Størrelse: px
Begynne med side:

Download ""

Transkript

1 ÆÓ Ò ÑÑ Ò Ò Ö Ñ ÐÐÓÑ Ö Ö Ñ ØÖÓ Ö Ð Ò Ö Ó Ö Ó ØÖ ÐÐ Ö Ò Ö ÃÚ Ð Å Ø ÖÓÔÔ Ú Ð Ö Å Ø Ñ Ø ÁÒ Ø ØÙØØ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ø Ö Ò ÆÓÖ ½½º ÔÖ Ð ¾¼¼

2

3

4 Ö Ñ ÓÖ ÐØ Ñ Ö ØØ Ò ØÓÖ Ø Ø Ð Ñ Ò Ú Ð Ö ÌÖÝ Ú ÂÓ Ò Ò ÓÖ Ò Ð Ó Ô Ö ÓÒÐ ÑÓØ Ú Ö Ò Ú Ð Ò Ò ÒÒÓÑ ÓÔÔ Ú Ö Ú Ò Òº À Ò ÔÖ ÒØ ÖØ Ø Ñ Ò ÓÔÔ Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ö Ô Ò Ú Ð ÓÚ Ö ØÐ ÑØ Ó Ò Ö Ú Ö ÐØ Ú Ö Ò ÓÖ Ú Ð Ö ØÒ Ò Ö ÓÔÔ Ú Ò ØÓ º

5 ÁÒÒÐ Ò Ò ÒÒ Ñ Ø ÖÓÔÔ Ú Ò ØÖ ÒÒ ÑÑ Ò Ò Ö Ñ ÐÐÓÑ Ð Ò Ö Ó Ö Ñ ØÖÓ Ö Ó Ö Öº ÒÒÓÑ Ò ÓÖ ÓÔÔ Ú Ò Ö Ø Ú ÔÖ ÒØ Ö Ö Ó Ø ÓÖ Ø ÓÒ ÔØ ÓÖ ÓÖÑÙÐ Ö Ò ÐÓ Ò Ø Ð ÓÖ Ñ ØÖÓ Ö Ó Ö ØØ Ö ÓÖ Ö Öº Ò Ñ ØÖÓ Ö Ø ÒØÖÓ Ù ÖØ Ú Ï ØÒ Ý ½ Ö Ò ØÖ Ø Ò Ö Ð Ö Ò Ú Ò Ñ ØÖ Ò Ú ÒÒ Ò Ñ ØÖÓ Ú Ò Ò Ö ØÓÖÑ ØÖ Ø Ð Ò Ð Ò Ö Ó º Ò Ñ ØÖÓ Ò Ó Ô ÓÑ Ò Ò Ö Ð Ö Ò Ú Ò Ö º ØØ Ò Ö Ò Ú ÐÐØ ÒÒ Ò Ñ ØÖÓ º Å ØÖÓ Ö ÙØ Ö Ö ÓÖ Ø Ò ØÙÖÐ Ñ ØÔÙÒ Ø Ø ÓÖ Ð Ò Ö Ó Ö Ñ ØÖÓ Ö Ó Ö Öº ÓÖ Ð ÒÖ Ó Ö (F q ) n Ö Ø ØÖ Ô Ö Ñ ØÖ ÓÑ Ö ÚÖØ Ú ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø ÓÖ Ø Ö Ó Ð Ò Ò n Ñ Ò ÓÒ Ò k ÒØ ÐÐ Ò ÓÖÑ ÓÒ ÝÑ ÓÐ Ö Ø Ó ÓÖ µ Ó Ñ Ò ÑÙÑ ¹ Ø Ò Ò dº ØØ Ø Ú Ò Ö Ò Ò Ò ÓÖÑ ÓÒ ØÖ Ò Ô k Ø Ö ÓÚ Ö Ò Ù Ö Ò Ð Ó Ö Ú ÒÒ ØÖ Ò Ò Ú Ø Ú Ø Ð Ö Ö Ò n k Ø Ö Ð Ø Ú ÒØÙ ÐÐ Ð ÓÑ ÓÔÔ ØÖ ÙÒ Ö Ò Ò Ò Ø Ø Ö Ó» ÐÐ Ö ÓÖÖ Ö º Å Ò ÑÙÑ Ú Ø Ò Ò Ö Ú ÒØ Ö ÒÒ Ò Ö ÚÓÖ Ñ Ò Ð t Ò Ó Ò ÓÖÖ Ö t = d /2 µº Á Ï Ò Ö Ð Ö Ñ Ò ÑÙÑ Ú Ø Ò Ò Ø Ð Ò Ð Ñ k Ð Ñ ÒØ Ö d,...,d k ÐØ Ý Ö Ú Ø Ò Ø Ð Ó¹ Òº Ø Ö ÒØÙ Ø ÚØ ÓÔÔÐ Ø Ú Ý Ö Ú Ø Ò ÓÖÙØ Ò d ÓÑ Ú Ö Ö Ø Ð Ò ØÖ ÓÒ ÐÐ Ñ Ò ÑÙÑ Ú Ø Ò Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Öº Å Ò Ö ÓÖØÓÐ Ò Ò Ö Ú ÖÝÔØÓÐÓ¹ Ñ Ö ÓÑ Ú Ö Ô Ô ØØ Ð º Á Ø ÐÐ Ú Ö Ø Ø Ý Ö Ú Ø Ò Ö Ú ØÝ Ò Ò Ú ØÙ Ö ÓÑÔÐ Ø Ø Ò Ú ØÖ ÐÐ Ó Ò ÓÑ Ú Ö Ô Ô ØØ Ð º Ò Ð Ò Ö Ó Ö Ò ÙÒ ÖÐ Ò ØÖÙ ØÙÖ ÓÑ Ò Ñ ØÖÓ º Î Ð Ò Ñ Ò Ò ÓÖ ÓÐÓÒÒ Ò Ø Ð Ò Ö ØÓÖÑ ØÖ Ò ÙØ Ö ÖÙÒÒÑ Ò Ò Ø Ð Ñ ØÖÓ Ò Ó Ù Ú Ò Ñ Ò Ò Ú ÓÐÓÒÒ Ö Ú Ö Ø Ð Ù Ú Ò Ñ Ò Ò Ø Ð Ñ ØÖÓ Ò Ö Ú Ò Ñ ØÖÓ ¹ ØÖÙ ØÙÖº ÐØ ÖÒ Ø ÚØ ÙÒÒ Ú Ó ÒÒ Ò Ñ ØÖÓ ØÖÙ ØÙÖ Ú ÒÝØØ Ò Ô Ö Ø Ø ¹ Ñ ØÖ Ø Ð Ó Ò Ò Ô Ö Ø Ø Ñ ØÖ Ó Ò Ò Ö ØÓÖÑ ØÖ Ö Ò ÓÔÔ Ú Ø Ð Ú Ö Ò Ö µº Î Ò Ò Ö ÐÐ Ô Ö Ñ Ø ÖÒ (n,k,d,...d k ) Ú Ñ ØÖÓ ØÖÙ ØÙÖ Ò Ó Ò Ú Ö Ò Ö Ñ ÓÖ Ñ ØÖÓ Ö Ò Ö Ðغ ËÓÑ Ø Ð Ö Ò ÚÒØ ØÖ ÑÝ Ú ÓÔÔ Ú Ò ÓÖÑÙÐ Ö ÒØ Ò Ô Ö ÓÖ Ó Ö Ñ ØÖÓ ÔÖ º Å Ò ÐÐ Ò Ô Ö Ú Ó Ö Ö Ø ÑØ Ú Ñ ØÖÓ ØÖÙ ØÙÖ Ò Ó ÑÔÐ Ö Ô ØØ Ö Ö Ð Ø Ú Ñ Ò ÓÒ»Ð Ò ÔÖÓ Ð ÓÑ Ú Ö Ô Ô ØØ Ð º À ÐÐ Ö ØÖ ÐÐ Ó Ò ÓÑ Ú Ö Ô Ô ØØ Ð Ö Ø ÑØ Ú Ñ ØÖÓ ØÖÙ ØÙÖ Òº Î Ö Ö Ú Ô ÚÓÖ Ò ÙØ Ò ÔÙÒ Ø Ø Ó Ø ÓÖ Ø Ô Ö Ñ Ø ÖÒ (n,k,d,...,d k ) Ò ÓÖØÓÐ ÒÖ Ú Ñ ØÖÓ ØÖÙ ØÙÖ ØØ ÒÒ Ò ÐØ ÒÒ Ò ÑÑ Ò Ò ÓÑ ÓÖ Ö Öº Î Ö Ø Ñ Ò ÑÙ Ñ Ú Ø Ò Ò Ú Ö Ö Ø Ð Ò Ñ Ò Ø Ý Ð Ò Ø Ð Ò Ö Ý Ð Ú Ö Ö Ø Ð Ò Ñ Ò Ñ Ð Ú Ò Ñ Ò µº Î Ö Ú Ð Ý Ö Ú Ø Ò d j Ú Ö Ø Ð Ñ Ò Ø ÑÙÐ ÒØ ÐÐ ÒØ Ö Ò ÙÒ Ö Ö ÓÑ ÒÒ ÓÐ Ö j Ý Ð Öº ÒØ ÐÐ Ý Ð Ö ØÓØ ÐØ Ú Ö Ö Ø Ð Ñ Ò ÓÒ Ò kº Î ÝÒÒ Ö ÓÔÔ Ú Ò Ñ ÔÖ ÒØ Ö ÖÙÒÒÐ Ò Ø ÓÖ ÓÖ Ð Ò Ö Ó Ö Ñ ØÖÓ Ö Ó Ö Ö ÓÑ Ú ÖÙ Ö Ò Ö ÓÔÔ Ú Òº Ã Ô ØØ Ð ½ ÙØ Ö ÒÒ Ð Òº Á Ã Ô ØØ Ð ¾ Ò Ö Ö Ú Ú Ø Ö Ö Ø Ø Ð Ñ ØÖÓ Ö Ó Ö Öº Î Ø Ö Ö Ø Ð Ö ÒØÐ ÖÙÒÒ Ú Ò Ö ÒØÖÓ Ù Ö Ö Ú ÚÓ ÓÒ Ó Ñ Ò ÓÒ»Ð Ò ÔÖÓ Ð Ò ÓÐ Ú Ã Ô ØØ Ð Ó º Ö ØØ Ö Ò Ö Ö Ú Å Ë¹ Ò Ô Ò ÓÖ Ñ ØÖÓ Ö Ó Ö Ö Ó ÓÖÑÙÐ Ö Ö Ó Ú Ö ÒÓ Ò Ö ÙÐØ Ø ÓÖ Å Ë¹ Ö Ö

6 Á Ã Ô ØØ Ð Ö Ú Ô Ò ÖÝÔØÓÐÓ ØÙ ÓÒº Á ÖØ Ð Ò Ø Ð ÄÓÙ Å ØÔÖ ÒØ Î Ò Ó Ò Ö Ô Ú ÚÓ ÓÒ Ò Ñ Ò ÑÙÑ Ù Ö Øµ Ú Ø ØÓ Ò Ö Ò Ö ØÓ ÖÝÔØ ÖØ Ú ØÓÖ Ö Ñ Ò ÓÖÑ ÓÒ Ø Ð ÑÓØØ Öº Î Ö Ò Ö ÒÒ ØÙ ÓÒ Ò Ú Ø Ú ÙÒ Ø Ö ÓÖ Ó Ò Ò Öº Ö ØØ Ö Ö Ú Ô ÑÑ Ò Ò Ò Ñ ÐÐÓÑ Ú ÚÓ ÓÒ Ò Ó Ý Ö Ú Ø Ò º Î Ð Ø Ö Ø ÑØ Ú Ú Ö Ò Ö º Î Ö Ö Ú Ô Ú ÚÓ ÓÒ Ò Ø Ð Å Ë ÒÖ¹Å Ë Ó Ò Ø Ò¹Å Ë Ó Ö ÓÖ Ò Ö Å Ë¹ Ø Ò ÓÑ Ö Ø ÑÐ ÓÖ ÚÓÖ Ð Ò Ø Ò Ð Ò Ö Ó Ö Ö ÚÖ Å Ë Ó Ö ÓÖ Ñ Ñ Ð Ú ÚÓ ÓÒµº Î Ö Ó Ô ÚÓÖ Ò Ú ÚÓ ÓÒ Ò Ö ÑÑ Ò Ñ ¹Å Ë Ó Ò Ð ØÓÒ Ø Ò Ø Ð Ò Ð Ò Ö Ó º Ì Ð ÐÙØØ Ô ØØ Ð Ò Ö Ð Ö Ö Ú Ò ÖÝÔØÓÐÓ ØÙ ÓÒ Ò Ú ÒØÖÓ Ù ÖØ ÝÒÒ Ð Ò Ú Ô ØØ Ð Ø Ø Ð Ð ÓÖ ØÓ Ò Ö Ñ ØÖ ØÓ Ð Öµ ÓÑ Ö Ú Ø ÖØ Ð Ò Ø Ð ÄÅÎ º Á Ã Ô ØØ Ð Ö Ú Ö Ø Ô ÔÖÓ ÓÒ Ö Ó ÙÒ Ö Ó Ö Ö Ú ÒÒ Ö Ö Ñ Ò ÓÒ»Ð Ò ÔÖÓ Ð ÄÈ ÓÖ Ò Ð Ò Ö Ó º Ö ØØ Ö Ò Ö Ö Ú ÄÈ ÓÖ Ñ ØÖÓ Ö Ó ÓÖÑÙÐ Ö Ö Ö ÙÐØ Ø Ò ÓÑ Ð Ø ÓÖ Ó Ö Ñ ØÖÓ ÔÖ º Ö ØØ Ö Ö Ú Ô ÑÑ Ò Ò Ò Ñ ÐÐÓÑ Ú ÚÓ ÓÒ Ó ÄȺ Ì Ð ÐÙØØ ÓÖØÓÐ Ö Ú Ú ÚÓ ÓÒ Ó ÄÈ ÓÖ Ò Ö º Á Ã Ô ØØ Ð ÙØÚ Ö Ú Ö Ô Ø ÄÈ Ø Ð Ö Ð Ø Ú Ñ Ò ÓÒ»Ð Ò ÔÖÓ Ð Ê Äȵº Î Ö ÓÖ Ö Ú Ò Ö Ò Ö Ð Ø Ú Ö Ò ÙÒ ÓÒ Ö Ò ÙÒ ÓÒ Ò Ö ÓÔÔ ÝÐØ Ø Ö Ð Ø Ú Ø Ð ÐРغ Î Ò Ö Ö Ò Ú Ñ ØÖÓ Ú ÖÙ Ò Ö Ð Ø Ú Ö Ò ÙÒ ÓÒ Ò Ó Ú Ò Ò Ö Ò Ù Ð Ö Ð Ø Ú Ö Ò ÙÒ ÓÒº Ö ØØ Ö ÓÖÑÙÐ Ö Ö Ú Ð Ö Ú Ø ÓÖ Ò ÓÖ Ñ ØÖÓ Ö Ú Ñ ØÖÓ ÔÖ º ØØ Ú Ð Ò Ö Ð Ö ÑÝ Ú Ø ÓÖ Ò ÓÖ Ñ ØÖÓ Öº Á Ã Ô ØØ Ð Ø Ö ÓÔÔ Ú Ò Ò ÒÝ Ú Ò Ò Ú ÒØÖÓ Ù Ö Ö ØÖ ÐÐ Öº Î Ö Ú Ö Ö Ø Ú Ò ØÖ ÐÐ Ö Ó ÚÓÖ Ò Ú Ò ÓÒ ØÖÙ Ö Ò Ñ Ò Ñ Ð ØÖ ÐÐ º Î Ö Ö Ú Ô ÚÓÖ Ò ÄÈ Ò ÖÙ ÓÖ ÓÔØ Ñ Ö Ø ÖÖ Ð Ò Ô ØÖ ÐÐ Òº ÓÖ ÑÓØ Ú Ö ÖÙ Ò Ú ØÖ ÐÐ Ö Ö Ú Ø Ð ÐÙØØ Ô ØÖ ÐÐ Ó Ò º

7 ÁÒÒ ÓÐ ½ ÖÙÒÒ Ñ Ø Ö Ð ½ ½º½ Ö Ø ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Å ØÖÓ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º ÃÓ Ø ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÆÓ Ò ÑÑ Ò Ò Ö Ñ ÐÐÓÑ Ñ ØÖÓ Ö Ö Ö Ó Ó Ö ½½ ¾º½ Î Ø Ö Ö Ø Ø Ð Ñ ØÖÓ Ö Ó Ö Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º¾ Š˹ Ö Ö Ó ÒֹŠ˹ Ö Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ú ÚÓ ÓÒ Ú Ò Ð ÚÐÝØØ Ò ½ º½ Ï Ö ¹Ø Ô Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ë ÑÑ Ò Ò Ñ ÐÐÓÑ Ú ÚÓ ÓÒ Ó Ý Ö Ú Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ú ÚÓ ÓÒ Ò Ø Ð Å Ë ÒÖ¹Å Ë Ò Ø Ò¹Å Ë Ó Ö Ó ¹Å ˹ Ó Ö º º ¾¼ º Ï Ö ¹Ø Ô Ò Ð Ñ Ñ ØÖ ØÓ Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ñ Ò ÓÒ»Ä Ò ÔÖÓ Ð ¾ º½ ÈÖÓ ÓÒ Ö ÙÒ Ö Ó Ö Ó ÄÈ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÄÈ Ø Ð Ñ ØÖÓ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ë ÑÑ Ò Ò Ò Ñ ÐÐÓÑ ÄÈ Ó Ú ÚÓ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÄÈ Ó Ú ÚÓ ÓÒ Ø Ð Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê Ð Ø Ú Ñ Ò ÓÒ»Ð Ò ÔÖÓ Ð Ö Ð Ø Ú Ö Ò ÙÒ ÓÒ Ó Ú Ñ ØÖÓ Ö º½ Ê Ð Ø Ú Ñ Ò ÓÒ»Ð Ò ÔÖÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ê Ð Ø Ú Ö Ò ÙÒ ÓÒ Ó Ú Ñ ØÖÓ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÌÖ ÐÐ Ö Ó ØÖ ÐÐ Ó Ò º½ ÌÖ ÐÐ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÌÖ ÐÐ Ó Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ú

8 Ã Ô ØØ Ð ½ ÖÙÒÒ Ñ Ø Ö Ð ½º½ Ö Ø ÓÖ Î ÝÒÒ Ö Ñ ÖÙÒÒÐ Ò Ö Ø ÓÖ º Ò Ö G ØÖ Ú Ò ¹ØÓÑ Ñ Ò V Gµ Ñ ÖÒ Ö Ó Ò ÑÙÐØ Ñ Ò E Gµ Ñ ÒØ Ö Ö Ú Ö ÒØ Ö Ø ÙÓÖ Ò Ø Ô Ö Ú ÖÒ Öº Ä e E Gµ Ó e {Ù Ú} Ö u v Î Gµº Î Ö Ø u Ó v Ö Ò Ó ÖÒ Ö Ó Ø e Ö Ò ÒØ Ñ u Ó vº ÀÚ e {u u} Ö Ú Ø e Ö Ò Ð º ÀÚ e e 2 {u v} Ö ØÓ ÒØ Ö Ò ÒØ Ø Ð ÑÑ Ô Ö Ú ÖÒ Ö Ö Ú Ø e Ó 2 Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ô Ö Ð ÐÐ µ ÒØ Öº Ò Ö Ö Ò Ð Ö ÓÑ Ò ÒÒ ÓÐ Ö ÒÓ Ò Ð Ö ÐÐ Ö ÑÙÐØ ÔÐ ÒØ Öº ÌÓ Ö Ö G Ó G Ö ÓÑÓÖ Ú Ø Ø Ö Ö Ò Ò¹Ø Ð¹ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ñ ÐÐÓÑ ÖÒ Ò G Ó G Ð Ø ÐÐ Ô Ö Ú ÖÒ Ö Ö Ò Ó ÖÒ Ö G Ú Ó Ö Ú Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ò Ô Ö Ú ÖÒ Ö Ö Ò Ó ÖÒ Ö G Ò Ø Ò Ö G Ö Ò Ð v e v e 2 v k e k v k Ö v v ººº v k Ö Ø Ò Ø ÖÒ Ö G Ó Ð Ð e e ººº e k Ö Ø Ò Ø ÒØ Öº Ò Ö Ø Ý Ðµ Ö Ò ÐÙ Ø Ø Ú v v r Ó e r v r v r E Gµº Ò ÒØÑ Ò F E Gµ Ö Ù Ú Ò Ú F ÒÒ ÓÐ Ö ÒÓ Ò Ö Ø Öº Ò Ö H Ö Ò Ð Ö Ø Ð Ò Ö G Ú V Hµ V Gµ Ó E Hµ E Gµº Ò Ö Ö ÑÑ Ò Ò Ò Ú ÐÐ Ô Ö Ú ÖÒ Ö Ö ÓÖ ÙÒ Ø Ú Ø º Ò Ñ Ñ Ð ÑÑ Ò Ò Ò Ð Ö Ú Ò Ö G ÐÐ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ð Gº Ò ÑÑ Ò Ò Ò Ö ÚÖ Ø ØÖ Ö ÓÑ Ò ÒÒ ÓÐ Ö ÒÓ Ò Ý Ð Öº Ø ÙØ Ô ÒÒ Ò ØÖ Ø Ð Ò Ö G Ö Ò Ð Ö T Ú G Ð Ø T Ö Ø ØÖ Ó V T µ V Gµº Ø ÙØ Ô ÒÒ Ò ØÖ Ø Ð Ò Ö ÒÒ ÓÐ Ö V Gµ ½ ÒØ Öº Ò Ó Ö Ò Ö G Ö Ú Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ð G Ö Ø ØÖ º Ë Ø ØÖ Ö Ò ÑÑ Ò Ò Ò Ó º Ä G ÚÖ Ò Ö Ó Ð F E Gµº Ö Ò Ú Ö Ú ÖÒ ÒØÑ Ò Ò F Ø Ò Ú G\F º ÀÚ ÒØ ÐÐ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ú ÖÒ F ÐÐ F Ò Ô Ö Ö Ò ÒØÑ Ò Ø Ð Gº Ò Ñ Ò Ñ Ð Ô Ö Ö Ò ÒØÑ Ò ÐÐ Ò Ó Ö Ø º Ò Ó Ö Ø Ø Ò Ú Ò ÒØ ÐÐ Ò ÖÓº Ò Ú Ø Ð Ú Ö Ö Ö ÓÑÔÐ ØØ Ö Ò K n º Á Ò ÓÑÔÐ ØØ Ö Ö ÐÐ ÑÙÐ Ô Ö Ú ÖÒ Ö ÓÖ ÙÒ Ø Ñ Ò Òغ ½

9 Ò ÔÐ Ò Ö Ö Ö Ò Ö ÓÑ Ò Ø Ò ÔÐ Ò Ø ÙØ Ò Ø ÒÓ Ò ÒØ Ö Ö Ö Ú Ö Ò Ö º Ò ÔÐ Ò Ö Ö Ð Ö ÔÐ Ò Ø ÒÒ Ø Ò Ð ÒØ ÐÐ Ö ÓÒ Öº Ä H ÚÖ Ò ÔÐ Ò Ø Ò Ò Ú Ò Ö Gº Ò ÓÑ ØÖ Ù Ð Ò H Ø Ð H Ò ÓÒ ØÖÙ Ö Ô Ð Ò ÑØ ½º ÓÖ Ú Ö Ö ÓÒ R H ØØ ÒÒ Ø ÖÒ v R V H µ ¾ºÄ Ñ Ò Ò Ú ÒØ Ö ÓÑ Ú Ö Ò Ö Ö ÓÒ Ò R Ó R ÚÖ {e e 2 ººº e k } Î ÓÖ Ò Ö v F Ó v F Ú k ÒØ Ö e e 2 ººº e k Ö e i ÖÝ Ö i Ñ Ò Ò Ò Ò Ö ÒØ Ö Gº ÀÚ Ú Ö Ò ÒØ e ÓÑ Ú Ö Ò Ö ØÓ Ö ÓÒ Ö Ö Ö Ú Ò Ð e ÓÑ ÖÝ Ö e Ó Ò Ò Ò Ö ÒØ Ö G ÐÐ Ö G º Ò Ö Ö Ò Ö Ö ÒØ Ò Ö ÓÖ Ò Ô Ö Ú ÖÒ Öº ÀÚ D V Dµ E Dµµ Ö Ò Ö Ö Ú Ø G V Gµ E Gµ Ö V Gµ V Dµ Ó E(G) Ö ÙÓÖ Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ð E(D) Ö Ò ÙÒ ÖÐ Ò Ö Ò Ø Ð Dº Î ÐÐ Ö D ÓÖ Ò ÓÖ ÒØ Ö Ò Ú Gº ½º¾ Å ØÖÓ Ö Î ÝÒÒ Ö Ñ Ò Ö Ò Ñ ØÖÓ º Ò ÓÒ ½º¾º½º Ò Ñ ØÖÓ M Ö Ø Ô Ö (E,I) Ö E Ö Ò Ò Ð Ñ Ò Ó I Ö Ò Ñ Ð Ú ÐÑ Ò Ö Ø Ð E ÓÑ ÓÔÔ ÝÐÐ Ö Ð Ò Ò Ô Ö µ I µ ÀÚ X I Ó Y X Ú Ð Y I µ ÀÚ X Y I Ó X Y Ø Ö Ö Ø e Y X Ð Ø X e I Î Ö Ø E Ö ÖÙÒÒÑ Ò Ò Ø Ð Ñ ØÖÓ Òº Å Ò Ò I ÐÐ Ù Ú Ò Ñ Ò Öº ÃÓÑÔÐ Ñ ÒØÑ Ò Ò Ø Ð Ñ Ò Ò I Ñ Ò ÝÒ Ô E ÐÐ Ú Ò Ñ Ò Ò Ø Ð Ñ ØÖÓ Ò º Ò Ñ Ñ Ð Ù Ú Ò Ñ Ò ÐÐ Ò º Ø Ö Ð ØØ Ú Ø ÐÐ Ñ Ò Ò Ö Ð Ö Ò Ð Ø Øº Ø Ö Ø Ð ØÖ Ð Ò Ö Ò Ñ ØÖÓ Ú Ò Ñ Ò Ò Ú Ö ÒÓ ÓÑ Ð Ò Ì ÓÖ Ñ Ö Ø Ö Ì ÓÖ Ñ ½º¾º¾º Ä E ÚÖ Ò Ñ Ò º Ò ¹ØÓÑ Ñ Ð Ú ÐÑ Ò Ö β Ú E ÙØ Ö Ñ Ò Ò Ú Ö Ø Ð Ò Ñ ØÖÓ Ô E Ú Ó Ö Ú β Ø Ð Ö Ø ÐÐ Ö Ð Ò Ò Ô ÀÚ B Ó B 2 β Ó x B B 2 Ø Ö Ö y B 2 B Ð Ø (B {y}) {x} β Ú º Ë Ï Ð Ò Ñ Ò Ñ Ð Ú Ò Ñ Ò ÐÐ Ò Ö Ø º Ò Ñ ØÖÓ Ö ÒØÝ Ø ÑØ Ú Ò Ò Ö Ø Öº ØØ Ö ÓÔÔ Ú Ø Ð Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò ÓÒ Ú Ò Ñ ØÖÓ ¾

10 Ì ÓÖ Ñ ½º¾º º Ò Ñ ØÖÓ Ö Ø Ô Ö (E,C) Ö E Ö ÖÙÒÒÑ Ò Ò Ó C Ö Ò Ñ Ð Ú Ö Ø Ö Ð Ø µ C µ ÀÚ C C 2 C Ó C C 2 Ö C C 2 µ ÀÚ C C 2 C Ó e C C 2 Ø Ö Ö Ø C 3 C Ð Ø C 3 (C C 2 µ ¹ {e} Ú º µ Ó µ Ö ØÖ Ú ÐÐ º ÓÖ Ú Ú µ Ç º Ø ÒÒ Ò ÑØ Ò Ö Ò Ñ ØÖÓ Ô ÓÑ ÖÙ Ö Ö Ò ÙÒ ÓÒ Ò Ø Ð Ò Ñ ØÖÓ º Ö Ø Ò Ö Ö Ú Ö Ò ÙÒ ÓÒ Òº Ò ÓÒ ½º¾º º Ä M = (E,I) ÚÖ Ò Ñ ØÖÓ º Ä Ì º Ê Ò ÙÒ ÓÒ Ò Ô M Ö ÙÒ ÓÒ Ò r : 2 E N {} Ò ÖØ Ú Î ÐÐ Ö r(t) Ö Ò Ò Ø Ð T º r(t) = max{ X X T Ó X I} Ê Ò Ò Ø Ð Ñ ØÖÓ Ò M Ö Ö Ò Ð Ø Ø Ò Ø Ð Ò Ñ Ñ Ð Ù Ú Ò Ñ Ò º ÈÖÓÔÓ ÓÒ ½º¾º º Ä M = (E,I) ÚÖ Ò Ñ ØÖÓ º Ä T Eº Ö Ú µ T Ö Ù Ú Ò Ú Ó Ö Ú T = r(t) µ T Ö Ò Ú Ó Ö Ú T = r(t) = r(m) Ú º Ë Ç º Ì ÓÖ Ñ ½º¾º º Ò Ñ ØÖÓ ØÖ Ú Ò ÖÙÒÒÑ Ò Ó Ò ÙÒ ÓÒ Ö 2 E Æ {¼} Ð Ø µ r(x) X ÓÖ ÐÐ X E µ ÀÚ X Y E Ö r(x) r(y ) µ ÀÚ X,Y E Ö r(x Y ) + r(x Y ) r(x) + r(y ) Ú º Ë Ï Ð

