KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO Molekylmekanikk - repetisjon KJM3600 - Molekylmodellering p.1/49 Molekylmekanikk - repetisjon p.2/49 Klassisk modell Kraftfeltenergien Ren klassisk beskrivelse av molekyler: Atomene modelleres som baller (eventuelt med ladning) Bindinger modelleres som fjærer Molekylets energi er funksjon av koordinatene til atomene Ingen eksplisitt behandling av elektronene Et sett av parametre for ulike atomtyper utgjør et kraftfelt (force field) Energien er gitt som en sum, og molekylet svarer til strekk, bøy og vridning av er kryssledd mellom de disse tre er vekselvirkninger mellom atomer ikke direkte bundet til hverandre og (1) Molekylmekanikk - repetisjon p.3/49 Molekylmekanikk - repetisjon p.4/49
Modeller Kvadratisk, kubisk, kvartisk modell (Taylor-ekspansjon) for bindingsstrekk Tilsvarende for bøying av vinkler Fourier-serie for diedervinkler (torsjon/vridning) Lennard Jones, Morse eller Hill-potensial for van der Waals interaksjon Ladnings- eller dipolmodell for elektrostatiske vekselvirkninger Parametrisering Parameterne tilpasses best mulig et sett eksperimentelle data (strukturelle og spektroskopiske) Evt. kvantekjemiske beregninger Minimer funksjon som måler avvik mellom modell og eksperiment Enormt antall unike parametre Må forenkle og bruke kjemisk intuisjon Underbestemt optimeringsproblem Energi Den numeriske verdien av seg selv!! Molekylmekanikk - repetisjon p.5/49 har ingen mening i Nullpunkt for de ulike leddene er satt vilkårlig Kan sammenligne konformere med nøyaktig samme atomtyper og bindinger For å sammenligne ulike molekyler må vi beregne dannelsesentalpi Må definere for hver atomtype Anvendelse Velg kraftfelt basert på erfaring med tilsvarende systemer (litteratur) To hovedanvendelser Bestemmelse av strukturer (minima) Bestemmelse av relative energier Viktigste styrke: Store systemer kan behandles Begrenset til systemer som er godt parametrisert Molekylmekanikk - repetisjon p.6/49 Molekylmekanikk - repetisjon p.7/49 Molekylmekanikk - repetisjon p.8/49
Oversikt Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk Introduksjon Noen begreper fra statistisk mekanikk Monte Carlo simuleringer Molekyldynamikk Introduksjon Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.9/49 Molekyler er dynamiske systemer som vibrerer og roterer, vekselvirker og reagerer Kan aldri ligge helt i ro pga. nullpunktsvibrasjon (Heisenbergs usikkerhetsrelasjon) Reaksjonsdynamikk og kinetikk søker å forklare og forutsi molekylenes oppførsel Introduksjon Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.10/49 Beregningsmodellene behandler gjerne ett enkelt eller en håndfull molekyler I et eksperiment har man typisk rundt Avogadros tall ( ) antall molekyler Statistisk mekanikk knytter det mikroskopiske og makroskopiske regime sammen Forbindelse mellom teori og eksperiment Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.11/49 Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.12/49
Ensembler Stort antall kopier av samme system kalles et ensemble Hver kopi karakterisert av sin tilstand Flere av (evt. alle) systemene kan befinne seg i samme tilstand I et mikro-kanonisk ensemble har alle systemene samme energi, samme antall partikler og samme volum ( ) I et kanonisk ensemble er antall partikler temperatur konstant ( ), volum og Ergodisk hypotese Den ergodiske hypotesen er en fundamental antagelse i statistisk mekanikk Sier at en tids-midlet makroskopisk egenskap kan bestemmes fra en tilsvarende ensemble-midlet egenskap Forutsetter at man har et representativt ensemble Bevist for gassmodell med harde kuler Partisjonsfunksjonen Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.13/49 Partisjonsfunksjonen Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.14/49 Kan beregne energien og andre egenskaper for et system i bestemte tilstander (f.eks. geometrier) Avhengig av temperatur vil noen av tilstandene være viktigere enn andre Statistisk mekanikk gir oss nøkkelen gjennom partisjonsfunksjonen (2) viser hvordan en større samling systemer er distribuert (partisjonert) over tilgjengelige tilstander Omtrent samme rolle i statistisk mekanikk som bølgefunksjonen har i kvantemekanikken Kjenner man, vet man alt om systemet (3) Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.15/49 Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.16/49
