Foroppgave i usikkerhetsanalyse Viskositet i glyserol

Oppgave 1 Lab i TFY4120 Foroppgave i usikkerhetsanalyse Viskositet i glyserol Institutt for fysikk, NTNU

2 1. Innledning Hensikten med denne oppgaven er først og fremst å få øvelse i analyse av feilkilder og feilforplanting. Måling av viskositet i glyserol er valgt fordi apparaturen er enkel og rimelig. Formålet med oppgaven er ikke først og fremst å bestemme viskositeten i glyserol så nøyaktig som mulig. Derfor er denne apparaturen ikke laget slik at all måleusikkerhet minimaliseres. Selv om formålet med denne oppgaven først og fremst er å lære usikkerhetsanalyse, må det likevel påpekes at Stokes lov, som en her stifter bekjentskap med, er sentral. Oppgaven illustrerer også en enkel måte å måle viskositet i en væske når viskositeten er tilstrekkelig høy. 2. Teori Når en kule synker i en væske under påvirkning av tyngdekraften, vil den oppnå konstant hastighet etter å ha falt et lite antall diametre [1]. For tilstrekkelig liten fallhastighet er friksjonskraften, F F, som virker på kulen, gitt ved Stokes lov [2]: F = πηrv (1) F 6 der η = væskens viskositet r = kulens radius v = kulens hastighet Kraftlikevekt gir da der 4 3 ( k v) 6 3 π r ρ ρ g πηrv = (2) g = tyngdens akselerasjon ρ = tettheten til kulen k ρ = tettheten til væsken v Fra (2) får vi: η 2( ρ ρ ) gr 9v 2 k v = (3) Vi ser av lign. (3) at vi kan finne viskositeten til en væske ved å måle en kules fallhastighet i denne væsken. En betingelse for at lign. (1) og dermed lign. (3) skal være gyldig, er at fallhastigheten er tilstrekkelig lav. Denne betingelsen kvantifiseres ved hjelp av det dimensjonsløse Reynolds tall, R, definert ved [3]: e R 2rρ v η v e = (4)

3 Det er vist [3] at Stokes lov holder med en nøyaktighet på bedre enn 1% for: R e < 0,05 (5) Det er også en forutsetning for å kunne bruke lign. (3) at kulen faller i en væske med uendelig utstrekning. I praktiske tilfeller må vi korrigere for veggeffekter. I det tilfelle at kulen faller vertikalt langs sentrum i en sylinder er følgende korreksjon funnet [4] for korrigering av viskositeten gitt ved lign. (3): der η r = η (1 2,10 ) (6) R korr m R = radius av sylinderen η m = viskositet beregnet etter lign. (3) Resultater korrigert med denne faktor er funnet [4] å ha bedre enn 1% nøyaktighet når r / R < 0,1 og R e < 0, 05. Kombinasjon av lign. (3) og (6) gir: 2 2( ρk ρv) gr r η = (1 2,10 ) (7) 9v R

4 3. Apparatur og utførelse Det fallkuleviskosimeteret som skal brukes i denne oppgaven er vist i figur 1. Det er forsynt med en trakt som sentrerer kulen i fallrøret. Det har 4 målestreker. Avstanden mellom nabomålestreker er ( 10,0 ± 0,1) cm. NB! Pass på at du observerer kulen med synsretning normalt på sylinderoverflaten! Kulen som nyttes, er av stål og kan løftes opp i røret ved hjelp av en utvendig magnet. Fallrøret skal ikke åpnes under forsøket. Væsken som nyttes i dette forsøket er glyserol. Viskositeten i glyserol er sterkt temperaturavhengig. Ved siden av fallrøret har vi derfor plassert et lignende rør fylt med glyserol der en kan avlese temperaturen. Oppgitte data: Tetthet for glyserol: Tetthet for stålkule: Radius for stålkule: Radius innvendig for fallrør: Tyngdens akselerasjon: 3 ρ v = (1, 26 ± 0, 01) kg/dm 3 ρ k = (7,8 ± 0,1) kg/dm r = ( 1,00 ± 0,02) mm R = ( 10,7 ± 0,1) mm 2 g = ( 9,822 ± 0,005) m/s fallrør med målestreker termometer (kan justeres i høyde) magnet stålkule Fig. 1. Skisse av fallkuleviskosimeter Merk at ditt strålende ansikt og/eller friske pust til og med kan varme glyserol. Hold dere derfor lengst mulig unna fallrøret mens dere gjør målingene.

