Int. for Mekanikk, Termo- og Fluiddnamikk Om energiligningene P.-Å. Krogtad Dette notatet gir en utledning a forkjellige former a energiligningen om er nttige i trømninglære. Hoedenikten med utledningene er å gjøre die noe mer utfllende enn de foreligger i læreboken, amt å foråpentligi gi en noe tørre fortåele for iktigeten a begrepet diipajon. Ligningene krie med Eulerariable, d. man betrakter et fat punkt eller kontrollolum og bekrier a om kjer med partikler om befinner eg i eller paerer gjennom dette. I det følgende er fete boktaer brukt for å indikere en ektor. 1 Energiligningen på kontrollolumform (Wite kap. 3.6) Denne ligningen uttrkker ordan energien i et endelig kontrollolum endre med tiden. Dette kan kje i det er en kilde inne i olumet og/eller derom det er en netto energifluk inn i eller ut a olumet. Generelt kan i i at Endring a energi i olumet = Tilført termik energi (f.ek. ia opparming på oerflaten) Tilført indre energi (f.ek. tilført inn i olumet ia inntrømning a partikler med øere temperatur) Tilført arbeide Økning i tillingenergi (ed at partiklene fltte) o. I motetning til læreboken ar i er definert både arbeide og armefluk om poitit inn i kontrollolumet. Dette innebærer f.ek. at Repetijon energiligningen ide 1
når kontrollolumet tilføre et poitit arbeide øker energien i olumet. Matematik kan dette krie de = dq dw... (1) or E er energien i olumet, Q er termik energi, W er arbeide o. Definerer i ariablene pr. mae-enet med må boktaer kan energiendring pr. tidenet bekrie om e q =... () Vi kal nå peifiere de forkjellige leddene litt nærmere. Energien i olumet kan dele opp i tre bidrag; termik eller indre energi gitt ed û = c T, (3) mekanik energi, ˆm = 1 V V, (4) or c er peifikk arme ed kontant olum og V er atigetektoren. Vi tar ogå med tillingenergien i de og dette kan krie ŝ = g X g (5) or g er tngden akellerajon og er tedektoren til oberajonpunktet. Siden g-ektoren anligi bare ar én negati komponent, må i a med minutegnet lik at energien øker når partiklene fltte oppoer. Med z pekende oppoer blir g = g k, lik at ŝ = gz (6) På denne måten kan den totale energien i et olum til ener tid uttrkke om E ()= u dm= u ˆ V V g d ρ ˆ V V g (7) m Repetijon energiligningen ide
or m er maen i olumet om ar tetteten ρ. Tpike effekter om endrer energien i olumet il ære * Tilført arme ed armeoergang oer flaten pr. tidenet blir n Q Q = = d q n q (8) n er normalektoren til oerflaten og q er armeflukektoren. For at en flukektor om peker inn i olumet kal gi et poitit bidrag er det nødendig med et minutegn foran integralet. Ved jelp a Fourier lo, q=-k T, or er gradientektoren = i j k, kan uttrkket z krie om Q= k T nd (9) ** Tilført mekanik energi klde f.ek. arbeid pr. tidenet tilført ia oerflaten. Denne effekten utføre a penningene og trkket på oerflaten. Figur 1 ier bare de bidragene om kommer fra penninger om irker i -retningen alene og om derfor ammen med atigetkomponenten u bidrar til arbeidet i -retning. u z τ z τ p τ Figur 1. Repetijon energiligningen ide 3