Faserom Molekylære egenskaper Et klassisk system er fullstendig beskrevet av posisjonene og bevegelsesmomentene for samtlige partikler 6 koordinater, der er antall partikler Dette koordinatroommet kalles faserommet I faserommet kan skrives som et integral (4) Egenskaper kan uttrykkes som integral over hele faserommet P er sannsynligheten for at systemet er i en bestemt tilstand (5) (6) Molekylære egenskaper Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.17/49 Ligning (5) generelt for kompleks til å løses analytisk Å plukke ut tilfeldige tilstander er også dømt til å mislykkes Mesteparten av faserommet er fullstendig uinteressant Trenger metode for å plukke relevante tilstander (importance sampling) Livet er for kort... Ta et relativt enkelt molekyl som sykloheksan C Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.18/49 Anta at vi kun ønsker å forsøke fem ulike verdier for hver koordinat (posisjon og moment) Dette gir oss tilstander Anta at det kun tar oss 1 ms å beregne energien til en tilstand Total beregningstid blir da omlag år!!! H Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.19/49 Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.20/49
Metoder Monte Carlo simuleringer Generelt to typer metoder Monte Carlo (MC) simuleringer Molekyldynamikk (MD) Skal se litt på styrker og svakheter ved de to metodene Begge har som mål å effektivt besøke de viktigste områdene av faserommet I en Monte Carlo simulering gir man systemet først en initiell konfigurasjon Systemet pertuberes så av tilfeldige endringer f.eks. i geometrien Å plukke tilstander uniformt fra faserommet og vekte resultatet etterpå fungerer imidlertid dårlig Kan man i stedet plukke tilstander med vektet sannsynlighet for så å vekte resultatene uniformt? Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.21/49 Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.22/49 Metropolis-algoritmen Metropolis-algoritmen Løsningen kom med Metropolis-algoritmen i 1953 Baserer seg på en Boltzmann-fordeling Alle endringer som reduserer energien til systemet godtas Endringer som øker energien, godtas med en sannsynlighet lik Forkastes steget, telles forrige tilstand på ny For vil alle steg som øker energien forkastes Jo høyere temperatur, jo mer sannsynlig er det at økninger i energien godtas Små hopp opp i energi er mer sannsynlig enn store Størrelsen på pertubasjonene må velges fornuftig (dynamisk) Ønsker gjerne at andelen aksepterte steg skal ligge i området 25-50% Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.23/49 Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.24/49
Monte Carlo simuleringer Tilfeldige tall Metoden som skissert setter opp en såkalt Markov-kjede av tilstander Sannsynligheten for å finne systemet i en gitt tilstand vil etter hvert gå mot en likevektsdistribusjon (Boltzmann) Tilstandene som besøkes utgjør et -ensemble Tilfeldige tall er helt sentrale i MC simuleringer Pertubasjonene Akseptansetest Må ha gode generatorer for tilfeldige tall Lange perioder Ingen korrelasjon Egentlig pseudo-tilfeldig, benytter matematiske funksjoner Gir reproduserbarhet Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.25/49 Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.26/49 Eksempel Eksempel Velg et atom Flytt atom (, og (vilkårlig eller i rekkefølge) til et vilkårlig punkt i en kube med sider er tre tilfeldige tall i [0, 1]) Beregn energien til systemet med denne testgeometrien (7) Hvis sannsynlighet så aksepteres testgeometrien med Trekk et tilfeldig tall Hvis Hvis forrige geometrien aksepeteres forflytningen så går man tilbake til den Hvis så blir testgeometrien ny geometri Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.27/49 Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.28/49
Monte Carlo simuleringer Monte Carlo simuleringer Energiene beregnes typisk vha. molekylmekanikk Kun energier er nødvendig Kombineres ofte med periodiske randbetingelser Må kjøre en ekvilibreringsperiode først Produksjonskjøringen vil bestå av mange iterasjoner Langsom konvergens av egenskaper, dvs. før middelverdi blir stabil Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.29/49 Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.30/49 Anvendelse God til strukturelle og mekaniske likevektsegenskaper Energi Trykk Radielle fordelingsfunksjoner Ikke god til Tidsavhengige egenskaper Fri energi, entropi Simulated annealing Spesiell variant av MC simulering Temperaturen reduseres langsomt Simulerer svært langsom nedkjøling Kan eventuelt kombineres med perioder av oppvarming Metode for å finne globalt minimum (likevektsgeometri) for større systemer Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.31/49 Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.32/49