11 ØØ Ø Ú Ø ÖØ Ö Ñ Ò ÖÙÒÒÑ Ò E Ó Ò Ö Ò ÙÒ ÓÒ r Ú Ð Ù Ú Ò Ñ Ò ¹ Ò Ñ ØÖÓ Ò Ú Ö Ø Ð ÐÑ Ò Ö T Ú E ÓÑ ÓÔÔ ÝÐÐ Ö Ì = r(t)º Ø Ö Ö ÓÖ Ð ØØ Ø Ö Ò ÓÑ Ò Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ ÓÑ Ò ØØ Ò ÓÒ ½º¾º½ Î Ö Ø ÐØ ÖÒ Ø ÚØ ØØ Ñ ÓÑ Ö ÓÑ Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ ÓÑ Ò ØØ Ì ÓÖ Ñ ½º¾º º Ì ÓÖ Ñ ½º¾º º ØØ Ò ÖÙÒÒÑ Ò Eº Ò ÙÒ ÓÒ r : 2 E N {} Ö Ò Ö Ò ÙÒ ÓÒ Ô E Ú Ó Ö Ú Ð Ò ÓÑ Ö Ö ÓÔÔ ÝÐØ ÓÖ ÐÐ X E x,y E µ³ r( ) = µ³ r(x) r(x {x}) r(x) + µ³ ÀÚ r(x {x}) = r(x {y}) = r(x) Ú Ð r(x {x} {y}) = r(x) Ú º Ë Ï Ð ÑÔ Ð ½º¾º º Ã Ò Ò Ð Ø ÑÔÐ Ò Ô Ñ ØÖÓ Ö Ö ÙÒ ÓÖÑ Ñ ØÖÓ ¹ Ò U k,n º ÖÙÒÒÑ Ò Ò ØÖ Ú Ò Ò¹Ñ Ò Ó Ñ Ò Ò Ú Ö ØÖ Ú ÐÐ ¹ ÐÑ Ò Öº Ê Ò Ò Ø Ð U k,n Ö kº Ò ÒÒ Ò Ú Ø Ð Ú Ñ ØÖÓ Ö Ö Ú ØÓÖ ÐÐ Ñ ØÖÓ Ò º Ð Ò Ö ÙÐØ Ø Ú Ö ÚÓÖ Ò Ú Ò ÓÒ ØÖÙ Ö Ò Ú ØÓÖÑ ØÖÓ ØØ Ò Ñ ØÖ º ÈÖÓÔÓ ÓÒ ½º¾º º Ä Ñ Ò Ò E Ú Ö Ø Ð ÓÐÓÒÒ Ò Ò Ø Ð Ò m n Ñ ØÖ A ÓÚ Ö Ò ÖÓÔÔ Kº Ä I ÚÖ Ñ Ð Ò Ú ÐÑ Ò Ö X Ú E Ð Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ò ÑÙÐØ Ñ Ò Ö Ú ÓÐÓÒÒ Ò Ö X Ö Ð Ò ÖØ Ù Ú Ú ØÓÖÖÓÑÑ Ø K m º Ö Ô Ö Ø (E,I) Ò Ñ ØÖÓ ÓÑ ÐÐ Ú ØÓÖÑ ØÖÓ Ò Ø Ð A Ó Ø Ò M[A]º Ú º Ë Ç Ò ØÓÖ Ð Ú Ñ ØÖÓ Ø ÓÖ Ò ÓÑ Ò Ð Ö Ù Ð Ø Ø Ú Ñ ØÖÓ Öº ØØ Ò Ñ ØÖÓ Ò Ú ÐÐØ ÓÒ ØÖÙ Ö Ò Ù Ð Ú Ð Ò Ö ÙÐØ Ø Ì ÓÖ Ñ ½º¾º½¼º Ä M ÚÖ Ò Ñ ØÖÓ Ó Ð β(m) ÚÖ Ñ Ò Ò Ú Ð Ñ ÒØ Ö Ø Ð Mº Ú Ð β (M) = {E(M) β B β(m)} ÚÖ Ñ Ò Ò Ú Ö Ø Ð M Ô ÖÙÒÒÑ Ò Ò E(M)º Î ÐÐ Ö M Ò Ù Ð Ñ ØÖÓ Ò Ø Ð Mº Ò Ú Ø Ñ Ö Ò Ò Ö Ø ÑÓØ ØÒ Ò Ø Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ö ÙÐ Ù Ð Ö Ò Ö Ö Ò Ñ ØÖÓ Ò ÙÒ Ù Ðº Î Ù Ð Ö Ò Ù Ð Ñ ØÖÓ Ò Ö Ø Ð ØØ Ø M µ Mº Î Ö Ø Ò M Ö Ò Ó Mº Ì Ð Ú Ö Ò Ö Ò Ö Ø M Ò Ó Ö Ø M

12 ÑÔ Ð ½º¾º½½º Ò Ù Ð Ø Ð Ò ÙÒ ÓÖÑ Ñ ØÖÓ Ò U k,n Ö ØØ Ú U k,n = U n k,nº Ø Ö Ð ØØ Ø Ö ÓÑ r Ø Ò Ö Ö Ò ÙÒ ÓÒ Ò Ø Ð M Ö Ú r Mµ + r(m) = E(M) º Î Ò Ö Ð Ò Ö ÙÐØ Ø Ö Ç ÓÑ Ú Ö ÑÑ Ò Ò Ò Ñ ÐÐÓÑ Ö Ò ÙÒ ÓÒ Ò Ø Ð M Ó Ò Ù Ð Ö Ò ÙÒ ÓÒ Ò Ø Ð M Ú Ö Ò ÙÒ ÓÒ Ò Ø Ð M µº ÈÖÓÔÓ ÓÒ ½º¾º½¾º Ä M ÚÖ Ò Ñ ØÖÓ Ô ÖÙÒÒÑ Ò Ò Eº Ä X Eº Ú Ð Ú º Ë Ç r (X) = X + r(e X) r(e) Î Ò Ö Ö Ò ØÓ Ñ ØÖÓ ÓÔ Ö ÓÒ Ö ÐØ Ð ØØ Ò Ó ÓÒØÖ ÓÒ Ò ÓÒ ½º¾º½ º Ä M = (E,I) ÚÖ Ò Ñ ØÖÓ º Ä T Eº µ Å ØÖÓ Ò M \ T = (E T,I(M \ T)) Ö I(M \ T) = {X E T X I(M)} ÐÐ Ð ØØ Ò Ò Ú T Ö Eº µ Å ØÖÓ Ò M/T = (M \ T) Ô ÖÙÒÒÑ Ò Ò E T ÐÐ ÓÒØÖ ÓÒ Ò Ú T Ö M Ò ÓÒ ½º¾º½ º Ä M = (E,I ) Ó M 2 = (E 2,I 2 ) ÚÖ ØÓ Ñ ØÖÓ Öº Î Ö Ø M Ó M 2 Ö ÓÑÓÖ Ø Ò Ø Ú M = M2 Ú Ø Ø Ö Ö Ò ÓÒ ϕ : E E 2 Ð Ø X I Ú Ó Ö Ú ϕ(x) I 2 ÓÖ ÐÐ X E Î ÙÒÒ Ó Ò ÖØ Ñ ØÖÓ ÓÑÓÖ Ú Ø Ø Ñ Ø Ö Ò Ö Ø Ú Ö Ò ÐÐ Ö Ö Ò Ú Ö Ò ÓÒ Ñ ÐÐÓÑ E Ó E 2 º ØØ Ò Ö G V Eµº Î Ò ÓÒ ØÖÙ Ö Ò Ñ ØÖÓ M Ö Ö Ò G Ú Ð Òع Ñ Ò Ò Gµ Ú Ö Ø Ð ÖÙÒÒÑ Ò Ò M Ó Ý Ð Ò G Ú Ö Ø Ð Ö Ø Ò Mº Î ÐÐ Ö Ñ ØÖÓ Ò M Gµ E Gµ Cµ Ö Ø Ñ ØÖÓ Ò Ø Ð Gº Î Ö Ö ÖÙ Ø Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú ¹ Ò ÓÒ Ò Ö Ì ÓÖ Ñ ½º¾º Ø Ò ÓÖ Ò ÓÒ ½º¾º½ ÑÔ Ð ½º¾º½ º ÃÖ Ø Ñ ØÖÓ Ò Ø Ð K 3 Ö ÓÑÓÖ Ñ Ò ÙÒ ÓÖÑ Ñ ØÖÓ Ò U 2,3

13 ½º ÃÓ Ø ÓÖ Î Ø Ò Ö Ú ØÓÖÖÓÑÑ Ø Ú Ñ Ò ÓÒ n ÓÚ Ö F q ÓÑ (F q µ n Ò ÓÒ ½º º½º Ò ÐÓ ¹ Ó C Ö Ò ÙÒ ÖÑ Ò Ú (F q ) n Ò ÓÒ ½º º¾º Ò Ó C Ö Ò Ð Ò Ö Ó Ú C Ö Ø ÙÒ ÖÖÓÑ Ú (F q ) n Ö ÓÑ C Ö Ø k¹ Ñ Ò ÓÒ ÐØ ÙÒ ÖÖÓÑ Ú (F q µ n Ö Ú Ø C Ö Ò Ð Ò Ö n k ¹ Ó º Ä Ò Ò Ø Ð Ó ÓÖ Ò Ö nº Ú Ú Ð k Ú Ð Ñ ÒØ Ò ÚÖ Ò ÓÖÑ ÓÒ ÝÑ ÓÐ Öº Ø Ö ÓÑ ÙØ Ö Ò ÓÖÑ ÓÒ Ò Ó ÓÖ Ò º Ø n k Ð Ñ ÒØ Ò ÐÐ ÝÑ ÓÐ Ö Ó Ö ÓÑ ÙÒ ÓÒ Ø Ø Ö Ó» ÐÐ Ö ÓÖÖ Ö Ð Ú Ò Ò ÓÚ Ö Ù Ö Ò Ð Öº Î ÐÐ Ö r n k Ö ÙÒ Ò Ò Ø Ð Ó Òº Ò ÓÒ ½º º º Ä x Ó y ÚÖ ØÓ Ó ÓÖ Ú ØÓÖ Öµ Cº À ÑÑ Ò Ú Ø Ò Ò d H (x,y) Ö Ð ÒØ ÐÐ ÔÓ ÓÒ Ö Ö x Ó y Ö ÓÖ ÐÐ º Ú d H (x,y) = {i x i y i,i =,...,n} Ò ÓÒ ½º º º Å Ò ÑÙÑ Ú Ø Ò Ò d Ø Ð C Ö Ò Ñ Ò Ø À ÑÑ Ò Ú Ø Ò Ò Ñ ÐÐÓÑ ÐÐ ÑÙÐ Ô Ö Ú Ó ÓÖ º Ú d = min H {(x,y) x,y C,x y} Ò ÓÒ ½º º º À ÑÑ Ò Ú Ø Ò w(xµ Ø Ð Ò Ó C Ö ÒØ ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø Ö ÓÖ ÐÐ Ö ÒÙÐÐ w(x) = {i x i,i =,...,n} = d(x,) Ò ÓÒ ½º º º Å Ò ÒÙÑ Ú Ø Ò w(c) Ø Ð Ò Ó C Ö Ò Ñ Ò Ø Ú Ø Ò ÓÖ ÐÐ Ö ÒÙÐÐ w(c) = min{w(c) c C {}} Ø Ö Ú ÒÐ Ø Ò Ò ÐÓ ¹ Ó C ÓÖ Ò (n,m,d)¹ Ó Ö n Ö Ð Ò Ò M Ö ÒØ ÐÐ Ó ÓÖ Ó d Ö Ñ Ò ÑÙÑ Ú Ø Ò Òº Ò Ð Ò Ö Ó Ø Ò ÓÑ Ò [n,k,d]¹ Ó Ö k Ö Ñ Ò ÓÒ Ò Ø Ð Ó Òº ÒØ ÐÐ Ó ÓÖ Ö q k º Ì ÓÖ Ñ ½º º º Ä C ÚÖ Ò Ð Ò Ö Ó º Ú Ð Ñ Ò ÑÙÑ Ú Ø Ò Ø Ð C ÚÖ Ð Ñ Ò ¹ ÑÙÑ Ú Ø Ò Ò Ø Ð C Ú º Ë À d(c) = w(c) Ì ÓÖ Ñ ½º º º Ë Ò Ð ØÓÒ Ö Ò Ò Ò Òµ ÓÖ Ò (n,m,d)¹ Ó Ö Ú Ø Ú º Ë À M q n k+

14 ÓÖ Ò Ð Ò Ö Ó Ö Ø Ú ÒÐ Ò Ë Ò Ð ØÓÒ Ö Ò Ò Ò Ò ÓÑ Ò ÚÖ Ö Ò Ò Ò Ú d d n k+½º Ò Ð Ò Ö Ó Ö Ø ÙÒ ÖÖÓÑ Ö Ø ÒÓ Ô Ö C Ú Ò º ÓÖ Ò [n,k]¹ Ó C ÒÒ Ö Ú Ò k n Ñ ØÖ G Ö Ö Ò Ñ ØÖ Ò ÙØ Ö Ò Ø Ð Cº Ò Ð G ÐÐ Ò Ò Ö ØÓÖÑ ØÖ Ø Ð Cº ÐÐ Ó ÓÖ Ò C Ò ÙØØÖÝ ÓÑ Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò ÓÒ Ú Ö Ò Gº Î Ò Ö Ö Ò Ú Ú Ð Ò ÓÖ Ó Ö Ó ÓÖÑÙÐ Ö Ö Ö ØØ Ö Ø Ú Ø Ö ÙÐØ Ø ÓÑ Ú Ö ÚÓÖ Ò Ú Ò ÓÑ ÓÖÑ Ò Ò Ö ØÓÖÑ ØÖ Ô ÒÓ ÓÑ ÐÐ Ø Ò Ö ÓÖѺ Ò ÓÒ ½º º º Î Ö Ø ØÓ Ð ÒÖ Ó Ö C Ó C 2 Ö Ú Ú Ð ÒØ Ö ÓÑ Ò Ò Ó Ò Ò Ö Ò Ò Ö Ú Ô ÖÑÙØ Ö ÓÓÖ Ò Ø Ò Ø Ð Ó Ò Ú Ú Ô ÖÑÙØ Ö ÓÐÓÒÒ Ò Ò Ø Ð Ò Ö ØÓÖÑ ØÖ Òµ Ó» ÐÐ Ö Ú ÑÙÐØ ÔÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø Ò ÓÐÓÒÒ Ò µ Ñ Ð Ö Ö ÓÖ ÐÐ Ö ÒÙÐк Ì ÓÖ Ñ ½º º½¼º Ä G ÚÖ Ò Ò Ö ØÓÖÑ ØÖ ÓÖ Ò [n,k]¹ Ó Cº Î ÙØ Ö Ð Ñ Ò¹ ØÖ Ö Ó ÓÐÓÒÒ ÓÔ Ö ÓÒ Ö Ò Ú ÓÑ ÓÖÑ G Ô Ø Ò Ö ÓÖÑ [I k B] Ö I k Ö k k ÒØ Ø Ø Ñ ØÖ Ó B Ö Ò (n k) k Ñ ØÖ º Ú º Ë À Ò (n k) n Ñ ØÖ H Ñ Ö Ò n k ÓÑ ÓÔÔ ÝÐÐ Ö GH T = [] ÐÐ Ò Ô Ö Ø Ø ¹ Ñ ØÖ Ø Ð Cº Ò Ú ØÓÖ c Ö Ø Ó ÓÖ Ú Ó Ö Ú ch T = º Ì ÓÖ Ñ ½º º½½º Ä C ÚÖ Ò [n,k]¹ Ó º Ä G = [I k B] ÚÖ Ò Ö ØÓÖÑ ØÖ Ò Ô Ø Ò Ö ÓÖѺ Ö Ò Ô Ö Ø Ø Ñ ØÖ H ØØ Ú H = [ B T I n k ]º Ú º Ë À Ò ÓÒ ½º º½¾º Ù Ð Ó Ò Ø Ð C Ö ØØ Ú Ñ Ò Ò Ú Ú ØÓÖ Ö ÓÑ Ö ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ñ ÐÐ Ó ÓÖ Ò C C = {x (F q ) n xc =, c C} Ì ÓÖ Ñ ½º º½ º Ä G = [I k B] ÚÖ Ò Ö ØÓÖÑ ØÖ Ò Ø Ð Ò [n,k]¹ Ó Cº Ö C Ò [n,n k]¹ Ó Ñ Ò Ò Ö ØÓÖÑ ØÖ H = [ B T I n k ] Ó G Ö Ò Ô Ö Ø Ø Ñ ØÖ Ø Ð C º Ú º Ë À Î Ö Ò ÖØ Ñ Ò ÑÙÑ Ú Ø Ò Ò d Ø Ð Ò Ó º Î Ð Ò Ò Ö Ò Ò Ö Ð Ö Ò Ú ÒÒ º Ö Ø Ò Ö Ö Ú Ø ØØ Ò Ó Ø ØØ Ú Ø Ò Ø Ð Ò Ó Ò ÓÒ ½º º½ º Ä C ÚÖ Ò [n,k]¹ Ó Ó D Ò ÙÒ Ö Ó º ËØ ØØ Ò χ(d) Ö Ñ Ò Ò Ú ÐÐ ÔÓ ÓÒ Ö Ö ÐÐ Ú ØÓÖ Ö Ö ÒÙÐÐ χ(c) = {i : (x,x 2,...,x n ) C,x i )}

15 Ò ÓÒ ½º º½ º ËØ ØØ Ú Ø Ò Ö Ö Ò Ð Ø Ø Ò Ø Ð χ(c) Ò ÓÒ ½º º½ º Ò Ö¹Ø Ò Ö Ð ÖØ À ÑÑ Ò Ú Ø Ò Ø Ð d r (C) Ö Ò Ñ Ò Ø Ø ØØ Ú Ø Ò Ø Ð Ò Ö¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÙÒ Ö Ó d r (C) = min{ χ(d) D Ö Ò ÙÒ Ö Ó Ú rang r} Î ÐÐ Ö d (C),...,d k (C) Ý Ö Ú Ø Ò Ø Ð Cº Î Ö Ø d Cµ Ö Ò ØÖ ÓÒ ÐÐ Ñ Ò ÑÙÑ Ú Ø Ò Ò Ø Ð Cº Ò ÓÒ ½º º½ º Î Ø Ö Ö Ø Ø Ð Ö ØØ Ú {d r (C) r k} Ý Ö Ú Ø Ò ÓÔÔ ÝÐÐ Ö Ò ØÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ô ÓÑ Ò Ø Ö ÙÐØ Ø Ú Öº Ì ÓÖ Ñ ½º º½ º ÓÖ Ò [n,k]¹ Ó C Ö Ú Ú º Ë Ï d (C) < d 2 (C) < < d k (C) n Ë Ò Ð ØÓÒ Ö Ò Ò Ò Ò ÓÖ Ð Ò Ö Ó Ö Ö Ø d n k+º Æ Ø Ö ÙÐØ Ø Ò Ö Ð Ö Ö Ò Ð ØÓÒ Ö Ò Ò Ò Òº ÃÓÖÓÐÐ Ö ½º º½ º ÓÖ Ò [n,k]¹ Ó Ö Ú d r (C) n k + r Ì ÓÖ Ñ ½º º¾¼º Ä H ÚÖ Ò Ô Ö Ø Ø Ñ ØÖ ÓÖ Ò Ó Cº Ä H i I ÚÖ ÓÐÓÒÒ ÖÓÑÑ Ø ÙØ Ô ÒØ Ú ÓÐÓÒÒ Ú ØÓÖÒ H i º Ö Ú Ú º Ë Ï d r (C) = min{ X : X rang(< H i i I >) r} Ò Ò Ö Ð ÖØ À ÑÑ Ò Ú Ø Ò d r Cµ Ö Ð d Ú Ó Ö Ú Ø Ø Ö Ö ÓÐÓÒÒ Ö H Ð Ø ÖÓÑÑ Ø ÓÑ ÙØ Ô ÒÒ Ö Ö Ò Ý Ø d h Ó Ø Ø Ö Ö d h ÓÐÓÒÒ Ö ÓÑ Ô ÒÒ Ö ÙØ Ø ÖÓÑ Ú Ñ Ò ÓÒ d hº ÓÖ Ò Ó C Ú Ð Ñ Ò ÑÙÑ Ú Ø Ò Ò d Cµ ÚÖ Ð d Ú Ó Ö Ú Ø Ø Ö Ö d ÓÐÓÒÒ Ö H Ð Ø Ö Ò Ò Ø Ð ÓÐÓÒÒ ÖÓÑÑ Ø Ö d Ó Ø Ø Ö Ö d ÓÐÓÒÒ Ö Ð Ø ÖÓÑÑ Ø ÓÑ ÙØ Ô ÒÒ Ö Ú Ñ Ò ÓÒ d 2º Ø Ö Ò Ø Ö ÑÑ Ò Ò Ñ ÐÐÓÑ Ý Ö Ú Ø Ò Ø Ð C Ó C º Ì ÓÖ Ñ ½º º¾½º Ä C ÚÖ Ò [n,k]¹ Ó º Ú Ð Ú º Ë Ï {d r (C) r k} {n + d r (C ) r n k} = {,2,...,n}

16 Î Ö Ø Ð Ö Ò ÖØ Ò Ð ØÓÒ Ö Ò Ò Ò Ò ÓÖ Ð Ò Ö Ó Öº Î Ò Ö Ö Ò Ó Ö ÓÑ ÓÔÔ ÝÐÐ Ö ÒÒ Ö Ò Ò Ò Ò Ñ Ð Øº Ò ÓÒ ½º º¾¾º Ò [n,k,d]¹ Ó Ö Ò Å Ë Ó Ú d = n k + Ò ÓÒ ½º º¾ º Ä C ÚÖ [n,k,d]¹ Ó º Ë Ò Ð ØÓÒ Ø Ò Ø Ð C Ö ØØ Ú S(C) = n k + d Å Ö Ø C Ö Ò Å Ë Ó Ú Ó Ö Ú S(C) = º Î Ò Ö Ö Ð Ò Ö Ó Ö ÓÑ ÓÔÔ ÝÐÐ Ö Ò Ð ØÓÒ Ö Ò Ò Ò Ò Ñ Ò ÓÑ Ò Ø Ò Ö Øº Ò ÓÒ ½º º¾ º C Ö Ò Ø Ò¹Å Ë Ú S(C) = Ò ÓÒ ½º º¾ º C Ö ÒÖ¹Å Ë Ú S(C) = S(C ) = Ê ÙÑ Ö Ô Ê ÚÓÖ Ò Ú Ò Ö Ú Å Ë Ò Ø Ò¹Å Ë Ó ÒÖ¹Å Ë Ú Ý Ö Ú Ø Ò ÓÖ Ò Ó Cº Ä C ÚÖ Å Ëº Î Ö Ø d = n k+º Ö ÓÖ Ú Ð Ò Ò Ú Ø ÐÐ Ò n + d r (C ) Ø Ð ÒØ Ø ÐÐ Ò d (C),...,d k (C) Ú ØØ d < n k + º Ë ØØ Ö Ú ÓÔÔ Ø ÐÐ Ò {d r (C) r k} {n + d r (C ) r n k} = {,2,...,n} Ø Ò Ö Ð Ö Ú Ú Ò Ò n + d n k (C ),...,n + d (C ),d (C),...,d k (C) Ö ÓÑ C Ö Ò Ø Ò¹Å Ë Ú Ð d = n kº Ú Ð Ø Ú Ø ÐÐ Ò n + d i Ø Ð ÒØ d (C),...,d k (C)º Ë ØØ Ö Ú ÓÔÔ Ø ÐÐ Ò r (C) r k} {n + d r (C ) r n k} = {,2,...,n} Ø Ò Ö Ð Ú Ð Ú Ò Ò Ð n + d n k (C ),...,n + d 2 (C ),d (C),...,d i (C),...,n + d (C),d i+,...,d k Ö ÓÑ C Ö ÒÖ¹Å Ë Ú Ð d (C) = n k Ó d (C ) = n (n k) = kº Ú Ð n + d (C ) = n k + º Ë n + d (C ) Ú Ð Ø Ô ÔÐ Ò ØØ Ö d (C) = n kº Ë Ú Ò Ò Ð Ö Ö ÓÖ n + d n k (C ),...,n + d 2 (C ),d (C),n + d (C ),d 2 (C),...,d k (C) Ò ÓÒ ½º º¾ º Ò ¹Å Ë Ó Ö Ò Ó Ö h Ö Ø Ñ Ò Ø Ø ÐÐ Ø Ð Ø d h = n k+h ÓÖ h = Ú Ö Ö ØØ Ø Ð Ò ØÖ ÓÒ ÐÐ Ñ Ò ÑÙÑ Ú Ø Ò Ò Ò Å Ë¹ Ó Ö ½¹Å ˺ Ö ÓÑ d h = n k + h Ú Ð d i = n k + i ÓÖ h < i k Î Ö Ð Ò Ö ÙÐØ Ø

17 ÈÖÓÔÓ ÓÒ ½º º¾ º C Ö ÒÖ¹Å Ë Ú Ó Ö Ú C Ó C Ö 2¹Å ˺ ÈÖÓÔÓ ÓÒ ½º º¾ º C Ö ÒÖ¹Å Ë Ú Ó Ö Ú C Ö Ò Ø Ò¹Å Ë Ó 2¹Å ˺ Ú º Ë Ê Î Ú ÐÙØØ Ö ÒÒ ÓÒ Ò Ñ Ø ÑÔ Ð ÓÑ ÓÔÔ ÙÑÑ Ö Ö Ö ÑÝ Ú Ø ÓÖ Ò Ú Ö ÒÒÓÑ Øغ ÑÔ Ð ½º º¾ º ØÖ Ø Ò Ð Ò Ö Ó Ò C Ñ Ô Ö Ñ ØÖ [n,k,d] = [7,4,3]º Ò Ò Ö ØÓÖÑ ØÖ Ô Ø Ò Ö ÓÖÑ G = [I 4,B] Ö ØØ Ú G = Ú Ì ÓÖ Ñ ½º º½½ Ö Ò Ô Ö Ø Ø Ñ ØÖ H = [B T,I 3 ] ØØ Ú H = Ú Ì ÓÖ Ñ ½º º½ Ö H Ò Ò Ö ØÓÖÑ ØÖ Ø Ð Ù Ð Ó Ò Ø Ð C Î Ð Ø ÓÔÔ ÐÐ Ó ÓÖ Ò Ø Ð C Ö Ø Ð ØØ Ø Ò Ñ Ò Ø Ú Ø Ò Ø Ð Ø ¹ÒÙÐÐ Ó ÓÖ Ö 4º Ú Ì ÓÖ Ñ ½º º Ú Ð d(c ) = 4º Ë Ò Ð ØÓÒ Ø Ò Ø Ð C Ó C Ö ØØ Ú Ò ÓÐ Ú S(C) = n k d + = = S(C ) = = º S(C) = S(C ) = Ú Ð ÚÖ ÒֹŠ˺ Ú ÈÖÓÔÓ ÓÒ ½º º¾ Ö Ú Ó Ø C Ó C Ö 2¹Å ˵º Ö ÒÖ¹Å Ë Ó d (C) = 3 Ú Ð Ý Ö Ú Ø Ò ÚÖ ØØ Ú d (C) = 3 d 2 (C) = 5 d 3 (C) = 6 d 4 (C) = 7 Ý Ö Ú Ø Ò Ø Ð C Ö ØØ Ú d (C ) = 4 d 2 (C ) = 6 d 3 (C ) = 7 ËÚ Ö Ø Ö ÓÚ Ö Ò Ø ÑÑ Ð Ñ Ø {d h (C) d h (C) 4} {n + d h (C ) d h (C ) 3} = {,2,3,4,5,6,7} ½¼