Effekten fra arbeidet utført a penningene og atigetkomponenten i -retning er gitt a ẇ = = u ( p ) ddz ddz zdd τ τ τ [( ) z z ] = u p τ n d τ n d τ n d [ ] (10) or i ar innført normalektoren til oerflaten lik at f.ek. nd repreenterer den delen a et generelt oerflate areal om ar n om normalektor, d. arealet ddz. Her kan det pae å e litt på penningtenoren (e Wite. 0-04). En ektor betår generelt a 3 komponenter. Hatigetektoren er f.ek. gitt om V = ui j k, lik at komponentene i atigetektoren bekrier en 1 X 3 matrie betående a u i = u (11) Tilarende il penningektoren a tre komponenter τ = ti tj tzk. Men om det fremgår a figur 1 betår er a die igjen a 3 komponenter lik at den komplette penningektoren må krie ( z ) ( z) ( z z zz ) τ = τ τ τ i τ τ τ j τ τ τ k (1) Spenningektoren kan derfor betrakte å ære en lag dobbelt-ektor om betår a matrie-elementene τ ij τ τ τ z = τ τ τ z τ τ τ z z zz (13) Kraften om irker på et generelt orientert oerflate-element, da, fra penningektoren blir da (e figur ) Repetijon energiligningen ide 4
da=nda z τ z τ da n τ τ Figur df = τ da ( z z ) i ( z z ) j ( z z zz z ) k = τ da τ da τ da τ da τ da τ da τ da τ da τ da (14) ( z z ) = τ n τ n τ n da i ( ) τn τn τznz da j ( τzn τzn τzznz )da k (Bare penningkomponentene om irker i -z planet er it på figuren. Tilarende ett med penninger finne ogå projiert til - og -zplanene.) For å gjøre uttrkket mer kompakt krie dette nå om df = τ n ij da (15) Dette ier orfor i kaller penningtenoren τ ij en dobbeltektor. Når to ektorer prikk-multipliere, blir produktet en kalar tørrele, men når en tenor multipliere med en ektor blir produktet en n ektor. Siden df = τ da= τ n da ij (16) følger det at penningektoren kan krie τ= τ n ij (17) Repetijon energiligningen ide 5
Bruker i dette i ligning (10), er i at denne nå kan krie = = u ( p ij ) d i τ n (18) { [ ]} or F = ( p τ ij ) n repreenterer kraftektoren fra trkk og penninger og i F gir komponenten i -retningen. Summerer i bidragene i de andre retningene ogå finner i at bidraget fra penningene totalt blir = ( z)= ( ui j k) ( p τij) n d = V ( p τij ) n d ( pv n V τ) d [ ] [ ] = (19) Dette tilarer ligning (3.61) i Wite. I tillegg kommer eentuelle andre mekanike ledd om agitt eller mottatt mekanik arbeide i form a energi tilført a makiner (ẇ aft ) o. (e boka). *** Tilført energi. Til it må i ta enn til at mae om krer oerflategrenen kan bringe med eg eller ta med eg energi ut a kontrollolumet. Denne energitranporten er gitt a leddet e uˆ = d V V g V n (0) or ρ 1 ρv n d repreenterer maefluken gjennom oerflaten og minutegnet er tatt med lik at bidraget blir poitit når tranporten går inn i kontrollolumet. Med bakgrunn i oppettet i gjorde innledningi (ligning ) kan i nå uttrkke endringen i energi i kontrollolumet ed å ummere leddene i ar funnet: ρ uˆ d V V g = k T d ρ uˆ n V V g V n d p τij d V ( ) n [ ] (1) Leddet på entre ide a likettegnet og det andre leddet på øre ide er bgget opp på amme måte, men repreenterer to forkjellige Repetijon energiligningen ide 6
fenomen. De kan imidlertid lett kombinere i i bruker Gau diergenteorem om ier at et oerflate integral kan ertatte med at olumintegral lik at ρ uˆ d = ρ uˆ V V g V n d V V g V () Kombinere dette med leddet på entre ide blir dette ρ uˆ ρ uˆ d 1 V V g V V g V ρ = uˆ V V g ( ρ ) V ρ uˆ V V g V V V g 1 uˆ d d (3) Det førte leddet etter likettegnet e å inneolde kontinuitetligningen, å dette blir automatik 0. De to ite leddene gir den totalderierte a energien i kontrollolumet lik at ligning (1) derfor kan krie: D ρ uˆ d = k T d p τij d Dt ( ) V V g n V n (4) [ ] Dette er den generelle formen a ligning (3.63) i Wite. I tillegg kommer eentuelle bidrag fra tråling, akelarbeid o. Energiligningen på differenialform (Wite kap. 4.5) Nå om energiligningen er utledet for et kontrollolum er det en enkelt ak å krie den om til å gjelde for etert punkt innen kontrollolumet. Her bruker i igjen Gau diergenteorem på alle oerflateintegralene. Dered blir f.ek. k T n d k T d = ( ) (5) Ligning (4) kan derfor krie Repetijon energiligningen ide 7
