon

14 Delvis integrasjon Gjensyn med produktregelen Setning Hvis u = f(x) og v = g(x) er deriverbare funksjoner så er uv = f(x) g(x) deriverbar og (u v) = u v + u v

15 Delvis integrasjon Setning (Delvis integrasjon) Hvis så er f(x) og g(x) er deriverbare og f (x) og g (x) er kontinuerlige g (x) f(x) dx = f(x) g(x) f (x) g(x) dx Eksempel Regn ut x 2 ln x dx

15 Delvis integrasjon Setning (Delvis integrasjon) Hvis så er f(x) og g(x) er deriverbare og f (x) og g (x) er kontinuerlige g (x) f(x) dx = f(x) g(x) f (x) g(x) dx Eksempel Regn ut x 2 ln x dx Svar: 1 3 x 3 ln x 1 9 x 3 + C

16 Alternativ form Delvis integrasjon v du = uv u dv Det er ikke alltid enkelt å finne u og v, men her er et tips. 1 Sørg for at du = f(x) dx er lett å integrere. 2 og at u = g(x) gir en grei derivert. Eksempel Regn ut arctan x dx

16 Alternativ form Delvis integrasjon v du = uv u dv Det er ikke alltid enkelt å finne u og v, men her er et tips. 1 Sørg for at du = f(x) dx er lett å integrere. 2 og at u = g(x) gir en grei derivert. Eksempel Regn ut arctan x dx Svar: x arctan x 1 2 ln(1 + x 2 ) + c

17 Eksempler og vanskeligheter Eksempel 1 Regn ut x n ln x dx

17 Eksempler og vanskeligheter Eksempel 1 Regn ut x n ln x dx 2 Regn ut e x cos x dx Svar 1: 1 n+1 x n+1 ln x 1 (n+1) 2 x n+1 + c

17 Eksempler og vanskeligheter Eksempel 1 Regn ut x n ln x dx 2 Regn ut e x cos x dx 3 Regn ut e x ln x dx Svar 1: 1 n+1 x n+1 ln x 1 (n+1) 2 x n+1 + c Svar 2: 1 2 ex (cos x + sin x) + c

17 Eksempler og vanskeligheter Eksempel 1 Regn ut x n ln x dx 2 Regn ut e x cos x dx 3 Regn ut e x ln x dx 4 Regn ut ln x cos x dx Svar 1: 1 n+1 x n+1 ln x 1 (n+1) 2 x n+1 + c Svar 2: 1 2 ex (cos x + sin x) + c Svar 3: Ikke løsbar på vanlig måte.

17 Eksempler og vanskeligheter Eksempel 1 Regn ut x n ln x dx 2 Regn ut e x cos x dx 3 Regn ut e x ln x dx 4 Regn ut ln x cos x dx Svar 1: 1 n+1 x n+1 ln x 1 (n+1) 2 x n+1 + c Svar 2: 1 2 ex (cos x + sin x) + c Svar 3: Ikke løsbar på vanlig måte. Svar 4: Ikke løsbar på vanlig måte.

18 Bestemt delvis integrasjon Setning (Bestemt integral, delvis integrasjon) Hvis f og g er kontinuerlige på [a, b] så er b a g (x)f(x) dx = [ ] b b f(x)g(x) f (x)g(x) dx a a Eksempel 1 Eksempel finn massesenteret (sentroiden) til området under grafen til ln x mellom x = 1 og x = 2 1 2

Løsning av problemet: M y = M x = 1 2 M = 2 1 2 1 2 1 x ln x dx (ln x) 2 dx ln x dx (x C.M., y C.M. ) = (1,647174863, 0,2437484527)