Side av Løningforlag Ekamen i Fy-mek/Fy-mef våren 7 Oppgave a) En pendel beår av en iv, maelø av av lengde L med en kule med mae m fee i enden. Den andre enden er fee i e frikjonfri hengel. Gjør rede for og egn inn krefene om virker på pendelen når den har e vinkelulag θ fra verikalen. Krefene er illurer på figuren. Krefene er yngdekrafen, w= mg, lufmoanden, L, og de o krefene N og N om virker på angen fra hengele i horional og verikal rening. b) En klo med mae glir på e frikjonfri bord. m Kloen er fee il e lodd med mae m med en maelø nor om løper over en rine uen å gli. Trinen har mae M og radiu R. er krafen fra noren på kloen, og T er krafen fra noren på lodde. Ranger, og w = m g. Begrunn vare. T T T Vi er før a iden kloen ligger på e frikjonfri bord vil den begynne å kli, lik a lodde vil akelerere nedover. Derfor er mg > T. Siden rinen har endelig mae, vil de være krafmomene om rinen enrum om gir rinen den vinkelakelerajon. Spinnaen om maeenere il rinen gir α = RT RT >. Derfor er T T. De gir rangeringen: mg> T > T. > c) Awood fallmakin beår av o lodd fee i en maelø nor om løper over en maelø rine om vi i figuren. Hvordan kan du bruke Awood fallmakin il å måle yngden akelerajon, g? Hvorfor ror du man på Newon id bruke Awood fallmakin il å måle g? La o e hva om kjer når yeme lippe. La krafen fra noren på lodd være og krafen fra noren på lodd være T. Siden rinen er maelø er T T = T = T. Maeeneraen for hver av loddene gir da: ma = T mg ()
og ma = T mg. () Side av Derom noren ikke rekke vil a = a = a. Trekker vi likning () fra likning () får vi: ( m+ m) a= ( m m) g De gir m m a = g m+ m Ved å velge de o maene vær like vil vi derfor få en lien akelerajon om vi kan måle med god preijon elv om vi ikke har veldig preie klokker. Ved å måle akelerajonen og forholde mellom maene kan vi beemme yngden akelerajon med god preijon elv uen preie klokker. d) Vi a for en punkparikkel med mae m og haighe v i poijonen r i forhold il punke P, er krafmomene av de yre krefene om punke P lik den idderivere av pinne, L = r mv. P dlp d dr d = ( r mv) = mv+ r mv = v mv+ r Fi = +τ d d d d e) Bekriv en fyik proe om kan bekrive av likningen: k( y y) + mgy = mgy + mv. Lag en kie av yeme og forklar ymbolene. Likningen kan bekrive en parikkel med mae m om kye u fra en ammenpree fjær med fjærkonan k. Venre ide bekriver den mekanike energien i arpoijonen, hvor høyden il parikkelen er y, og likevekpoijonen il fjæren er y. Høyre ide bekriver den mekanike energien ide parikkelen er i høyden y med faren v. Parikkelen er da ikke lenger i konak med fjæren, lik a fjæren er i likevekpoijonen, og de er ingen mekanik energi lagre i fjæren. Likningen urykker bevaring av mekanik energi. f) Vulkanene Hekla og Krekla er 3 km fra hverandre. Ole om år mid mellom vulkanene er a de bryer u amidig. Mari flyr i romkipe i med faren v=.5c. Hekla bryer u ide Mari paerer den på vei mo Krekla. For Mari, bryer Krekla u før, il amme id, eller eer Hekla? Begrunn vare. Alle obervaører i yeme il Mari vil finne amme idpunke for amme hendele. La o derfor berake en obervaør i Mari yem om befinner eg re over Ole ide hendelene innreffer i Ole yem. Ole vil da obervere a hver ubrudd ender e lyglim mo Ole. Fordi Mari beveger eg mo Krekla, vil lyglime fra Krekla nå Mari før lyglime fra Hekla. Mari vil derfor obervere ubrudde fra Krekla før ubrudde fra Hekla. Siden lyhaigheen er den amme i Mari yem, beyr de a ubrudde ved Krekla innraff før ubrudde ved Hekla i