18 Ã Ô ØØ Ð ¾ ÆÓ Ò ÑÑ Ò Ò Ö Ñ ÐÐÓÑ Ñ ØÖÓ Ö Ö Ö Ó Ó Ö ¾º½ Î Ø Ö Ö Ø Ø Ð Ñ ØÖÓ Ö Ó Ö Ö ØØ Ò [n,k]¹ Ó C Ò Ú ÓÒ ØÖÙ Ö Ú ØÓÖ ÐÐ Ñ ØÖÓ Ö Ú Ö Ò Ø Ð Ò Ö ØÓÖÑ ØÖ Ò G Ó Ô Ö Ø Ø Ñ ØÖ Ò Hº Ò ÓÒ ¾º½º½º Ä C ÚÖ Ò [n,k]¹ Ó Ñ Ò Ö ØÓÖÑ ØÖ Gº Ä M[G] ÚÖ Ò Ú ØÓÖÑ ØÖÓ Ú Ö Ò Ô Ò Ñ Ò Ò {,2,...,n} ÓÖ ÓÐÓÒÒ Ò Ø Ð Gº Ö Ú Ø M[G] Ö Ú ØÓÖÑ ØÖÓ Ò Ø Ð Cº Î Ö Ø Å G Ö Ñ ØÖÓ Ò ÓÑ ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ö Ø Ð Cº Î Ò Ó Ø Ò ÒÒ Ñ ØÖÓ Ò ÓÑ M C º Î Ú Ø Ø Ú C Ö Ò [n,k]¹ Ó Ñ Ô Ö Ø Ø Ñ ØÖ H Ú Ð H ÚÖ Ò Ö ØÓÖÑ ØÖ ¹ Ò Ø Ð C º Ð Ò Ö ÙÐØ Ø Ú Ö ÚÓÖ Ò Ú Ò ÓÒ ØÖÙ Ö Ú ØÓÖÑ ØÖÓ Ò M[H] ÓÑ ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ö Ø Ð C º ÈÖÓÔÓ ÓÒ ¾º½º¾º Ä M ÚÖ Ñ ØÖÓ Ò ÓÑ ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ö Ø Ð [n,k]¹ Ó Ò Cº Ú Ð M ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ø Ð C º Ò ÓÒ ¾º½º º Ä M ÚÖ Ò Ñ ØÖÓ Ô ÖÙÒÒÑ Ò Ò Eº Ä T Eº Ò ¹Ø Ý Ö Ú Ø Ò Ø Ð M Ö Ò ÖØ Ú d h (M) = min{ T r(t) = T h} Ò ÓÒ ¾º½º º Î Ø Ö Ö Ø Ø Ð M Ö Ò ÖØ Ú Ö r Ö Ö Ò Ò Ø Ð Ñ ØÖÓ Ò {d h (M) h n r} Î ÓÖÑÙÐ Ö Ö Ñ ØÖÓ Ò ÐÓ Ò Ø Ð Ì ÓÖ Ñ ½º º¾½ ½½

19 ÈÖÓÔÓ ÓÒ ¾º½º º Ä M ÚÖ Ò Ñ ØÖÓ Ñ Ö Ò rº Ú Ð {d h (M) h n r} {n + d h (M ) h r} {,2,...,n} Ñ Ö Ò Ò ¾º½º º ØØ Ö ÙÐØ Ø Ø Ñ Ð Ò Ò Ú Ð ØØ ÓÑ ÈÖÓÔÓ ÓÒ º Ä Ú º Ä F(T) Ó F (T) ÚÖ ØÓ ÙÒ ÓÒ Ö ØØ Ú Ä Ú Ö h(x) Ó h (x) ÚÖ ØØ Ú F(T) = T r(t) F (T) = T r (T) h(x) = max{f(t) T = x} h (x) = max{f (T) T = x} Î ÖÙ ÈÖÓÔÓ ÓÒ ½º¾º½½ Ö Ú Ø Ú Ð ÓÑ Ö ÐÐ Ö F (T) = T r (T) = T T r(e T) + r(t) = r r(e T) = r E T + E T r(e T) = r E T + F(E T) max{f (T) T = x} = r n + x + max{f(t) T = n x} Ý Ö Ú Ø Ò Ö Ò ØØ Ú h (x) = r n + x + h(n x) h (x) = h(x) + r x d (M) = min{ T T r(t) = } = min{x h(x) = } d 2 (M) = min{ T T r(t) = 2} = min{x h(x) = 2} º d n r (M) = min{ T T r(t) = n r} = min{x h(x) = n r} Î Ö Ø d i ¹ Ò Ö Ð {x h(x) h(x ) = }º Î Ö Ø d i ¹ Ò Ö Ø ÔÖ Ò ÓÖ Ú Ö iº ÓÖ h Ö Ú Ø Î Ö Ø h(x) h(x ) = h (n x) r + x h (n x + ) + r x + = h (n x) h ((n + ) x) + = (h ((n + ) x) h (n x) ½¾

20 h(x) h(x ) = Ú d i ¹ Ò Ö Ø ÔÖ Ò º Ç ÐÐ Ö º Ö ÓÖ Ú Ð h(x) h(x ) = (h ((n + ) x) h (n x)) = Å Ò Ú Ð x = d i ÓÖ Ô i (n + ) x Ö Ò Ù ÐÚ Ø d j ÓÖ ÒÓ Ò jº Ñ Ö Ò Ò ¾º½º º ÀÚ C Ö Ò Ó Ñ Ú Ø Ö Ö h (C) h n r} Ó Ú ØÓÖ¹ Ñ ØÖÓ Ò M[G] Ó M[H] Ú Ö Ö Ø Ð Ò Ö ØÓÖÑ ØÖ Ò Ó Ô Ö Ø Ø Ñ ØÖ Ò Ø Ð C Ú Ð {d h (C) h n r} Ú Ö Ø Ð Ý Ö Ú Ø Ò Ø Ð M[H]º Ì Ð Ú Ö Ò Ò Ö Ö Ú ¹Ø Ý Ö Ú Ø Ò ÓÖ Ò Ö Gº Ò ÓÒ ¾º½º º Ä G = (V,E) ÚÖ Ò Ò Ö º Ä T Eº Ò ¹Ø Ý Ö Ú Ø Ò Ø Ð G Ö Ò ÖØ Ú d h (G) = min{ T r(t) = T h} Á Ò ÓÒ Ò ÓÚ Ò ÓÖ Ö r(t) Ò ÖØ Ú Ö Ò ÙÒ ÓÒ Ò Ø Ð Ñ ØÖÓ Ò M[G]º Ò ÓÒ ¾º½º º Ä n = E Ó Ð Ö ÚÖ Ö Ò Ò Ø Ð Ö Ò Gº Î Ø Ö Ö Ø Ö Ò ÖØ Ú h(g) h n r} Î Ö Ø d h Gµ Ú Ö Ö Ø Ð Ò Ñ Ò Ø ÙÒ Ö Ö Ò ÓÑ ÒÒ ÓÐ Ö h Ý Ð Öº Î ÖÒ h ÒØ Ö Ò ÒØ Ö Ú Ö Ý Ðµ Ö Ú Ø ÙØ Ô ÒÒ Ò ØÖ Ø Ð ÙÒ Ö Ö Òº ÙÖ ¾º½ Ò ÓÑÔÐ ØØ Ö Ò Ñ Ö ÖÒ Ö ÑÔ Ð ¾º½º½¼º ØÖ Ø Ò ÓÑÔÐ ØØ Ö Ò K 4 º Ò Ñ Ò Ø Ý Ð Ò ÒÒ ÓÐ Ö ÒØ Öº Ö ÓÖ Ú Ð d = 3º Î Ð Ø Ð ØÓ ÒØ Ö Ö Ú Ò Ñ Ò Ø ÙÒ Ö Ö Ò ÓÑ ÒÒ ÓÐ Ö ¾ Ý Ð Öº Ú Ð d 2 = 5º Î Ö Ú Ð d 3 = 6º Î Ø Ö Ö Ø Ö ØØ Ú {3,5,6}º ½

21 ¾º¾ Š˹ Ö Ö Ó ÒֹŠ˹ Ö Ö Î Ö Ò Ô Å Ë¹ Ò Ô Ò ÓÖ Ö Öº Ò ÓÒ ¾º¾º½º Ò Ö G = (V,E) Ö Ò Å Ë¹ Ö Ú Ö Ò Ó ÐÐ Ö d = n k+ Ö n Ö ÒØ ÐÐ ÒØ Ö k Ö Ö Ò Ð Ø Ø Ò Ø Ð Ú Ø Ö Ö Ø Ó d = d Ú Ö Ö Ø Ð ÒØ ÐÐ ÒØ Ö Ø Ð Ò Ñ Ò Ø Ý Ð Òº Å Ö Ø Ö Ò Ò Ø Ð Ö Ò Ö ØØ Ú r = n kº Ò ÓÒ ¾º¾º¾º Ò Ö G Ö Ò ØÖ Ú ÐРŠ˹ Ö Ú k {,,n,n} Ø Ö Ð ØØ Ú Ø Ø Ø Ö Ö ØÖ Ú ÐРŠ˹ Ö Öº Ä k = nº Ú Ð G ÚÖ Ö Ò Ñ Ø ÖÒ Ó n Ð Öº Ú Ð d ÚÖ Ð ½º Ë Ò Ð ØÓÒ Ø Ò Ð Ö S(G) = n k + d = n n + = º Ä k = n º Ú Ð ÚÖ Ö Ò Ñ ØÓ ÖÒ Ö Ó n ÑÙÐØ ÔÐ ÒØ Öº Ò Ñ Ò Ø Ý Ð Ò G Ú Ð ÒÒ ÓÐ 2 ÒØ Öº Ú d = 2º Ú Ð S(G) = n (n ) + 2 = º Ä k = º Ú Ð = n Ó S(G) = n + n = º Ä k = º Ö G Ø ØÖ ÓÑ Ô Ö Ò ÓÒ Ö Å Ëº ÙÖ ¾º¾ ÐÐÙ ØÖ Ö Ö ØÖÙ ØÙÖ Ò Ø Ð ØÖ Ú ÐРŠ˹ Ö Ò º ÙÖ ¾º¾ ØÖ Ú ÐРŠ˹ Ö Ò Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º º Ø Ø Ö Ö Ò Ò ¹ØÖ Ú ÐРŠ˹ Ö Ö ÓÖ n 4º Ú º ÒØ Ø Ö Ò ¹ØÖ Ú ÐРŠ˹ Ö ÓÖ n 4º G Ö ¹ØÖ Ú ÐÐ Ú Ð k {2,..,n 2}º Ú Ð d = n k + n (n 2) + = 3º Ë Ò k 2 Ú Ð G ÒÒ ÓÐ ØÓ Ý Ð Ö C Ó C 2 º Ä T ÚÖ Ð Ö Ò Ø ÑØ Ú C Ó C 2 º Ö Ú ÒØÙ ÐØ ÒÓ Ò ÐÐ ÒØ Ö ÓÑ Ò Ô ÓÑ Ò Ö ØØ Ð Ò ÐØ ÒÒ ÒØ Öº Ä C ÚÖ Ý Ð Ò ÓÑ ØÖ Ú ÒØ Ò Ó Ò ÒØÑ Ò a Ð Ø C = aa º Ä C 2 ÚÖ Ý Ð Ò Ø Ò Ú ÒØ Ò a Ó Ò ÒØÑ Ò a 2 Ð Ø C 2 = aa 2 º Ú Ð Ó a a 2 ÚÖ Ò Ý Ð Ö ÓÑ a = º Î Ö Ò Ø d d 2 2 ÓÖ Ò Å Ë¹ Ö Ö Ý Ö Ú Ø Ò Ô Ð Ò µ ÓÖ Ò Ú Ý Ð Ò C C 2 ÐÐ Ö a a 2 Ú ÐÐ ÖÒ Ø Ñ Ò Ø ØÓ ÒØ Ö Ö T Ò Ñ Ò Ø ØÓ Ú Ø Ò Ñ Ð Ò Ñ Ò Ø 2 d 3º ÃÓÖÓÐÐ Ö ¾º¾º º Ò ÙÒ Ö Ö Ø Ð Ò Å Ë¹ Ö Ö Å Ë Ú º Î ÖÒ Ò ÒØÑ Ò Ñ ÒØ Ö Ö Ö Ò Ñ Ø ÖÒ Ó Ò ÐÓÓÔ Ö Ö Ú Ò Ö Ñ Ø ÖÒ Ó n k ÒØ Öº Î ÖÒ ÒØ Ö Ö Ö Ò Ñ ØÓ ÖÒ Ö ½

22 n ÑÙÐØ ÔÐ ÒØ Ö Ö Ú Ò Ö Ñ n k ÑÙÐØ ÔÐ ÒØ Öº Î ÖÒ ÒØ Ö Ö Ò Ý Ð Ö Ú Ò Ó Ñ ÓÑÔÓÒ ÒØ Öº Î ÖÒ ÒØ Ö Ö Ø ØÖ Ö Ú Ò Ó Ñ k + ÓÑÔÓÒ Ò Ø Öº Î Ò Ö Ö ÒÖ¹Å Ë Ò Ô Ò ÓÖ Ö Ö Ô ÑÑ ÑØ ÓÑ ÓÖ Ó Öº Ò ÓÒ ¾º¾º º G Ö Ò ØÖ Ú ÐÐ ÒֹŠ˹ Ö Ú k {,,n,n} Ó d = n k ÓÖ G Ó G º ÑÔ Ð ¾º¾º º Ø Ö Ð ØØ Ú Ø Ø Ø Ö Ö ¹ØÖ Ú ÐÐ ÒֹŠ˹ Ö Ö ÓÖ Ò º ØÖ Ø Ò ÓÑÔÐ ØØ Ö Ò K 4 º Ú ÑÔ Ð º Ú Ø Ú Ø Ú Ø Ö Ö Ø Ö ØØ Ú {3,5,6}º Ú Ð n = 6 k = 3 Ó d = 3º Ë Ò Ð ØÓÒ Ø Ò Ø Ð K 4 Ö S(K 4 ) = n k d + = º K 4 Ö ÐÚ Ù Ð S(K 4 ) = Ø Ò Ú Ø Ø Ø Ö Ö ¹ØÖ Ú ÐÐ ÒÖ¹Å Ë Ö Ö ÓÖ Ò º Î ÓÚ ÖÐ Ø Ö Ø Ø Ð Ð Ö Ò Ú ØØ º ½

23 Ã Ô ØØ Ð Ú ÚÓ ÓÒ Ú Ò Ð ÚÐÝØØ Ò º½ Ï Ö ¹Ø Ô Ò Ð Î Ð Ò Ô Ò ÖÝÔØÓÐÓ ØÙ ÓÒº Î Ö Ú Ö Ö Ø Ò ÖÝÔØÓÐÓ ÔÖÓ Ð Ñ¹ Ø ÐÐ Ò Ò Ö Ú Ö ÚÓÖ Ò ØØ Ò Ö ÑÑ Ò Ñ Ñ ØÖÓ Ó Ó Ø ÓÖ Ò Ú Ö Ö Ú Ø Ø Ð Ö ÓÔÔ Ú Òº Ò Ò Ö Ö Ö Ò ÓÖÑ ÓÒ Ø Ý = [y,...,y r ] T Ò Ò Ö Ò Ø Ð Ò ÑÓØØ Öº Ä A ÚÖ Ò r n Ñ ØÖ º Ò Ö Ò Ö ÙÐ Ò ÓÖÑ ÓÒ Ò Ý = [y,...,y r ] T ÓÖ ÚÐÝØØ Ö Ú Ð Ö Ò Ò Ú ØÓÖ Ü = [x,...,x n ] T F n Ð Ø AÜ = ݺ Á ÖÝÔØÓ Ö Ø ÖÑ Ö Ö Ü Ò Ð Ò Ó Ñ ØÖ Ò A Ó ÒØÐ º A Ö Ö ÓÖ ÒØ ÓÖ ÔÓØ Ò ÐÐ ÚÐÝØØ Ö º Ü Ò Ú Ð Ò ØÖ Ô ÖØ ÙÒÒ ÚÐÝØØ x i,...,x is º Ä σ = {i,...,i s }º Ä Z σ ÚÖ Ú Ò Ø Ò Ø ØÖ Ô ÖØ Ò ÚÐÝØØ Ö {x i i σ}º Ö Ú Ö Ú Ö Ò Ö Ö Ú ÒØÖÓÔ º Ò ÓÒ º½º½º ÒØÖÓÔ Ò Ø Ð Ò Ú Ö Ð Ö ØØ Ú H(Y ) = y (F q) r p(y)log q p(y) À Ö Ö (F q ) r ÙØ ÐÐ ÖÓÑÑ Ø Ó p(y) ÒÒ ÝÒÐ Ø Ò ÓÖ Ø Y = yº Å Ö Ø ÓÖ p(y) Ú Ð log q p(y) º Ö ÓÖ Ú Ð H(Y ) º ÒØÖÓÔ Ò Ö Ø ÑÐ ÓÖ Ù Ö Ø Ò ÙØ ÐÐ Ø Ø Ð º Ö ÓÑ Ø Ö ÒÓ Ù Ö Ø ÙØ ÐÐ Ø Ø Ð Y Ú Ð H(Y ) = º ÂÓ Ø ÖÖ H(Y ) Ö ØÓ Ø ÖÖ Ù Ö Ø Ú Ð Ø ÚÖ º Ò ÓÒ º½º¾º Î Ò Ö Ö ÒØÖÓÔ Ò Ø Ð ØØ Ø Ú ÒÒ Ö Ú Ò Ø Ò Z σ Ú H(Y Z σ ) = y (F q) r p(y = y Z σ )log q p(y = y Z σ ) Á ÚÖØ Ø Ð ÐÐ Ú Ð H(Y Z σ ) ÚÖ Ø ÑÐ ÓÖ Ù Ö Ø Ò Y ØØ Ø Ò ØÖ Ô ÖØ ÒÒ Ö Z σ = {x i i σ} ½

24 Ò ÓÒ º½º º Å Ò ÑÙÑ Ù Ö Ø Ó ÐØ Ú ÚÓ ÓÒµ Ö Ò ÖØ Ú s = minh(y Z σ ) Ö σ Ú Ö Ö Ö ÓÚ Ö ÐÐ Ú Ð Ú ÐÑ Ò Ö Ú {,...,n} Ñ Ö Ò Ð Ø Ø ÈÖÓÔÓ ÓÒ º½º º Ä A = [H,H 2,...,H n ]º Ú Ð s = minrang < H i i / σ > Ö σ Ú Ö Ö Ö ÓÚ Ö ÐÐ Ú Ð Ú ÐÑ Ò Ö Ú {,...,n} Ñ Ö Ò Ð Ø Ø Å Ö Ø Ú s = Ú Ð σ = º Ú Ð Ú Ö Ø Ð Ö Ò Ò Ø Ð Ñ ØÖ Ò Aº Ú º minh(y Z σ ) Ó minrang < H i i / σ > Ú Ö Ö Ö ÓÚ Ö ÑÑ ÐÑ Ò Ö Ö Ø Ø Ð ØÖ Ð Ú Ø H(Y Z σ ) Ö Ò < H i i / σ >º ÒØ ÙØ Ò Ø Ô Ú Ò Ö Ð Ø Ø Ø A = [B C] Ö σ = {,2,...,s} ÙØ Ö ÓÐÓÒÒ Ò Ò Ø Ð Ó S σ = {s +,...,n} ÙØ Ö ÓÐÓÒÒ Ò Ò Ø Ð Cº Ö ÓÑ ØÖ Ô ÖØ Ò ÚÐÝØØ Ö x,...,x s Ö Ú Ø Ö Ò < H i i / σ >= rangcº Î Ñ Ö ÓÖ Ú Ø H(Y Z σ ) = rangcº À Ö ØØ Ö Ð Ö Ú Λ Ø Ò rangcº Ä Γ ÚÖ Ð Ò Ò Ñ Ò Ò ÓÖ x s+,...,x n µ Ú Ð Ò Ò Ò Ü Ý ÓÖ Ø Ý Ó x,...,x s º Ú B[x,...,x s ] T + C[x s+,...,xn ] T = ݺ Î Ö Ø x,...,x s Ö ÒØ ÓÖ ÚÐÝØØ Ö ØØ Ö Ò Ð Ò Ò n s Ú Ö Ð Öº Î Ò ÓÑ Ö Ú ØØ Ø Ð C[x s+,...,xn ] T = Ý B[x,...,x s ] T = [z,...,z r ]º ÀÚ [z,...,z Λ ] / Col(C) Ö Ú Ò Ò Ð Ò Ò ÓÖ x s+,...,x n µ Γ = ÀÚ [z,...,z r ] Col(C) Ú Ð ÒØ ÐÐ Ð Ò Ò Ö ÓÖ x s+,...,x n µ ÚÖ ØØ Ú Γ = q n s Λ º Ä p(y = Z σ ) ÚÖ ÒÒ ÝÒÐ Ø Ò Ø Ø Ö Ú Ö Ò ØØ Ø Ú ÒÒ Ö x,...,x s Ú p(y = Z σ ) = p(y = X = x,...,x s = x s )º Ú Ý Ì ÓÖ Ñ Ò ØØ ÙØØÖÝ Ú p(x = x,...,x s = x s Y = )p(y = ) ) p(x = x,...,x s = x s ) ÙØ ÐÐ ÖÓÑÑ Ø (F q ) r ÓÖ Y Ö q r Ð Ñ ÒØ Ö Ú Ð ÒÒ ÝÒÐ Ø Ò ÓÖ Ø Y = ÚÖ ØØ Ú q º Ë ÒÒ ÝÒÐ Ø Ò ÓÖ Ø X r i = x i Ö i =,...,s Ö ØØ Ú q º Ë ÒÒ ÝÒÐ Ø Ò ÓÖ Ø X i = x i ÓÖ i =,...,s Ö ØØ Ú ÔÖÓ Ù Ø Ø Ú ÒÒ ÝÒÐ Ø Ò Ú º q º Î Ò Ò s ÙØØÖÝ ½µ ÓÑ p(x = x,...,x s = x s ) Y = ) q r 2) q s Ë ÒÒ ÝÒÐ Ø Ò p(x = x,...,x s = x s Y = ) Ò ÙØØÖÝ ÓÑ ÙÑÑ Ò ÓÚ Ö ÐÐ ÒÒ ÝÒÐ Ø Ö Ö (x s+,...,x n ) (F) n s Ú Ö Ö Öº Ö ÓÑ Γ = Ú Ð ÒÒ ÙÑÑ Ò Ð ¼º Ö ÓÑ Γ Ò ¾µ ÙØØÖÝ ÓÑ q s r ( x s+,...x n Γ q n r ) = qs r n+r+n s Λ = q Λ ½

25 Ä ÚÖ Ð Ø (x s+,...,x n ) Γ( )º Î Ö Ò Ø H(Y Z σ ) = i p(y = Z σ )log q p(y = Z σ ) = i q Λ log q q Λ = i q Λ ( Λ) = Λ Ò Ø Ð Ø Ò ÓÚ Ò ÓÖ Ð Ö Ú Ø ÙÑÑ Ò Ú ÐÐ ÒÒ ÝÒÐ Ø Ò Ö ½º º¾ Ë ÑÑ Ò Ò Ñ ÐÐÓÑ Ú ÚÓ ÓÒ Ó Ý Ö Ú Ø Ö Î Ö Ò Ô ÚÓÖ Ò Ú ÚÓ ÓÒ Ö ÑÑ Ò Ò Ñ Ý Ö Ú Ø Ò Ø Ð Ò Ó º Ä A ÚÖ Ò Ô Ö Ø Ø Ñ ØÖ Ø Ð Ò n,n r ¹ Ó Cº Ä d (C),...,d k (C) ÚÖ Ý Ö Ú Ø Ò Ø Ð Cº Ú Ì ÓÖ Ñ ½º º¾¼ Ú Ð d j (C) ÚÖ Ø ÑØ Ú ÓÐÓÒÒ Ò Ø Ð A Ú d j (C) = Ñ Ò{t t ÓÐÓÒÒ Ö H i,,...,h j,t Ú A Ð Ø Ö Ò [H i,,...,h j,t ] t j} Ð Ò Ö ÙÐØ Ø Ú Ö ÚÓÖ Ò Ú ÚÓ ÓÒ Ò Ó Ý Ö Ú Ø Ò Ø Ð Ò Ó Ö Ø ÑØ Ú Ú Ö Ò Ö º ÈÖÓÔÓ ÓÒ º¾º½º Ä s ÓÖ s n ÚÖ Ú ÚÓ ÓÒ Ò Ø Ð Ò Ð Ò Ñ Ñ ØÖ ÓÑ Ö Ú Ø ÓÚ Ò ÓÖº Ä ÚÖ Ò Ò Ó Ñ Ô Ö Ø Ø Ñ ØÖ º Ú Ð o = n k Ö Ò Ò Ø Ð µº ÓÖ s n Ö s ØØ Ú ÚÓÖ Ú Ô Ö ÓÒÚ Ò ÓÒ ØØ Ö d = d n s s (C) n s < d n s s+(c) Î Ò Ö Ð Ò Ú Ö Ï ÖØ Ð Ñ ÒÓ Ò ÓÖÖ ÓÒ Ö Ú º Ú ÔÖÓÔº º½º Ú Ø Ú Ø Ø Ø Ö Ö I Ð Ø I = n s Ó Ö Ò (< H i : i I >) = s º Î Ö Ø d n s s (C) n sº ÒØ Ø n s d n s s+(c)º Î ÖÙ Ì ÓÖ Ñ º½º Ò Ö Ú Ø Ø Ø Ö Ö I Ð Ø I = d n s s+(c) = n s ǫ ǫ Ó Ö Ò (< H i : i I >) = I (n s s + ) = s ǫ s º Å Ò Ú Ð s s+ǫ s ÓÑ Ö Ò ÐÚÑÓØ Ð º Ö ÓÖ Ú Ð n s < d n s s+(c)º Î ÐÐÙ ØÖ Ö Ö ÒÒ ÈÖÓÔÓ ÓÒ Ò Ñ Ø ÑÔ Ð ÑÔ Ð º¾º¾º ØÖ Ø À ÑÑ Ò Ó Ò C Ñ Ô Ö Ñ ØÖ [5,]º Î Ø Ö Ö Ø Ö ØØ Ú {3,5,6,7,9,,, 2,3,4, 5}º Î Ö Ø = n k = 5 = 4º Î Ö Ú Ð s ÓÖ s n ÚÖ ØØ Ú d 4 4 < d 5 = = 4 d < d 4 2 = 2 = 4 d < d 3 3 = 3 = 4 ½

26 d 4 < d 2 4 = 4 = 4 d 5 < d 5 = 5 = 4 d < d 6 = 6 = 4 d < d 9 7 = 7 = 4 d < d 8 8 = 8 = 3 d < d 7 9 = 9 = 3 d 5 5 < d 6 = = 3 d 4 4 < d 5 = = 3 d < d 4 2 = 2 = 2 d < d 3 3 = 3 = 2 d 4 < d 2 4 = 4 = d 5 < d 5 = 5 = Ekvivokasjon 4 X X X X X X X X 3 X X X X 2 X X X X s ÙÖ º½ Ú ÚÓ ÓÒ ÙÖÚ Ò Ø Ð ½ ½½ ¹À ÑÑ Ò Ó Ò Ñ Ö Ò Ò º¾º º Ú ÙÖ Ö Ú Ø ÐÐ Ò Ø Ð Ú ÚÓ ÓÒ ÙÖÚ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ö Ø Ð Ú Ø Ö Ö Ø Ø Ð C {8,2,4,5} Ú Ö Ò Ö Ú Ø s = 4 ÓÖ s 7º Ø ØÝÖ Ø ÚÐÝØØ Ö Ö ÒÓ Ò ÓÖÑ ÓÒ Ú ÚÐÝØØ ÝÚ Ö Ø Ø Ò º Î ÒÒ Ô Ø Ð Ò ØØ Ò Ø Ò Ú Ð Ú ÚÓ ÓÒ Ò ÚØ º Ö ØØ Ö Ú Ð Ú Ð Ò ÚØ Ú ÚÐÝØØ Ò Ú Ò ½¾¹Ø ½ ¹ Ó ½ ¹ Ø Òº Î Ö Ø 5 = Ø Ú Ð ÚÖ ÒÓ Ò Ù Ö Ø Ú ÚÐÝØØ Ö ÒÒ Ö ÐÐ Ø Ò º ½