Molekyldynamikk Molekyldynamikk Mens MC drives av tilfeldige pertubasjoner, driver et MD system essensielt seg selv Posisjoner og hastigheter oppdateres basert på kreftene som virker på atomene Newtons andre lov forutsatt at det ikke er eksterne felt, er kreftene lik den negative gradienten til potensialet (8) 1. Sett opp initialbetingelser (sampling) 2. Beregn kreftene som virker på samtlige partikler 3. Oppdater tid, posisjoner og hastigheter 4. Beregn molekylære egenskaper 5. Gå til 2., med mindre konvergens/termineringskrav er oppfylt 6. Beregn tidsmidddel av egenskap (= midlere egenskap for ensemblet) Molekyldynamikk Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.33/49 Trajektorier Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.34/49 Krever energier og krefter Eksplisitt tidsvariabel (i motsetning til MC) Flere størrelser skal være bevart, god kvalitetssjekk Bevaring av energi Bevaring av moment (ofte 0) Bevaring av angulærmoment ensemble Resultatet av en slik beregning er en klassisk trajektorie Sammenhengende serie punkter som snor seg gjennom faserommet Fullstendig deterministisk Tidsreversibel Kan ikke krysse seg selv eller andre trajektorier Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.35/49 Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.36/49
Trajektorier Trajektorier Enkleste metode for propagering er Eulers metode Posisjon og moment for hver partikkel oppdaters ved Metoden fungerer meget dårlig i praksis Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.37/49 Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.38/49 Trajektorier Steglengde ( ) Balanse mellom nøyaktighet og tidsforbruk Bør velges 1-2 strørrelsesordener mindre enn korteste vibrasjonsperiode (typisk H-X) Gir maksimal steglengde på omlag 0.1 fs ( Trajektorier kan kjøres opptil flere nanosekunder Kan fryse frihetsgrader (SHAKE) s) Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.39/49 Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.40/49
Verlet-algoritmen Verlet-algoritmen er en av de mest brukte MD integratorene: Integrasjon Det finnes en rekke andre integratorer som er mer nøyaktig, evt. som kan ta lengre steg Enkelte beregner krefter et antall ganger for hver iterasjon (Runge Kutta) Andre benytter høyere ordens deriverte (Gear predictor-corrector) Mange av disse metodene får problemer med drift i energien ved svært lange integrasjoner Moderat energibevaring, men ingen/minimal drift over lang tid Autokorrelasjon Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.41/49 Nosé Hoover dynamikk Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.42/49 Tidsavhengige autokorrelasjons-funksjoner kan defineres Måler i hvilken grad verdien av ved et tidspunkt påvirker verdien ved et senere tidspunkt henfaller med en tid som er karakteristisk for egenskapen Antyder hvor lenge en simulering bør kjøres (9) MD trajektorier er i utgangspunktet mikro-kanoniske ( ) Nosé Hoover dynamikk: Temperatur kan holdes konstant ved å koble til eksternt varmebad ( ) Temperatur og trykk holdes konstant ved å koble til ekstern trykktermostat ( ) Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.43/49 Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.44/49
Anvendelser Både MC og MD benyttes først og fremst i kombinasjon med molekylmekanikk-modeller Energier og krefter bestemmes hurtig, kan behandle store systemer Hovedanvendelser er bestemmelse av strukturelle og termodynamiske egenskaper Molekylmekanikk har som vi vet problemer med å beskrive bindingsbrudd/dannelse og andre elektroniske effekter Lokalisering av minima Anvendelser Kollisjoner (energioverføring) Radielle fordelingsfunksjoner Diffusjonskoeffisienter (posisjon og hastighet autokorrelasjon) Protein-folding Krystaller Sammenligning MD og MC Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.45/49 Sammenligning MD og MC Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.46/49 Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.47/49 Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.48/49
Sammenligning MD og MC MD Tidsutvikling Tidsavhengige egenskaper Fysiske forflytninger Lett å sjekke konsistens Generelt langsommere MC Ingen tidsskala Kun likevektsegenskaper Kunstige forflytninger Vanskelig å sjekke konsistens Generelt raskere Konklusjon: Bruk MD om mulig Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.49/49