5 4. Forhåndsoppgave v Finn et uttrykk for relativ usikkerhet i fallhastigheten v, dvs. finn v som funksjon av falllengden l og måletiden τ og de tilsvarende usikkerheter l og τ. Merk at det er nødvendig å lese notatet om Usikkerhetsanalyse utlagt på fagets hjemmeside før denne oppgaven løses. 5. Obs før du starter med laboratorieoppgaven Det legges vekt på forståelse av grunnleggende prinsipper. Forsøk å jobbe rolig og metodisk for å lære mest mulig. Vi forventer i alle fall at du sitter ut hele labtida. For denne oppgaven er labtida satt til 4 timer. Det er ikke et krav at alle oppgavene utføres. Bruk garderobehyllene. Sett ryggsekker til side. Spising og drikking er dessverre ikke tillatt inne på laben. Apparaturen for denne oppgaven er oppsatt der andre oppgaver vanligvis kjøres. Vennligst ikke rør annen apparatur enn den som tilhører denne oppgaven. (Noe av utstyret tilhørende de andre oppgavene kan være både skjørt og kostbart.) 6. Laboratorieoppgave 1 Mål kulens falltid i glyserol med usikkerhet på følgende måte: a) Utfør 30 målinger av falltiden τ for stålkulen mellom høyeste og laveste målestrek. Del målingene i 3 serier med 10 målinger i hver. Les av temperaturen T før og etter hver måleserie. Måleseriene utføres fortløpende for å minimalisere eventuelle temperaturendringer under forsøket. La termometrets følsomme område (væskebeholderen) være plassert midt mellom øverste og nederste målestrek. Da kan en håpe på å avlese middeltemperaturen over fallstrekningen, også for det tilfelle at det skulle være små temperaturgradienter i vertikalretningen. b) Beregn τ 1, τ1 og τ1 for første måleserie og tilsvarende for måleserie 2 og 3. Anta for beregningene at statistisk usikkerhet i tidsmålingene dominerer. 2 Besvar følgende spørsmål ved bruk av måleresultatene: a) Er τ 1, τ 2 og τ 3 forskjellige utover den statistiske måleusikkerheten? Bør en bruke standardavvikene τ1, τ 2 og τ 3 for enkeltmålinger eller standardavvikene τ1, og τ 3 for middelverdier for å avgjøre dette? τ 2 b) I Handbook of Chemistry and Physics [5] er det oppgitt følgende data for glyserol -3 kg ved forskjellige temperaturer ( 1cp (centipoise) = 1 10 ): ms