27 Á ÑÔ Ð º¾º¾ Ú Ø Ú ÚÓÖ Ò Ú Ò ÒÒ s ØØ Ø Ú ÒÒ Ö Ý Ö Ú Ø Ò Ø Ð Cº Î Ö Ú Ö Ö ÔÖÓ ÝÖ Ò Ò Ú ÒÒ Ý Ö Ú Ø Ò ØØ Ø Ú ÒÒ Ö Ú ÚÓ ÓÒ Òº Î Ö Ø Ñ Ò Ò {s s = s+ } ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ö Ø Ð Ö Ò Ò Ñ ÐÐÓÑ Ð Ò Ò Ó Ý Ö Ú Ø Ò ÑÓØ ØØ Ö Ð Ú d (C) ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ö Ø Ð n max{s s = s+ } Ó d k (C) ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ö Ø Ð n min{s s = s+ }º Ò Ö ÐØ Ú Ð Ý Ö Ú Ø Ò ÚÖ ØØ Ú d (C) = n Ø ÐÐ ÒÖº k {s s = s+ } d 2 (C) = n Ø ÐÐ ÒÖº k {s s = s+ } º d k (C) = n Ø ÐÐ ÒÖº {s s = s+ } Ú Ñ Ö Ò Ò º¾º Ö Ú Ø Ù Ð Ú Ø Ò Ø ÓÒ Ö Ø Ø Ð ÐÐ Ø Ñ [5,]¹ ÑÑ Ò Ó Ò Ö ØØ Ú {8,2,4,5}º Ò Ö ÐØ Ú Ð Ý Ö Ú Ø Ò Ø Ð C Ð Ú ÓÑ Ò Ö Ù ¹ Ð Ø Ø Ì ÓÖ Ñ Ø ÓÖ Ý Ö Ú Ø Ö Ì ÓÖ Ñ º¾¼µ Ó ÙØÖÝ Ò ÓÖ d i (C) ÓÖ i =,..,k d (C ) = Ø ÐÐ ÒÖº {s s = s+ } d 2 (C ) = Ø ÐÐ ÒÖº 2 {s s = s+ } º d k (C ) = Ø ÐÐ ÒÖº n k {s s = s+ } º Ú ÚÓ ÓÒ Ò Ø Ð Å Ë ÒÖ¹Å Ë Ò Ø Ò¹Å Ë Ó Ö Ó ¹Å ˹ Ó Ö Î Ö Ø Ð Ö Ö Ú Ø Å Ë ÒÖ¹Å Ë Ó Ò Ø Ò¹Å Ë Ó Ö Ú Ý Ö Ú Ø Ò Ø Ð Ò Ó º Î Ö Ò ÚÓÖ Ò Ú Ò Ö Ú Ó Ò Ú Ú ÚÓ ÓÒ Òº ÓÖ Ò Å Ë¹ Ó Ö Ý Ö Ú Ø Ò Ô Ð Ò º Î Ö Ø s = s+ ÓÖ s k Ó s = s ÓÖ k + s nº Ö Ö ØØ ÐÐÙ ØÖ ÖØ ÙÖ º¾ ÓÖ Ò ÒÖ¹Å Ë Ó Ú Ð Ý Ö Ú Ø Ò ÚÖ ØØ Ú d (C) = d n+ d (C ) = d + d 2 (C) = d d k (C) = k + dº Î Ö Ø s = s ÓÖ s k k = k k = k+ Ó s = s+ ÓÖ k + s n ÓÑ Ú Ø ÙÖ º º ÓÖ Ò Ò Ø Ò¹Å Ë¹ Ó Ú Ð Ý Ö Ú Ø Ò ÚÖ ØØ Ú d (C) = d ººº d i (C) = d+i n+ d (C ) = d+i d i+ (C) = d+i+ ººº d k (C) = k+dº Ú ÚÓ ÓÒ ÙÖÚ Ò Ö Ú Ø ÙÖ º º ¾¼

28 Ekvivokasjon k n s ÙÖ º¾ Ú ÚÓ ÓÒ ÙÖÚ Ò Ø Ð Ò Å Ë¹ Ó Ekvivokasjon k k k+ n s ÙÖ º Ú ÚÓ ÓÒ ÙÖÚ Ò Ø Ð Ò ÒֹŠ˹ Ó Î Ö Ø ÓÖ Ò Å Ë¹ Ó Ú Ð Ú ÚÓ ÓÒ Ò ÓÖ ÓÐ ÓÒ Ø ÒØ ÓÖ s kº Ø ØÝÖ Ø Ú ÚÐÝØØ Ò ÓÖÑ ÓÒ Ø Ö Ú Ð ÚÐÝØØ Ö ÒÓ Ò ÓÖÑ ÓÒº Š˹ Ó Ö Ö Ö ÓÖ Ñ Ø ÖÓ Ù Ø Ó Ò Ú ÖÙ Ú Û Ö ¹Ø Ô Ò Ðº ÓÖ Ò ÒÖ¹Å Ë Ó Ú Ð ÚÐÝØØ Ö Ú ÒÒ Ô Ø Ð Ò ¹Ø Ò ÓÖÑ ÓÒ Ø Ò Ú ÚÓ ÓÒ Ò Ö Ù Öغ Ö ØØ Ö Ú Ð Ò ÓÖ ÓÐ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ð Ó Ñ Ò k + ¹Ø Ò ÓÖÑ ÓÒ Ø Òº ÆÖ¹Å Ë Ó Ö Ö Ö ÓÖ Ñ Ø ÖÓ Ù Ø Ó Ò ØØ Ö Å Ë¹ Ó Öº ÓÖ Ò Ò Ø Ò¹Å Ë ÓÑ Ö ÒֹŠ˹ Ó Ú Ð ÚÐÝØØ Ö Ú ÒÒ Ô Ø Ð Ò ¹Ø Ò ÓÖÑ ÓÒ Ø Ò Ú ÚÓ ÓÒ Ò Ö Ù Öغ Ö ØØ Ö Ú Ð Ò ÓÖ ÓÐ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ð Ó Ñ Ò k + ¹Ø Ò ÓÖÑ ÓÒ Ø Òº Æ Ø Ò¹Å Ë Ó Ö Ö Ò Ö ÐØ Ñ Ò Ö ÖÓ Ù Ø ÒÒ ÒÖ¹Å Ë Ó Öº Ø Ò ÚÖ Ò ØÙÖÐ Ø ÑÐ Ô ÚÓÖ ÖÓ Ù Ø Ò Ó Ö Ú Ò Ð ÚÐÝØØ Ò º Ekvivokasjon i i+ k+ n s ÙÖ º Ú ÚÓ ÓÒ ÙÖÚ Ò Ø Ð Ò Ò Ø Ò¹Å Ë¹ Ó ¾½

29 Ò ÓÒ º º½º Ä s = f(s) ÚÖ Ú ÚÓ ÓÒ ÙÖÚ Ò Ø Ð Ò Ð Ò Ö [n,k]¹ Ó Cº Ä f opt (s) ÚÖ Ú ÚÓ ÓÒ ÙÖÚ Ò Ø Ð Ò Å Ë¹ Ó Ñ ÑÑ Ð Ò Ó Ñ Ò ÓÒ Ú Ú Ö Ö Ö Ñ Ò ÑÙÑ Ø Ò Ò d Ð Ø Ò Ð ØÓÒ Ö Ò Ò Ò Ò Ö ÓÔÔ ÝÐØ Ñ Ð Øµº Š˹ Ø Ò Ø Ð C Ö ØØ Ú def(c) = n (f opt (s) f(s)) s= Š˹ Ø Ò ÙÒÒ Ó ÚÖØ ÙØØÖÝ Ø Ú ÙÑÑ Ö ÓÚ Ö Ö Ò Ò Ñ ÐÐÓÑ Ý Ö Ú Ø Ò Ø Ð C Ó Ý Ö Ú Ø Ò Ø Ð Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ò Å Ë¹ Ó Ö Ô Ð Ò µº ÐØ ÖÒ Ø ÚØ ÙÒÒ def(c) Ó ÚÖØ ÙØØÖÝ Ø Ú ÙÑÑ Ò Ú Ö Ò Ò Ñ ÐÐÓÑ Ù Ð Ú Ø Ò Ø Ð C Ó ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ò Ú Ø Ò Ø Ð Ò [n,n k]¹å ˹ Ó º Ú def(c) = k n k (d i,opt (C) d i (C)) = (d i,opt(c) d i (C)) i= Š˹ Ø Ò Ò Ö ÚÓÖ Ñ Ò Ø Ö Ö Ú ÚÓ ÓÒ ÙÖÚ Ò ÚÚ Ö Ö Ú ÚÓ ¹ ÓÒ ÙÖÚ Ò Ø Ð Ó Ò ÓÑ Ò Ú ÐÐ ÚÖØ Å Ëº ÓÑ ØÖ Ò Ú Ø def(c) Ö Ö Ð Ø Ñ ÐÐÓÑ f(s) Ó f opt (s)º Š˹ Ø Ò Ø Ð Ò Å Ë¹ Ó Ö Ó ÓÖ Ò ÒֹŠ˹ Ó Ð º ÑÔ Ð º º¾º ØÖ Ø [5,]¹ ÑÑ Ò Ó Ò Ë ÙÖ µº ÓÖ s 7 Ó 3 s 5 Ú Ð f opt (s) f(s) = º ÓÖ 8 s 2 Ú Ð f opt (s) f(s) = º Š˹ Ø Ò Ö ØØ Ú def(c) = 5 i= Î ÙÒ Ö Ö Ò ÚÓÖ Ò Ú ÚÓ ÓÒ Ò Ò Ö ÑÑ Ò Ñ Ò Ð ØÓÒ Ø Ò Ó ¹Å ˺ Î Ù Ö Ø Ò Ó Ö ¹Å Ë Ú h Ö Ø Ñ Ò Ø Ø ÐÐ Ø Ð Ø d h = n k+hº ÀÚ h = Ú Ð C ÚÖ ½¹Å Ë Ú Å Ëµº Ú ÚÓ ÓÒ ÙÖÚ Ò ÓÖ ÓÐ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ø Ð Ó Ñ k ÙÖ º¾µº ÀÚ C Ö ¹Å Ë Ú Ð Ú ÚÓ ÓÒ ÙÖÚ Ò ÐÐ Ô ÔÐ h Ö kº Ú C Ö ¹Å Ë Ú h = k t + Ö t = min{s s = s+ } Î Ù Ö Ø Ò Ð ØÓÒ Ø Ò Ö ØØ Ú S(C) = n k + dº ÀÚ S(C) = Ö C Š˺ Ú ÚÓ ÓÒ ÙÖÚ Ò Ú Ð ÓÖ ÓÐ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ð Ó Ñ k ÓÖ ÚÖ Ò Ð Ò Ö Ð Ò n k Ò Ø Ø Ö k Ø Ð n Ë ÙÖ º¾µº Ë Ò Ð ØÓÒ Ø Ò Ö Ð Ö Ò Ò Ñ ÐÐÓÑ Ò Ñ Ò Ø s Ñ Ò Ò ÓÑ ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ö Ø Ð Ú ÚÓ ÓÒ ÙÖÚ Ò Ø Ò ÚØ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ó Ñ Ò ÓÒ Ò kº Ú S(C) = s k Ö s = min{s i = i+,s i n} ÑÔ Ð º º º Ú ÙÖ º½ Ö Ú Ø [5,]¹ Ó Ò Ö Ò Ð ØÓÒ Ø Ò ØØ Ú S(C) = 3 = 2º Ì Ð Ú Ö Ò Ö Ú Ø h = 7 + = 5º ØØ Ö ÓÚ Ö Ò Ø ÑÑ Ð Ñ Ø S(C) = = 2 Ó d 5 = = 9 Ñ Ò d 4 = 7 ¾¾

30 Î Ö Ø Ò Ð ØÓÒ Ø Ò Ò Ö ÚÓÖ Ñ Ò ÐÐ Ñ Ø ÐÐ Ñ Ò Ö Ú Ò ÑÑ Ò Ò¹ Ò ÔÙÒ ØÑ Ò Ö i = i+ ÓÖ ÐÐ i ÒÒ ÓÐ Ø ÔÙÒ ØÑ Ò Òµ Ú ÚÓ ÓÒ ¹ ÙÖÚ Ò Ö S(C) + µº Ò Ò Ö Ó Ò ÚÖ Ö Ò ÓÖ ÚÓÖ Ñ Ò ÐÐ ÙÖÚ Ò Ò Ö kº Î Ö Ø ¹Å Ë Ò Ö ÒÖ ÚÐÝØØ Ö Ö Ú ÚÓ ÓÒ Ò Ö Ù ÖØ ÓÖ Ö Ø Ò º º Ï Ö ¹Ø Ô Ò Ð Ñ Ñ ØÖ ØÓ Ð Ö Î Ö Ò Ô Ò ØÙ ÓÒ ÚÓÖ Ú Ö ØÓ Ò Ö ÓÑ Ú Ö Ð Ò ÓÐ Ú r Ó r 2 Ò ÓÖÑ ÓÒ Ø Ö ÓÚ Ö ÑÑ Ò Ðº Ç Ö ÖÙ Ö Ú Ò Ü = [x,...,x n ] Ó Ö Ò (r n)¹ Ñ ØÖ A Ö AÜ = ݺ Î Ö Ø r = r + r 2 º Î Ò Ö Ü = [x,...,x n ]º Ä Y = (Y,Y 2 ) Ö Y Ö Ø Ò Ø Ð Ö Ø Ò Ö Ó Y 2 Ö Ø Ò Ø Ð Ò Ö Ò Öº ÒØ Ø ÚÐÝØØ Ö Ö ÒÒ Ô Ø Ð Y 2 º Ú ÚÓ ÓÒ Ø Ð Ò ÓÖÑ ÓÒ Ò ÒÒ ÓÐ Ø Y Ö ØØ Ú 2:s = minh(y Z σ,y 2 ) ÚÓÖ Z σ Ö Ú Ò Ø Ò Ø Ù ÒÒ Ö x i ÓÖ i σ Ö σ {,...,n} Ñ Ö Ò Ð Ø Ø s Å ØÖ Ò A Ò Ð ÒÒ ØÓ Ð Ö A = (A,A 2 ) T Ö A Ö r n Ñ ØÖ Ó A 2 Ö r 2 n Ñ ØÖ º Ð Ò Ö ÙÐØ Ø Ò Ö Ð Ö Ö ÈÖÓÔÓ ÓÒ º½º º Ì ÓÖ Ñ º º½º Ä A A Ó A 2 ÚÖ ÓÑ Ö Ú Ø ÓÚ Ò ÓÖº Ú Ð 2:s = min σ: σ =n s [rang[(a l,...,a l n s ),(A 2 l,...,a 2 l n s )] T rang(a 2 l,...,a 2 l n s )] Ö σ = {l,...,l n s } {,...,n} Ú º Ë ÄÅÎ ¾

31 Ã Ô ØØ Ð Ñ Ò ÓÒ»Ä Ò ÔÖÓ Ð º½ ÈÖÓ ÓÒ Ö ÙÒ Ö Ó Ö Ó ÄÈ Ö Ò Ö Ú Ð Ú Ð Ò» Ñ Ò ÓÒ ÔÖÓ Ð Ä Èµ Ó Ñ Ò ÓÒ»Ð Ò ÔÖÓ Ð Äȵ ÓÖ Ð Ò Ö Ó Ö Cº Î Ð Ø Ä È Ø Ð Ò Ó C Ö Ø ÑÑ ÓÑ Ý Ö Ú Ø Ò Ø Ð Cº Ö Ú Ö Ú Ö Ä È Ó ÄÈ Ò Ö Ö Ú ÓÖ ÓÖØ Ò Ó ÔÙÒ Ø Ö Ò Ú Ò Ó Cº Ò ÓÒ º½º½º Ä ÚÖ Ò [n,k]¹ Ó Ó Ð J {,,...,n} = Iº Ò ÓÖ ÓÖØ Ó Ò C J Ó ÐØ ÙÒ Ö Ó µ Ö Ò ÖØ Ú C J {(c,...,c n ) C : c t =,t / J} Ò ÓÒ º½º¾º Ä Â Ó ÚÖ Ò ÖØ ÓÑ ÓÚ Ò ÓÖº Ò ÔÙÒ Ø ÖØ Ó Ò P J (C) Ó ÐØ ÔÖÓ ÓÒ Òµ Ö Ò ÖØ Ú P J (C) = {P J (c) : c = (c,...,c n ) C} Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ø Ð c Ö ØØ Ú c t Ú t J Ó c t = Ú t / J Ä Ò Ò Ø Ð C J Ó P J (C) Ö Ð Ð Ò Ò Ø Ð Cº Ø Ö Ð ØØ Ø Ú Ö Ð Ò Ö Ò ¹ Ò Ò ÓÖ Ø ØØ Ú Ø Ò χ(c J ) χ(p J (C)) J Ó ÓÖ Ñ Ò ÓÒ Ò k(c J ) k(p J (C)) kº Î Ò Ö Ð Ò Ö ÙÐØ Ø Ö ÓÑ Ú Ö ÚÓÖ Ò Ñ Ò ÓÒ Ò Ø Ð C J P I J (C) P J (C ) Ó (C ) I J Ö Ø ÑØ Ú Ú Ö Ò Ö Ì ÓÖ Ñ º½º º Ä ÚÖ Ò [n,k]¹ Ó Ó Ð C ÚÖ Ò [n,n k]¹ Ó º Ä J Iº Ú Ð dimp I J (C) + dim(c J ) = k dimp J (C ) = J dim(c J ) dim(c ) I J = n k J + dim(c J ) ¾

32 Ú º Ë ÑÔ Ð º½º º ØÖ Ø [7,4,3]¹ ÑÑ Ò Ó Òº Ë ÑÔ Ð ½º º¾ ÓÖ Ò Ö ÔÖ ÒØ ÓÒ Ú Ò Ò Ö ØÓÖÑ ØÖ º Ä J = {3,4}º Ú Ð I J = {,2,5,6,7}º Ò Ö ØÓÖÑ ØÖ Ò Ø Ð C I J Ó P J (C) Ö ØØ Ú G(C I J ) = G(P J (C)) = ( ( Î Ö Ø dim(c I J ) = 2 Ó dim(p J (C)) = 2 ÓÑ Ö ÓÚ Ö Ò Ø ÑÑ Ð Ñ Ø dim(c I J )+ dim(p J (C)) = = 4 = dim(c) Î Ò Ö Ö Ò Ñ Ò ÓÒ»Ð Ò ÔÖÓ Ð Äȵ Ò ÓÒ º½º º Ñ Ò ÓÒ»Ð Ò ÔÖÓ Ð Äȵ Ø Ð Ò Ó C Ö ØØ Ú Ñ Ò Ò ) ) k(c) = {k i (C), i n} ÚÓÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò k i (C) Ö Ò Ñ Ñ Ð Ñ Ò ÓÒ Ò Ø Ð Ò ÙÒ Ö Ó Ñ J = i k i (C) = max J {k(c J ) : J = i} i n Ì Ð Ú Ö Ò Ò Ú Ò Ö Ð Ò» Ñ Ò ÓÒ ÔÖÓ Ð Ò Ä Èµ Ø Ð Ò Ó º Ò ÓÒ º½º º Ä Ò» Ñ Ò ÓÒ ÔÖÓ Ð Ä Èµ Ø Ð Ò Ó C Ö ØØ Ú Ñ Ò Ò m(c) = {m j (C), j k} ÚÓÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò m j (C) Ö Ò Ñ Ò Ñ Ð Ø ØØ Ú Ø Ò Ø Ð Ò ÙÒ Ö Ó C J Ñ Ñ Ò ÓÒ j m j (C) = min J { J : dim(c J ) = j} j k Î Ò Ö Ð Ò Ö ÙÐØ Ø ÓÑ Ø ÓÖÓÐÐ Ö Ø Ð Ì ÓÖ Ñ º º½º Ê ÙÐØ Ø Ø Ú Ö Ø m j (C) ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ö Ø Ð Ý Ö Ú Ø Ò ÃÓÖÓÐÐ Ö º½º º Ä C ÚÖ Ò [n,k]¹ Ó Ó C Ò [n,n k]¹ Ó º Ú Ð ¾

33 m j (C) = min J { J : k dim[p I J (C)] = j} = min J { J : J dim[p J (C )] = j} = min J { J : dim[(c ) I J ] n + k + J = j} Î Ö Ø dim[p J (C )] Ú Ö Ö Ø Ð Ö Ò Ò Ø Ð ÙÒ ÖÑ ØÖ Ò Ú Ò Ö ØÓÖÑ ØÖ Ò Ø Ð C Ú Ö Ö Ø Ð Ô Ö Ø Ø Ñ ØÖ Ò Ø Ð Hµ ÓÑ ØÖ Ú ÓÐÓÒÒ Ò Ø Ð ÙÒ ÖÑ ØÖ Ò Ò ÖØ Ú Jº Ö ÓÖ Ú Ð Ø ØÖ ÙØØÖÝ Ø ÃÓÖÓÐÐ Ö º½º Ú Ö Ø Ð Ì ÓÖ Ñ ½º º¾¼º Ú Ð m j (C) Ú Ö Ø Ð Ý Ö Ú Ø Ò d j (C) Ó Ä È Ú Ð Ú Ö Ø Ð Ú Ø Ö Ö Øº Ë Ö Ò Ú Ú Ð d j (C) Ó m j (C) ÚÖ Ò ØÝ Ò ÓÖ Ð Ò Ö Ó Öº Î ÙÒ Ö Ö Ò ÑÑ Ò Ò Ò Ñ ÐÐÓÑ m j (C) Ó k j (C)º Î Ö Ø m j (C) Ö Ø Ñ Ò Ø Ø ÐÐ Ø Ð Ø k i (C) j Ó k j (C) Ö Ø Ö Ø j Ð Ø m j (C) iº Î Ö Ø k i (C) ÓÖ i n Ö ¹ ÚØ Ò Ó k i+ (C) k i (C) ØØ Ð Ö Ú Ø dim(c j ) = k k[p I J (C)] k I J µº Ö ÓÖ Ú Ð ÄÈ Ö Ø Ð k k Ò Ø Ø º ÀÚ k i+ (C) k i (C) = Ú Ð m j (C) = i + ÓÖ j = k i+ (C)º Î ÐÐÙ ØÖ Ö Ö ÒÒ ÑÑ Ò Ò Ò Ñ Ø ÑÔ Ð ÑÔ Ð º½º º Ä C ÚÖ [5,]¹ ÑÑ Ò Ó Òº Ú ÑÔ Ð ½º¾º¾ Ö Ú Ø Ú Ø ¹ Ö Ö Ø Ö ØØ Ú ÄÈ Ö ØØ Ú Î Ò Ö Ö Ò Ò ÒÚ Ö ÄȺ {,3,5,6,7,9,,, 2, 3,4,5} {,,,,,2,3,4, 4, 5, 6,7,8,9,,} Ò ÓÒ º½º º Ò ÒÚ Ö ÄÈ Ö ØØ Ú Ñ Ò Ò ÚÓÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò k i (C) Ö ØØ Ú k(c) = { k i (C), i n} k i (C) = max J {dim(p J (C)) : J = i} i n Æ Ø Ö ÙÐØ Ø Ú Ö ÚÓÖ Ò ÄÈ Ó ÒÚ Ö ÄÈ Ö Ø ÑØ Ú Ú Ö Ò Ö Ì ÓÖ Ñ º½º½¼º Ë ÑÑ Ò Ò Ò Ñ ÐÐÓÑ ÄÈ Ó ÒÚ Ö ÄÈ ÓÖ Ò Ð Ò Ö Ó Ö ØØ Ú Ú º Ë k i (C) + k n i (C) = k i n ¾

34 Æ Ø Ö ÙÐØ Ø Ú Ö Ø Ó ÄÈ Ø Ð Ò Ð Ò Ö Ó Ó Ò ÒÚ Ö ÄÈ Ø Ð Ù Ð Ó Ò Ö Ø ÑØ Ú Ú Ö Ò Ö Ì ÓÖ Ñ º½º½½º Ä C ÚÖ Ò [n,k]¹ Ó Ó Ð C ÚÖ Ù Ð Ó Òº Ú Ð k i (C) + k i (C ) = i, i n Î ÐÐÙ ØÖ Ö Ö ÑÑ Ò Ò Ò Ñ Ø ÑÔ Ð ÑÔ Ð º½º½¾º Ú ÑÔ Ð º½º Ö Ú Ø ÄÈ Ö ØØ Ú {,,,,,2,3,4, 4, 5, 6,7,8,9,,} Ú Ì ÓÖ Ñ º½º½¼ Ö Ú Ø Ò ÒÚ Ö ÄÈ Ø Ð C Ö ØØ Ú {,,2,3,4,5,6, 7, 7,8,9,,,,,} Ú Ñ Ö Ò Ò º¾º Ö Ú Ø ÄÈ Ø Ð C Ö ØØ Ú {,,,,,,,,,,, 2, 2, 2,3,4} Ú Ì ÓÖ Ñ º½º½½ Ö Ú Ø ÒÚ Ö ÄÈ Ø Ð C Ö ØØ Ú {,,2,2,3,3,3,3,4,4,4, 4, 4, 4,4,4} º¾ ÄÈ Ø Ð Ñ ØÖÓ Ö Î Ö Ò Ô ÄÈ Ø Ð Ñ ØÖÓ Ö Ó Ò Ö ÓÖ Ö Öº Ö Ø Ð Ö Ú Ø Ú Ø {d h (M) h n r} Ö Ú Ø Ö Ö Ø Ø Ð Ñ ØÖÓ Ò M Ú Ö Ö Ø Ð Ý Ö Ú Ø Ò Ø Ð Ú ØÓÖÑ ØÖÓ Ò M[H]µº Î Ò Ö Ö Ò ÄÈ Ó ÒÚ Ö ÄÈ ÓÖ Ò Ñ ØÖÓ Ò ÓÒ º¾º½º Ä M ÚÖ Ò Ñ ØÖÓ Ñ Ö Ò r Ó Ý Ö Ú Ø Ö d j (M) j n rº ÄÈ Ø Ð M Ö ØØ Ú k(m) = {k i (M) i n} ¾

35 ÚÓÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò k i (M) Ö ØØ Ú k i (M) = max{j d j (M) i} Å Ö Ø d j (M) Ö Ò Ñ Ò Ø i Ð Ø k i (M) j Ò ÓÒ º¾º¾º Ä M ÚÖ Ò Ñ ØÖÓ º Ä M ÚÖ Ò Ù Ð Ñ ØÖÓ Ò Ñ Ö Ò n r Ó Ñ Ý Ö Ú Ø Ö d j (M ) j rº ÁÒÚ Ö ÄÈ Ø Ð M Ö ØØ Ú ÚÓÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò k i (M) Ö ØØ Ú k(m) = { k i (M) i n} k i (M) = i k i (M ) Î Ö Ø Ú Ö Ò ÖØ ÄÈ Ó ÒÚ Ö ÄÈ ÙÒ Ú Ý Ö Ú Ø Ò Ø Ð Ñ ØÖÓ Òº ÓÖ ÙÒÒ ÓÖÑÙÐ Ö Ò ÐÓ Ò Ø Ð Ö ÙÐØ Ø Ò ÓÑ ÒÒ ÓÐ Ö ÓÖ ÓÖØ Ó ÔÙÒ Ø ÖØ Ó Ö Ñ Ú ÓÑ ÓÖÑ ÓÔ Ö ÓÒ Ò Ø Ð Ñ ØÖÓ ÔÖ º Î Ù Ö Ö Ã Ô ØØ Ð ½ Ò ÓÒ Ò Ú Ð ØØ Ò Ó ÓÒØÖ ÓÒº Î ÙÒ Ö Ö Ò ÑÑ Ò Ò Ò Ñ ÐÐÓÑ Ñ ØÖÓ ÓÔ Ö ÓÒ Ò Ð ØØ Ò» ÓÒØÖ ÓÒ Ó Ó ÓÔ Ö ÓÒ Ò ÔÙÒ Ø Ö Ò» ÓÖ ÓÖØ Ò º ËÐ ØØ Ò Ò Ú E J Ö M Ö ØØ Ú M \ (E J) = (E (E J),I(M \ (E J))) = (J,I(M E J)) Ö I(M \ (E J)) = {X E (E J) X I(M)} = {X J X I(M)} ÐØ Ú Ð M \ (E J) Ø Ú ÖÙÒÒÑ Ò Ò J Ó Ù Ú Ò Ñ Ò Ò J Ö Ñ Ò Ò ÓÑ Ö ÒÒ ÓÐ Ø J Ó ÓÑ Ö Ù Ú Ò Ñ Ò Ö Ø Ð M Ú ÒÒ ÓÐ Ø I(M)µº ØØ Ú Ö Ö Ø Ð Ø ÓÑ Ö Ñ Ñ ØÖÓ Ò Ø Ð Ò Ö ØÓÖÑ ØÖ Ò M[G] ÓÖ Ò Ð Ò Ö Ó C ÒÖ Ú ÔÙÒ Ø Ö Ö Ñ Ò Ò J Ö Cº È ÖÙÒÒÐ Ú ØØ Ò Ö Ö Ú Ð Ò Ò ÓÒ º¾º º Ä M ÚÖ Ò Ñ ØÖÓ Ô ÖÙÒÒÑ Ò Ò Eº Ä J Eº Î Ò Ö Ö Ò ÔÙÒ Ø ÖØ Ñ ØÖÓ Ò P J (M) ÓÑ P J (M) = M \ (E J)º Ì Ð Ú Ö Ò Ú Ð ÓÒØÖ ÓÒ Ò Ú (E J) Ö M ÚÖ ØØ Ú M/(E J) = (M \ (E J)) ØØ Ú Ö Ö Ø Ð Ø ÓÑ Ö Ñ Ñ ØÖÓ Ò M[G] ÓÖ Ò Ò Ö ØÓÖÑ ØÖ G ÓÖ Ò Ð Ò Ö Ó C ÒÖ Ú ÓÖ ÓÖØ Ö Ñ Ò Ò J Ö Ó Ò C ÓÖ ÓÖØ Ò Ú Ó Ö Ö Ú Ú ÔÙÒ Ø Ö J Ö Ù Ð Ó Ò Ó Ù Ð Ö º Ò Ù Ð Ø Ð Ñ ØÖÓ Ò Ø Ð Ò Ó Ö Ñ ØÖÓ Ò Ø Ð Ò Ù Ð Ó Ò Ð Ö ØØ Ö Ø µº Ú ØØ Ò Ö Ö Ú ¾

