Beegelse i én dimensjon () 5..6 Daa-lab i dag: Hjelp med Pyhon / Malab insallasjon Førse skri Oblig er lag u: hp://www.uio.no/sudier/emner/mana/fys/fys-mek/6/maeriale/maeriale6.hml Innleeringsfris: Tirsdag, 9. Februar, kl.8. Innleering ia hps://deilry.ifi.uio.no FYS-MEK 5..6
Beegelsesligninger Vi sarer fra definisjonen a akselerasjonen: a( ) d d a( ) d d d d ( ) () ( ) a( ) d Vi inegrerer hasigheen for å finne posisjonen: ( ) d dx d x( ) d x( ) x() ( ) dx d x d x a d ( ) ( ) d x( ) x a( ) d d Vi kan finner hasigheen og posisjonen som funksjon a iden dersom i kjenner akselerasjonen a() og iniialbeingelsene og x. Inegrasjon uføres analyisk eller numerisk. FYS-MEK 5..6
hp://pingo.upb.de/ access number: 8989 Du kaser en ball oppoer med iniial hasighe. Eer å ha nådd si høyese punk faller ballen ned igjen. I de høyese punke er akselerasjonen posii null negai y FYS-MEK 5..6 3
hp://pingo.upb.de/ access number: 8989 Du kaser en ball oppoer med iniial hasighe. Ballen bruker en id for å nå si høyese punk. His du buker en dobbel so sor hasighe, hor mye id ar de? y FYS-MEK 5..6 4
Generell løsningsmeode Idenifiser: Modeller: Løs: Analyser: Hilke objek beeger seg? Hordan måler i? Definer e koordinasysem. Finn iniialbeingelsene. Finn krefene som påirker objeke. Beskri krefene med en modell. Bruk Newons andre lo for å finne akselerasjonen. Løs beegelsesligningen. d x dx a x,, d d med iniialbeingelser (analyisk eller numerisk). Finn hasighe og posisjon. Er resulaene for x() og () fornufig?. Bruk resulaene for a sare på spørsmåle. Inerpreer resulaene. FYS-MEK 5..6 5
Eksempel: beegelse med konsan akselerasjon Du sår på en klippe og kaser en ball oppoer fra en punk 4 m oer bakken med en hasighe på m/s. Tyngdeakselerasjon er g = 9.8 m/s. a) Ha er maksimale høyden il ballen? b) Hor lang ar de for å reffe bakken? Idenifiser: Hilke objek beeger seg? Hordan måler i? Definer e koordinasysem. Finn iniialbeingelsene. Førs lage i en egning og definere koordinasyseme. Iniialbeingelser: y( ( ) 4 m ) m/s Vi kaser ballen ed iden = s. FYS-MEK 5..6 6
Modeller: Finn krefene som påirker objeke. Beskri krefene med en modell. Bruk Newons andre lo for å finne akselerasjonen. Ballen er påirke a yngdeakselerasjon, som irker nedoer mo bakken og er konsan med g = 9.8 m/s. Vi ser bor fra andre krefer som påirker ballen, f. eks. lufmosand. Vi elger e forenkel modell; resulaene er ilnærminger. a( ) a g 9.8 m/s FYS-MEK 5..6 7
Løs: Løs beegelsesligningen. d x dx a x,, d d med iniialbeingelser (analyisk eller numerisk). Vi må løse differensialligningen: d y d Vi kan bruke resulaene for beegelser med konsan akselerasjon: a g Finn hasighe og posisjon. ( ) a g y ( ) y a y g Du renger ikke å huske de, du kan le finne resulae ed inegrasjon. FYS-MEK 5..6 8
Analyser: Er resulaene for x() og () fornufig?. Bruk resulaene for a sare på spørsmåle. Inerpreer resulaene. Ballen kommer il den høyese punk ed id Ved id er høyden: ( ) g ( ) y( ) y Ha er maksimale høyden il ballen? I de høyese punke må hasigheen ære null. y( ) y g Maemaisk: Funksjonen y() har e eksremerdi for ( ) ( ) g m/s g y y g y( ) g g g dy d y g y ( m/s) ) 4 m 9.8 m/s ( 9. m Den maksimale høyden il ballen er 9. m. FYS-MEK 5..6 9
Hor lang ar de for å reffe bakken? Ballen reffer på bakken (y=) ed id : y( ) y g m y g g Vi må løse en andregradsligning: g g y g m/s 9.8 m/s m/s 9.8 m/s 4m 9.8m/s Vi får o løsninger:.38 s eller.34 s. Vi har sare klokken ed ballkas; bare den posiie løsningen er meningsfyl. Ballen reffer på bakken.38 s eer kasingen. FYS-MEK 5..6
hp://pingo.upb.de/ access number: 8989 Du kaser en ball oppoer med iniial hasighe. Ballen bruker en id for å nå si høyese punk. His du buker en dobbel so sor hasighe, hor mye id ar de? y I de høyese punke er hasigheen null: ( ) a d g FYS-MEK 5..6
