KJM Molekylmodellering
|
|
- Mina Bakke
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 KJM Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO KJM Molekylmodellering p.1/49
2 Molekylmekanikk - repetisjon Molekylmekanikk - repetisjon p.2/49
3 Klassisk modell Ren klassisk beskrivelse av molekyler: Atomene modelleres som baller (eventuelt med ladning) Bindinger modelleres som fjærer Molekylets energi er funksjon av koordinatene til atomene Ingen eksplisitt behandling av elektronene Et sett av parametre for ulike atomtyper utgjør et kraftfelt (force field) Molekylmekanikk - repetisjon p.3/49
4 Kraftfeltenergien Energien er gitt som en sum E FF = E str + E bend + E tors + E vdw + E el + E cross (1) E str, E bend og E tors svarer til strekk, bøy og vridning av molekylet E cross er kryssledd mellom de disse tre E vdw og E el er vekselvirkninger mellom atomer ikke direkte bundet til hverandre Molekylmekanikk - repetisjon p.4/49
5 Modeller Kvadratisk, kubisk, kvartisk modell (Taylor-ekspansjon) for bindingsstrekk Tilsvarende for bøying av vinkler Fourier-serie for diedervinkler (torsjon/vridning) Lennard Jones, Morse eller Hill-potensial for van der Waals interaksjon Ladnings- eller dipolmodell for elektrostatiske vekselvirkninger Molekylmekanikk - repetisjon p.5/49
6 Parametrisering Parameterne tilpasses best mulig et sett eksperimentelle data (strukturelle og spektroskopiske) Evt. kvantekjemiske beregninger Minimer funksjon som måler avvik mellom modell og eksperiment Enormt antall unike parametre Må forenkle og bruke kjemisk intuisjon Underbestemt optimeringsproblem Molekylmekanikk - repetisjon p.6/49
7 Energi Den numeriske verdien av E FF har ingen mening i seg selv!! Nullpunkt for de ulike leddene er satt vilkårlig Kan sammenligne konformere med nøyaktig samme atomtyper og bindinger For å sammenligne ulike molekyler må vi beregne dannelsesentalpi H f Må definere H f for hver atomtype Molekylmekanikk - repetisjon p.7/49
8 Anvendelse Velg kraftfelt basert på erfaring med tilsvarende systemer (litteratur) To hovedanvendelser Bestemmelse av strukturer (minima) Bestemmelse av relative energier Viktigste styrke: Store systemer kan behandles Begrenset til systemer som er godt parametrisert Molekylmekanikk - repetisjon p.8/49
9 Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.9/49
10 Oversikt Introduksjon Noen begreper fra statistisk mekanikk Monte Carlo simuleringer Molekyldynamikk Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.10/49
11 Introduksjon Molekyler er dynamiske systemer som vibrerer og roterer, vekselvirker og reagerer Kan aldri ligge helt i ro pga. nullpunktsvibrasjon (Heisenbergs usikkerhetsrelasjon) Reaksjonsdynamikk og kinetikk søker å forklare og forutsi molekylenes oppførsel Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.11/49
12 Introduksjon Beregningsmodellene behandler gjerne ett enkelt eller en håndfull molekyler I et eksperiment har man typisk rundt Avogadros tall ( ) antall molekyler Statistisk mekanikk knytter det mikroskopiske og makroskopiske regime sammen Forbindelse mellom teori og eksperiment Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.12/49
13 Ensembler Stort antall kopier av samme system kalles et ensemble Hver kopi karakterisert av sin tilstand Γ Flere av (evt. alle) systemene kan befinne seg i samme tilstand I et mikro-kanonisk ensemble har alle systemene samme energi E, samme antall partikler N og samme volum V (NV E) I et kanonisk ensemble er antall partikler N, volum V og temperatur T konstant (N V T ) Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.13/49
14 Ergodisk hypotese Den ergodiske hypotesen er en fundamental antagelse i statistisk mekanikk Sier at en tids-midlet makroskopisk egenskap kan bestemmes fra en tilsvarende ensemble-midlet egenskap Forutsetter at man har et representativt ensemble Bevist for gassmodell med harde kuler Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.14/49
15 Partisjonsfunksjonen Kan beregne energien og andre egenskaper for et system i bestemte tilstander (f.eks. geometrier) Avhengig av temperatur vil noen av tilstandene være viktigere enn andre Statistisk mekanikk gir oss nøkkelen gjennom partisjonsfunksjonen Q Q = ( exp E(Γ) ) k B T Γ (2) Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.15/49
16 Partisjonsfunksjonen Q viser hvordan en større samling systemer er distribuert (partisjonert) over tilgjengelige tilstander T = 0 Q = 1 ; T Q (3) Omtrent samme rolle i statistisk mekanikk som bølgefunksjonen har i kvantemekanikken Kjenner man Q, vet man alt om systemet Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.16/49
17 Faserom Et klassisk system er fullstendig beskrevet av posisjonene q og bevegelsesmomentene p for samtlige partikler 6N koordinater, der N er antall partikler Dette koordinatroommet kalles faserommet I faserommet kan Q skrives som et integral ( ) E(q, p) Q = exp dq dp (4) k B T Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.17/49
18 Molekylære egenskaper Egenskaper kan uttrykkes som integral over hele faserommet A = A(q, p)p (q, p) dq dp (5) P er sannsynligheten for at systemet er i en bestemt tilstand ( ) P (q, p) = Q 1 E(q, p) exp (6) k B T Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.18/49
19 Molekylære egenskaper Ligning (5) generelt for kompleks til å løses analytisk Å plukke ut tilfeldige tilstander er også dømt til å mislykkes Mesteparten av faserommet er fullstendig uinteressant Trenger metode for å plukke relevante tilstander (importance sampling) Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.19/49