D ρ uˆ d = ( k T) d p τij d Dt ( ) V V g V (6) [ ] Siden ligningen kal gjelde for kontrollolumet og alle deler a dette, må dette bet at olumtørrelen er irreleant lik at [ ] D ρ uˆ = ( k T) p τij Dt ( ) V V g V (7) Dette blir derfor den generelle energiligningen på differenialform om gjelder for et ilkårlig punkt. Denne finne igjen i læreboken om ligning (4.48). (Merk imidlertid at ligning (4.48) inneolder en feil idet trkk-atigetarbeidet i boken er feilaktig kreet V p itedet for ( Vp ). For den om er intereert kan feilen pore tilbake til en feil i oergangen mellom ligning (4.4) og (4.43).) Ligning (7) uttrkker bearelen a den amlede energien. Denne klde deli termik indre energi og deli mekanik energi. Vi kan plitte ligningen i to deler lik at i får en ligning for er a die tørrelene. En ligning for den mekanike energien kan i finne ed å ta impulligningen og multipliere med atigetektoren: DV ρ Dt ρ V = ( V ) V p ρg τij V = (8) Vi bentter nå et generelt teorem fra ektoralgebraen om ier at 1 V V ( V V) V V ( ) ( ) (9) En inpekjon a ektorplottet i figur 3 ier at bidraget til ligning (8) fra det ite leddet på øre ide a (9) alltid må ære null, V V ( V) Figur 3 V Repetijon energiligningen ide 8
idet V må ære normal til V ( V). Den mekanike energiligningen kan derfor krie: ρ V ( V ) V V ρ V V ρg V τ V = D 1 = ( ij p) Dt (30) Subtraere nå denne ligningen fra ligning (7), få en ren termik energiligning: Duˆ ρ = ( k T ) [( p τij ) V] ( τij p) V (31) Dt eller ρc DT p( V)= ( k T) ( τij V) ( τij) V (3) Dt idet tngden akellerajon faller ut a ligningen fordi D ( g )= g V. Dt Ligning (3) er den termike energiligningen om tilarer ligning (4.51) i Wite. Alternatit kan ligningen krie ρc DT D Dp p = ρ = ( k T) ( τij ) ( τij) Dt Dt Dt V V (33) om repreenterer en ligning for bearele a entalpien i trømningen itedet for den indre energi. I ligning (3) og (33) er det dukket opp et iktig ledd om kalle ikø diipajon, Φ= ( τij V) ( τij ) V (34) På komponentform inneolder dette uttrkket ele 4 ledd om repreenterer koblingene mellom atiget og kjærpenninger. Uten at i løer opp alle parenteer i uttrkket kan dette krie Φ= τ τ τ τ τ τ ( τ τ τ u z) ( u z) ( zu z zz) z τ τ τ τ τ τ τ τ z z z z τ zz u z z z (35) Repetijon energiligningen ide 9
Det er lett å ie at i en inkompreibel trømning for et Netonk fluid il dette uttrkket bare betå a kadratike ledd (e ligning 4.50 i Wite). Det betr at Φ il ære et irreeribelt, poitit kildeledd i ligning (3) og (33) om alltid ørger for en økning i temperaturen. Siden diipajonen betår a to ledd om deli kommer fra den termike og deli fra den mekanike energiligningen, går det an å ogå omkrie den mekanike energiligningen lik at den inneolder Φ. Man il da finne at den der ar motatt fortegn og repreenterer derfor et tilarende luk a mekanik energi. A dette lutter i at den ikøe diipajon tar energi fra beegelene og omgjør dette til arme ia ikoiteten. Ekempel: Beregn temperaturfordelingen i et trømmende medium mellom to uendelige, parallele plan or den nedre platen tilføre en armefluk q for de to tilfellene a) uten diipajon b) med diipajon Hatigetprofilet er funnet i læreboken (Kap. 6.6) og er gitt a u 1 dp d, 0 µ = ( ) om gir kjærpenningene τ µ u τ µ u dp τ µ = = 0, = =, = = 0 d Repetijon energiligningen ide 10