36 Ò ÓÒ º¾º º Ä M ÚÖ Ò Ñ ØÖÓ Ô ÖÙÒÒÑ Ò Ò Eº Ä J Eº Î Ò Ö Ö Ò ÓÖ ÓÖØ Ñ ØÖÓ Ò M J ÓÑ M J = M/(E J) Î Ò Ö Ì ÓÖ Ñ º½º Ñ ØÖÓ ÔÖ Ì ÓÖ Ñ º¾º º Ä M ÚÖ Ò Ñ ØÖÓ Ô ÖÙÒÒÑ Ò Ò Eº Ä J E Ó Ð Ö Ò Ò ÚÖ Ð r(m)º Ú Ð ½µ r(p E J (M)) + r(m J ) = r(m) ¾µ r(p J (M )) = J r(m J ) µ r(m ) E J = r(m ) J + r(m J ) = E J r(m) + r(m J ) Ú º Î ÝÒÒ Ö Ñ Ú ½µº Î Ö Ø r(p E J (M)) + r(m J ) = r(m \ J) + r((m \ (E J)) ) = r M (E J) + J r M (E \ (E J)) = r M (E J) + J r M (J) = r M (E J) + J ( J + r M (E J) r M (E)) = r M (E) = r(m) Ò Ö Ð Ø Ò Ð Ö Ú ÈÖÓÔÓ ÓÒ ½º¾º½¾º Ò Ø Ð Ø Ò Ð Ö Ú Ø Ö Ò Ò Ø Ð Ñ ØÖÓ Ò Ö Ð Ö Ò Ò Ø Ð ÖÙÒÒÑ Ò Ò Eº Å ÙØØÖÝ Ø r M (E) Ñ Ò Ö Ú Ö Ò ÙÒ ÓÒ Ò Ø Ð M Ô Ñ Ò Ò Eº Î Ö ¾µ Ú r(m \ (E J)) = r M (E (E J)) = r M (J) = J ( J r M (J)) = J r((m \ (E J)) ) = J r(m J ) Î Ö µº Î ÖÙ ½µ ÓÖ M Ø Ò ÓÖ M Ó E J Ø Ò ÓÖ J Ö Ú r(m E J ) = E r(m) r(p J(M )) = r(m ) r(p J (M )) ÓÖ Ú Ø ØØ Ö r(m ) J + r(m J ) Ñ Ú Ú Ø r(p J (M )) = J + r(m J ) ¾

37 Å Ò ØØ Ð Ö Ö Ø Ú ¾µº Ö µ Ú Øº ÈÖÓÔÓ ÓÒ º¾º º Ä M ÚÖ Ò Ñ ØÖÓ Ô ÖÙÒÒÑ Ò Ò E Ó Ð J Eº Ä M ÚÖ Ù ÐÑ ØÖÓ Òº Ú Ð µ k i (M) + k n i (M) = r(m ) µ k i (M) = max J {r(mj ) J = i} µ k i (M) = min J {r(p J (M )) J = i} Ú º Î ÝÒÒ Ö Ñ Ú µº Ú Ò ÓÒ º¾º¾ Ö Ú Ø ÒÚ Ö ÄÈ Ö ØØ Ú k i = i k i (M ) µ Ò ÙØØÖÝ Ú k i (M) + (n i) k n i (M ) = r(m ) Ú k i (M) k n i (M ) = r(m ) n + i Ä i = º Ú Ð k (M) = k n (M ) = k n (M ) = n r(m ) ÓÑ Ö k (M) k n (M ) = (n r(m )) = r(m ) n À Ö Ø µ ÓÐ Ö ÓÖ i = º Î Ö Ò Ú ÓÑ Ö ÔÖ Ò Ø i i + º Î Ö Ø k i+ (M) k i (M) = Ú i + = d j (M ) ÓÖ j r(m )º Ç ÐÐ Ö º k n i (M ) k n (i+) (M ) = Ú n i = d l (M) ÓÖ l r(m)º Ç ÐÐ Ö º Ù Ð Ø Ø Ø ÓÖ Ñ Ø ÓÖ Ý Ö Ú Ø Ö Ø Ð Ñ ØÖÓ Ö Ë ÈÖÓÔÓ ÓÒ ¾º½º µ Ö Ø j ÓÖ j n ÒØ Ò Ö Ò Ý Ö Ú Ø Ø Ð M ÐÐ Ö n + j Ö Ò Ý Ö Ú Ø Ø Ð M Ø Ð ÐÐ Ò Ú Ð Ò ÙØ ÐÙ Ú Ö Ò Ö µº Ú ØØ Ö Ú º ¼

38 i + = d j (M) j r(m) n + (i + ) = n i d l (M ) l r(m ) Ö ÓÖ Ú Ð k i+ (M) k i (M) = k n i (M ) k n (i+) (M ) = Î Ö Ø k i+ (M) k i (M) + k n i (M ) k n (i+) (M ) = ÓÑ Ö [k i+ (M) k n (i+) (M )] [k i (M) k n i (M )] = Î Ö Ö ÓÖ Ø Ú Ò ØÖ Ö Ñ ½ ÔÖ Ò Ø i i + Ó Ð Ð ÓÖ ÝÖ º ÓÖÑ Ð µ ÓÐ Ö Ö ÓÖ ÓÖ ÐÐ i i nº Î Ö µº Ú Ò ÓÒ º½º½ Ö Ú Ø k i (M) = max{j d j (M) i} ØØ Ò ÓÑ ÓÖÑ Ø Ð max{j min J { J r(mj ) = j} i} Î Ð Ò Ú Ø ØØ Ö Ø ÑÑ ÓÑ max J {r(mj ) J = i} ÒØ Ø Ú Ö Ö Ò ÙÒ ÓÒ f f : P(E) Z ÓÑ Ø Ð Ö Ø ÐÐ Ö ÓÑ Ò µ³ Ó µ³ ÓÖ Ö Ò ÙÒ ÓÒ Ò Ø Ð Ò Ñ ØÖÓ º Ä Ú Ð d j (M) = min{ J f(j) = j} max{j d j (M) i} = h(i) ½

39 = max J {f(j) J = i} = g(i) Ø h(i) = g(i) Ò Ú Ú Ú Ø h(i) Ó g(i) Ö Ñ ÑÑ ÔÖ Ò Ò º ÓÖ i = Ú Ð h() = g() = º Î Ö Ø h(i) = j ÒÖ i [d j,d j+ ]º Á ÔÖ Ò Ø i i + Ú Ð h(i) ÓÖ ÓÐ ÓÒ Ø ÒØ Ö ÓÑ h(i) Ó h(i + ) Ð Ö Ñ ÐÐÓÑ Ø ÑÑ Ô Ö Ø Ú Ý Ö Ú Ø Öº Ç h(i + ) = h(i) + Ö ÓÑ h(i + ) Ö ÑÑ Ú Ö ÓÑ Ò Ý Ö Ú Øº Î Ö Ò Ø g(i) = j ÒÖ i [d j,d j+ ]º Ä i [d j,d j+ ]º ÒÒ Ø Ò J Ñ J = d j Ð Ø f(j) = jº Ä J = J {e,...,e i dj } Ð Ø J = d j + (i d j ) = i Ú Ð f(j ) f(j) = j ÓÑ Ö Ø g(i) jº Ø Ò ØÖ Ú Ø g(i) jº ÒØ Ø ÑÓØ ØØ º Ú Ð Ø Ø Ö J Ñ J = i Ð Ø f(j ) = j > jº Å Ò ØØ Ú Ð Ø d j i ÓÑ Ò Ö d j < d j+ º ØØ ØÝÖ Ø j < j + ØØ Ð Ö Ú ÑÓÒÓØÓÑ Ò Ô Ò ÓÖ Ý Ö Ú Ø Öµ ÓÑ Ö Ò ÐÚÑÓØ Ð º Î Ö Ö ÓÖ Ø g(i) = j ÓÖ i [d j,d j+ ]º È ÖÙÒÒÐ Ú ØØ Ö Ú Ø g(i) ÓÖ ÓÐ Ö ÓÒ Ø ÒØ ÔÖ Ò Ø i i + Ú i Ó i + Ð Ö Ñ ÐÐÓÑ Ø ÑÑ Ô Ö Ø Ú Ý Ö Ú Ø Öº ÀÚ i + Ö ÑÑ Ú Ö ÓÑ Ò Ý Ö Ú Ø Ú Ð g(i + ) = g(i) + º Î Ö Ø Ó Ø Ð Ú Ö Ò g(i + ) = g(i) h(i + ) = h(i) g(i + ) = g(i) + h(i + ) = h(i) + Ð Ö Ú Ø ÓÖ Ð µ Ú ÖÙ f(i) = max J {r(m J ) J = i}º Î Ö Ø f(i) = max J {r(m J ) J = i} = max J { J r(j) J = i} Ø Ð Ö Ø ÐÐ Ö ÓÑ Ò µ³ Ó µ³ ÓÖ Ö Ò ÙÒ ÓÒ Ö Ö Ã Ôº ½º Î Ñ Ö Ö Ó Ø ØØ Ö ÑÑ ÙÒ ÓÒ ÓÑ F(J) Ú Ø ÓÖ ÈÖÓÔº ¾º½º º Î Ö Ø Ð ÐÙØØ µº Ú Ò ÓÒ º¾º¾ Ö Ú Ø Î Ò ÓÑ ÓÖÑ µ Ø Ð k i (M) = i k i (M ) ØØ Ú Ð Ò ÚÖ Ú Ú Ð ÒØ Ñ k i (M ) = i min J {r(p J (M )) J = i} k i (M ) = max J { J r(p J (M )) J = i} Î ÖÙ Ð Ò Ò ¾µ Ì ÓÖ Ñ º¾º Ö Ú Ú Ò ÓÒ º¾º½ Ö Ú º k i (M ) = max J {r(m J ) J = i} ¾

40 k i (M ) = max{j d j (M ) i} Ø Ø ØÓ Ö Ú Ð Ò Ö ÒØ Ð Ö Ú Ú Ø ÓÖ Ð µ Ñ M ÓÖ M Î Ò Ö Ö Ò Ä È ÓÖ Ñ ØÖÓ Öº Ò ÓÒ º¾º º Ä M ÚÖ Ò Ñ ØÖÓ Ô ÖÙÒÒÑ Ò Ò E Ó Ð J Eº Ä È Ø Ð M Ö Ò ÖØ Ú m(m) = {m j (M) j n} Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ö ØØ Ú m j (M) = min{i k i (M) j} ËÓÑ ÓÖ Ó Ö Ú Ð Ä È Ú Ö Ø Ð Ú Ø Ö Ö Ø Ë Ñ Ö Ò Ò Ò ÙÒ Ö Ò ÓÒ º¾º½µº Î Ø Ö Ñ Ñ ØÖÓ Ú Ö ÓÒ Ò Ø Ð ÃÓÖÓÐÐ Ö º½º ÃÓÖÓÐÐ Ö º¾º º Ä M ÚÖ Ò Ñ ØÖÓ Ô ÖÙÒÒÑ Ò Ò Eº Ä J E Ó Ð M ÚÖ Ù ÐÑ ØÖÓ Òº Ú Ð m j (M) = min J { J : r(mj ) = j} ) = min J { J : r(m ) r[p E J (M )] = j} 2) = min J { J : J r[p J (M)] = j} 3) = min J { J : r[(m) E J ] r(m) + J = j} 4) Ú º Î Ö Ø µ Ð Ö Ú Ø Ð Ú Ö Ò Ø ÓÖ d j (M)º Ö ÓÖ Ö Ø ÒÓ Ú Ø ÓÖÑÐ Ò ) 2) 3) Ó 4) Ö ÑÑ º Î Ù Ð Ö M ) Ó 2) Ú Ð Ð Ø Ð Ú ) Ì ÓÖ Ñ º¾º º ØÖ Ø m j (M) Ô ÖÙÒÒÑ Ò Ò E J Ø Ò ÓÖ Jº Î Ö Ò Ø ) Ó 3) Ö Ð º ÓÖÑ Ð ) Ò ÙØØÖÝ Ú min J { E J r(m ) E J = j} Î º¾º Ð 3) Ö ØØ min J { E J r(m J ) r(m) = j} Ú ) Ì ÓÖ Ñ º¾º Ú Ð r(m J ) r(m) = r(p E J (M))

41 ÖÑ ÓÑ ÓÖÑ ÙØØÖÝ Ø Ø Ð min J { E J E J r(p E J (M)) = j} Å Ò ØØ Ö Ø ÑÑ ÓÑ min J { J J r(p J (M)) = j} ÓÑ Ú Ö Ö Ø Ð 3) Ì ÓÖ Ñ º¾º Ì Ð Ú Ö Ò Ú Ð 4) ØÖ Ø Ø Ô ÖÙÒÒÑ Ò Ò E J ÚÖ ØØ Ú min J { E J r(m J ) r(m) + E J = j} Ø ØØ Ú Ö Ö Ø Ð Ð Ø ) Ð Ö Ú Ì ÓÖ Ñ º¾º Ð 3)º º Ë ÑÑ Ò Ò Ò Ñ ÐÐÓÑ ÄÈ Ó Ú ÚÓ ÓÒ Î Ò ÖØ ÄÈ Ø Ð Ò Ó C Ò ÓÒ º½º º ÄÈ Ó Ä È Ö Ø ÑØ Ú Ú Ö Ò Ö Ó Ä È Ú Ö Ö Ø Ð Ú Ø Ö Ø Ú Ð ÄÈ Ó Ý Ö Ú Ø Ò ÚÖ Ø ÑØ Ú Ú Ö Ò Ö º Î Ö Ø Ð Ö ØØ Ø Ý Ö Ú Ø Ò Ó Ú ÚÓ ÓÒ Ò Ø ÑÑ Ö Ú Ö Ò Ö º Î Ö Ò Ô ÚÓÖ Ò Ú Ò ÒÒ Ú ÚÓ ÓÒ Ò Ú ÐÔ Ú ÄȺ Ú ÑÔ Ð º½º Ö Ú Ø ÄÈ Ø Ð [5,]¹À ÑÑ Ò Ó Ò Ö ØØ Ú {,,,,,2,3,4, 4, 5, 6,7,8,9,,} Ý Ö Ú Ø Ò Ö ØØ Ú {,3,5,6,7,9,,, 2, 3,4,5} Ú ÑÔ Ð º½º½¾ Ö Ú ÚÓ ÓÒ Ò ØØ Ú {4,4,4,4,4,4,4,4,3,3,3, 3, 2, 2,,} Î Ö Ø Ú ÚÓ ÓÒ Ò ÓÖ ÓÐ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ø Ò ÓÑÚ Ò Ø Ð Ò Ø Ð ÄÈ ÚØ Ö Ñ Ö ÝÖ º Ú ÚÓ ÓÒ Ò ÚØ Ö Ñ Ø Ò ÓÑÚ Ò Ø Ð Ò ÄÈ ÓÖ ÓÐ Ö ÓÒ Ø Òغ Á ÚÖØ Ø Ð ÐÐ Ö Ú Ø

42 s = (n s) k n s (C) s n Ú ÑÔ Ð º½º½¾ Ö ÁÒÚ Ö ÄÈ ØØ Ú {,,2,3,4,5,6, 7, 7,8,9,,,,,} Ú ÚÓ ÓÒ Ò ÓÖ ÓÐ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ø ÁÒÚ Ö ÄÈ Öº Ú ÚÓ ÓÒ Ò ÚØ Ö Ñ Ø ÁÒÚ Ö ÄÈ ÓÖ ÓÐ Ö ÓÒ Ø Òغ Á ØØ Ø Ð ÐÐ Ö Ú Ø s = (n k) + k s (C) s, s n ÐØ ÖÒ Ø ÚØ ÙÒÒ ÓÖÑ Ð Ò ÚÖØ ÒÒ ØØ Ö Ø Ú ÖÙ Ø k s (C) + k n s (C) = dim(c) Ú ÑÔ Ð º½º½¾ Ö Ú Ø ÁÒÚ Ö ÄÈ Ø Ð C Ö ØØ Ú {,,2,2,3,3,3,3,4,4,4, 4, 4, 4,4,4} Î Ö Ø ØØ Ö Ò ÓÑÚ Ò Ø Ú ÚÓ ÓÒ Ò Ø Ð [5,]¹À ÑÑ Ò Ó Òº Ú s = k n s (C ) s n ÙØØÖÝ Ò ÓÖ s Ð Ö Ð ØØ Ò Ö Ð Ö º Î ÓÚ ÖÐ Ø Ö Ø Ø Ð Ð Ö Ò Ú Ø ÙØØÖÝ Ò ÓÐ Ö ÓÖ Ó Ö Ò Ö Ðغ º ÄÈ Ó Ú ÚÓ ÓÒ Ø Ð Ò Ö Î Ö Ø Ð Ö Ò ÖØ Ý Ö Ú Ø Ò Ø Ð Ò Ö º ÄÈ Ö Ò ÖØ Ú ÐÔ Ú Ý Ö Ú Ø Ò Ò Ú Ò Ö ÄÈ Ø Ð Ò Ö º Ý Ö Ú Ø Ò d h (G) Ø Ð Ò Ö G Ò Ö Ò Ñ Ò Ø ÙÒ Ö Ö Ò ÓÑ ÒÒ ÓÐ Ö h Ý Ð Öº Ú Ð ¹ Ò ÄÈ Ú Ð Ú Ö Ø Ð ÒØ ÐÐ ÒØ Ö ÓÑ ÙØ Ö Ò Ñ Ò Ø Ý Ð Ò Ö Òº Î Ö Ú Ð ¹ ÖÒ Ú Ö Ö Ø Ð Ò Ñ Ò Ø ÙÒ Ö Ö Ò ÓÑ ÒÒ ÓÐ Ö 2 Ý Ð Ö Ó Úº k i Ö Ò ÖØ ÓÖ i n Ú Ð ÒØ ÐÐ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö ÄÈ ÚÖ Ø ÖÖ ÒÒ ÒØ ÐÐ ÒØ Ö Ø Ð Gº Ø Ø Ð Ñ ÒØ Ø ÄÈ Ö Ö ÓÖ Ò Ò Ö Ø ÓÖ Ø ÓÖØÓÐ Ò Ò º ÑÔ Ð º º½º ØÖ Ø Ö Ò K 4 ÙÖ ¾º½µº Î Ø Ö Ö Ø Ä Èµ Ö ØØ Ú {,3,5,6} ÄÈ Ö ØØ Ú {,,,,,2,3}

43 Î ÓÖØÓÐ Ö Ò Ú ÚÓ ÓÒ Ò ÓÖ Ò Ö º Î Ú Ø Ø Ú ÚÓ ÓÒ Ò Ø Ð Ò Ó Ú Ö Ö Ø Ð Ò ÓÑÚ Ò Ø ÒÚ Ö ÄÈ Ø Ð Ù Ð Ó Òº Ö Ö Ø ÓÖ Ò Ð Ö Ø Ú ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ò Ú Ò Ù Ð Ø Ð Ò Ö G Ø Ò ÒØÑ Ò Ö Ò Ý Ð G Ú Ó Ö Ú Ò Ö Ò Ñ Ò Ñ Ð Ô Ö Ö Ò ÒØÑ Ò Ú Ò Ñ Ò Ø ÙÒ Ö Ö Ò ÓÑ Ú ÖÒ Ò Ö Ö Ò Ö Ø ÒØ ÐÐ ÓÑÔÓÒ Ò Ø Ö Ö Ñ µ G º Ú ÚÓ ÓÒ Ò Ø Ð Ò Ö Ú Ð ÓÖ ÓÐ ÓÒ Ø ÒØ Ö ÓÑ Ú Ú ÖÒ Ò ÒØ Ò ÒÒ Ò Ñ Ò Ñ Ð Ô Ö Ö Ò ÒØÑ Ò Ó ÚØ Ö Ö ÓÑ Ú Ú ÖÒ Ò ÒØ Ò ÒÒ Ò Ñ Ò Ñ Ð Ô Ö Ö Ò ÒØÑ Ò º È ÖÙÒÒÐ Ú ØØ ÓÖÑÙÐ Ö Ö Ú Ð Ò Ö ÙÐØ Ø ÈÖÓÔÓ ÓÒ º º¾º ØØ Ò ÑÑ Ò Ò Ò Ö Gº Ú ÚÓ ÓÒ ÙÒ ÓÒ Ò s Ö Ð Ø s = m Ú Ø Ñ Ñ Ð ÒØ ÐÐ ÑÑ Ò Ò Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö Ú Ò ÒÒ Ú ÖÒ s ÒØ Ö Ö m + º ÑÔ Ð º º º ØÖ Ø Ò K 4 º Î Ö Ø K 4 Ö ÐÚ Ù Ð ÄÈ Ø Ð K4 Ø Ð K 4 º ÁÒÚ Ö ÄÈ Ö ØØ Ú Ö Ð ÄÈ {,,2,2,3,3,3} Ú ÚÓ ÓÒ Ò Ú Ð ÚÖ ØØ Ú Ò ÓÑÚ Ò Ø Ð Òº Î Ö Ö ÓÖ Ø = = 2 = 3 3 = 4 = 2 5 = Ó 6 = º Î Ö Ø Ú Ú ÖÒ Ò ØÖ ÒØ Ò Ö Ú ¹ ÚÓ ÓÒ Ò Ö Ù ÖØ ÓÖ Ö Ø Ò ØØ Ú Ö Ö Ø Ð ÒØ ÐÐ ÒØ Ö Ò Ñ Ò Ñ Ð Ô Ö Ö Ò ÒØÑ Ò Ø Ð K 4 µº Î ÖÒ ÝØØ ÖÐ Ö ØÓ ÒØ Ö Ú Ð Ú ÚÓ ÓÒ Ò ÚØ Òº ØØ Ú Ö Ö Ø Ð ÒØ ÐÐ ÒØ Ö Ò Ñ Ò Ñ Ð Ô Ö Ö Ò ÒØÑ Ò Ø Ð ÙÒ Ö Ö Ò Ú Ú ÖÒ Ò Ö Ø Ñ Ò Ñ Ð Ô Ö Ö Ò ÒØÑ Ò Ò Ö K 4 µº Î Ö Ú Ð Ú ÚÓ ÓÒ Ò ÚØ Ö Ø Ð Ú ÖÒ Ö Ò Ø ÒØ Ò K 4 º

44 Ã Ô ØØ Ð Ê Ð Ø Ú Ñ Ò ÓÒ»Ð Ò ÔÖÓ Ð Ö Ð Ø Ú Ö Ò ÙÒ ÓÒ Ó Ú Ñ ØÖÓ Ö º½ Ê Ð Ø Ú Ñ Ò ÓÒ»Ð Ò ÔÖÓ Ð Î Ö Ø Ð Ö Ò ÖØ ÄÈ ÒÚ Ö ÄÈ Ó Ä È ÓÖ Ò Ð Ò Ö Ó Cº Î ÙØÚ Ö Ò ÓÒ ÔØ Ò Ø Ð Ð ÓÖ ØÓ¹ Ó ÓÖÑ Øº ØØ Ö ÑÑ Ò Ò Ñ Ú ÚÓ ÓÒ Ò Ø Ð Ò Ó Ñ Ñ ØÖ ØÓ Ð Ö ÓÑ Ö Ú Ø Ã Ô ØØ Ð º º Î ÝÒÒ Ö Ñ Ò Ö Ò ÐÓ Ò Ø Ð ÄÈ Ó ÒÚ Ö ÄÈ ÓÖ ØÓ¹ Ó ÓÖÑ Øº Ò ÓÒ º½º½º Ä C ÚÖ Ò [n,k ]¹ Ó Ó Ð C 2 ÚÖ Ò [n,k 2 ]¹ÙÒ Ö Ó Ø Ð C º Ò Ö Ð Ø Ú Ñ Ò ÓÒ»Ð Ò ÔÖÓ Ð Ò Ê ÄÈ Ö Ò ÖØ Ú K(C,C 2 ) = {K i (C,C 2 ) i n} Ö K i (C,C 2 ) = max{dimcj dimc2 J J = i} Ò ÓÒ º½º¾º Ä C Ó C 2 ÚÖ ÓÑ ÖÚ Ø ÓÚ Ò ÓÖº Ò ÒÚ Ö Ö Ð Ø Ú Ñ Ò¹ ÓÒ»Ð Ò ÔÖÓ Ð Ò ÁÊ ÄÈ Ö Ò ÖØ Ú K(C,C 2 ) = { K i (C,C 2 ) i n} Ö K i (C,C 2 ) = min{dimp J (C ) dimp J C( 2 ) J = i} Ñ Ö Ò Ò º½º º Ë ØØ Ö Ú k 2 = Ö Ú Ú ÒÐ ÔÖÓ Ð Ò º Î Ò Ö Ð Ò Ö ÙÐØ Ø ÓÑ Ú Ö Ø Ê ÄÈ Ó ÁÊ ÄÈ Ö Ø ÑØ Ú Ú Ö Ò Ö º

45 Ì ÓÖ Ñ º½º º Ä C Ó C 2 ÚÖ ÓÑ ÖÚ Ø ÓÚ Ò ÓÖº Ê ÄÈ Ó ÁÊ ÄÈ Ö Ö Ð Ø ÖØ Ú Ú º Ë ÄÅÎ K i (C,C 2 ) = (k k 2 ) K n i (C,C 2 ) Î Ñ ÒÒ Ö ÓÑ ØÙ ÓÒ Ò Ö Ú Ø Ã Ô ØØ Ð º º Ä A ÚÖ Ô Ö Ø Ø Ñ ØÖ Ò Ø Ð Ó Ò C º Ö Ã Ô ØØ Ð º Ö Ú Ø A = (A,A 2 ) T Ú Ö Ò r n Ñ ØÖ ØÓ Ð Ö Ö A Ú Ö Ò r n Ñ ØÖ Ó A 2 Ú Ö Ò r 2 n Ñ ØÖ º A ÓÑ ÙÒ ÓÒ ÙÐ Ò ÓÖÑ ÓÒ Ýº Î ÖÝÔØ ÖØ Ý Ú AÜ = Ý ÓÖ Ò Üº ÃÓÑ Ò Ö Ö Ú Ì ÓÖ Ñ º º½ Ó Ò ÓÒ º º¾ Ö Ú Ð Ò Ö ÙÐØ Ø ÓÑ Ú Ö ÑÑ Ò Ò Ò Ñ ÐÐÓÑ ÁÊ ÄÈ Ó Ú ÚÓ ÓÒ Ò Ø Ð Ò Ó Ñ Ñ ØÖ ØÓ Ð Ö ÃÓÖÓÐÐ Ö º½º º Ä C Ó C 2 ÚÖ ÓÑ Öº ÓÖ s n Ú Ð 2;s = K n s (C,C 2 ) Î Ö Ø K(C,C 2 ) Ö Ø ÑÐ ÓÖ Ù Ö Ø Òº ËÓÑ ÓÖ Ò Ó Ñ Ò ÐØ ÓÖÑ Ø Ú Ð K(C,C 2 ) ÚÖ ¹ ÚØ Ò º Ð Ò ÈÖÓÔÓ ÓÒ Ú Ö Ø Ê ÄÈ Ó ÁÊ ÄÈ Ô Ø Ñ Ø Ò Ñ ÔÖ Ò Ø i i + º ÈÖÓÔÓ ÓÒ º½º º Ä C Ó C 2 ÚÖ ÓÑ Öº ÓÖ i n Ú Ð Î Ö Ó Ø K i+ (C,C 2 ) K i (C,C 2 ) K i+ (C,C 2 ) K i (C,C 2 ) K (C,C 2 ) = K (C,C 2 ) = Ó Ú º Ë ÄÅÎ K n (C,C 2 ) = K n (C,C 2 ) = k k 2 Ì Ð Ú Ö Ò Ò Ö Ö Ú Ò Ö Ð Ø Ú Ð Ò» Ñ Ò ÓÒ ÔÖÓ Ð Ò ÓÑ Ò Ò Ö Ð Ö Ò Ú Ä È ÓÑ Ú Ø Ð Ö Ö Ò Öغ Ò ÓÒ º½º º Ä C Ó C 2 ÚÖ ÓÑ Öº Ò Ö Ð Ø Ú Ð Ò» Ñ Ò ÓÒ ÔÖÓ Ð Ò ÊÄ È Ö Ò ÖØ Ú