6 Temperatur T ( C) Viskositet η (cp) 15 2330 20 1490 25 954 30 629 Stemmer eventuell forskjell i midlere falltid mellom måleseriene med eventuell temperaturendring mellom måleseriene i henhold til tabellen? Merk at glyserolen vi måler på har et vanninnhold på ca. 2%, og at viskositeten på glyserol er sterkt avhengig av vanninnholdet. Det er ikke oppgitt vanninnhold for dataene som er hentet fra referanse 5. c) Vær oppmerksom på at systematisk temperaturendring kan føre til at verdiene for τ 1, τ 2 og τ 3 blir vesentlig større enn de ville ha vært dersom en bare hadde tilfeldige feil. Synes dette å ha vært tilfelle i ditt eksperiment? d) Å dele målingene opp i intervaller og sammenligne middelverdier og standardavvik er bare én mulig metode for å påvise om det har vært vesentlig systematisk forandring i τ på grunn av temperaturendring. Kunne det tenkes en bedre metode for å gjøre dette ved bruk av dine målinger? e) Ville det føre til en vesentlig mindre usikkerhet i τ dersom temperaturen kunne holdes konstant? Kan du komme på en måte å endre eksperimentet på for å oppnå dette? 3 Dersom en ikke er overbevist om at τ har variert vesentlig pga. temperaturendring, beregnes verdier for τ og τ felles for alle målingene. Disse verdiene brukes i fortsettelsen av oppgaven. I motsatt tilfelle velges ett sett verdier fra en enkelt måleserie. a) Bestem midlere fallhastighet med usikkerhet, v ± v. Avstanden mellom øverste og nederste strek settes lik ( 30,0 ± 0,1) cm. (Husk at resultatet fra forhåndsoppgaven kan benyttes her, men husk også å vurdere om det er usikkerhet for en enkeltmåling eller usikkerhet for middelverdi som bør benyttes for falltiden.) b) Beregn tallverdier for η og R e ved angitt middeltemperatur under forsøket. Er liten nok til at Stokes lov gjelder med nøyaktighet bedre enn 1%? R e 4 Vi ønsker å bestemme usikkerheten viskositetsmålingen vår. η a) Finn et uttrykk for relativ usikkerhet i η,, som funksjon av r, R, ρ k, ρ v, v, g og η de tilsvarende usikkerhetene. Prøv så langt det er mulig å bruke relativ usikkerhet, for r ρ eksempel. Det kan også være nyttig å bruke former som k. Merk at r ρk ρv avhengig av hvordan du regner, kan denne oppgaven bli litt arbeidsom. Spør veilederen om hjelp dersom du setter deg fast.

7 b) I punktet ovenfor fant du et uttrykk for usikkerheten i η, η, basert på usikkerhetene g, r, R, ρk, ρv og v. Hvilke av disse usikkerhetene er uvesentlige for η beregning av η og kan neglisjeres når tallverdi for skal bestemmes? η c) Beregn tallverdi for η, og før opp sluttsvaret for η ± η. Angi hvilken temperatur η resultatet gjelder for. 7. Referanser 1. A. C. Merrington, Viscometry, Edvard Arnold & Co, London 1949, s. 49. 2. L. D. Landau og E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics, Pergamon press, Oxford 1959, s. 66. 3. A. C. Merrington, Op.cit., s. 45. 4. A. C. Merrington, Op.cit, kapittel IV. 5. R. C. Weast, Ed., Handbook of Chemistry and Physics, CRC Press, Cleveland 1974, s. F-53. Knut Arne Strand 2005 Revidert 06.01.2006, AB/LMA/EH/KAS Revidert 27.01.2007 HH/KAS Revidert 27.11.2007 RS/LEW/KAS Revidert 19.10.2011 SW/BS

Æ ÄÁÌ Æ ÁÆÆ ÊÁÆ Á ÍËÁÃà ÊÀ ÌË Æ Ä Ë ÓÖÙØ ØØ Ö Ø Ø Ð Ú Ö Ò ÓÖ Ð Ò Ò Ð ºµ ½º ÓÖ ÐÐ ØÝÔ Ö Ð µ Ò ÓÒ Ù Ö Ø ÑÔ Ð Ì Ò Ø Ù Ð ÑÐ Ð Ò Ò Ú Ø ÒÓ ÙÐÐ ÒØ Ð Ñ º º Ò Ùº ÓØ Ñ Ð Ä Ú Ø Ô Ð Ö Ó Ô ÖØ Ò ÓÒ Öº µ ÖÓÚ Ð ÑÔ Ð Ì ÐÐ Ö Ð ÒØ ÐÐ Ñ Ø Ö ÒÖ ÑÐ Ö Ð Ò Ñ Ñ Ø Ö ØÓ º ÓØ Ñ Ð Ö Ñ º µ ËÝ Ø Ñ Ø Ð Ë Ò Ò ÓÖº µ ËØ Ø Ø Ð Ë Ò Ò ÓÖº ÃÇÆÃÄÍËÂÇÆ ÖÙ ÙÒÒ ÓÖÒ٠غ Á ÖÙ ÓÖÑÐ Ö ÓÖ Ø Ø Ø Ù Ö Ø Ù Ö Ø º ¾º ËÝ Ø Ñ Ø Ð ÓÖÖ Ú Ð ÒØ ÒÒ Ø µ Ð Ð Ö ÖØ ÑÐ Ò ØÖÙÑ ÒØ µ Å ØÒ Ò Ú ÑÐ Ò ØÖÙÑ ÒØ µ Å ÒÒ Ð Ò Ô µ Ò Ö ÓÖ Ø Ò Ð Ö ÒÒ ÒØ ØØ ½