Numerisk inegrasjon: Akselerasjon er definer som: a i = lim i + i i + i = a i his er små i + i = a( i ) a( i ) i+ = i + i + a( i ) Gi a i kjenner a() og hasighe ( ), så kan i gå framoer i iden og finner hasighe ed alle ider: Tilsarende finner i posisjonen fra hasigheen: ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) a( ) ( ) a( ) i = lim x i + x i x i + x i = i x i + x i = ( i ) ( i ) x i+ = x i + x i + ( i ) FYS-MEK 5..6
Vi har funne en meode for å finne x() og () his i kjenner: akselerasjonen: a() iniialbeingelser: x( ), ( ) Leonhard Euler (77 783) Euler meode: i+ = i + i + a( i, x i, ( i )) x i+ = x i + x i + ( i ) Vi må bruke små og mange skri for å nå en god presisjon. Vi kan redusere feilen med en lien forbedring: Isedenfor hasigheen i begynnelsen a idsineralle bruke i hasigheen på sluen for å finne posisjonen. Euler-Cromer meode: i+ = i + i + a( i, x i, ( i )) x i+ = x i + x i + ( i+ ) FYS-MEK 5..6 3
Eksempel for numerisk inegrasjon: Du uikler The Rocke, en ny araksjon ed en fornøyelsespark. Du har fese e akseleromeer il en es-ogn for å finne hasigheen og posisjonen. Dee er målingen din: Vi kjenner akselerasjonen a( i ) for i =.s,.s,.s,... Du kjenner iniialbeingelser: The Rocke sarer i ro: x( ) = x = m, ( ) = = m/s [s] a [m/s ]..7..44..67.3 4.4.4 5.65.5 6.95.6 8.4.7 9.74.8..9.64. 4. Vi bruker Euler-Cromer meoden med idsskri =.s: i+ i + a( i ) x i+ x i + ( i+ ) FYS-MEK 5..6 4
ascii fil herocke.da..7..44..67.3 4.4.4 5.65.5 6.95...... arrays : herocke: (n ) marise, a,, x: (n ) mariser allid husk label og enhe FYS-MEK 5..6 5
FYS-MEK 5..6 6
Eksempel: sandkorn i anne E sandkorn synker i ann med akselerasjon a() = a c(), hor a = 6. m/s og c =.8 s -. Hor lang id ar de for å synke fra oerflaen il bunnen på m dybde? iniialbeingelser: x( ( ) x ) s m m/s Vi kjenner akselerasjonen: a( ) a c( ) Vi må løse differensialligningen: d x d a c dx d d d a c FYS-MEK 5..6 7
Numerisk løsning med Euler-Cromer meode: i+ i + a( i ) x i+ x i + ( i+ ) FYS-MEK 5..6 8
Resulaer og inerpreasjon: Sandkorne reffer bunnen eer.53 s. Hasigheen nedoer øker rask og går mo en konsan erdi eerpå. a( ) a c( ) Akselerasjon nedoer blir mindre fordi friksjonen øker med hasighe. Akselerasjonen går mo null. FYS-MEK 5..6 9
The Rocke : Vi kjenner a() for diskree idspunker fra malinger som i leser fra en daafil. Tidsskri er besem fra målingen. Sandkorn i anne: Vi kjenner funksjonen a() fra e modell. Vi må beregner a( i ) for her idsskri. Vi kan elge idsskri. Siden i kjenner funksjonen a(), kan i løse probleme analyisk? FYS-MEK 5..6
d analyisk: a( ) a c( ) d d u a d c a c du cd du u u( ) cd u() du u cd u( ) ln u( ) ln u() ln u() c u( ) u() e c u( ) c a c( ) ( a c) e a e c a c a c c ( ) e () a ( ) T erminalhasighe c FYS-MEK..4
FYS-MEK..4 c T T c e e c a c a ) ( d e d x x c T T ) ( () ) ( d e c T T c T T e c ) ( c T T e c x x ) ( x c x x T Vi har funne en funksjon som beskrier posisjonen, men i kan ikke løse ligningen x() = analyisk. (Vi kunne gjøre de numerisk.)
Generell løsningsmeode Idenifiser: Modeller: Løs: Analyser: Hilke objek beeger seg? Hordan måler i? Definer e koordinasysem. Finn iniialbeingelsene. Finn krefene som påirker objeke. Beskri krefene med en modell. Bruk Newons andre lo for å finne akselerasjonen. Løs beegelsesligningen. d x dx a x,, d d med iniialbeingelser (analyisk eller numerisk). Finn hasighe og posisjon. Er resulaene for x() og () fornufig?. Bruk resulaene for a sare på spørsmåle. Inerpreer resulaene. nese skri: idenifiser krefene krafmodeller Sandkorn i anne: Numerisk løsning er re frem og ikke mer anskelig enn for en beegelse med konsan akselerasjon. Analyisk løsning kreer li maemaikk. FYS-MEK 5..6 3