20 Livet er for kort... Ta et relativt enkelt molekyl som sykloheksan C 6 H 12 Anta at vi kun ønsker å forsøke fem ulike verdier for hver koordinat (posisjon og moment) Dette gir oss 5 6N = tilstander Anta at det kun tar oss 1 ms å beregne energien til en tilstand Total beregningstid blir da omlag år!!! Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.20/49
21 Metoder Generelt to typer metoder Monte Carlo (MC) simuleringer Molekyldynamikk (MD) Skal se litt på styrker og svakheter ved de to metodene Begge har som mål å effektivt besøke de viktigste områdene av faserommet Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.21/49
22 Monte Carlo simuleringer I en Monte Carlo simulering gir man systemet først en initiell konfigurasjon Systemet pertuberes så av tilfeldige endringer f.eks. i geometrien Å plukke tilstander uniformt fra faserommet og vekte resultatet etterpå fungerer imidlertid dårlig Kan man i stedet plukke tilstander med vektet sannsynlighet for så å vekte resultatene uniformt? Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.22/49
23 Metropolis-algoritmen Løsningen kom med Metropolis-algoritmen i 1953 Baserer seg på en Boltzmann-fordeling Alle endringer som reduserer energien til systemet godtas Endringer som øker energien, ( ) godtas med en sannsynlighet lik exp E k B T Forkastes steget, telles forrige tilstand på ny Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.23/49
24 Metropolis-algoritmen For T = 0 vil alle steg som øker energien forkastes Jo høyere temperatur, jo mer sannsynlig er det at økninger i energien godtas Små hopp opp i energi er mer sannsynlig enn store Størrelsen på pertubasjonene må velges fornuftig (dynamisk) Ønsker gjerne at andelen aksepterte steg skal ligge i området 25-50% Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.24/49
25 Monte Carlo simuleringer Metoden som skissert setter opp en såkalt Markov-kjede av tilstander Sannsynligheten for å finne systemet i en gitt tilstand vil etter hvert gå mot en likevektsdistribusjon (Boltzmann) Tilstandene som besøkes utgjør et NV T -ensemble Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.25/49
26 Tilfeldige tall Tilfeldige tall er helt sentrale i MC simuleringer Pertubasjonene Akseptansetest Må ha gode generatorer for tilfeldige tall Lange perioder Ingen korrelasjon Egentlig pseudo-tilfeldig, benytter matematiske funksjoner Gir reproduserbarhet Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.26/49
27 Eksempel Velg et atom i (vilkårlig eller i rekkefølge) Flytt atom i til et vilkårlig punkt i en kube med sider 2 r max α i = α i,0 + r max (2R α 1) ; α = x, y, z (7) (R x, R y og R z er tre tilfeldige tall i [0, 1]) Beregn energien til systemet med denne testgeometrien Hvis E 0 så blir testgeometrien ny geometri Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.27/49
28 Eksempel Hvis E > 0 så aksepteres ( ) testgeometrien med sannsynlighet exp E k B T Trekk et tilfeldig tall R ( ) Hvis R exp E k B aksepeteres forflytningen T ( ) Hvis R > exp E k B så går man tilbake til den T forrige geometrien Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.28/49
29 Monte Carlo simuleringer Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.29/49
30 Monte Carlo simuleringer Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.29/49
31 Monte Carlo simuleringer Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.29/49
32 Monte Carlo simuleringer Energiene beregnes typisk vha. molekylmekanikk Kun energier er nødvendig Kombineres ofte med periodiske randbetingelser Må kjøre en ekvilibreringsperiode først Produksjonskjøringen vil bestå av mange iterasjoner Langsom konvergens av egenskaper, dvs. før middelverdi blir stabil Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.30/49
33 Anvendelse God til strukturelle og mekaniske likevektsegenskaper Energi Trykk Radielle fordelingsfunksjoner Ikke god til Q NV T Tidsavhengige egenskaper Fri energi, entropi Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.31/49
34 Simulated annealing Spesiell variant av MC simulering Temperaturen reduseres langsomt Simulerer svært langsom nedkjøling Kan eventuelt kombineres med perioder av oppvarming Metode for å finne globalt minimum (likevektsgeometri) for større systemer Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.32/49
35 Molekyldynamikk Mens MC drives av tilfeldige pertubasjoner, driver et MD system essensielt seg selv Posisjoner og hastigheter oppdateres basert på kreftene som virker på atomene Newtons andre lov m q = F(q) = V (q) (7) forutsatt at det ikke er eksterne felt, er kreftene lik den negative gradienten til potensialet Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.33/49
36 Molekyldynamikk 1. Sett opp initialbetingelser (sampling) 2. Beregn kreftene som virker på samtlige partikler 3. Oppdater tid, posisjoner og hastigheter 4. Beregn molekylære egenskaper 5. Gå til 2., med mindre konvergens/termineringskrav er oppfylt 6. Beregn tidsmidddel av egenskap (= midlere egenskap for ensemblet) Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.34/49
37 Molekyldynamikk Krever energier og krefter Eksplisitt tidsvariabel (i motsetning til MC) Flere størrelser skal være bevart, god kvalitetssjekk Bevaring av energi Bevaring av moment (ofte 0) Bevaring av angulærmoment NV E ensemble Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.35/49
38 Trajektorier Resultatet av en slik beregning er en klassisk trajektorie Sammenhengende serie punkter som snor seg gjennom faserommet Fullstendig deterministisk Tidsreversibel Kan ikke krysse seg selv eller andre trajektorier Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.36/49
39 Trajektorier Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.37/49