ÑÔ Ð Å Ø Ö ØÓ Ö Ø ½ Ñ Ñ Ò ¼ Ѻ ÓØ Ñ Ð Ö µ Ì Ò Ö Ø Ô ÙØ Ö Ò Ú ÑÐ Ò º µ Ë Ò Ý Ø Ø Ó ÓÑÖ ÓÖ ÑÐ Ò ØÖÙÑ Òغ µ Ã Ð Ö Ö ÑÐ ÙØ ØÝÖº µ Ò Ð ÓÖÒÙ Ø Ö Ò ÓÖ Ù ÓÖÖ Ö Ö Ý Ø Ñ Ø Ðº º ËØ Ø Ø Ù Ö Ø ÒØ ØØ ÑÐ Ò Ö Ú Ò Ó ÑÑ Ø ÖÖ Ð ÙÒ Ö ÑÑ ÓÖ Ø Ò Ð Ö Ö ÓÖ ÐÐ Ú Ö Öº ÑÔ Ð Ö ÓÑ Ò Ö Ò Ö ÑÐ Ö Ð Ò Ò Ô Ø ÓÖ º º ѵ Ñ Ñ Ø Ö ØÓ Ñ Ð Ò ½ Ñ Ó Ò Ö Ö Ò Ú Ð Ò ÙÐ Ú Ö Öº ÓØ Ñ Ð ÅÐ Ñ Ò Ò Ö Ó Ö Ò Ñ ÐÚ Ö Òº Î Ö ÓÒ Ò ÑÐ Ò Ò Ö ÑÐ ÓÖ Ù Ö Ø ÓÑ Ò ÚÒ º º xº Ô Ö Ñ ÒØ ÐØ Ú Ö Ø Ø ÑÐ Ò Ò Ð Ö Ø ÐÒÖÑ Ø ÒÓÖÑ Ð ÓÖ ÐØ ½ Ñ Ò Ø Ð ÐÐ Ö f(x) = 1 e (x µ)2 2σ 2 ½µ 2πσ Ö f(x) = ÒÒ ÝÒÐ Ø ÓÖ ÑÐ Ú Ö Ò x µ = Ñ ÐÚ Ö σ = Ø Ò Ö ÚÚ Ì ÓÖ Ø ¾ Ò Ø Ú Ø Ò Ö ÒÓÖÑ Ð ÓÖ Ð Ò ÒÖ Ø ØÓØ Ð Ð Ö ¹ Ø Ö ÑÑ Ò ØØ Ú Ù Ò Ð Ñ Ò Ð Ö ÓÑ Ö Ù Ú Ò Ú Ú Ö Ò Ö º º ± Ú ÑÐ Ò Ò Ð Ö [µ σ,µ + σ] º ± Ú ÑÐ Ò Ò Ð Ö [µ 2σ,µ + 2σ] º ± Ú ÑÐ Ò Ò Ð Ö [µ 3σ,µ + 3σ] Ò Ò Ö ÓÑ 1σ 2σ ÐÐ Ö 3σ Ö Ò Öºµ ½ ÆÓÖÑ Ð ÓÖ Ð Ò Ú Ð Ð ÒÖÑ Ö Ò Ð Ø ÐÖ Ó ½ Ø Ø Ø Ø ÌÅ ¾ ¼ ÐÐ Ö ÌÅ ¾ ÓÑ Ø Ö Ø Ö ØÖ Ö ÙÖ º ¾