Mari yem. Side 3 av Vi kan ogå finne amme reula ved Lorenz-ranformajonene. La hendelene i Ole yem være ( x, ) og ( x, ). Hvor = da hendelene er amidige i Ole yem. Mari yem er de ilvarende hendelene ved Lorenz-ranformajonene x ' = γ ( x v ), v ' = γ ( x ) c og x ' = γ ( x v ), v ' = γ ( x ). c Hvi vi eer = = er vi a ' < '. De beyr a for Mari innreffer hendele (ubrudde ved Krekla) før hendele (ubrudde ved Hekla). Oppgave denne oppgaven kal vi udere e ø mellom en ang og en lien klo. Sangen er homogen og har mae M og lengde L. Sangen er fee med e frikjonfri hengel il punke O lik a de kan roere om vi i figuren. Kloen er lien ammenlikne med angen. Kloen har mae m og ligger il å begynne med i ro på e frikjonfri underlag. Sangen holde i ro med vinkelulage θ og lippe. Sangen reffer kloen ide angen henger re ned, de vil i ide θ =. Sangen reghemomen om maeenere er cm = ML. a) Vi a angen reghemomen om punke O er O = ML 3 Parallell-ake-eoreme gir: O cm M = + = ML + ML = ML 4 3 L b) Finn angen kineike energi om funkjon av vinkelen θ. Se bor fra lufmoand. Da hengele er frikjonfri og vi er bor fra lufmoand bevare den mekanike energien i yeme. Sangen roerer om punke O. Da er den kineike energien il angen gi ved vinkelhaigheen om O: K = ω O Energibevaring mellom ilanden (null) og gir:
K + U = K + U Side 4 av Den poenielle energien il e iv legeme i yngdefele er gi ved høyden il maeenere. Vi legger nullpunke for poeniell energi i punke O. Da er den poenielle energien il angen gi om L U = Mg co( θ ) Vi eer dee inn i likningen for energibevaring og får: K + U = K+ U L L Mg co( θ) = K Mg co( θ ) om gir K = MgL(co( θ ) co( θ)) c) Finn angen vinkelhaighe, ω, umiddelbar før den reffer kloen. Vi finner vinkelhaigheen fra den kineike energien: Oω = K = MgL( co( θ)) om gir 3 g ω = ( co( θ ) L Ana a øe er fullendig elaik. d) (Noe vankelig) Vi a kloen haighe umiddelbar eer øe er ω L v = + ml / O dee øe er ikke nødvendigvi bevegelemengden bevar da ummen av yre krefer ikke nødvendigvi er null, men pinne om punke O er bevar fordi krafmomene av de yre krefene om punke er null. Normalkrafen på kloen har ikke noe krafmomen om O og
Side 5 av krefene om virker i hengele har ikke noe krafmomen om O da avanden il punke er null. De er ingen frikjonkrefer på kloen. Vi finner pinne like før og like eer øe: L = ω O L = Oω+ Lmv Spinne eer øe har o ledd. E ledd om er pinne il aven, og e ledd om er pinne il kloen. Kloen har haigheen like eer øe, lik a pinne il kloen like eer øe er Lmv. Spinnbevaring gir: ω = ω + Lmv (3) O O v Siden øe er elaik er ogå den mekanike energien bevar gjennom øe. Oω = Oω + mv (4) Vi eer ω = ( ω Lmv/ O ) fra likning (3) inn i likning (4) og finner: Oω = O ω + mv = O ω ω + + O O O Lmv Lmv L m v mv Lmv = Oω Lmv + + mv ω O om gir Lmv ω Lmv = + mv O Vi deler på mv på begge ider og får: ω = Lmv + = ml ( + ) L v v O O Dermed har vi ω L v = ml ( + ) O
Side 6 av e) Vi a angen vinkelhaighe umiddelbar eer øe er ω = ω / + O ml Vi finner ω ved å ee urykke for v inn i likning (3) over. De gir: ωml Oω = Oω+ Lmv = Oω+ + ml / O Vi deler på og løer for O ω og får ωml / O ω = ω = ω + ml / O O / ml + f) Dikuer bevegelen il kloen og angen eer øe for ilfellene m M og m M. Hva kjer når m= M /3? Vi eer inn O = ML /3 og finner ωl ωl v = = ml m + + 3 ml /3 M og ω = ω( ) + M /3m For ilfelle m M er vi a v = ωl og ω = ω Sangen foreer med amme vinkelhaighe, og kloen kye u med en vinkelhaighe om er dobbel å or om angen. Oppførelen er den amme om for en ball om kolliderer med en vegg og revererer in haighe, hvilke vi er ved å berake proeen i e yem om følger enden il aven. dee yeme har kloen haigheen v' = ωl før øe og v' = ωl eer øe. For ilfelle m M blir v = og ω = ω. Sangen preer ilbake med amme vinkelhaighe, og kloen blir ikke påvirke. For ilfelle m= M /3 blir v = ωl og ω =. Sangen aner, og kloen får haigheen om enden av angen hadde re før kollijonen på amme måe om en kollijon mellom o idenike kuler.