40 Trajektorier Enkleste metode for propagering er Eulers metode Posisjon og moment for hver partikkel oppdaters ved q(t + t) = q(t) + p(t) m t p(t + t) = p(t) + ma(t) t Metoden fungerer meget dårlig i praksis Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.38/49
41 Trajektorier Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.39/49
42 Steglengde ( t) Balanse mellom nøyaktighet og tidsforbruk Bør velges 1-2 strørrelsesordener mindre enn korteste vibrasjonsperiode (typisk H-X) Gir maksimal steglengde på omlag 0.1 fs ( s) Trajektorier kan kjøres opptil flere nanosekunder Kan fryse frihetsgrader (SHAKE) Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.40/49
43 Verlet-algoritmen Verlet-algoritmen er en av de mest brukte MD integratorene: v(t t) = v(t) + F(t) m 1 2 t q(t + t) = q(t) + v(t + 1 t) t 2 v(t + t) = v(t + 1 F(t + t) t) + 2 m 1 2 t Moderat energibevaring, men ingen/minimal drift over lang tid Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.41/49
44 Integrasjon Det finnes en rekke andre integratorer som er mer nøyaktig, evt. som kan ta lengre steg Enkelte beregner krefter et antall ganger for hver iterasjon (Runge Kutta) Andre benytter høyere ordens deriverte (Gear predictor-corrector) Mange av disse metodene får problemer med drift i energien ved svært lange integrasjoner Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.42/49
45 Autokorrelasjon Tidsavhengige autokorrelasjons-funksjoner kan defineres C(t) = A(t 0 )A(t 0 + t) t0 (5) Måler i hvilken grad verdien av A ved et tidspunkt påvirker verdien ved et senere tidspunkt C(t) henfaller med en tid som er karakteristisk for egenskapen A Antyder hvor lenge en simulering bør kjøres Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.43/49
46 Nosé Hoover dynamikk MD trajektorier er i utgangspunktet mikro-kanoniske (N V E) Nosé Hoover dynamikk: Temperatur kan holdes konstant ved å koble til eksternt varmebad (NV T ) Temperatur og trykk holdes konstant ved å koble til ekstern trykktermostat (NP T ) Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.44/49
47 Anvendelser Både MC og MD benyttes først og fremst i kombinasjon med molekylmekanikk-modeller Energier og krefter bestemmes hurtig, kan behandle store systemer Hovedanvendelser er bestemmelse av strukturelle og termodynamiske egenskaper Molekylmekanikk har som vi vet problemer med å beskrive bindingsbrudd/dannelse og andre elektroniske effekter Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.45/49
48 Anvendelser Lokalisering av minima Kollisjoner (energioverføring) Radielle fordelingsfunksjoner Diffusjonskoeffisienter (posisjon og hastighet autokorrelasjon) Protein-folding Krystaller Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.46/49
49 Sammenligning MD og MC Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.47/49
50 Sammenligning MD og MC Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.48/49
51 Sammenligning MD og MC MD MC Tidsutvikling Tidsavhengige egenskaper Fysiske forflytninger Lett å sjekke konsistens Generelt langsommere Ingen tidsskala Kun likevektsegenskaper Kunstige forflytninger Vanskelig å sjekke konsistens Generelt raskere Konklusjon: Bruk MD om mulig Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk p.49/49
KJM Molekylmodellering. Molekylmekanikk - repetisjon. Kraftfeltenergien. Klassisk modell
KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO Molekylmekanikk - repetisjon KJM3600 - Molekylmodellering p.1/49 Molekylmekanikk - repetisjon p.2/49 Klassisk modell Kraftfeltenergien
DetaljerKJM Molekylmodellering. Molekylmekanikk. Oversikt. Introduksjon
KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO Molekylmekanikk KJM3600 - Molekylmodellering p.1/50 Molekylmekanikk p.2/50 Oversikt Introduksjon Detaljert beskrivelse av kraftfeltmetoder
DetaljerKJM Molekylmodellering. Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk - repetisjon. Statistisk mekanikk
KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk - repetisjon KJM3600 - Molekylmodellering p.1/50 Monte Carlo simuleringer og molekyldynamikk
DetaljerKJM Molekylmodellering
KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO KJM3600 - Molekylmodellering p.1/50 Molekylmekanikk Molekylmekanikk p.2/50 Oversikt Introduksjon Detaljert beskrivelse av kraftfeltmetoder
DetaljerKJM Molekylmodellering. Introduksjon. Molekylmodellering. Molekylmodellering
KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO Introduksjon Våren 2004 KJM3600 - Molekylmodellering p.1/507 Introduksjon p.2/507 Molekylmodellering Molekylmodellering Flere navn på
DetaljerKJM Molekylmodellering. Korrelerte metoder - repetisjon. Korrelerte metoder
KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO Korrelerte metoder - repetisjon 29. mars 2004 KJM3600 - Molekylmodellering p.1/30 Korrelerte metoder - repetisjon p.2/30 Korrelerte metoder
DetaljerKJM Molekylmodellering. Introduksjon. Molekylmodellering. Molekylmodellering
KJM3600 - Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO Introduksjon KJM3600 - p.1/29 Introduksjon p.2/29 Flere navn på moderne teoretisk kjemi: Theoretical chemistry (teoretisk kjemi) Quantum chemistry (kvantekjemi)
DetaljerKJM Molekylmodellering
KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO KJM3600 - Molekylmodellering p.1/29 Introduksjon Introduksjon p.2/29 Introduksjon p.3/29 Molekylmodellering Flere navn på moderne teoretisk
DetaljerIntroduction to thermal physics - Short course in thermodynamics
Introduction to thermal physics - Short course in thermodynamics Anders Malthe-Sørenssen 19. august 2013 1 1 Introduction Vi ønsker å forstå makroskopiske objekter basert på de mikroskopiske vekselvirkningene.