46 M(C,C 2 ) = {M j (C,C 2 ) j k k 2 } Ö M j (C,C 2 ) = min{dimc J dimc2 J j} Î Ù Ö Ø Ä È Ú ÖØ Ø Ð Ý Ö Ú Ø Ò Ø Ð Ò Ó Cº Ì Ð Ú Ö Ò Ò Ú Ø ÊÄ È Ú Ö Ö Ø Ð Ö Ð Ø Ú Ý Ö Ú Ø Ò Ø Ð Cº Æ Ø Ö ÙÐØ Ø Ú Ö Ö Ð ÓÒ Ò Ñ ÐÐÓÑ Ê ÄÈ Ó ÊÄ È Ì ÓÖ Ñ º½º º Ä C Ó C 2 ÚÖ ÓÑ Öº Ú Ð j k k 2 Ó i n Ú º Ë ÄÅÎ M j (C,C 2 ) = min{i K i (C,C 2 ) j} Ó K i (C,C 2 ) = max{j M j (C,C 2 ) i} Ö ÃÓÑ Ò Ö Ö Ú Ì ÓÖ Ñ º½º Ó Ì ÓÖ Ñ º½º Ö Ú Ø Ê ÄÈ ÁÊ ÄÈ Ó ÊÄ È Ö Ø ÑØ Ú Ú Ö Ò Ö º Î Ú Ø Ø Ê ÄÈ Ö Ò ¹ ÚØ Ò Ð Ö Ø Ð k k 2 º Ö Ì ÓÖ Ñ º½º Ö Ú Ø M j (C,C 2 ) = min{i K i (C,C 2 ) j} = min{i K i (C,C 2 ) = j} Ö j k k 2 º Ò Ø Ð Ø Ò Ð Ö Ú Ø {i K i (C,C 2 ) = j} {i K i (C,C 2 ) j +} = º Î Ö Ø ÊÄ È Ö ØÖ Ò Ø Ò ØØ Ñ Ú Ö Ñ Ä È ÓÑ Ú Ö Ö Ø Ð Ý Ö Ú Ø Ò µº È ÖÙÒÒÐ Ú ØØ ÓÖÑÙÐ Ö Ö Ú Ð Ò ÈÖÓÔÓ ÓÒ ÈÖÓÔÓ ÓÒ º½º º Ä C Ó C 2 ÚÖ ÓÑ Öº Ú Ð M j (C,C 2 ) = min{i K i (C,C 2 ) j} = min{ J dimc J dimc2 J = j} ÚÓÖ M (C,C 2 ) = Ó j k k 2 Î Ö Ò Ô Ò ÚÖ Ö Ò Ò Ò UP( K) Ú K s º Ö ÃÓÖÓÐÐ Ö º½º Ú Ø Ú Ø K n s Ö Ú ÚÓ ÓÒ Ò Ø Ð Ò Ó º Î Ò Ø UP( K) Ò Ö Ò ÚÖ Ö Ò Ò Ò ÓÖ Ò Ö Ú Ö¹ ÖØ Ú ÚÓ ÓÒ Òº Î Ù Ö Ø Ú ÚÓ ÓÒ Ò Ö Ø ÑÐ ÓÖ Ù Ö Ø Ò Ø Ô Ö Ú Ó Ö ÓÑ ÓÔÔ ÝÐÐ Ö ÒÒ Ö Ò Ò Ò Ò Ñ Ð Ø Ú Ð ÚÖ Ñ Ø ÖÓ Ù Ø Ú Ò Ð Ú¹ ÐÝØØ Ò Î Ð Ò Ö Ø Ô Ö Ò Ú Ó Ö Ñ ÒÒ Ò Ô Ò Ö Ò Ò Ö Ð Ö Ò Ú Å Ë¹ Ó Öµº Î ÒÒ Ö Ö Ó ØÓ Ò Ö Ö Ò Ò Ò Ö LO(K) Ó UP(M) ÓÑ Ö Ò Ò Ö Ð Ö Ò Ú Ò Ð ØÓÒ Ö Ò Ò Ò Òµº Ö Ø Ò Ö Ö ÚÖ Ó Ò Ö Ö Ò Ò Ò Ú ØÓ Ð Ö Ñ ÐØ Ðк Ç

47 Ò ÓÒ º½º½¼º ØØ ØÓ ÐØ ÐÐ Ð Ö {π,...,π n } Ó {δ,...,δ n }º Î Ö Ø {π,...,π n } Ö ÚÖ Ö Ò Ø Ú {δ,...,δ n } Ú π i δ i ÓÖ i nº Ì Ð Ú Ö Ò Ú Ð {π,...,π n } ÚÖ Ò Ö Ö Ò Ø Ú {δ,...,δ n } Ú π i δ i ÓÖ i n Æ Ø Ö ÙÐØ Ø Ò Ö Ö Ò Ò Ò Ò UP( K) LO(K) Ó UP(M) ÓÖ Ø ØÓ¹ Ó ÓÖÑ Øº Ì ÓÖ Ñ º½º½½º Ä C Ó C 2 ÚÖ ÓÑ Öº ÁÒÚ Ö Ê ÄÈ K(C,C 2 ) Ö ÚÖ Ö Ò Ø Ú UP( K) ØØ Ú Ö max{i UP( K) i = } = k 2 º {UP( K) i i n} = {,...,,,2,..., k k 2,...,k k 2 } Ê ÄÈ K(C,C 2 ) Ö Ò Ö Ö Ò Ø Ú LO(K) ØØ Ú Ö max{i LO(K) i = n k }º {LO(K) i i n} = {,...,,,2,...,k k 2,...,k k 2 } ÊÄ È M(C,C 2 ) Ö ÚÖ Ö Ò Ø Ú UP(M) ØØ Ú Ú º Ë ÄÅÎ {UP(M) j j k k 2 } = {,n k +,n k + 2,...,n k 2 } Ñ Ö Ò Ò º½º½¾º Î Ö Ø UP(M) Ö Ò Ò Ö Ð Ö Ò Ú Ò Ð ØÓÒ Ö Ò Ò Ò Ò ÊÄ È Ú Ö Ö Ø Ð Ö Ð Ø Ú Ý Ö Ú Ø Ò Ó Ú Ð d n k + µ Æ Ø Ö ÙÐØ Ø ÐÝ Ö ÑÑ Ò Ò Ò Ñ ÐÐÓÑ UP( K) LO(K) Ó UP(M)º ÈÖÓÔÓ ÓÒ º½º½ º Ö ÓÑ Ò Ú Ö Ò Ò Ò Ò UP( K) LO(K) Ó UP(M) Ö ÓÔÔ ÝÐØ Ñ Ð Ø Ú Ð ÐÐ ØÖ ÚÖ ÓÔÔ ÝÐØ Ñ Ð Øº Î Ö Ø UP( K) Ö ÓÔÔ ÝÐØ Ñ Ð Ø Ú Ó Ö Ú K k (C,C 2 ) = k k 2 LO(K) Ö ÓÔÔ ÝÐØ Ñ Ð Ø Ú Ó Ö Ú K n k (C,C 2 ) = Ó UP(M) Ö ÓÔÔ ÝÐØ Ñ Ð Ø Ú Ó Ö Ú M (C,C 2 ) = n k + Ú º Ë ÄÅÎ Ö ÓÑ k 2 = ÓÑ Ö Ø C 2 = µ Ö Ú M (C,C 2 ) Ú Ö Ö Ø Ð Ò ØÖ ÓÒ ÐÐ Ò Ð ¹ ØÓÒ Ö Ò Ò Ò Òº Î Ö Ø C Ö Å Ë Ú Ó Ö Ú M (C, ) = n k + Ú ÓÑ Ò ÓÔÔ ÝÐÐ Ö Ò Ð ØÓÒ Ö Ò Ò Ò Ò Ñ Ð Øµ ÐÐ Ö K n k (C, ) = max{dimc J J = n k } = Ö J {,...,n}º Ö ÓÑ C Ö Å Ë Ö Ú Ø ÓÖ Ò Ú Ð ÖÐ ÙÒ Ö Ó C 2 C Ú Ð K n k (C,C 2 ) = max{dimc J dimc2 J J = n k }º ØØ ÓÑÑ Ö Ú Ø Ú Ö ÓÖ max{dimc J J = n k + } Ú Ö ÒÓ Ò Ó ÖÓ Ú Ú Ø n k ÓÖ Å Ë¹ Ó Ò C º Ú Ð Ó Ö Ö Ð Ø Ð ÓÑ Ö Ø K n k (C,C 2 ) = º Ë Ö ÓÑ C Ö Å Ë Ú Ð (C,C 2 ) ÓÔÔ ÝÐÐ UP( K) LO(K) Ó UP(M) Ñ Ð Øº ¼

48 Î ÙÒ Ö Ö Ò ÓÑ Ø ÒÒ Ó Ö ÓÑ Ö Å Ë Ñ Ò ÓÑ ÓÔÔ ÝÐÐ Ö Ö Ò Ò Ò Ò ÈÖÓÔÓ ÓÒ º½º½ º Ä C ÚÖ Ò [n,k,d]¹ Ó ÓÑ Ö ÒÖ Å Ëº Î Ö Ø K n k (C ) = max{dimc J J = n k } = Ø Ø Ö Ö Ó ÓÖ Ú Ú Ø n k Ñ Ò Ø Ø Ö Ö ¾¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÙÒ ÖÖÓÑ Ñ Ø ØØ Ú Ø Ý Ø Ð n k +º Ä C 2 ÚÖ Ò ÙÒ Ö Ó Ú C º Ö ÓÑ C 2 ÒÒ ÓÐ Ö Ó ÓÖ Ú Ú Ø n k Ú Ð K n k (C 2 ) = º Ç Ú Ö Ö Ú Ø Ú C 2 ÒÒ ÓÐ Ö ÐÐ Ó ÓÖ Ú Ú Ø n k C Ú Ð K n k (C,C 2 ) = º Ö ÓÑ C 2 ÒÒ ÓÐ Ö Ø Ó ÓÖ Ú Ú Ø n k Ú Ð K n k (C 2 ) = ÓÑ Ö K n k (C,C 2 ) = º Î Ö Ó Ø M (C,C 2 ) = ØØ Ö Ò Ö Ø ÓÒ Ú Ò Ú Ø C Ö ÒֹŠ˵ Î Ö Ø Ð Ö Ò ÖØ Ú ÚÓ ÓÒ Ò Ø Ð Ò Ò Ð Ñ Ñ ØÖ ØÓ Ð Öº ÒÒ Ö ØØ Ú Ú ÃÓÖÓÐÐ Ö º½º Ö Ú Ø 2:s = minh(y Z σ,y 2 ) 2:s K n s (C,C 2 ) = k k 2 Î Ö Ø k k 2 Ö Ò Ñ Ñ Ð Ú Ö Ò UP( K)µº Î Ó ÖÚ Ö Ö Ø Ö ÓÑ s k Ú Ð k k 2 Ö ÚÖ Ò ÑÙÐ Ú Ö ÓÖ 2:s ØØ Ð Ö Ú Ø UP( K s ) Ö Ò ÒÒ Ú Ö Ò ÓÖ s n k + µº ÒØ ÐÐ ¹ Ö UP( K) Ú Ð ÚÖ Ð k 2 Ö ØØ Ö Ú Ð Ò Ò Ú Ò Ú ÑÓÒÓØÓÒص k k 2 Ø Ø Ð Ñ Ñ ÐÚ Ö Ò k k 2 º Ö ÓÑ Ú Ö s = n k + Ð Ø Ò Ð ØÓÒ Ö Ò Ò Ò Òµ Ö Ú Ø 2:s = k k 2 ÓÑ Ö Ñ Ñ Ð Ú ÚÓ ÓÒº UP( K) Ú Ð ÑÓÒÓØÓÒØ Ö k 2 Ø Ð k k 2 µº ÓÖ k 2 = Ú Ð ØØ Ú Ö Ø Ð 2:s = k ÓÖ Ò Ú ÒÐ ÔÖÓ Ð Òº Î ÒÒ Ö Ö Ò Ø ÒÝØØ Ö Ô ÒØ Ø Ö ÖÝÔØÓ Ö Ò È Ö Ø Ö Ý º Ä H(Y Z σ,y 2 ) = H(S ) ½µ Ø Ò Ô Ö Ø Ö Ý Ñ Ò ÝÒ Ô 2:s º Ä s = Ó A 2 = Ì ÓÖ Ñ º º½º Ö ÓÑ Ú Ö Ô Ò Ú Ö Ø Ð Ò Ú Ñ ØÖ Ò A Ñ Ö Ò k k 2 Ú Ú ÐÙ Ö Ö k 2 Ò Ö Ø Ö Ò µ Ú Ð ½µ Ú Ö Ø Ð K(C,C 2 ) = k k 2 ÓÖ H(S ) = k k 2 µ ØØ Ú Ö Ö Ø Ð Ñ Ñ Ð Ú ÚÓ ÓÒº Ú º ØÖ Ô ÖØ Ò ÒÒ Ö ÐÐ y i ¹ Ò Ñ Ò Ò Ò Ú x i ¹ Ò º Ø Ø x i ¹Ú Ö Ò Ð Ö ÓÐ Ø ÙÐØ ÓÖ ÚÐÝØØ Ö Ú ÐÐ Ò ÓÖÑ ÓÒ ÓÑ Ò ÓÐ ÑÑ Ð ÓÖ Ò ØÖ Ô ÖØ ÓÐ ÑÑ Ð µ Ö Ø ÓÑ Ð Ö Ö Ô Ø Ô Ö Ø Ö Ý º ½

Ã Ô Ø ÐÚ Ö ÑÓ ÐÐ Ò Ó ØÓÖÑÓ ÐÐ Ö Ã Ô ØØ Ð

Ã Ô Ø ÐÚ Ö ÑÓ ÐÐ Ò Ó ØÓÖÑÓ ÐÐ Ö Ã Ô ØØ Ð Ã Ô Ø ÐÚ Ö ÑÓ ÐÐ Ò Ó ØÓÖÑÓ ÐÐ Ö Ã Ô ØØ Ð Ò Ø Ø ÃÎÅ ÖÙÒÒ Ó ÓÖÙØ ØÒ Ò Ö Ë ÖÔ ¹ ÓÖ ÓÐ Ø Ã Ô Ø ÐÚ Ö ÑÓ ÐÐ Ò Ø Ò Ò Ö ÃÎÅ Ó Ð ØÓÖÑÓ ÐÐ Ö Ã Ô Ø ÐÚ Ö ÑÓ ÐÐ Ò ÃÎŵ À Ò Ø Ò Ö ÓÑÑ Ö Ñ Ø Ð Ô Ø ÐÚ Ö ÑÓ ÐÐ Ò Ø ÒÒ Ò

Detaljer

Ã Ô ½ Ë Ð Ô Ø Ô Ø Ð ØÖÙ ØÙÖ ¹ ÁÒ Ò ØØ

Ã Ô ½ Ë Ð Ô Ø Ô Ø Ð ØÖÙ ØÙÖ ¹ ÁÒ Ò ØØ Ã Ô ½ Ë Ð Ô Ø Ô Ø Ð ØÖÙ ØÙÖ ¹ ÁÒ Ò ØØ Ò Ø Ø Ò ÓÒ Ö ÓÚ Ö Ø Ö Ò Ò Ö Ò Ñ Ã ÐÐ Ö Ð Å ÐÐ Ö Ó ÅÓ Ð Ò Á Åž Ã Ô Ø Ð Ó ØÒ Ò Ø Ó Ð Ð ÐÙØÒ Ò Ö ÓÑ Ô Ø Ð ØÖÙ ØÙÖ À Ú Ø Ò Ò Ñ ÓÒ Ó ÙØÚ ÒÒ Ò ÅÅ ÄÓÚ Ò ÓÑ Ò ÔÖ Ó Ú Ö Ò

Detaljer

Ã Ô ØØ Ð ½ ÖÙÒÒÐ Ò ÖÙ Ú Ø ÖÑ Ò Ð ÀÚ Ö ÒØÐ Ø ÖÑ Ò Ð Ò ÓÖ Ø ÒÝ ÖÙ Ö Ö ØØ Ø Ñ Ø ÑÝ ¹ Ø ÒÖ ÓÖ Ö Ø Ò Ñ Ø Ö Ô Ò Ð ÒÙÜÑ Ò ÚÓÖ Ò Ú Ö Ö Ò ÀÚÓÖ Ò ÖÙ Ö ØØ Á Ö ÖØ

Ã Ô ØØ Ð ½ ÖÙÒÒÐ Ò ÖÙ Ú Ø ÖÑ Ò Ð ÀÚ Ö ÒØÐ Ø ÖÑ Ò Ð Ò ÓÖ Ø ÒÝ ÖÙ Ö Ö ØØ Ø Ñ Ø ÑÝ ¹ Ø ÒÖ ÓÖ Ö Ø Ò Ñ Ø Ö Ô Ò Ð ÒÙÜÑ Ò ÚÓÖ Ò Ú Ö Ö Ò ÀÚÓÖ Ò ÖÙ Ö ØØ Á Ö ÖØ Ã Ô ØØ Ð ½ ÖÙÒÒÐ Ò ÖÙ Ú Ø ÖÑ Ò Ð ÀÚ Ö ÒØÐ Ø ÖÑ Ò Ð Ò ÓÖ Ø ÒÝ ÖÙ Ö Ö ØØ Ø Ñ Ø ÑÝ ¹ Ø ÒÖ ÓÖ Ö Ø Ò Ñ Ø Ö Ô Ò Ð ÒÙÜÑ Ò ÚÓÖ Ò Ú Ö Ö Ò ÀÚÓÖ Ò ÖÙ Ö ØØ Á Ö ÖØ ØØ Ö ÓÑ Ø ÖÑ Ò Ð Ò ÓÖ Ð Ö Ö ÒÓ ÒÖ Ù Ø ÖØ Ö Ò Ù ØÖ

Detaljer

(a δ,a+δ), (a δ,a+δ) = {x R x a < δ}. (a δ,a+δ)\{a} = (a δ,a) (a,a+δ) = {x R 0 < x a < δ}, f(x) = 2x 1.

(a δ,a+δ), (a δ,a+δ) = {x R x a < δ}. (a δ,a+δ)\{a} = (a δ,a) (a,a+δ) = {x R 0 < x a < δ}, f(x) = 2x 1. ÆÇÌ Ì ÇÅ Ê ÆË Ê Î Ä ÌÁÄ ÊÍà Á ÃÍÊË Ì Å Ì½½½ Î ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì Á Ê Æ ØØ ÒÓØ Ø Ø ÒÒ ÓÐ Ö ÒÓ ÒÝØØ Ô Ò ÙÑ ÙÖ Ø Å Ì½½½ ÓÖ ÓÐ Ø Ð ÐÖ Ó Ò Ó Ö ÙÒ Ñ ÒØ ÓÑ Ø ÙØ ÝÐÐ Ò ÒÓØ Ø Ø Ð Ã Ô ØØ Ð ½ Ñ Ð ÒØ ÒÒ Ø ÒÓ Ò Ö ÑÔÐ Ö

Detaljer

ÇÚ Ö Ø ØÓÖ Ö ÓÑ ÔÚ Ö Ö ÓÔ ÓÒ Ò ÔÖ ÒÓÑ ÔÖ Ò Ö ØÖ Ö ÔÖ Ò Ú ÓÔ ÓÒ Ê ÓÒ ÝØÖ Ð ÔÖ Ò Ð ¹Ë ÓÐ ¹Å ÖØÓÒ Ëŵ

ÇÚ Ö Ø ØÓÖ Ö ÓÑ ÔÚ Ö Ö ÓÔ ÓÒ Ò ÔÖ ÒÓÑ ÔÖ Ò Ö ØÖ Ö ÔÖ Ò Ú ÓÔ ÓÒ Ê ÓÒ ÝØÖ Ð ÔÖ Ò Ð ¹Ë ÓÐ ¹Å ÖØÓÒ Ëŵ à Ժ ½ ÈÖ Ò Ú ÓÔ ÓÒ Ö ÇÚ Ö Ø ØÓÖ Ö ÓÑ ÔÚ Ö Ö ÓÔ ÓÒ Ò ÔÖ ÒÓÑ ÔÖ Ò Ö ØÖ Ö ÔÖ Ò Ú ÓÔ ÓÒ Ê ÓÒ ÝØÖ Ð ÔÖ Ò Ð ¹Ë ÓÐ ¹Å ÖØÓÒ Ëŵ ØÓÖ Ö ÓÑ ÔÚ Ö Ö ÓÔ ÓÒ Ò ÔÖ Ò ÔÖ S T + ÍØ Ú Ð ÙÖ X Ì Ø Ð ÓÖ ÐÐ T + ÎÓÐ Ø Ð Ø Ø ÐÐ

Detaljer

Ò Ø Ø Ì Ð Ô Ó ÙØ ÝØØ ÍØ ÝØØ ÐÐ Ö Ø Ð Ô Ë ØØ ÙÐ ÑÔ Ö Ñ ÙØ ÝØØ Ú Ò Ò Ø Ó ØØ Ð ÒØ ÐÐ Ö Ð ÙØ ÐÐ Ö ÓÐ Ë Ò Ð Ö Ò Ñ ÙØ Ð Ò ÔÓÐ Ø

Ò Ø Ø Ì Ð Ô Ó ÙØ ÝØØ ÍØ ÝØØ ÐÐ Ö Ø Ð Ô Ë ØØ ÙÐ ÑÔ Ö Ñ ÙØ ÝØØ Ú Ò Ò Ø Ó ØØ Ð ÒØ ÐÐ Ö Ð ÙØ ÐÐ Ö ÓÐ Ë Ò Ð Ö Ò Ñ ÙØ Ð Ò ÔÓÐ Ø Ã Ô ½ Ú Ò Ò Ø Ø Ì Ð Ô Ó ÙØ ÝØØ ÍØ ÝØØ ÐÐ Ö Ø Ð Ô Ë ØØ ÙÐ ÑÔ Ö Ñ ÙØ ÝØØ Ú Ò Ò Ø Ó ØØ Ð ÒØ ÐÐ Ö Ð ÙØ ÐÐ Ö ÓÐ Ë Ò Ð Ö Ò Ñ ÙØ Ð Ò ÔÓÐ Ø Ð ÙØ ÐÐ Ö ÓÐ Ö ÓÒØ ÒØ ØÖ Ñ ÓÐ Ð ÙØ ÁÒÚ Ø Ö ÒÝ ÔÖÓ Ø Ö ÃÓÒØ Òع ÓÐ Ò Ò

Detaljer

Ã Ô ½ Ò Ò ÐÐ ØÖ

Ã Ô ½ Ò Ò ÐÐ ØÖ Ã Ô ½ Ò Ò ÐÐ ØÖ Ò Ø Ø Å Ð ÓÐ Ó ÓÒ ÙÖ Ø Ô Ö Ø Ñ Ö ËØÖ Ó ØÒ Ö Ó Ð Ô Ú Ö ÇÔØ Ñ Ð Ô Ø Ð ØÖÙ ØÙÖ ÚÚ Ò Ò Ø ÓÖ Ò ÒØ Ó ØÒ Ö Ñ Ð ÍØÒÝØØ Ò Ú ÐÒ Ú Ö ÅÓØ Ú Ö Ð Ö ÓÖ Ð Ö Ñ Ð ÝÑÑ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÒ Ó Ô Ø Ð ØÖÙ ØÙÖ Ã Ô Ø Ð

Detaljer

dq = c v dt + pdα = 0 dq = c p dt αdp = 0 µ pdα = αdp c p dα = c v dp = c v = D θ = T

dq = c v dt + pdα = 0 dq = c p dt αdp = 0 µ pdα = αdp c p dα = c v dp = c v = D θ = T ÙÖ ½ ÇÔÔ Ø Ò Ò Ò ÓÔÔ Ú º¾½ºÌº ¾¾¼¼ ØÑÓ Ö Ý ¾¼½ Ä Ò Ò ÓÖ Ð Ø Ð ÑÐ Ñ ØØ ÖÑÓÔÔ Ú Ö º¾½ºÌ Î ÒØ Ö Ø ÖÖ ÐÙ Ø Ó Ö Ø Ð Ô Ö Ø Ò Γ ÓÖ ÓÑ Ú Ð Ò µ ÐÐØ Ö Ñ Ò Ö ÒÒ Ø ÖÖ Ø Ò ÙÖ ½µº ÖÑ Ú Ð ÐÙ Ø ÓÑ Ú Ø Ð Ö Γ d µ ÐÐØ Ð

Detaljer

Ë Ð Ô Ø Ä Ð Ö ÑÑ Ö ÑÐ ØØ Ò Ó ÓÖ Ò ÓÒ Ã Ô ØØ Ð ½ Ó ¾

Ë Ð Ô Ø Ä Ð Ö ÑÑ Ö ÑÐ ØØ Ò Ó ÓÖ Ò ÓÒ Ã Ô ØØ Ð ½ Ó ¾ Ë Ð Ô Ø Ä Ð Ö ÑÑ Ö ÑÐ ØØ Ò Ó ÓÖ Ò ÓÒ Ã Ô ØØ Ð ½ Ó ¾ Ò Ø Ø Ý Ö Ô ËØÖ Ñ ¾¼½ Ô ØØ Ð ½ Ó ¾µº ÀÚ Ö Ø ÓÖ Ø Ö Ô Ó ÓÒØÖÓÐÐ ÀÚ Ö Ø ÓÖ Ø Ì ÙØ Ò ÔÙÒ Ø ÚÓÖ Ò Ð Ô Ø Ò Ö Ó Ô ÖØÒ Ö Ôº Ë Ð Ô Ø Ó Ö Ú Ú Ò Ô Ö ÓÒ ÐÐ Ö Ú

Detaljer

r t = S t r t ; s = ½ T T

r t = S t r t ; s = ½ T T Å Ö ÔÓÖØ Ð Ò Ó ÃÎÅ Ò Ø Ø Ú ØÒ Ò Ó ÚÓÐ Ø Ð Ø Ø ÈÓÖØ Ð Ú Æ Ó ÇÖ Ð Ö Ò Ò Ú Ã¹ Ó ØÒ Ò Ò ÒÚ Ø Ö Ò ÐÐÙ ØÖ ÓÒ ËÐÙØØÚÙÖ Ö Ò Ú ÃÎÅ Î Ð ÒÒÓÑ Ð Ò Ø ½º Ö Ò Ú ØÒ Ò Ó ÚÓÐ Ø Ð Ø Ø ØÖ Ö Æ ÇÖ Ð Ó Å Ö Ò À ÖÚ Ø Ó ÓÚ Ò Ò

Detaljer

Ë Ò Ö Ä Ò ÇÖ Ø Ò È Õµ ʺ º Ö º ĺ ÖØ Ý ØÖ Ø ÓÑÔÐ Ø Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ó Ö ÙÐ Ø Ø Ö ÓÒØ Ò Ò Ë Ò Ö Ð Ò ÓÖ Ø Ú Òº Ì Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ð Ø ÓÖ Ø Ò ¹ Ô Ò ÙÔÓÒ ÑÓ Ð Ò È

Ë Ò Ö Ä Ò ÇÖ Ø Ò È Õµ ʺ º Ö º ĺ ÖØ Ý ØÖ Ø ÓÑÔÐ Ø Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ó Ö ÙÐ Ø Ø Ö ÓÒØ Ò Ò Ë Ò Ö Ð Ò ÓÖ Ø Ú Òº Ì Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ð Ø ÓÖ Ø Ò ¹ Ô Ò ÙÔÓÒ ÑÓ Ð Ò È Ë Ò Ö Ä Ò ÇÖ Ø Ò È Õµ ʺ º Ö º ĺ ÖØ Ý ØÖ Ø ÓÑÔÐ Ø Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ó Ö ÙÐ Ø Ø Ö ÓÒØ Ò Ò Ë Ò Ö Ð Ò ÓÖ Ø Ú Òº Ì Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ð Ø ÓÖ Ø Ò ¹ Ô Ò ÙÔÓÒ ÑÓ Ð Ò È Õµ Ý Ø Ò Ø Ð Õ µ Ú Û ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ú ØÓÖ Ô ÓÚ Ö Õµº ÔÔÐ

Detaljer

Ã Ô ½ Ë Ð Ô Ø Ô Ø Ð ØÖÙ ØÙÖ

Ã Ô ½ Ë Ð Ô Ø Ô Ø Ð ØÖÙ ØÙÖ Ã Ô ½ Ë Ð Ô Ø Ô Ø Ð ØÖÙ ØÙÖ Ò Ø Ø Ê ÒØ ØØ ÓÖ Ð Ò Î Ö Ò Ú Ö ÒØ ØØ ÓÖ Ð Ò Ê Ô Ø Ð Ö Ò ÓÖ Ò ÓÔÔ ÊË È Ö ÓÒ ØØ Ö ÌÓÐ ØÒ Ò ÇÔØ Ñ Ð Ô Ø Ð ØÖÙ ØÙÖ Ñ ØØ Ö Ê ÒØ ØØ ÓÖ Ð Ò Ø ÐØ Ö ÒØ Ö Ö Ö ÒØ Ö Ö Á ÓÐ ÖØ Ö ØØ Ø Ò

Detaljer

ÌÓØ Ò Ú Ò ½ ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ó Ó Ò»ÓÒÐ Ò ÑÓ ÐÐÚ Ö Ö Ò Ú ØÓØ Ò ÒÐ Ø

ÌÓØ Ò Ú Ò ½ ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ó Ó Ò»ÓÒÐ Ò ÑÓ ÐÐÚ Ö Ö Ò Ú ØÓØ Ò ÒÐ Ø ÌÓØ Ò Ú Ò ½ ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ó Ó Ò»ÓÒÐ Ò ÑÓ ÐÐÚ Ö Ö Ò Ú ØÓØ Ò ÒÐ Ø ÁÆÆÀÇÄ ÁÒÒ ÓÐ ½ À Ò Ø Ñ ÓÔÔ Ú Ò ½ ¾ ÇÑ ÔÖÓ ÒÐ Ø ¾ ¾º½ ÈÖÓ Ö Ú Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÈÖÓ Ò ÁÒ

Detaljer

Tsunami Læringsmodeller i matematikk Andreas Christiansen

Tsunami Læringsmodeller i matematikk Andreas Christiansen ÄÖ Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ñ Ø Ñ Ø ÍØÚ Ð Ò ÓÔÔ Ú Ò Ö Ö Ø Ò Ò ÈÖ Ø Ô Ó ÙØ ÒÒ Ò À ÙÐ Ò ÎÓÐ Å ¾¼¼ Ì Ñ Ø Ñ Ø Ò³ Ô ØØ ÖÒ Ð Ø Ô ÒØ Ö³ ÓÖ Ø ÔÓ Ø³ ÑÙ Ø ÙØ ÙÐ Ø Ð Ø ÓÐÓÙÖ ÓÖ Ø ÛÓÖ ÑÙ Ø Ø ØÓ Ø Ö Ò ÖÑÓÒ ÓÙ Û Ýº ÙØÝ Ø Ö Ø Ø Ø Ø