Side 7 av Ana nå a øe er fullendig uelaik g) Finn vinkelhaigheen il angen og haigheen il kloen umiddelbar eer øe. For e uelaik ø er pinne fremdele bevar gjennom proeen. Eer øe beveger angen og kloen eg om e legeme, med reghemomen gi om ummen av reghemomene il angen om O og reghemomene il kloen om O, = + ml. Spinnbevaring gir da: O O = = ( O + ml ) ω ω ω om gir ω ω ω = = ml ml / O O + + O og ωl v = Lω = + ml / O Oppgave 3 denne oppgaven kal vi udere oppførelen il e pinnende hjul om ee ned på e plan, horional underlag. Hjule har mae m, radiu R og reghemomene om maeenere er. Vi lar x-aken være parallell med underlage og velger poiiv roajonrening med klokken, om illurer i figuren. Den dynamike frikjonkoeffiienen mellom underlage og hjule er μ. Tyngden akelerajon er g. Hjule ee på underlage ved iden = i poijonen x() = x =. Den iniielle haigheen il hjule er v() = v =, og den iniielle vinkelhaigheen il hjule er ω. a) Tegn e frilegemediagram for hjule. Finn alle krefene uryk ved m, g og μ. Maeeneraen i y-reningen gir ma = = N mg N = mg y Så lenge hjule glir mo underlage er de dynamik frikjon, lik a frikjonkrafen er gi om f = μn = μmg
Side 8 av b) Finn poijonen il hjule om funkjon av iden frem il bevegelen blir ren rulling. Maeeneraen i x-reningen gir: ma = f = μmg x og dermed ax = μg Vi finner haigheen og poijonen ved å inegrere: v () og x() = μg = μg. Denne løningen gjelder frem il bevegelen blir ren rulling. c) Finn vinkelhaigheen il hjule om funkjon av iden frem il bevegelen blir rulling. Vi finner vinkelakelerajonen fra pinnaen om maeenere: α = fr = μmgr om gir mgr α = μ Vi inegrerer med henyn på iden og finner: mgr ω() ω = αd = μ Og dermed mgr ω() = ω μ d) Vi a iden de ar il bevegelen blir ren rulling er gi ved ωr = μg ( + mr / )
Side 9 av Ren rulling oppnå ide v= ωr. Vi eer inn urykkene over for å finne iden: mgr v () = μg= ωr= ( ω μ R ) om gir ω mgr mr R = μ g + μ = g μ + Og dermed er ωr = μg + mr ( / ) reen av oppgaven anar vi a underlage er dekke av vann. Hjule blir da ikke påvirke av en frikjonkraf, men blir i ede ua for en vikø kraf, f, om avhenger av haigheen, v, il den delen av hjule om er i konak med underlage: f = kv e) Finn v uryk ved hjule haighe, v, og vinkelhaighe, ω. Hjule roerer om maeenere og maeenere beveger eg med en haighe. Haigheen il e punk i avanden r i forhold il maeenere er derfor ummen av haigheen il maeenere og haigheen i punke pga. roajonen om maeenere: v = v + ω r cm konakpunke peker v = v ωr ω r i negaiv x-rening, lik a haigheen i konakpunke blir f) (Noe vankelig) Vi a bevegelelikningen for v kan krive om dv kv mr = + d m
Side av Vi finner bevegelelikningen for v ved å e på likningene for v og ω, om vi finner fra maeeneraen i x-reningen og pinnaen om maeenere: dv ma = m = f = kv d om gir dv k = v (5) d m Og dω α = = Rf = Rkv d Som gir dω Rk = v (6) d Ved å derivere v = v ωr får vi: dv dv dω = R d d d Vi eer inn for dv / d og dω / d fra likning (5) og (6) og får: dv dv d k kr k mr = = = + d d d m m ω R v vr v (7) g) Finn iduviklingen il v og olk reulae. Når vil bevegelen il hjule bli ren rulling i dee ilfelle? Vi finner iduviklingen ved å løe differeniallikningen i (7). Vi kjenner iniialbeingelene, da v () = v() ω() R= ωr Løningen av likning (7) er en ekponenialfunkjon: k mr + m ω v () = v () e = Re
Hvor den karakeriike iden er Side av m = k mr + Ren rulling varer il ilfelle hvor v= ωr, de vil i a v =. Dee oppnå aldri i dee ilfelle, men oppførelen vil være veldig nær ren rulling eer en id ilvarende den karakeriike iden. Kommenar: Vi kan ogå e på oppførelen il hjule ved å e på haigheen il hjule om funkjon av iden, ved å inegrere akelerajonen. Vi har a dv k k / v Re d m m ω = = Dermed er k / k / v () v() = ωre d= ωre ( ) m m = k mr ω R + m e mr + om går mo en konan verdi når. Hjule vil derfor ikke oppe opp, men eer hver bevege eg med konan haighe, og en konan vinkelhaighe, hvilke ilvarer ren rulling. *** Dee er ie ark i oppgaveee. Lykke il med oppgavene!