DetaljerTeoretisk kjemi. Trygve Helgaker. Centre for Theoretical and Computational Chemistry. Kjemisk institutt, Universitetet i Oslo. Onsdag 13.
1 Teoretisk kjemi Trygve Helgaker Centre for Theoretical and Computational Chemistry Kjemisk institutt, Universitetet i Oslo Onsdag 13. august 2008 2 Kjemi er komplisert! Kjemi er utrolig variert og utrolig
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE I FYS-2001
Side 1 of 7 EKSAMENSOPPGAVE I FYS-001 Eksamen i : Fys-001 Statistisk fysikk og termodynamikk Eksamensdato : Onsdag 5. desember 01 Tid : kl. 09.00 13.00 Sted : Adm.bygget, B154 Tillatte hjelpemidler: K.
DetaljerKJM Molekylmodellering. Molekylorbitalteori - repetisjon. Variasjonsprinsippet. Kvantemekanikk. systemet
KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO Molekylorbitalteori - repetisjon KJM3600 - Molekylmodellering p1/48 Molekylorbitalteori - repetisjon p2/48 Bølgefunksjonen systemet Kvantemekanikk
DetaljerKJM Molekylmodellering. Molekyler i løsning. Introduksjon. Introduksjon
KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO Molekyler i løsning 24. mai 2004 KJM3600 - Molekylmodellering p.1/41 Molekyler i lsning p.2/41 Introduksjon Solvatisering Reaksjoner i
DetaljerProsjekt 2 - Introduksjon til Vitenskapelige Beregninger
Prosjekt - Introduksjon til Vitenskapelige Beregninger Studentnr: 755, 759 og 7577 Mars 6 Oppgave Feltlinjene for en kvadrupol med positive punktladninger Q lang x-aksen i x = ±r og negative punktladninger
DetaljerOppgave 2 Molekylmekanikk
Oppgave 2 Molekylmekanikk KJM3600 Molekylmodellering Vår 2004 Introduksjon I denne oppgaven skal vi benytte molekylmekanikk til å gjøre en kvalitativ undersøkelse av interaksjonsenergien i to basepar-komplekser,
DetaljerTFY Løsning øving 4 1 LØSNING ØVING 4. Vibrerende to-partikkelsystem
TFY45 - Løsning øving 4 Løsning oppgave 3 LØSNING ØVING 4 Vibrerende to-partikkelsystem a. Vi kontrollerer først at kreftene på de to massene kommer ut som annonsert: F V V k(x l) og F V V k(x l), som
DetaljerTFY Løsning øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Krumning og stykkevis konstante potensialer
TFY4215 - Løsning øving 5 1 Løsning oppgave 16 LØSNING ØVING 5 Krumning og stykkevis konstante potensialer a. I et område hvor V er konstant (lik V 1 ), og E V 1 er positiv (slik at området er klassisk
DetaljerEnkel introduksjon til kvantemekanikken
Kapittel Enkel introduksjon til kvantemekanikken. Kort oppsummering. Elektromagnetiske bølger med bølgelengde og frekvens f opptrer også som partikler eller fotoner med energi E = hf, der h er Plancks
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Tirsdag 9. desember 2003
NTNU Side 1av7 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Dette løsningsforslaget er på 7 sider. Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk Tirsdag 9. desember 003 Oppgave 1. a) Amplituden
DetaljerFY1006/TFY Løsning øving 9 1 LØSNING ØVING 9
FY1006/TFY415 - Løsning øving 9 1 Løsning oppgave Numerisk løsning av den tidsuavhengige Schrödingerligningen LØSNING ØVING 9 a. Alle leddene i (1) har selvsagt samme dimensjon. Ved å dividere ligningen
DetaljerFY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 2 1 LØSNING ØVING 2
FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 2 1 LØSNING ØVING 2 Oppgave 2 1 LØSNING nesten en posisjonsegentilstand a Siden den Gaussiske sannsynlighetstettheten ψ(x) 2 = 2β/π exp( 2β(x a) 2 ) symmetrisk
DetaljerVELKOMMEN TIL INTERNATIONAL MASTERCLASSES 2017 FYSISK INSTITUTT, UNIVERSITETET I OSLO
VELKOMMEN TIL INTERNATIONAL MASTERCLASSES 2017 FYSISK INSTITUTT, UNIVERSITETET I OSLO SOSIALE MEDIA facebook/fysikk fysikkunioslo @fysikkunioslo Fysikk_UniOslo INTRODUKSJON TIL PARTIKKELFYSIKK INTERNATIONAL
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: Fys216 Eksamensdag: Tirsdag 8. desember 215 Tid for eksamen: 143 183 Oppgavesettet er på: 4 sider Vedlegg: ingen Tilatte hjelpemidler
DetaljerKollokvium 4 Grunnlaget for Schrödingerligningen
Kollokvium 4 Grunnlaget for Scrödingerligningen 10. februar 2016 I dette kollokviet skal vi se litt på grunnlaget for Scrödingerligningen, og på når den er relevant. Den første oppgaven er en diskusjonsoppgave
DetaljerKJ1042 Grunnleggende termodynamikk med laboratorium. Eksamen vår 2013 Løsninger
Side 1 av 6 KJ1042 Grunnleggende termodynamikk med laboratorium. Eksamen vår 2013 Løsninger Oppgave 1 a) Termodynamikkens tredje lov kan formuleres slik: «Entropien for et rent stoff i perfekt krystallinsk
DetaljerAtomfysikk og kausallov
Werner Heisenberg: (1901-1976) Atomfysikk og kausallov Foredrag i Sveits 12. 2. 1952 Gjennomgang av originalartikkel oktober 2007 for ExPhil ved UiO Arnt Inge Vistnes http://folk.uio.no/arntvi/ Bakgrunn:
Detaljer- Kinetisk og potensiell energi Kinetisk energi: Bevegelses energi. Kinetiske energi er avhengig av masse og fart. E kin = ½ mv 2
Kapittel 6 Termokjemi (repetisjon 1 23.10.03) 1. Energi - Definisjon Energi: Evnen til å utføre arbeid eller produsere varme Energi kan ikke bli dannet eller ødelagt, bare overført mellom ulike former
DetaljerEksamen i TFY4170 Fysikk 2 Mandag 12. desember :00 18:00
NTNU Side 1 av 5 Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Professor Arne Brataas Telefon: 73593647 Eksamen i TFY417 Fysikk Mandag 1. desember 5 15: 18: Tillatte hjelpemidler: Alternativ C Godkjent
DetaljerFYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2014
FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2014 18. mars 2014 Viktig info: Merk besvarelsen med kandidatnummer, ikke navn! Innleveringsfrist fredag 28. mars kl. 14.30 i skranken på ekspedisjonskontoret. (Ikke oblighylla!)