f(x) µ σ µ µ + σ x ÙÖ ½ ÆÓÖÑ Ð ÓÖ Ð Ò Ø Ñ Ø Ö ÓÖ µ Ó σ Æ ÓÖÙØ ØØ Ö Ø ÐÒÖÑ Ø ÒÓÖÑ Ð ÓÖ Ð Ò ºµ Ø Ñ Ø ÓÖ Ñ ÐÚ Ö µ x = 1 n n i=1 x i ¾µ Ø Ñ Ø ÓÖ Ø Ò Ö ÚÚ σ = Ù Ö Ø Ò ÐØÑÐ Ò 1σ¹ Ö Ò µ x = 1 n (x i x) n 1 2 µ i=1 Ø Ñ Ø ÓÖ Ù Ö Ø Ñ ÐÚ Ö x = x n µ Å Ö Ò Ö ½µ x 0 ÓÖ n º ÀÙ Ø ØØ Ð Ö Ø Ø Ø Ù Ö Ø Ý Ø Ñ Ø ºµ ¾µ Ø ÓÚ Ò ÓÖ Ð Ö ÒÖ ÐÐ ÑÐ Ò Ö Ö Ð Ö º ÐÐ Ö Ñ Ú Ø ØÓÖ ÒÝØØ º µ ÀÙ ÐÐ Ñ ÐÐÓÑ Ý Ø Ñ Ø Ó Ø Ø Ø Ù Ö Ø Ó Ø Ø Ø Ù Ö Ø Ò ÐØÑÐ Ò Ó Ñ ÐÚ Ö

º Ð ÓÖÔÐ ÒØÒ Ò Î ØÖ Ø Ö Ò Ý Ø ÖÖ Ð f(x,y,z,... ) ÓÑ Ö Ò ÙØ Ö ÑÐ Ò Ö Ú Ý Ø ÖÖ Ð Ö x,y,z,... º ÒØ Ø x,y,z Ó Úº Ö Ù Ú Ò º Ð Ö f = ( ( f x x ÓÖ Ø Ð ØÖ Ð Ñ x, y, z Ó Úº ) 2 ( f + y y ) 2 +...)1 2 Á Ñ Ò Ð Ú ÒÓ Ö ÒÝØØ Ð Òº µ Ó Ó Ø ÓÖ Ý Ø Ñ Ø Ð Ó ÓÖ ÓÑ Ò ÓÒ Ú Ý Ø Ñ Ø Ó Ø Ø Ø Ðº ÓÖ Ý Ø Ñ Ø Ð Ö ÔÖ ¹ ÒØ Ö Ö x y Ó Úº Ò ÐØØ Ù Ö Øº Ø Ú Ö Ø Ø Ð ÐÐ Ø ÐÐ Ð Ú Ö Ö ÑÑ Ö ØÒ Ò µ Ú ÐÐ ÓÖ Ñ Ð ÚÖ f = f x x + f y y +... µ µ Ö ÓÑ Ò Ö ÑÐØ Ñ ÐÚ Ö Ö ÓÖ x,y,z Ó Úº ÒÝØØ Ö Ò Ó f = f(x,y,z,...) ( ( f ) 2 ( ) f 2 2 f = x x + y y +...)1 µ µ Å Ö Ø ÑÐ Ø Ö ÖÙ Ñ Ø ÑÙÐ ÓÖÑÐ Ö Ñ Ò ÓÑÑ Ö Ñ Ø Ð Ø ÓÖ Ø Ò Ò Ð Ô Ù Ö Ø ÓÑ ÑÙÐ º ÑÔ Ð f(x,y,z) ÓÒ Ø ÒØ x y2 z 3 Ö f f = ( ( x x )1 ) 2 ( + 2 y ) 2 ( + 3 z ) 2 2 y z Å Ö Ø Ø Ó Ø Ð ØØ Ö Ö Ò Ò Ò ÒÝØØ Ö Ð Ø Ú Ð ÓÑ º º x x º