=/ =-/ T o =kont q Energiligningen (3) reduere til 0 = = τ k T Φ k T u or alle andre ledd forinner. a) uten diipajon: I dette tilfellet reduere ligningen til bare ett ledd: k T = 0 Integrert gir dette k T d = k T = 0 om gir q = k T = kont. = kontant. q, lik at armefluken på ter a kanalen er Integrert igjen få k T d k T T q q = ( 0)= om gir T = T k ( ) ( ) 0 Temperaturen arierer altå lineært oer kanalen. Repetijon energiligningen ide 11
b) med diipajon: Ligningen blir nå µ k T U k T dp = µ d = 0 Integrert få k T d k T dp = = 3µ d om gir ( ) 3 k T 1 dp 3 q dp q q = 3 1 = 3, 3µ d 3µ d ( ) Men armefluken i a) ar kontant oer terrnittet, ier dette uttrkket at armefluken alltid er tørre enn q inne i kanalen. Det e ogå at den øker med 3, lik at den øker terkt etterert om man beeger eg bort fra den nedre eggen. Dette klde at i tillegg til armen gjennom den nedre eggen må armen generert i trømningen ogå tranportere ut ia den øre eggen. Temperaturprofilet finne ed å integrere igjen k T d k T T q 1 dp 3 = ( )= d 3 0 µ d 3 om gir ( ) ( ) 1 T T k q 1 dp 3 dp = 1 d ( ) ( 4 0 ) 3µ 1µ d 4 3 Repetijon energiligningen ide 1
Effekten a diipajon på temperaturprofilet betår altå a to effekter. Den førte er lineær om armefluken og iden den er kadratik mp. trkkgradienten gir den en økning eller redukjon i den lineære gradienten aengig a fortegnet til q. Leddet bidrar negatit til T for alle og enker derfor temperaturen i feltet. Dette må til for å øke armefluken inn i den øre eggen ed at T øker. Det ite leddet il alltid gi et poitit, fjerdeorden bidrag til temperaturen. Dette bidraget forinner ed begge eggene og gir derfor den temperatureningen inne i trømningen man anligi gjenkjenner om effekten a frikjonen på temperaturen. Dette ier at diipajonen kan a en iktig effekt på temperaturprofilet. ( ) 3 T = T 0 k q 1 dp 3µ d T = T 0 q k =/ =-/ T 0 ( ) 3 T = T 0 1 k q 1 dp 3µ d ( ) 1 dp 1µ d ( ) 4 4 Hi i itedet for å peifiere armefluken på den nedre eggen adde att om grenebetingele at begge eggene kal ære ioterme, d. T = T = 0 kont., ille løningen blitt T T k q 1 dp 3 dp = = 1 q = 0 0 3 d, µ 3µ d ( ) 3 ( ) < Altå er i at det må fjerne arme fra begge eggene for å kompenere for oergangen fra mekanik til termik energi generert a diipajonleddet, Φ. Vi kan gjøre et oerlag oer or tor oppetningen blir. T ma finne for = 0. 0 Repetijon energiligningen ide 13
u 1 dp d 1 dp u, 0 µ µ d = ( ) ( )= ( ) lik at T T k q 1 dp 3 dp ma = d ( ) 1 3µ 1µ d Innatt for q gir dette ( ) 4 T ma T = 1 dp 1µ d 4 ( ) = ( ) µ u 0 3k For luft er k 0.03W/mK og µ *10-5 kg/m. Hi u( 0)=100m/ få T ma T =.K. Vi konkluderer derfor at diipajonen er iktigt ed øe atigeter. Dette klde at atigetgradientene i middelatigetfeltet er relatit må ed lae atigeter. Det kal imidlertid bemerke at derom trømningen er turbulent, il de lokale gradientene rundt de må irlene fort bli eldig tore. Derfor er diipajon a tor betdning i turbulente trømninger el ed lae atigeter om en mekanime for å pie opp den turbulente energien. Derom en turbulent trømning ikke ele tiden tilføre n energi il diipajonen forårake at turbulenen dør ut med tiden. (Seltudium: Røring i en kaffekopp.) Repetijon energiligningen ide 14