DetaljerKJM3600 - Molekylmodellering. Hartree Fock - repetisjon. Hartree Fock. Hartree Fock
KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO Hartree Fock - repetisjon 23. februar 2004 KJM3600 - Molekylmodellering p.1/49 Hartree Fock - repetisjon p.2/49 Hartree Fock Hartree Fock
DetaljerAST1010 En kosmisk reise. Forelesning 4: Fysikken i astrofysikk, del 1
AST1010 En kosmisk reise Forelesning 4: Fysikken i astrofysikk, del 1 Innhold Mekanikk Termodynamikk Elektrisitet og magnetisme Elektromagnetiske bølger Mekanikk Newtons bevegelseslover Et legeme som ikke
DetaljerKJM Molekylmodellering. Semi-empiriske metoder - repetisjon. Generell ytelse
KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO Semi-empiriske metoder - repetisjon 8. mars 2004 KJM3600 - Molekylmodellering p.1/47 Semi-empiriske metoder - repetisjon p.2/47 Generell
DetaljerHeuristisk søk 1. Prinsipper og metoder
Heuristisk søk Prinsipper og metoder Oversikt Kombinatorisk optimering Lokalt søk og simulert størkning Populasjonsbasert søk Traveling sales person (TSP) Tromsø Bergen Stavanger Trondheim Oppdal Oslo
DetaljerFYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014
FYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014 Oppgave 1 (4 poeng) Forklar hvorfor Charles Blondin tok med seg en lang og fleksibel stang når han balanserte på stram line over Niagara fossen i 1859. Han
DetaljerEKSAMEN I FAG SIF4065 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fakultet for naturvitenskap og teknologi 13. august 2002 Tid:
Side 1 av 5 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Ola Hunderi Tlf.: 93411 EKSAMEN I FAG SIF465 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK Fakultet for naturvitenskap
DetaljerDette gir ingen informasjon om hvor en nukleofil vil angripe.
FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Våren 2016 Molekylfysikk Løsningsforslag til Øving 13 S N 2-reaksjon. 2. a) Flate med konstant elektrontetthet for molekylet ClC3: Dette gir ingen informasjon om
DetaljerMNF, UiO 24 mars Trygve Helgaker Kjemisk institutt, Universitetet i Oslo
MNF, UiO 24 mars 2014 Trygve Helgaker Kjemisk institutt, Universitetet i Oslo Kjemi: et mangepar.kkelproblem Molekyler er enkle: ladete partikler i bevegelse styrt av kvantemekanikkens lover HΨ=EΨ men
DetaljerKJ1042 Øving 3: Varme, arbeid og termodynamikkens første lov
KJ1042 Øving 3: arme, arbeid og termodynamikkens første lov Ove Øyås Sist endret: 17. mai 2011 Repetisjonsspørsmål 1. Hvordan ser Ideell gasslov ut? Ideell gasslov kan skrives P nrt der P er trykket, volumet,
DetaljerIntroduksjon til partikkelfysikk. Trygve Buanes
Introduksjon til partikkelfysikk Trygve Buanes Tidlighistorie Fundamentale byggestener gjennom historien De første partiklene 1897 Thomson oppdager elektronet 1919 Rutherford oppdager protonet 1929 Skobeltsyn
DetaljerEirik Gramstad (UiO) 2
Program 2 PARTIKKELFYSIKK Læren om universets minste byggesteiner 3 Vi skal lære om partikkelfysikk og hvordan vi kan forstå universet basert på helt fundamentale byggesteiner med ny kunnskap om hvordan
DetaljerExperiment Norwegian (Norway) Hoppende frø - En modell for faseoverganger og ustabilitet (10 poeng)
Q2-1 Hoppende frø - En modell for faseoverganger og ustabilitet (10 poeng) Vennligst les de generelle instruksjonene som ligger i egen konvolutt, før du begynner på denne oppgaven. Introduksjon Faseoverganger
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: KJM1060 Struktur og spektroskopi Eksamensdag: 14 oktober 2004 Tid for eksamen: kl. 15:00 17:00 Oppgavesettet er på 2sider.