º Ø ÑÑ Ð Ú Ö ØØ Ð Ò Ú Ñ Ò Ø Ú Ö Ø Ö Ñ ØÓ Î Ø Ò Ö Ó Ø Ú Ö Ò Ý ÑÓ ÐÐ ÓÑ Ö Ó Ø Ø Ð Ú Ö Ò ÑÐ Ò Ö Ú x Ó y Ð Ð Ð Ò Ô Ò Ö ØØ Ð Ò y = k 1 + k 2 x µ Ö k 1 Ó k 2 Ö Ý ÓÒ Ø ÒØ Ö Ú Ò Ö Ø ÑÑ º Ä Òº µ Ò ÓÑ Ö Ú Ø Ð y = a + b(x x) ½¼µ Ö x = 1 n n i=1 x i a = k 1 bx b = k 2 Ö ÓÑ ÐÐ ÑÐ Ò Ö Ö ÑÑ Ù Ö Ø ÒÝØØ Ú Ö Ö Ú a Ó b Ó ÖÑ k 1 Ó k 2 µ ÓÑ Ñ Ò Ñ Ð Ö Ö Q n [y i (a + b(x i x))] 2 ½½µ i=1 Ö Ú Ò ÚÒ Ø Ñ Ò Ø Ú Ö Ø Ö Ñ ØÓ ºµ Î ÒÒ Ö Ñ Ò ÑÙÑ ÓÖ Q Ú Ó ÓÑ ØØ Ö Ð ØØ Ñ ÐÐÓÑÖ Ò Ò Ö Q a = 0 Q b = 0 ½¾µ ½ µ a = 1 n n i=1 y i ½ µ b = n i=1 y ix i 1 n ( n i=1 y i) ( n i=1 x i) n i=1 x2 i 1 n ( n i=1 x i) 2 ½ µ

Å Ö Ò Ö ½µ Ö ÓÑ ÑÐ ÔÙÒ Ø Ò Ö ÙÐ Ù Ö Ø Ñ Ú Ø ØÓÖ Ö ÒÝØØ º ¾µ Ì Ð Ú Ö Ò Ñ ØÓ Ò Ó ÒÝØØ ÓÖ Ý Ö ÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ö ÓÑ y Ö Ð Ò Ö Ó ÒØ Ò k i ÓÑ Ð Ø ÐÔ º µ Ø Ü Ð¹ Ö ÓÖ ÒÒÐ Ò Ú Ö ØØ Ð Ò Ú Ñ Ò Ø Ú Ö Ø Ö Ñ ØÓ Ö Ö ÓÒµ Ö ÙØÐ Ø Ô ÑÑ Ò ÙÒ Ö Ñ ÒÝÚ Ð Ø Ê Ö ÓÒº ØØ Ü Ð¹ Ö Ø Ò Ó Ù Ö Ø ÓÖ Ó ÒØ Ò k 1 Ó k 2 Ð Ò Ò º ÓÖ¹ Ñ ÐÚ Ö Ó ÙØÐ Ò Ò ÓÖ Ø Ø Ö ØØ º º º º Î Ù ÐÐ ÒÒÐ Ò Ú Ö ØØ Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ý ÑÓ ÐÐ Ò Ö Ð Ò Ö x Ò Ò Ó Ø Ø ÖÙ ÖØ Ø Ñ Ø Ú Ú Ù ÐÐ ÒÒÐ Ò Ú Ò Ö ØØ Ð Ò ÓÑ Ú Ø ÙÖ ¾º Ø ÔÐ Ð Ò Ò ÒÒ ÙÖ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ö Ð Ò Ò Ñ Ñ Ñ Ð Ó Ñ Ò Ñ Ð Ú Ò Ð Ó ¹ ÒØ ÓÑ Ò ÒØ Ö Ò ÚÖ ÑÙÐ ÙØ Ö Ô Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø º Ö Ò Ð Ô Ù Ö Ø Ò k 1 Ó k 2 Ð Ò Ò º Ò Ð Ú Ù ÐÐ ÒÒÐ Ò Ò ÚÖ ÓÖ Ð Ø ÑÑ ÒÐ Ò Ø Ñ Ö Ö ÓÒ Ö ÓÑ ÙÐ ÑÐ ÔÙÒ Ø Ö ÙÐ Ù Ö Ø Ó Ö Ö ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ö ÑÙÐ Ø ÓÖ ÒÝØØ Ú Ø ØÓÖ Ö Ú ÒØÙ ÐØ Ö ÓÑ Ò Ú Ø Ø ØØ ÐÐ Ö Ö Ú ÑÐ ÔÙÒ Ø Ò Ö Ø ÖÖ Ý Ø Ñ Ø Ù Ö Ø ÒÒ Ò Ö Ó Ú Ø ÚÓÖ Ò ØØ Ð Ú ÒØ Ö º y x ÙÖ ¾ ÁÐÐÙ ØÖ ÓÒ Ú ÒÒÐ Ò Ú Ö ØØ Ð Ò Ú Ù Ðغ