Detaljer

Forbedret påskekorrigering for detaljomsetning

Forbedret påskekorrigering for detaljomsetning Notater Documents 1/2013 Dinh Quang Pham Forbedret påskekorrigering for detaljomsetning Notater 1/2013 Dinh Quang Pham Forbedret påskekorrigering for detaljomsetning Statistisk sentralbyrå Statistics

Detaljer

Î Ö ØØ Ò Ú Ö

Î Ö ØØ Ò Ú Ö Î Ö ØØ Ò Ú Ö Ò Ø Ø Ò ÓÒ Ö ÆÆÎ Ñ ØÓ Ò Ú Ò ÑÓ ÐÐ Ò Î Ø Ú Ò Ò ÙÖ Ó Ò ÓÖÑ ÓÒ Ø Ô Ö Ò ÓÒ Ö Ò Ô Ø Ð = ÙÖ ÒØ ÐÐ Öµ ¼ = Ë ¼ ÒØ ÐÐ Öµ ½µ Ö Ø Ö ÙÐØ Ø ÔÖº ÈË ÖÒ Ò Ô Ö Ö µ ÈË Ø = Ö Ø Ö ÙÐØ Ø Ø ÒØ ÐÐ Ö Ø ¾µ ÈÖ ¹ ÖÒ

Detaljer

R, t. reference model. observed model 1 P

R, t. reference model. observed model 1 P ÌÖ Ò Û Ø ÆÓÚ Ð ÈÓ Ø Ñ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ó Ó ÊÓ Ò Ò ÆÓÖ ÖØ ÃÖĐÙ Ö ÌÓÖ Ê Ö Ð ËÓÑÑ Ö ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÙÒ ÈÖ Ø Å Ø Ñ Ø Ö Ø Ò¹ Ð Ö Ø ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÞÙ Ã Ð ÈÖ Ù Ö ØÖ ½¹ ¾ ½¼ à РÖÑ ÒÝ ÖÓ Ò Ö ØÖ º Ò ÓÖÑ Ø ºÙÒ

Detaljer

ÓÖÓÖ Î Ð Ñ ØØ Ø Ð Ò Ð Ø Ò ÖÙÒ ØÙÖ ÒÒÓÑ Ú Ö Ò Ò Ú Ñ Ø Ñ Ø ÓØ ÔÓÖº Á ÒÒ Ó Ð ÓÖØ ÐÐ ÓÑ ÚÓÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø ÖÙ Ø ÒÓÐÓ ÙÒ Ø Ó ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ø Ò ¹ Ô Ö Ñ ÒØ Öº Â ÔÖ Ú

ÓÖÓÖ Î Ð Ñ ØØ Ø Ð Ò Ð Ø Ò ÖÙÒ ØÙÖ ÒÒÓÑ Ú Ö Ò Ò Ú Ñ Ø Ñ Ø ÓØ ÔÓÖº Á ÒÒ Ó Ð ÓÖØ ÐÐ ÓÑ ÚÓÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø ÖÙ Ø ÒÓÐÓ ÙÒ Ø Ó ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ø Ò ¹ Ô Ö Ñ ÒØ Öº  ÔÖ Ú ÀÚÓÖ ÓÖ Ñ ØØ Ë ÙÖ Ï ÒÒ Ö ½½º Ó ØÓ Ö ¾¼¼ ½ ÓÖÓÖ Î Ð Ñ ØØ Ø Ð Ò Ð Ø Ò ÖÙÒ ØÙÖ ÒÒÓÑ Ú Ö Ò Ò Ú Ñ Ø Ñ Ø ÓØ ÔÓÖº Á ÒÒ Ó Ð ÓÖØ ÐÐ ÓÑ ÚÓÖ Ò Ñ Ø Ñ Ø ÖÙ Ø ÒÓÐÓ ÙÒ Ø Ó ÙÒ Ö ÓÐ Ò Ø Ò ¹ Ô Ö Ñ ÒØ Öº  ÔÖ Ú Ö Ó Ò ÚÒ

Detaljer

u = u a cos θ; v = u a sin θ θ = (π/4) sin ωt (ǫ x + ǫ y ), u a (z) = min U, 0.4 ln z )

u = u a cos θ; v = u a sin θ θ = (π/4) sin ωt (ǫ x + ǫ y ), u a (z) = min U, 0.4 ln z ) ÁÒÒ ÓÐ ½ ÁÒÒÐ Ò Ò ¾ ¾ ÈÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ Ò ¾ ÄÓ Ð Ø ¹ Ñ Ð Ö Ò ÁÒÚ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ Ò º½ ÁÒÚ Ö Ð Ò Ò ÖØ Ô Ó ÖÚ ÓÒ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÁÒÚ Ö Ð Ò Ò ÖØ Ô ÓÖ Ò Ð Ø ¹Î Ö º º º º º º º º º º º

Detaljer

ÓÖÓÖ Ì Ø Ð ½ºÚ Ð Ö ËØ Ò Ö Î Ø ÔÖÓ ÓÖ ÁÒ Ø ØÙØØ ÓÖ ÓÒÓÑ Ú Í µ ÓÖ Ò Ñ ÒØ Ð Ö Ø Ú Ø Ø Ó Ò ÓÖÑ Ø Ú Ú Ð Ò Ò Ö ÒÒÓÑ Ð Ö ÔÖÓ Òº Ì Ø Ð ¾ºÚ Ð Ö Ö Ð Ú Ö Ø Ñ ÒÙ

ÓÖÓÖ Ì Ø Ð ½ºÚ Ð Ö ËØ Ò Ö Î Ø ÔÖÓ ÓÖ ÁÒ Ø ØÙØØ ÓÖ ÓÒÓÑ Ú Í µ ÓÖ Ò Ñ ÒØ Ð Ö Ø Ú Ø Ø Ó Ò ÓÖÑ Ø Ú Ú Ð Ò Ò Ö ÒÒÓÑ Ð Ö ÔÖÓ Òº Ì Ø Ð ¾ºÚ Ð Ö Ö Ð Ú Ö Ø Ñ ÒÙ ÈÖ Ö Ó ÓÒØÖ Ø Ö Ö ÙÐ Ö ØÐ Ú Ö Ò Ö Ö Ì ÓÖ Ø Ó ÑÔ Ö Ò ÐÝ Å Ø ÖÓÔÔ Ú Ñ ÙÒÒ ÓÒÓÑ Ã Ö Å Ö Ö Ø Ð ØÖ ÁÒ Ø ØÙØØ ÓÖ ÓÒÓÑ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ø Ö Ò À Ø ¾¼¼ ÓÖÓÖ Ì Ø Ð ½ºÚ Ð Ö ËØ Ò Ö Î Ø ÔÖÓ ÓÖ ÁÒ Ø ØÙØØ ÓÖ ÓÒÓÑ Ú Í µ ÓÖ

Detaljer

ÁÒ ÐÓÚ Ò Ñ ÑÓÖÝ Ó Ä Ø È ÙÐ ½

ÁÒ ÐÓÚ Ò Ñ ÑÓÖÝ Ó Ä Ø È ÙÐ ½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ô Ò ÓÒ ÓÖ Ø Ú Â ÑÑÝ È ÙÐ Å Ø ÖÓÔÔ Ú ØÙ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ó Ø ÒÐÝ Ñ ØÙ Ö ØÒ Ò Ò Ò ÓÖ Ö Ò Ó Ê Ó ¾¼¼ Î Ð Ö Ö ÐÚ Ò Ñ Ö ¾¼¼ Ø Ñ Ø Ñ Ø ¹Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ð ÙÐØ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ø Ç ÐÓ ÁÒ ÐÓÚ Ò Ñ ÑÓÖÝ Ó Ä

Detaljer

ÒÒÓÙÒ Ö Ñ Û Ø Ö Ù Ò ÝÐ ØØ Ò ÝÒ ÖÓÒ Þ ÌÖ Ò Ø ÓÒ ØÓÛ Ö Ø ÙÒ Ð Ø Ö Ð Ô Ö ÒØ Ö Þ Ö ÒØ º Ö Þ Ò ºÞ ÒØ Ö ÓÖ ÓÒÓÑ Ê Ö Ò Ö Ù Ø Ù Ø ÓÒ Ó ÖÐ ÍÒ Ú Ö ØÝ Þ Æ Ø ÓÒ Ð

ÒÒÓÙÒ Ö Ñ Û Ø Ö Ù Ò ÝÐ ØØ Ò ÝÒ ÖÓÒ Þ ÌÖ Ò Ø ÓÒ ØÓÛ Ö Ø ÙÒ Ð Ø Ö Ð Ô Ö ÒØ Ö Þ Ö ÒØ º Ö Þ Ò ºÞ ÒØ Ö ÓÖ ÓÒÓÑ Ê Ö Ò Ö Ù Ø Ù Ø ÓÒ Ó ÖÐ ÍÒ Ú Ö ØÝ Þ Æ Ø ÓÒ Ð ÒÒÓÙÒ Ö Ñ Û Ø Ö Ù Ò ÝÐ ØØ Ò ÝÒ ÖÓÒ Þ ÌÖ Ò Ø ÓÒ ØÓÛ Ö Ø ÙÒ Ð Ø Ö Ð Ô Ö ÒØ Ö Þ Ö ÒØ º Ö Þ Ò ºÞ ÒØ Ö ÓÖ ÓÒÓÑ Ê Ö Ò Ö Ù Ø Ù Ø ÓÒ Ó ÖÐ ÍÒ Ú Ö ØÝ Þ Æ Ø ÓÒ Ð Ò ½ Ù Ù Ø ¾ ¾¼¼ ½ Ì Ú Û ÜÔÖ Ö Ö ÑÝ ÓÛÒ Ò Ó ÒÓØ Ò Ö

Detaljer

Undervisningssituasjonen hos avd. B i forbindelse med reduksjon til 7 fast ansatte. Konsekvens av å endre fordelingen av fast ansatte fra 2/5 til 3/4 mellom forskningsgruppene faststoffmekanikk og fluidmekanikk.

Detaljer

Ð Ø Ø Ô Ö Ñ Ö Ö ÙÐÐ ÖÝÐÐ ÙÔ Ø Ú ÖØ ½ º

Ð Ø Ø Ô Ö Ñ Ö Ö ÙÐÐ ÖÝÐÐ ÙÔ Ø Ú ÖØ ½ º ÌÌ ÊË Æ Ú À ÒÖ Ù Ò Ñ Ø ÐÐ Ú Ç ÒÝ Ù Ò Ð Ø Ø Ô Ö Ñ Ö Ö ÙÐÐ ÖÝÐÐ ÙÔ Ø Ú ÖØ ½ º Ì Ð Ð Ø Ó Ú Ò Ö ØØ Ö ÓÔÔÑÓ Ò Ö ÓÖÒ Ú Ò ØÐ Ó ÂÓ Ø Ò Ö Ö Ú ØØ Ö Ø Ø ÓÑ ÐÐ Ö ØØ Ö ÝÒº Ø Ö Ö Ñ Ö Ú ØÓ Ð Öº Ò ÝÖ Ø Ð Ò ÓÑ Ò Ð Ö Ð

Detaljer

Ó Ö Ò ¹½ Ð ØØ Ö Ð Ö Ú Ñ Ò ÓÒ Å Ø ÖÓÔÔ Ú ÒÚ Ò Ø Ó Ê Ò ÓÖ ÒØ ÖØ Ñ Ø Ñ Ø Î Ö ÌÓÔÔ ÓÐ Å Ø Ñ Ø Ò Ø ØÙØØ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ø Ö Ò ½º ÙÒ ¾¼½½ Ö ÓÖ ÒÒ Ñ Ø ÖÓÔÔ Ú Ú ÖØ ÒÒÓÑ ÖØ Ó Ö Ú Ò Ú Ñ Ø Ñ Ø Ò Ø ØÙØØ Ú Ð Ò ÓÖ ÒÚ Ò

Detaljer

ÓÖÓÖ ÒÒ ÓÔÔ Ú Ò Ö Ö Ú Ø ÓÖ Ò Ð Ñ Ñ ØØ Ñ Ø Ö ØÙ ÙÑ ÁÒ ÓÖ¹ Ñ Ø Ú À ÓÐ Ò Ø ÓÐ º Â Ú Ð Ø Ñ Ò Ú Ð Ö ÔÖÓ ÓÖ ÖÖ ÄÙ Ú Ò ÓÑ ÓÖ Ø ÑÙÐ ÓÖ Ñ Ó Ñ ÒÒ ÓÔÔ Ú Òº À Ò Ú

ÓÖÓÖ ÒÒ ÓÔÔ Ú Ò Ö Ö Ú Ø ÓÖ Ò Ð Ñ Ñ ØØ Ñ Ø Ö ØÙ ÙÑ ÁÒ ÓÖ¹ Ñ Ø Ú À ÓÐ Ò Ø ÓÐ º Â Ú Ð Ø Ñ Ò Ú Ð Ö ÔÖÓ ÓÖ ÖÖ ÄÙ Ú Ò ÓÑ ÓÖ Ø ÑÙÐ ÓÖ Ñ Ó Ñ ÒÒ ÓÔÔ Ú Òº À Ò Ú Ø Ð ÓÖÑ Ð Ò Ú ØÒÓÑÙ ÓÐÓ ÖÙÞ Ð Ú ÙÒ Ø Ó Ä ÒÓÒ ÙÐØÙÖ Ð Î Ð Å Ø Ö Ö ÓÔÔ Ú Ò Ú Ø Ð ÓÑ Ú Ð Ö À ÓÐ Ò Ø ÓÐ Ú Ð Ò ÓÖ Ò ÓÖÑ ÓÒ Ø ÒÓÐÓ ½¼º ÒÙ Ö ¾¼½¼ ÓÖÓÖ ÒÒ ÓÔÔ Ú Ò Ö Ö Ú Ø ÓÖ Ò Ð Ñ Ñ ØØ Ñ Ø Ö ØÙ ÙÑ ÁÒ ÓÖ¹ Ñ Ø Ú

Detaljer

ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÐÓÛ ÁÒ Ö Ò ÓÖ ÅÄ Ê Æ ÇÁË ÈÇÌÌÁ Ê Ò ÎÁÆ ÆÌ ËÁÅÇÆ Ì ÁÆÊÁ Ì Ô Ô Ö ÔÖ ÒØ ØÝÔ ¹ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÛ Ò ÐÝ ÓÖ Ðй Ý¹Ú ÐÙ ¹ ÐÙÐÙ ÕÙ Ô¹ Ô Û Ø Ö Ö Ò Ü ÔØ

ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÐÓÛ ÁÒ Ö Ò ÓÖ ÅÄ Ê Æ ÇÁË ÈÇÌÌÁ Ê Ò ÎÁÆ ÆÌ ËÁÅÇÆ Ì ÁÆÊÁ Ì Ô Ô Ö ÔÖ ÒØ ØÝÔ ¹ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÛ Ò ÐÝ ÓÖ Ðй Ý¹Ú ÐÙ ¹ ÐÙÐÙ ÕÙ Ô¹ Ô Û Ø Ö Ö Ò Ü ÔØ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÐÓÛ ÁÒ Ö Ò ÓÖ ÅÄ Ê Æ ÇÁË ÈÇÌÌÁ Ê Ò ÎÁÆ ÆÌ ËÁÅÇÆ Ì ÁÆÊÁ Ì Ô Ô Ö ÔÖ ÒØ ØÝÔ ¹ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÛ Ò ÐÝ ÓÖ Ðй Ý¹Ú ÐÙ ¹ ÐÙÐÙ ÕÙ Ô¹ Ô Û Ø Ö Ö Ò Ü ÔØ ÓÒ Ò Ð Ø¹ÔÓÐÝÑÓÖÔ Ñ Û Û Ö Ö ØÓ ÓÖ Åĺ Ì ØÝÔ Ý Ø Ñ ÓÒ

Detaljer

Notater. Kalendereffekter. Dinh Quang Pham. Modell og estimering. Documents 45/2012

Notater. Kalendereffekter. Dinh Quang Pham. Modell og estimering. Documents 45/2012 Notater Documents 45/2012 Dinh Quang Pham Kalendereffekter Modell og estimering Notater 45/2012 Dihn Quang Pham Kalendereffekter Modell og estimering Statistisk sentralbyrå Statistics Norway Oslo Kongsvinger

Detaljer

ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú Ø ÔÖ Ø ÐÝ ÐØ Ø Ö Ò Ö ÙÐ Ñ ÒÒ ÐÐ Ò ÐÝ ÐØ Ö Ò Ù Ø ÝÐ Ò Ö ÖÖ Ý Å Ø ÖÓÔÔ Ú Ù Ø Ú Ë Ò Ö ÆÓÖ ÐÙÒ Î ØÒ ÓÐ ÁÒ Ø ØÙØØ ÓÖ Ý Ó Ø ÒÓÐÓ ÂÙÒ ¾¼½¾

ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú Ø ÔÖ Ø ÐÝ ÐØ Ø Ö Ò Ö ÙÐ Ñ ÒÒ ÐÐ Ò ÐÝ ÐØ Ö Ò Ù Ø ÝÐ Ò Ö ÖÖ Ý Å Ø ÖÓÔÔ Ú Ù Ø Ú Ë Ò Ö ÆÓÖ ÐÙÒ Î ØÒ ÓÐ ÁÒ Ø ØÙØØ ÓÖ Ý Ó Ø ÒÓÐÓ ÂÙÒ ¾¼½¾ ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú Ø ÔÖ Ø ÐÝ ÐØ Ø Ö Ò Ö ÙÐ Ñ ÒÒ ÐÐ Ò ÐÝ ÐØ Ö Ò Ù Ø ÝÐ Ò Ö ÖÖ Ý Å Ø ÖÓÔÔ Ú Ù Ø Ú Ë Ò Ö ÆÓÖ ÐÙÒ Î ØÒ ÓÐ ÁÒ Ø ØÙØØ ÓÖ Ý Ó Ø ÒÓÐÓ ÂÙÒ ¾¼½¾ ÓÖÓÖ ÒÒÓÑ ÓÔÔÚ Ø Ò Ø Ð Ö Ø Ò Ø Ò Ð ÓÑÑ Ö Ò Ô Ñ Ð Ò ÝØØ º

Detaljer

Ê Ð Ø ÓÒ Ð Ê Ò ÓÖ Ñ ÒØ Ä ÖÒ Ò Ë Ó Þ ÖÓ ÄÙ Ê Ø ÃÙÖØ Ö Ò Ê ÔÓÖØ Ï ½½ Å Ý ¾¼¼½ Ò Ã Ø ÓÐ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ä ÙÚ Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ð Ø Ò ÒÐ Ò ¾¼¼ ß ¹ ¼¼½ À

Ê Ð Ø ÓÒ Ð Ê Ò ÓÖ Ñ ÒØ Ä ÖÒ Ò Ë Ó Þ ÖÓ ÄÙ Ê Ø ÃÙÖØ Ö Ò Ê ÔÓÖØ Ï ½½ Å Ý ¾¼¼½ Ò Ã Ø ÓÐ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ä ÙÚ Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ð Ø Ò ÒÐ Ò ¾¼¼ ß ¹ ¼¼½ À Ê Ð Ø ÓÒ Ð Ê Ò ÓÖ Ñ ÒØ Ä ÖÒ Ò Ë Ó Þ ÖÓ ÄÙ Ê Ø ÃÙÖØ Ö Ò Ê ÔÓÖØ Ï ½½ Å Ý ¾¼¼½ Ò Ã Ø ÓÐ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ä ÙÚ Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ð Ø Ò ÒÐ Ò ¾¼¼ ß ¹ ¼¼½ À Ú ÖÐ Ð Ùѵ Ê Ð Ø ÓÒ Ð Ê Ò ÓÖ Ñ ÒØ Ä ÖÒ Ò Ë Ó Þ ÖÓ

Detaljer

ËØÓ Ø ÑÓ Ð ÓÖ ÝÑÑ ØÖ Û Ú Ù Ú Ö Ù Ä Ö Ò ÖÓÒع ÝÑÑ ØÖÝ ØÓ Ø Ä Ö Ò ÑÓ Ð ÓÖ ÝÑÑ ØÖ Ó Ò Û Ú Û Ø Ö Ø ÓÒ Ð ÔÖ Ò ÓÖ Ä Ò Ö Ò ½ ËÓ Ö ½ ÒÒ Ä Ò Ö Ò ¾ ½ ÒØÖ ÓÖ Å Ø

ËØÓ Ø ÑÓ Ð ÓÖ ÝÑÑ ØÖ Û Ú Ù Ú Ö Ù Ä Ö Ò ÖÓÒع ÝÑÑ ØÖÝ ØÓ Ø Ä Ö Ò ÑÓ Ð ÓÖ ÝÑÑ ØÖ Ó Ò Û Ú Û Ø Ö Ø ÓÒ Ð ÔÖ Ò ÓÖ Ä Ò Ö Ò ½ ËÓ Ö ½ ÒÒ Ä Ò Ö Ò ¾ ½ ÒØÖ ÓÖ Å Ø ËØÓ Ø ÑÓ Ð ÓÖ ÝÑÑ ØÖ Û Ú Ù Ú Ö Ù Ä Ö Ò ÖÓÒع ÝÑÑ ØÖÝ ØÓ Ø Ä Ö Ò ÑÓ Ð ÓÖ ÝÑÑ ØÖ Ó Ò Û Ú Û Ø Ö Ø ÓÒ Ð ÔÖ Ò ÓÖ Ä Ò Ö Ò ½ ËÓ Ö ½ ÒÒ Ä Ò Ö Ò ¾ ½ ÒØÖ ÓÖ Å Ø Ñ Ø Ð Ë Ò ÄÙÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ ¾ Å Ø Ñ Ø Ð Ë Ò ÆÓÖÛ Ò ÍÒ

Detaljer

Ë ÑÑ Ò Ö Ú ÓÚ ÔÖÓ Ø Ì ØØ Ð ÅÌ ÆÖ ½¼ ÓÑÔÐ Ü ÅÓ Ð Ì ÒÝ Ð ØÓ ½ º¼ º¼ ÐØ Ö µ Î Ð Ö µ Ä Ö À ÐÚÓÖ ÒÙÒ ÂÓÒ Ö Ò Ì ÓÑ Ù Ø ÝÚ Ò ÃÓÐ ÇÔÔ Ö Ú Ö ËÙÒ Ø Ñ Ë Ö Ú Ë ÙÖ

Ë ÑÑ Ò Ö Ú ÓÚ ÔÖÓ Ø Ì ØØ Ð ÅÌ ÆÖ ½¼ ÓÑÔÐ Ü ÅÓ Ð Ì ÒÝ Ð ØÓ ½ º¼ º¼ ÐØ Ö µ Î Ð Ö µ Ä Ö À ÐÚÓÖ ÒÙÒ ÂÓÒ Ö Ò Ì ÓÑ Ù Ø ÝÚ Ò ÃÓÐ ÇÔÔ Ö Ú Ö ËÙÒ Ø Ñ Ë Ö Ú Ë ÙÖ ½ Ë ÑÑ Ò Ö Ú ÓÚ ÔÖÓ Ø Ì ØØ Ð ÅÌ ÆÖ ½¼ ÓÑÔÐ Ü ÅÓ Ð Ì ÒÝ Ð ØÓ ½ º¼ º¼ ÐØ Ö µ Î Ð Ö µ Ä Ö À ÐÚÓÖ ÒÙÒ ÂÓÒ Ö Ò Ì ÓÑ Ù Ø ÝÚ Ò ÃÓÐ ÇÔÔ Ö Ú Ö ËÙÒ Ø Ñ Ë Ö Ú Ë ÙÖ Å Ø Ò ÙÖ ÙÒ Ø ÑºÓÑ ÃÓÒØ ØÔ Ö ÓÒ Ì ÓÑ Ù Ø ËØ ÓÖ µ

Detaljer

Ì ÊÁË ÈÖÓ Ö Ñ ÜÔÐÓÖ Ö Ë ÓÒ ËØ ØÙ Ê ÔÓÖØ ÏÓÐ Ò Ë Ö Ò Ö ÏÓÐ Ò ºË Ö Ò ÖÖ º Ùº Ø Ê Ö ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ËÝÑ ÓÐ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÊÁË µ ÂÓ ÒÒ Ã ÔÐ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ Ä ÒÞ Ù ØÖ

Ì ÊÁË ÈÖÓ Ö Ñ ÜÔÐÓÖ Ö Ë ÓÒ ËØ ØÙ Ê ÔÓÖØ ÏÓÐ Ò Ë Ö Ò Ö ÏÓÐ Ò ºË Ö Ò ÖÖ º Ùº Ø Ê Ö ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ËÝÑ ÓÐ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÊÁË µ ÂÓ ÒÒ Ã ÔÐ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ Ä ÒÞ Ù ØÖ Ì ÊÁË ÈÖÓ Ö Ñ ÜÔÓÖ Ö Ë ÓÒ ËØ ØÙ Ê ÔÓÖØ ÏÓ Ò Ë Ö Ò Ö ÏÓ Ò ºË Ö Ò ÖÖ º Ùº Ø Ê Ö ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ËÝÑ Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÊÁË µ ÂÓ ÒÒ Ã Ô Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ Ä ÒÞ Ù ØÖ ØØÔ»»ÛÛÛºÖ º Ùº Ø ÏÓ Ò Ë Ö Ò Ö ØØÔ»»ÛÛÛºÖ º Ùº Ø ½»½ Ó Ò

Detaljer

ÁÆËÌÁÌÍÌ Æ ÌÁÇÆ Ä ÈÇÄ Ì ÀÆÁÉÍ Ê ÆÇ Ä Æ ØØÖ Ù Ô Ö Ð Ð ÓØ ÕÙ ÌÀ Ë ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö Ð Ö Ç Ì ÍÊ Ð³ÁÆÈ ËÔ Ð Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ ËÝ Ø Ñ Ø ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÔÖ Ô Ö Ù Ð ÓÖ ØÓ

ÁÆËÌÁÌÍÌ Æ ÌÁÇÆ Ä ÈÇÄ Ì ÀÆÁÉÍ Ê ÆÇ Ä Æ ØØÖ Ù Ô Ö Ð Ð ÓØ ÕÙ ÌÀ Ë ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö Ð Ö Ç Ì ÍÊ Ð³ÁÆÈ ËÔ Ð Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ ËÝ Ø Ñ Ø ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÔÖ Ô Ö Ù Ð ÓÖ ØÓ ÁÆËÌÁÌÍÌ Æ ÌÁÇÆ Ä ÈÇÄ Ì ÀÆÁÉÍ Ê ÆÇ Ä Æ ØØÖ Ù Ô Ö Ð Ð ÓØ ÕÙ ÌÀ Ë ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö Ð Ö Ç Ì ÍÊ Ð³ÁÆÈ ËÔ Ð Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ ËÝ Ø Ñ Ø ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÔÖ Ô Ö Ù Ð ÓÖ ØÓ Ö ÄËʹÁÅ ÔÖÓ Ø Ë Ê Ë Ò Ð Ö Ð³ ÓÐ ÓØÓÖ Ð Å Ø Ñ Ø ÕÙ

Detaljer

½º ÙØ Ú ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÓÖÐ Ø Ë ½ ¾º ÙØ Ú ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÓÖÐ Ø Ë ½ º ÙØ Ú Ú» ÓÖ ØØ ÖÒ ÓÙ Ò ÓÛÒÐÓ Ò Ù Ø Ñ Ø Ö Ð Ö ÐÝ Ù Ø ØÓ Ø Ö Ø Ú ÓÑÑÓÒ ÈÙ Ð ÓÔÝÖ Ø Ä Ò Å Ö º

½º ÙØ Ú ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÓÖÐ Ø Ë ½ ¾º ÙØ Ú ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÓÖÐ Ø Ë ½ º ÙØ Ú Ú» ÓÖ ØØ ÖÒ ÓÙ Ò ÓÛÒÐÓ Ò Ù Ø Ñ Ø Ö Ð Ö ÐÝ Ù Ø ØÓ Ø Ö Ø Ú ÓÑÑÓÒ ÈÙ Ð ÓÔÝÖ Ø Ä Ò Å Ö º Ú Ò ÀÓÐØ Ö ÒÒ ÁÒ Ö Ø Ò ÀÙ Ó È ÖÖ Ý Ó Ò Ö Ö ÙÖ Ö Ý Ò Ø ØÙØØ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ø Ç ÐÓ ½º ÙØ Ú ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÓÖÐ Ø Ë ½ ¾º ÙØ Ú ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÓÖÐ Ø Ë ½ º ÙØ Ú Ú» ÓÖ ØØ ÖÒ ÓÙ Ò ÓÛÒÐÓ Ò Ù Ø Ñ Ø Ö Ð Ö ÐÝ Ù Ø ØÓ Ø Ö Ø Ú ÓÑÑÓÒ

Detaljer

ÓÑÔ Ð Ö ÓÖ À Ö ØÓÔ À ÖÖÑ ÒÒ Ö Ø Ò Ä Ò Ù Ö ÊÓ ÖØ ĐÙÒÞ Â Ò Ä Ø Ò Ö Ö Ò Ö Ø Ò Ë ÐÐ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ Å Ø Ñ Ø ÙÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø È Ù ÖÑ ÒÝ ÖÖÑ ÒÒ Ð Ò Ù Ö