DetaljerLøsningsforslag Eksamen i Fys-mek1110 våren 2010
Side av Løsningsforslag Eksamen i Fys-mek våren Oppgave (Denne oppgaven teller dobbelt) Ole og Mari vil prøve om lengdekontraksjon virkelig finner sted. Mari setter seg i sitt romskip og kjører forbi Ole,
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 11. august 2010 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk
Eksamen FY1006/TFY4215 11 august 2010 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 11 august 2010 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk a Siden potensialet V (x) er symmetrisk med hensyn på
DetaljerAtomfysikk og kausallov
Werner Heisenberg: (1901-1976) Atomfysikk og kausallov Foredrag i Sveits 12. 2. 1952 Gjennomgang av originalartikkel oktober 2008 for ExPhil ved UiO Arnt Inge Vistnes http://folk.uio.no/arntvi/ Bakgrunn:
DetaljerAtomfysikk og kausallov
Werner Heisenberg: (1901-1976) Atomfysikk og kausallov Foredrag i Sveits 12. 2. 1952 Gjennomgang av originalartikkel for ExPhil ved UiO Arnt Inge Vistnes http://folk.uio.no/arntvi/ Bakgrunn: Heisenberg
DetaljerOppgaver og fasit til seksjon
1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.1-3.3 Oppgaver til seksjon 3.1 1. Regn ut a b når a) a = ( 1, 3, 2) b = ( 2, 1, 7) b) a = (4, 3, 1) b = ( 6, 1, 0) 2. Finn arealet til parallellogrammet utspent av a =
DetaljerSimulerings-eksperiment - Fysikk/Matematikk
Simulerings-eksperiment - Fysikk/Matematikk Tidligere dette semesteret er det gjennomført et såkalt Tracker-eksperiment i fysikk ved UiA. Her sammenlignes data fra et kast-eksperiment med data fra en tilhørende
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Side av 5 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK Eksamensdag: Onsdag. juni 2 Tid for eksamen: Kl. 9-3 Oppgavesettet er på 5 sider + formelark Tillatte hjelpemidler:
DetaljerKan vi lære litt kvantefysikk ved å lytte til noen lydprøver? Arnt Inge Vistnes Fysisk institutt, UiO
Kan vi lære litt kvantefysikk ved å lytte til noen lydprøver? Arnt Inge Vistnes Fysisk institutt, UiO La oss starte med lyttingen... Vi spiller fire ulike lydprøver. Oppgaven er å bestemme tonehøyden.
DetaljerTFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 1 1 LØSNING ØVING 1
TFY425 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving Løsning oppgave a. LØSNING ØVING Vi merker oss at sannsynlighetstettheten, Ψ(x, t) 2 = A 2 e 2λ x, er symmetrisk med hensyn på origo. For normeringsintegralet
DetaljerLøsningsforslag for FYS2140 Kvantefysikk, Mandag 3. juni 2019
Løsningsforslag for FYS210 Kvantefysikk, Mandag 3. juni 201 Oppgave 1: Stern-Gerlach-eksperimentet og atomet Stern-Gerlach-eksperimentet fra 122 var ment å teste Bohrs atommodell om at angulærmomentet
DetaljerObligatorisk oppgave nr 4 FYS Lars Kristian Henriksen UiO
Obligatorisk oppgave nr 4 FYS-13 Lars Kristian Henriksen UiO. februar 15 Oppgave 1 Vi betrakter bølgefunksjonen Ψ(x, t) Ae λ x e iωt hvor A, λ og ω er positive reelle konstanter. a) Finn normaliseringen
DetaljerA.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander
TFY4250/FY2045 Tillegg 4 - Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander 1 Tillegg 4: A.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander a. Stasjonære tilstander (Hemmer p 26, Griffiths p 21) Vi har i TFY4215 (se
DetaljerOppgave 2 Vi ser på et éndimensjonalt system hvor en av de stasjonære tilstandene ψ(x) er gitt som { 0 for x < 0, ψ(x) = Ne ax (1 e ax (1)
Oppgave Gjør kort rede for hva den fotoelektriske effekt er, hva slags konklusjoner man kunne trekke fra observasjoner av denne i kvantefysikkens fødsel, og beskriv et eksperiment som kan observere og
DetaljerFra harmoni til kaos
Fra harmoni til kaos Prosjektoppgave FYS2130 Vår 2018 Innleveringsfrist: Mandag, 07/05-2018, 09:00 CEST L. B. N. Clausen Om prosjektet og rapporten Vi ønsker at arbeidet med prosjektoppgaven gir deg økt
DetaljerLHC girer opp er det noe mørk materie i sikte?
LHC girer opp er det noe mørk materie i sikte? Faglig pedagogisk dag 29. oktober 2015 Oversikt Partikkelfysikkteori Standardmodellen Mørk materie Mørk materie og partikkelfysikk Hvordan se etter mørk materie?