y x ÙÖ ÁÐÐÙ ØÖ ÓÒ Ú ÒÒÐ Ò Ú Ö ØØ Ð Ò Ú Ù ÐØ ÓÖ Ø Ð ÐÐ Ø Ñ Ù ¹ Ö Ø Ð Ò Öº Å Ö Ò Ú Ó Ø Ð Ò Ø ÚÖ Ú ÒØÐ Ô Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ù Ö Ø Ø ÖÖ Ð Ò ÓÑ ÔÐÓØØ Ð Ò Öº Í Ö Ø ØÓÐÔ Ö Ö Ò Ö Ö ØÒ Ò¹ Ö ÓÑ Ú Ø Ô ÙÖ º Á Ð Ø Ð ÐÐ Ò Ø ÚÖ Ô ÐØ ÙÒ Ø ÒÝØØ Ú Ù ÐÐ ÒÒÐ Ú Ö ØØ Ð Ò º Ê Ö Ò Ö ½ ʺ º Ï ÐÔÓРʺÀº ÅÝ Ö ËºÄº ÅÝ Ö Ò Ãº ÈÖÓ Ð ØÝ Ò ËØ Ø ¹ Ø ÓÖ Ò Ò Ö Ò Ë ÒØ Ø Ø Ø ÓÒ È Ö ÓÒ ÄÓÒ ÓÒ ¾¼¼ Ô ØØ Ð º ¾ ƺ º Ö ÓÖ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Å ÙÖ Ñ ÒØ ÈÖ ÓÒ ÖÖÓÖ Ò ÌÖÙØ Ë ÓÒ Ø ÓÒ Ï Ð Ý Æ Û ÓÖ ½ Ô ØØ Ð º ʺ º Ï ÐÔÓРغ к ÓÔº غ ¾ Ô ØØ Ð º º ƺ º Ö ÓÖ ÓÔº غ Ô ØØ Ð ¾º º ƺ º Ö ÓÖ ÓÔº غ Ô ØØ Ð º º ÃÒÙØ ÖÒ ËØÖ Ò ¾¼¼ Ê Ú ÖØ ½ º½½º¾¼¼ Ã Ë Ê Ú ÖØ ½ º¼ º¾¼¼ Ä Ï»Ã Ë ¾ ÇÔº غ ØÝÖ Ø ÖØ ÓÚ Ò ÓÖº