DetaljerOverflateladningstetthet på metalloverflate
0.0.08: Rettet opp feil i oppgave 4 og løsningsforslag til oppgave 8b. Overflateladningstetthet på metalloverflate. Ei metallkule med diameter 0.0 m har ei netto ladning på 0.50 nc. Hvor stort er det elektriske
DetaljerKvantemekanikk på datamaskiner: kjemiens nye verktøy
Kvantemekanikk på datamaskiner: kjemiens nye verktøy Trygve Helgaker Kjemisk institutt, Universitetet i Oslo Åpen dag, 10. mars 2011 Trygve Helgaker (Kjemisk institutt, UiO) Kvantemekanikk på datamaskiner
DetaljerEksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Tid:
Side 1 av 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Myrheim Telefon: 73 59 36 53 (mobil 90 07 51 72) Sensurfrist: Tirsdag 12. juni 2007
DetaljerFY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 2 1 ØVING 2. nesten en posisjonsegentilstand
FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, 2012 - øving 2 1 Oppgave 2 1 ØVING 2 nesten en posisjonsegentilstand Vi har sett at en posisjon ikke kan måles med en usikkerhet som er eksakt lik null. Derimot er det
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: Fys2160 Eksamensdag: Mandag 5. desember 2016 Tid for eksamen: 1430 1830 Oppgavesettet er på: 5 sider Vedlegg: ingen Tilatte hjelpemidler
DetaljerKJM-MEF Modul 3 Kvantekjemiske metoder
KJM-MEF 4010 - Modul 3 Kvantekjemiske metoder Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO 26. august 2004 KJM-MEF 4010 - Modul 3 Kvantekjemiske metoder p.1/48 Introduksjon Introduksjon p.2/48 Introduksjon p.3/48
Detaljer7 Rayleigh-Ritz metode
7 Rayleigh-Ritz metode Innhold: Diskretisering Rayleigh-Ritz metode Essensielle og naturlige randbetingelser Nøyaktighet Hermittiske polynomer Litteratur: Cook & Young, Advanced Mechanics of Materials,
DetaljerKJM Molekylmodellering
KJM3600 - Molekylmodellering Vebjørn Bakken Kjemisk institutt, UiO 8. mars 2004 KJM3600 - Molekylmodellering p.1/47 Semi-empiriske metoder - repetisjon Semi-empiriske metoder - repetisjon p.2/47 Generell
DetaljerFYSMEK1110 Eksamensverksted 31. Mai 2017 (basert på eksamen 2004, 2013, 2014, 2015,)
YSMEK1110 Eksamensverksted 31. Mai 2017 (basert på eksamen 2004, 2013, 2014, 2015,) Oppgave 1 (2014), 10 poeng To koordinatsystemer og er orientert slik at tilsvarende akser peker i samme retning. System
DetaljerEksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Fredag 30. mai 2008 Tid: a 0 = 4πǫ 0 h 2 /(e 2 m e ) = 5, m
Side av 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Myrheim Telefon: 73 59 36 53 (mobil 90 07 5 7 Sensurfrist: Fredag 0 juni 008 Eksamen
DetaljerKvantemekanikk på datamaskiner: kjemiens nye verktøy
Kvantemekanikk på datamaskiner: kjemiens nye verktøy Trygve Helgaker Kjemisk institutt, Universitetet i Oslo CTCC-seminar, 4. februar 2011 Trygve Helgaker (Kjemisk institutt, UiO) Kvantemekanikk på datamaskiner
DetaljerFysikkmotorer. Andreas Nakkerud. 9. mars Åpen Sone for Eksperimentell Informatikk
Åpen Sone for Eksperimentell Informatikk 9. mars 2012 Vektorer: posisjon og hastighet Posisjon og hastighet er gitt ved ( ) x r = y Ved konstant hastighet har vi som gir likningene v= r = r 0 + v t x =
DetaljerBrownske bevegelser. Nicolai Kristen Solheim
Brownske bevegelser Nicolai Kristen Solheim Abstract Med denne oppgaven ønsker vi å lære grunnleggende statistisk fysikk, mikroskopi, avbilding og billedanalyse. Vi blir her introdusert til den mikroskopiske
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i SIF4022 Fysikk 2 Tirsdag 3. desember 2002
NTNU Side 1 av 6 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Løsningsforslag til eksamen i SIF40 Fysikk Tirsdag 3. desember 00 Dette løsningsforslaget er på 6 sider. Oppgave 1. a) Amplituden
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 16. august 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Eksamen TFY415 16. august 008 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 (Teller 34 %) Løsningsforslag Eksamen 16. august 008 TFY415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Siden potensialet V () er symmetrisk, er grunntilstanden
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i KJM600 Fysikalisk kjemi II kvantekjemi og spektroskopi Eksamensdag: Onsdag 7. juni, 017 Tid for eksamen: 14:30 18:30 Oppgavesettet
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk
Eksamen TFY4215 7. august 2006 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Bundne tilstander i et symmetrisk éndimensjonalt potensial
DetaljerEKSAMEN I TMA4300 BEREGNINGSKREVENDE STATISTIKK Torsdag 16 Mai, 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 5 Kontakt: Jo Eidsvik 9747 EKSAMEN I TMA43 BEREGNINGSKREVENDE STATISTIKK Torsdag 6 Mai, 3 Tilatte hjelpemiddel: Gult
DetaljerLandskonferansen om fysikkundervisning, Gol, 11.8.08. Hva er fysikk? Fysikk som fag og forskningsfelt i det 21. århundre. Gaute T.
Landskonferansen om fysikkundervisning, Gol, 11.8.08 Hva er fysikk? Fysikk som fag og forskningsfelt i det 21. århundre Gaute T. Einevoll Universitetet for miljø- og biovitenskap (UMB), Ås Gaute.Einevoll@umb.no,
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TEP4145 KLASSISK MEKANIKK Mandag 21. mai 2007 kl Løsningsforslaget er på i alt 9 sider.
NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR ENERGI- OG PROSESSTEKNIKK Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TEP4145
DetaljerS N 2-reaksjon. Dette gir ingen informasjon om hvor en nukleofil vil angripe.
FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Våren 2012 Kjemisk fysikk Løsningsforslag til Øving 2 S N 2-reaksjon. 2. a) Flate med konstant elektrontetthet for molekylet ClCH 3 : Dette gir ingen informasjon
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Side 1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: 16 mars 2016 Tid for eksamen: 15:00 18:00 (3 timer) Oppgavesettet er på 4 sider Vedlegg: Formelark
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Fysikk 2 Lørdag 8. august 2005
NTNU Side 1 av 5 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk Fysikk Lørdag 8. august 005 Merk: Hver del-oppgave teller like mye. Dette løsningsforslaget
DetaljerLøysingsframlegg Eksamen TFY 4230 Statistisk Fysikk onsdag 17/
Løysingsframlegg Eksamen TFY 423 Statistisk Fysikk onsdag 7/2-28 August 9, 29 Oppgåve a) D er diffusjonskonstanten. Dette er ein materialkonstant som avheng av løysemiddelet og substansen som er løyst.
DetaljerImpuls, bevegelsesmengde, energi. Bevaringslover.
Impuls, bevegelsesmengde, energi. Bevaringslover. Kathrin Flisnes 19. september 2007 Bevegelsesmengde ( massefart ) Når et legeme har masse og hastighet, viser det seg fornuftig å definere legemets bevegelsesmengde
DetaljerDifferensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning
Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MAT-INF1100 Differensiallikninger i MAT-INF1100 Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Mandag 6. desember 21. Tid for eksamen: 9: 13:. Oppgavesettet er på 5 sider.
DetaljerEKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Onsdag 30. mai 2007 kl
NORSK TEKST Side av 3 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 97355 EKSAMEN I FY45 KVANTEFYSIKK Onsdag 3.
DetaljerTFY Løsning øving 6 1 LØSNING ØVING 6. Grunntilstanden i hydrogenlignende atom
TFY45 - Løsning øving 6 Løsning oppgave 8 LØSNING ØVING 6 Grunntilstanden i hydrogenlignende atom a. Vi merker oss først at vinkelderivasjonene i Laplace-operatoren gir null bidrag til ψ, siden ψ(r) ikke
DetaljerFYS1120 Elektromagnetisme
Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Universitetet i Oslo FYS112 Elektromagnetisme Løsningsforslag til ukesoppgave 2 Oppgave 1 a) Gauss lov sier at den elektriske fluksen Φ er lik den totale ladningen
DetaljerMål og innhold i Matte 1
Mål og innhold i Institutt for matematiske fag 1. november 2013 Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise hva
DetaljerFY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 8 1 LØSNING ØVING 8
FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, løsning øving 8 1 Løsning oppgave 8 1 LØSNING ØVING 8 Koherente tilstander for harmonisk oscillator a. Utviklingen (3) er en superposisjon av stasjonære tilstander for oscillatoren,
DetaljerViktig informasjon. Taylorrekker
Viktig informasjon MAT-IN1105 - Programmering, modellering og beregninger Fredag 15 desember 2017 Kl09:00-13:00 (4 timer) Tillatte hjelpemiddel: Formelsamling (deles ut på eksamen), Gyldig kalkulator I
DetaljerOppgave 1A.8: En forenklet kode for stjernedannelse
Oppgave 1A.8: En forenklet kode for stjernedannelse D. Vader Institute of Theoretical Astrophysics, University of Oslo, P.O. Box 1029 Blindern, 0315 Oslo, Galactic Empire dvader@astro.uio.galemp Sammendrag
DetaljerLøsningsforslag til øving 5
FY1001/TFY4145 Mekanisk fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 011. Løsningsforslag til øving 5 Oppgave 1 a) Energibevarelse E A = E B gir U A + K A = U B + K B Innsetting av r = L x i ligningen gir
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TFY4230 STATISTISK FYSIKK Tirsdag 9. aug 2011
NTNU Side 1 av 5 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Dette løsningsforslaget er på 5 sider. Løsningsforslag til eksamen i TFY430 STATISTISK FYSIKK Tirsdag 9. aug 011 Oppgave 1.
DetaljerSammendrag, uke 13 (30. mars)
nstitutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2005 Sammendrag, uke 13 (30. mars) Likestrømkretser [FGT 27; YF 26; TM 25; AF 24.7; LHL 22] Eksempel: lommelykt + a d b c + m Spenningskilde
Detaljer8 Kontinuumsmekanikk og elastisitetsteori
8 Kontinuumsmekanikk og elastisitetsteori Innhold: Kontinuumsmekanikk Elastisitetsteori kontra klassisk fasthetslære Litteratur: Cook & Young, Advanced Mechanics of Materials, kap. 1.1 og 7.3 Irgens, Statikk,
Detaljer1 I mengdeteori er kontinuumshypotesen en antakelse om at det ikke eksisterer en mengde som
Forelesning 12/3 2019 ved Karsten Trulsen Fluid- og kontinuumsmekanikk Som eksempel på anvendelse av vektor feltteori og flervariabel kalkulus, og som illustrasjon av begrepene vi har gått igjennom så
DetaljerKJ1042 Øving 5: Entalpi og entropi
KJ1042 Øving 5: Entalpi og entropi Ove Øyås Sist endret: 17. mai 2011 Repetisjonsspørsmål 1. Hva er varmekapasitet og hva er forskjellen på C P og C? armekapasiteten til et stoff er en målbar fysisk størrelse
DetaljerUniversity of Oslo. Department of Physics. FYS 3710 Høsten EPR spektroskopi. EPR-Labotratory
EPR-Labotratory FYS 3710 Høsten 2010 EPR spektroskopi Department of Physics EPR Electron Paramagnetic Resonance (alt. ESR Electron Spin Resonance) NMR spektroskopi for alle molekyler er bare avhengig av
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Side 1 av 4 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK1110 Eksamensdag: Onsdag 6. juni 2012 Tid for eksamen: Kl. 0900-1300 Oppgavesettet er på 4 sider + formelark
DetaljerAtommodeller i et historisk perspektiv
Demokrit -470 til -360 Dalton 1776-1844 Rutherford 1871-1937 Bohr 1885-1962 Schrödinger 1887-1961 Atommodeller i et historisk perspektiv Bjørn Pedersen Kjemisk institutt, UiO 31 mai 2007 1 Eleven skal
Detaljer