ÓÑÔ Ð Ö ÓÖ À Ö ØÓÔ À ÖÖÑ ÒÒ Ö Ø Ò Ä Ò Ù Ö ÊÓ ÖØ ĐÙÒÞ Â Ò Ä Ø Ò Ö Ö Ò Ö Ø Ò Ë ÐÐ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ Å Ø Ñ Ø ÙÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø È Ù ÖÑ ÒÝ ÖÖÑ ÒÒ Ð Ò Ù Ö ÓÑÔ Ð Ö ÓÖ À Ö ØÓÔ À ÖÖÑ ÒÒ Ö Ø Ò Ä Ò Ù Ö ÊÓ ÖØ ĐÙÒÞ Â Ò Ä Ø Ò Ö Ö Ò Ö Ø Ò Ë ÐÐ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ Å Ø Ñ Ø ÙÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø È Ù ÖÑ ÒÝ ÖÖÑ ÒÒ Ð Ò Ù Ö Ñ ºÙÒ ¹Ô Ùº ØØÔ»»ÛÛÛº Ñ ºÙÒ ¹Ô Ùº» Ð Ò Ù Ö» Å Ý ½ ØÖ

Detaljer

Ò Ò ÐÝ Ó ÑÔ Ö Ð Ì Ø Ò ÓÖ ÅÓ Ð ÓÒ ÈÖÓ ÙÖ Á Æ ÀÇÊÊÇ ÃË Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å Ò Ø Ö Íú ¹Ñ Ð ÓÖÖÓ ºÑ Òº ºÙ È Ì Ê º È Ì Ä¹Ë ÀÆ Á Ê ÐÐ Ä Ê Ö

Ò Ò ÐÝ Ó ÑÔ Ö Ð Ì Ø Ò ÓÖ ÅÓ Ð ÓÒ ÈÖÓ ÙÖ Á Æ ÀÇÊÊÇ ÃË Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å Ò Ø Ö Íú ¹Ñ Ð ÓÖÖÓ ºÑ Òº ºÙ È Ì Ê º È Ì Ä¹Ë ÀÆ Á Ê ÐÐ Ä Ê Ö Ò Ò ÐÝ Ó ÑÔ Ö Ð Ì Ø Ò ÓÖ ÅÓ Ð ÓÒ ÈÖÓ ÙÖ Á Æ ÀÇÊÊÇ ÃË Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å Ò Ø Ö Íú ¹Ñ Ð ÓÖÖÓ ºÑ Òº ºÙ È Ì Ê º È Ì Ä¹Ë ÀÆ Á Ê ÐÐ Ä Ê Ö ÅÙÖÖ Ý À ÐÐ Æ ͺ˺ º ¹Ñ Ð Ô Ô Ö Ö º ÐйРºÓÑ ÊÇ ÊÌÇ

Detaljer

Ë ÑÑ Ò Ö Á ÒÒ ÓÔÔ Ú Ò Ö Ø Ö Ø Ñ Ø ÒÝØØ Ð Ø ÚØ Ô Ö ÓÒ Ý Ø Ñ ÓÖ ÖÙØ Ö ÓÖ ÙÑ ÖÙÒÒ ØÓ ÒÙÑÑ Ö ½¼ µ Ú ÖÙ Ú Ú ¹Ú ØÖ ÓÒº ËÝ Ø Ñ Ø Ö ÙØÚ Ð Ø ËÁË Ã¹ Ý Ø Ñ Ø ÓÑ Ö Ø Ò ØÖÙÑ ÒØ ÓÖ ÙÖØ ÓÒÐ Ò Ú ¹Ú ØÖ ÓÒº Á ÓÑ Ò ÓÒ Ñ

Detaljer

ÔÔÖÓ Ò Ø ÓÖÑ Ð Ò Ò Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ó ÓÑÔÐ Ü ËÝ Ø Ñ Ì Ê ØÖ Ò Ñ ÒØ ÈÓ Ø ÓÒ Ê Ö Ò Þ Ð Û Â Ë ÑÓÒ Ö Ö Ê Ö ÖÓ Å Ð ÈÓÔÔÐ ØÓÒ ËÙ Ò ËØ ÔÒ Ý Ò ËØ Ú Ò Ã Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò

ÔÔÖÓ Ò Ø ÓÖÑ Ð Ò Ò Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ó ÓÑÔÐ Ü ËÝ Ø Ñ Ì Ê ØÖ Ò Ñ ÒØ ÈÓ Ø ÓÒ Ê Ö Ò Þ Ð Û Â Ë ÑÓÒ Ö Ö Ê Ö ÖÓ Å Ð ÈÓÔÔÐ ØÓÒ ËÙ Ò ËØ ÔÒ Ý Ò ËØ Ú Ò Ã Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÔÔÖÓ Ò Ø ÓÖÑ Ð Ò Ò Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ó ÓÑÔÐ Ü ËÝ Ø Ñ Ì Ê ØÖ Ò Ñ ÒØ ÈÓ Ø ÓÒ Ê Ö Ò Þ Ð Û Â Ë ÑÓÒ Ö Ö Ê Ö ÖÓ Å Ð ÈÓÔÔÐ ØÓÒ ËÙ Ò ËØ ÔÒ Ý Ò ËØ Ú Ò Ã Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ôغ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å Ò Ø Ö Å Ò Ø Ö Å½ ÈÄ ÍÃ Ò Ö Ö ÖÖÓ

Detaljer

ÔÐÓÑÓÔÔ Ú Ý Å ÖÓ Ð Ö ÓÑ ØÖ ÒÚ Ò Ø Ø Ð Ø ÓÒ Ú Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ö ÒØ Ö ÖÝ ØÚ Ú ÒØÓÑ Ý Ø Ò ÃÐ Ñ Ø Ò ÂÙÒ ¾¼¼ Ø Ñ Ø Ñ Ø ¹Ò ØÙÖÚ Ø Ò ÔÐ ÙÐØ Ø ÁÒ Ø ØÙØØ ÓÖ Ý ÆÓÖ ÐÝ Ó ÖÚ ØÓÖ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ø ÌÖÓÑ ¼ ÌÖÓÑ Ø Ð ÓÒ ½ ¼ Ø

Detaljer

¾

¾ ¾ Ë ÑÑ Ò Ö Ò ÒØÖ Ð Ø ÓÖ ÒÒ Ò ÐØ Ø Ö ÒØ Ò Ö ÓÒ Ö ØÖ ÓÒ ÐØ ÚÖØ Û Ð ¹ ÚÓÒ Ä Ù Ø ÓÖ Òº Ò ÒÒ Ò Ñ Ò Ö ÒÝØØ Ø Ø ÓÖ Ö Ò ÖÛ Ò ÔÙ Ð ÖØ ½ ½ º ÒÒ ÓÔÔ Ú Ò Ø Ö Ö Ø ÙØ Ò ÔÙÒ Ø Ò Ò Ñ Ø Ø ÓÖ Ò Ø Ð ÖÛ Ò ÚÓÖ ÒØÖ Ð Ö Ô Ð

Detaljer

Foroppgave i usikkerhetsanalyse Viskositet i glyserol

Foroppgave i usikkerhetsanalyse Viskositet i glyserol Oppgave 1 Lab i TFY4120 Foroppgave i usikkerhetsanalyse Viskositet i glyserol Institutt for fysikk, NTNU 2 1. Innledning Hensikten med denne oppgaven er først og fremst å få øvelse i analyse av feilkilder

Detaljer

t=0 t=0 U(c, l) = β u(c t, l in t )

t=0 t=0 U(c, l) = β u(c t, l in t ) Ó ÓÓÔ Ö Ø Ú Ò Ø Ø ÔÓÓÖ Ú Ò ÖÓÑ Ø ÓÔ Å Ö ÊÓ Ö Ó Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ö ÙÐØÙÖ Ð Ò ÔÔÐ ÓÒÓÑ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ï ÓÒ Ò Å ÓÒ ÖÓ Ö ÓÛ º Ù Ë Ð Ø Ô Ô Ö ÓÖ ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ø Ø Ö ÙÐØÙÖ Ð Ò ÔÔÐ ÓÒÓÑ Ó Ø ÓÒ³ ¾¼½¾ ÒÒÙ Ð Å Ø Ò Ë ØØÐ Ï Ò

Detaljer

¾

¾ ½ ÆÓÖ ¹ ÌÝ ÌÝ ¹ ÆÓÖ Ê Ø ÙÒ ÁÒ Ó Å Ö Ø Ò Ö ¾ º ÖÙ Ö ¾¼¼ ¾ ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ Ä Ò ÖØ Ò ½º½ à ÖØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º½ Ä Ò ÖØ º º º º º º º º º º º º º º º

Detaljer

ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ø ËØ Ú Ò Ö Å Ø ÖÓÔÔ Ú ¾¼½½ Ê ÒØ Ò Ö ÓÒº ÖÛ Ò ÝÒ Ñ Ø ÓÖ ÓÖ Ö ÓÒ ÓÑ ØÖ º Á Å Ö ÇÙ º ÒÙ Ö ¾¼½¾ ¾ Ë ÑÑ Ò Ö Ì Ñ Ø ÓÖ Ñ Ø ÖÓÔÔ Ú Ò Ö Ð Ñ ÒØ Ö ÝÒ Ñ Ø ÓÖ ÓÖ Ö ÒØ Ò ¹ Ö ÓÒ º ÇÔÔ Ú Ò Ö ÙØ Ò ÔÙÒ Ø º º

Detaljer

State and Transition Definition in Source Code. Contract Definition. public class BeginUpUpContract implements IContract< IMeasurementVariables >

State and Transition Definition in Source Code. Contract Definition. public class BeginUpUpContract implements IContract< IMeasurementVariables > ÅÓÒ ØÓÖ Ò ÅÓ Ð ËÔ Ø ÓÒ Ò ÈÖÓ Ö Ñ Ó È ØØ ÖÒ ÅÓÖ ØÞ ÐÞ Å Ð ËØÖ Û Ò Å Ð Ó È ÐÙÒÓ Ì ÊÙ Ö ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ ËÓ ØÛ Ö Ì ÒÓÐÓ Ý ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ù ÙÖ ¹ Ò Ò ÖÑ ÒÝ ßÑÓÖ ØÞº ÐÞ Ñ Ðº ØÖ Û Ñ Ðº Ó Ð ºÙÒ ¹ Ù º ½ ØÖ Øº ÆÙÑ ÖÓÙ ÔÔÖÓ

Detaljer

Î ÐØÖÓÒ¹ ÔÒÒ Ö ÓÒÒ Ëʵ Ö Ø Ò ÒÖÒ ÐØÖÓÒÒ ÔÒÒ ÓÑ ØÐ ÚÖÒ ÑÖÖ Ò ÒÖÒ ÑÒØ ÓÖÓк Á ÑÖÓÐÓÑÖØ Ö Ø Ò ÖÓØ ÓÒ Ú ÑÓÐÝÐØ ÓÑ ÖÖ ØÐ Ò ÒÖÒ Ú Ø ÐØÖ ÐØ ÖÙÒØ Øº Á Ø ÒÖÖ Ó

Î ÐØÖÓÒ¹ ÔÒÒ Ö ÓÒÒ Ëʵ Ö Ø Ò ÒÖÒ ÐØÖÓÒÒ ÔÒÒ ÓÑ ØÐ ÚÖÒ ÑÖÖ Ò ÒÖÒ ÑÒØ ÓÖÓк Á ÑÖÓÐÓÑÖØ Ö Ø Ò ÖÓØ ÓÒ Ú ÑÓÐÝÐØ ÓÑ ÖÖ ØÐ Ò ÒÖÒ Ú Ø ÐØÖ ÐØ ÖÙÒØ Øº Á Ø ÒÖÖ Ó ÃÂŽ¼¼ ÐÓÔÔÚ ½ ¹ Áʹ ÔØÖÓ ÓÔ ÅÐ ÅÐØ Ñ ÒÒ ÓÔÔÚÒ Ö ÙÒÒ ÐÐ ÑÐÐÓÑ Áʹ ÔØÖÒ ØÐ À À Ó ÑØ ÙÒÒ ØÑÑ ÙÐ Ò ÔÖ ÓÑ ÓÖ ÑÔÐ ÒÒ Ú ØÒ Ó ÒÒ ØÝÖ ÖØÓÒ ØÒص ÙØÖ Ø ÁÊ ÔØÖÙѺ ÅÓÐÝÐ ÔØÖÓ ÓÔ ÅÓÐÝÐ ÔØÖÓ ÓÔ Ò ÒÖ ÓÑ ØÙØ Ú Ú ÐÚÖÒÒÒ

Detaljer

k=1 L = lim k=1 ˆ j dx sgn GL = i

k=1 L = lim k=1 ˆ j dx sgn GL = i Ë Ò Ô ÐÐÓÚ Ö Ø Ù Ð Ò ÓÒ ØÓÖ Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Å Ö ÙÒ Ý ÂÓ Ò À ÖÚ Ý È ÖÖ Ë ÐÓ + ÎÐ Ñ Ö ÎÓÐ ÓÚ Ì Ñ Ò Ò Ë ÓÓÐ Ó Ù Ò Ò ÓÒÓÑ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ì Ñ Ò +Ï Ð Ö Ä ÙÖ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÂÙÐÝ ¾¼½ ØÖ Ø Ì Ô ÐÐÓÚ Ö Ø Ó ÒØ ÖÓÒÒ Ø Ò ØÛ Ò

Detaljer

ÓÒ ÓÖÑ Ð Ð Ì ÓÖÝ Ö ÔØ ÓÒ Ó À ÐÝ ÓÖÖ Ð Ø ËØ Ø Ò Ê Ô ÐÝ ÊÓØ Ø Ò Ó ÖÚ Ë Ù Ò Ì ËÙ Ñ ØØ ÓÖ Ø Å Ø Ö³ Ö Ô ÖØÑ ÒØ Ó È Ý ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ç ÐÓ ÂÙÒ ¾¼¼

ÓÒ ÓÖÑ Ð Ð Ì ÓÖÝ Ö ÔØ ÓÒ Ó À ÐÝ ÓÖÖ Ð Ø ËØ Ø Ò Ê Ô ÐÝ ÊÓØ Ø Ò Ó ÖÚ Ë Ù Ò Ì ËÙ Ñ ØØ ÓÖ Ø Å Ø Ö³ Ö Ô ÖØÑ ÒØ Ó È Ý ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ç ÐÓ ÂÙÒ ¾¼¼ ÓÒ ÓÖÑ Ð Ð Ì ÓÖÝ Ö ÔØ ÓÒ Ó À ÐÝ ÓÖÖ Ð Ø ËØ Ø Ò Ê Ô ÐÝ ÊÓØ Ø Ò Ó ÖÚ Ë Ù Ò Ì ËÙ Ñ ØØ ÓÖ Ø Å Ø Ö³ Ö Ô ÖØÑ ÒØ Ó È Ý ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ç ÐÓ ÂÙÒ ¾¼¼ Ì Ö Ø Ó Ö Ñ Ø Ú Ð Ø Ñ Ò Ú Ð Ö ËÙ ÒÒ Î Ö ÓÑ ÓÖ ÐÓ ÓÔÔ Ú Ò Ñ Ò Ó

Detaljer

À ¹Ä Ú Ð Ü ÙØ Ð ËÔ Ø ÓÒ Ó ØÖ ÙØ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÒ º Ä Ù ËÓØØ º ËØÓÐÐ Ö Ò Ó Ä Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ô ÖØÑ ÒØ ËØ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Æ Û ÓÖ Ø ËØÓÒÝ ÖÓÓ ßÐ Ù ØÓÐÐ Ö ÓÐ ÒÐ

À ¹Ä Ú Ð Ü ÙØ Ð ËÔ Ø ÓÒ Ó ØÖ ÙØ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÒ º Ä Ù ËÓØØ º ËØÓÐÐ Ö Ò Ó Ä Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ô ÖØÑ ÒØ ËØ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Æ Û ÓÖ Ø ËØÓÒÝ ÖÓÓ ßÐ Ù ØÓÐÐ Ö ÓÐ ÒÐ À ¹Ä Ú Ð Ü ÙØ Ð ËÔ Ø ÓÒ Ó ØÖ ÙØ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÒ º Ä Ù ËÓØØ º ËØÓÐÐ Ö Ò Ó Ä Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ô ÖØÑ ÒØ ËØ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Æ Û ÓÖ Ø ËØÓÒÝ ÖÓÓ ßÐ Ù ØÓÐÐ Ö ÓÐ ÒÐ º ØÓÒÝ ÖÓÓ º Ù ØÖ Øº Ì Ô Ô Ö Ö Ñ Ø Ó ÓÖ Ô Ý Ò ÓÑÔÐ

Detaljer

arxiv:cs/ v1 [cs.lo] 25 Oct 2002

arxiv:cs/ v1 [cs.lo] 25 Oct 2002 arxiv:cs/020022v [cs.lo] 25 Oct 2002 Ò Ð Ñ ÒØ ÖÝ Ö Ñ ÒØ Ó Ë ÓÒ ¹ÇÖ Ö ÃÐ Ù Ð Å Ø Ñ Ø ÁÒ Ø ØÙØ ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÅĐÙÒ Ò Ä Ñ ÐÙÐÙ Abstract Â Ò ÂÓ ÒÒ Ò ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÅĐÙÒ Ò Ö Ñ ÒØ Ó ÓÒ ¹ÓÖ Ö

Detaljer

ËØ Ø Ø È Ý Ò Ð ØØ ÜØ Å ÖØ Ò ÀÓÐØ Ù ½ ÖÐ ÚÓÒ Ç ØÞ Ý ÍÒ Ú Ö ØØ ÇÐ Ò ÙÖ ÃÓÖÖ ÖØ ÙÒ ÚÓÑ ËÓÑÑ Ö Ñ Ø Ö ¾¼¼ ½ ÓÐØ Ù Ø ÓÖ ºÔ Ý ºÙÒ ¹ÓÐ Ò ÙÖ º

ËØ Ø Ø È Ý Ò Ð ØØ ÜØ Å ÖØ Ò ÀÓÐØ Ù ½ ÖÐ ÚÓÒ Ç ØÞ Ý ÍÒ Ú Ö ØØ ÇÐ Ò ÙÖ ÃÓÖÖ ÖØ ÙÒ ÚÓÑ ËÓÑÑ Ö Ñ Ø Ö ¾¼¼ ½ ÓÐØ Ù Ø ÓÖ ºÔ Ý ºÙÒ ¹ÓÐ Ò ÙÖ º ËØ Ø Ø È Ý Ò Ð ØØ ÜØ Å ÖØ Ò ÀÓÐØ Ù ½ ÖÐ ÚÓÒ Ç ØÞ Ý ÍÒ Ú Ö ØØ ÇÐ Ò ÙÖ ÃÓÖÖ ÖØ ÙÒ ÚÓÑ ËÓÑÑ Ö Ñ Ø Ö ¾¼¼ ½ ÓÐØ Ù Ø ÓÖ ºÔ Ý ºÙÒ ¹ÓÐ Ò ÙÖ º ÁÖÖØÙÑ Ú ÖÐ Ø ÙÒ Ò Ó Þ Ø Ò Ö Ö Ò ÁÑÑ Ö Ò ØÖ Ò Ò Ø Ð ÞÙÖ Ï Ö Ø Ò Òº

Detaljer

¾º  k 0 Ö f(n) = Θ(n log b a log k n) ØÙÓÑ Ø T(n) = Θ(n log b a log k+1 n) < cf(n)

¾º  k 0 Ö f(n) = Θ(n log b a log k n) ØÙÓÑ Ø T(n) = Θ(n log b a log k+1 n) < cf(n) Ë ÙÓ ÑÓ Ó ÓÑ ØÖ Ó Ð ÓÖ ØÑ ½ Ë Ú Ö Ò Ù Å ¼ Ð Ñ Ö Ø ØØÔ»»ÛÛÛºÑ ºÚÙºÐØ» ÞÙ» Ó¹ Ð ÓÖ ØÑ» Ó¹ Ð ÓÖ ØÑ ºÔ ½ È ØÓ Ô Ø ØÓ È Ö ÈÓ ØËÖ ÔØ ÓÖÑ Ø º Ì Ô Ô Ø Ô ÖÙÓ Ø Ä Ì ÎÁ Ú Ö ÒØ º ÌÙÖ ÒÝ ½ Å Ø Ö Ø ÓÖ Ñ ¾ ½º½ à РØ

Detaljer

1 ϕ(y)dy = f(x), x, y D = [0, 1]d x y. D ijk = [a i 1, a i ] [a j 1, a j ] [a k 1, a k ], 0 = a 0 < a 1 <... < a n = 1

1 ϕ(y)dy = f(x), x, y D = [0, 1]d x y. D ijk = [a i 1, a i ] [a j 1, a j ] [a k 1, a k ], 0 = a 0 < a 1 <... < a n = 1 Ä Ê ËÍ ÄÁÆ Ê ÇÊ ÅÍÄÌÁ¹ ÁÅ ÆËÁÇÆ Ä Ì ÆËÇÊ ÈÊÇ Ä ÅË Ù Ò ÌÝÖØÝ Ò ÓÚ Ø ÒÑºÖ ºÖÙ Ó ÆÙÑ Ö Ð Å Ø Ñ Ø ÁÒ Ø ØÙØ ÑÝ Ó Ë Ò ÊÙ Ò Ç ÌÀ Ì Äà ÇÎ ÊÎÁ Ï ÀÙ ¹ Ð Ø ÐÐ ÓÖ Ù Ð Ò Ö ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ì Ò ÓÖ ÖÓÙÒ ÌÙ Ö ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÒÓÒ Ð

Detaljer

NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KJEMI

NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KJEMI NORGES EKNISK- NAURIENSKAPELIGE UNIERSIE INSIU FOR KJEMI KJ4160 FYSIKALSK KJEMI GK, ÅREN 2008 Onsdag 28. mai 2008 id: 9.00-13.00 Faglig kontakt under eksamen: Førsteaman. Morten Bjørgen, tlf. 47 28 88

Detaljer

En ekte involusjon på Waldhausens rigid-tube - avbildning. Sverre An dré Lun øe-n ielsen. Skriftlig del av Cand. Scient. -graden i matematikk

En ekte involusjon på Waldhausens rigid-tube - avbildning. Sverre An dré Lun øe-n ielsen. Skriftlig del av Cand. Scient. -graden i matematikk Universitetet i O slo M atematisk I nstitutt En ekte involusjon på Waldhausens rigid-tube - avbildning Sverre An dré Lun øe-n ielsen Skriftlig del av Cand. Scient. -graden i matematikk 2. mai 2000 ÁÒÒÓÐ

Detaljer

ËØ Ø ËÐ Ò ÅÓØ ÓÒ È ÒÓÑ Ò Ò ÝÒ Ñ Ð ËÝ Ø Ñ Á ÓÖ º ÂÙÒ Ö ÂÓ Ò Âº ËØ Ð ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ð Ð Ì Ò ÙÐØ Ø Æ ÙÖÓ Ò ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Ø ØÖ ¾ Ð Ð ½ Ê ÙÒ ÖØ ºÙÒ ¹ Ð Ð º Ø

ËØ Ø ËÐ Ò ÅÓØ ÓÒ È ÒÓÑ Ò Ò ÝÒ Ñ Ð ËÝ Ø Ñ Á ÓÖ º ÂÙÒ Ö ÂÓ Ò Âº ËØ Ð ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ð Ð Ì Ò ÙÐØ Ø Æ ÙÖÓ Ò ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Ø ØÖ ¾ Ð Ð ½ Ê ÙÒ ÖØ ºÙÒ ¹ Ð Ð º Ø ËØØ ËÐÒ ÅÓØÓÒ ÈÒÓÑÒ Ò ÝÒÑÐ ËÝ ØÑ ÁÓÖ º ÂÙÒÖ ÂÓÒ Âº ËØÐ ÍÒÚÖ ØØ ÐÐ ÌÒ ÙÐØØ ÆÙÖÓÒÓÖÑØ ÍÒÚÖ ØØ ØÖ ¾ ÐÐ Ê ÙÒÖغÙÒ¹Ðк ØÐغÙÒ¹Ðк ØÖØ Ï ÔÖ ÒØ ÒÛ ØÝÔ Ó ÐÒ ÑÓØÓÒ Û Ö ÙÐØ ÖÓÑ ÒÓÚÐ Ó Ó Ø ÐÒ ÙÖ º Ï Ù Ø ØÓ Ò Ø Ù

Detaljer

ÅØÑØ Ò ØØÙØØ ÖÐ Ö ÚÐÒÒÖ ÓÑ ØÖÑÒÒØÖ Ú ÙÒØÙØÓÑÓÖÖ ÀÒ ÂÖÒ ÊÖÚÓÐ ÀÓÚÓÔÔÚ ÑØÑØ ÎÖÒ ¾¼¼¾ ÓÖÓÖ À ØÓÖÒ ÒÒ ÓÔÔÚÒ Ö Ø ÔÖ Ö ØÐ Ó Ö ØØ ÙØ ÔÖÒ Ö ÄÛ Ó ÆÐ ÚÖÐ ÖÖ ÓÑÔÐ ÒÐÝ º ÖÖØ ÒÑÐ Ñ ÑÒ ÚÐÖ ÓÑ ØØÖ ÚÖØ Ò ÑÙÐ ÓÚÓÔÔÚ ÔÖÓÐÑغ

Detaljer

Ê ÙÐ Ö Ò Ò ÙÐ Ö ß ÐÓ Ò Ó «Ö Ò ÓÖÖ Ø ÑÙÐØ Ø Ô Ñ Ø Ó ÓÖ ÒÓÒ Ø «Ò ܹ¾ ÖÑ Ò Ö Ú ÐÓ ½ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ë ÒØ ÓÑÔÙØ Ò Ò ËØ Ø Ø Ë Ñ ÓÒ ÓÐ Ú Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ Ô ÖØ Ó ¼¼¼ Ö

Ê ÙÐ Ö Ò Ò ÙÐ Ö ß ÐÓ Ò Ó «Ö Ò ÓÖÖ Ø ÑÙÐØ Ø Ô Ñ Ø Ó ÓÖ ÒÓÒ Ø «Ò ܹ¾ ÖÑ Ò Ö Ú ÐÓ ½ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ë ÒØ ÓÑÔÙØ Ò Ò ËØ Ø Ø Ë Ñ ÓÒ ÓÐ Ú Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ Ô ÖØ Ó ¼¼¼ Ö ÊÙÐÖ ÙÐÖ ßÐÓ Ó «Ö ÓÖÖØ ÑÙÐØ ØÔ ÑØÓ ÓÖ Ó Ø«Ü¹¾ ÖÑ ÖÚÐÓ ½ ÔÖØÑØ Ó ËØ ÓÑÔÙØ ËØØ Ø ËÑÓ ÓÐÚÖ ÍÚÖ ØÝ ÔÖØÓ ¼¼¼ Ö ½¼¼¹ ÎÞÙÐ Ñ ÑºÙ ºÚµ ÐÙ ĐÙÖÖ Ù Ø ËĐÓÖÐ ¾ ÆÙÑÖÐ ÐÝ ØÖ ÓÖ ÅØÑØÐ Ë ÄÙ ÍÚÖ ØÝ ÓÜ ½½ ˹¾¾½ ¼¼ ÄÙ ËÛ ÐÙ

Detaljer

ÓÒØÒØ ½ ÖÙÒÒÐÒ ÖÔÖº ¾ ÔÖÑØÚØ ÖÙÖ Ú ÙÒ ÓÒÒ ÖÞÓÖÞÝÖÖØ ½ Æ ØØ ÖÙÖ ÓÒº ¾ ÃÐÑÖÐÑÒØÖ ÙÒ ÓÒÒ ¾ ÖÙÖ Ú ÙÒ ÓÒÒ ÅÒÖ ¾ ¹ÖÙÖ Ú ÙÒ ÓÒÒ ½

ÓÒØÒØ ½ ÖÙÒÒÐÒ ÖÔÖº ¾ ÔÖÑØÚØ ÖÙÖ Ú ÙÒ ÓÒÒ ÖÞÓÖÞÝÖÖØ ½ Æ ØØ ÖÙÖ ÓÒº ¾ ÃÐÑÖÐÑÒØÖ ÙÒ ÓÒÒ ¾ ÖÙÖ Ú ÙÒ ÓÒÒ ÅÒÖ ¾ ¹ÖÙÖ Ú ÙÒ ÓÒÒ ½ ÀǹÒÓØØ ¾¼¼¼ ÒÖ ¾ ÁËÆ ¾¹¹¼½¹ ÁËËÆ ¼¼¹½¼ ÄØØ ÙÖÙÖ ÓÒ ØÓÖ Ó Ò ÑÒÖ ÖÙÖ ÓÒ ØÓÖ ÄÖ ÃÖ ØÒ Ò ¹ÑÐ ÐÖ ÖÙºÓ ÐÓºÒÓ ÃÓÑÔÒÙÑ À ÓÐÒ Ç ÐÓ ÚÐÒ ÓÖ ÒÒÖÙØÒÒÒ ¾¼¼¼ ÓÒØÒØ ½ ÖÙÒÒÐÒ ÖÔÖº ¾ ÔÖÑØÚØ ÖÙÖ Ú ÙÒ ÓÒÒ ÖÞÓÖÞÝÖÖØ ½ Æ ØØ

Detaljer

ÈÖÓ Ò ÙÖÓÈÎÅ»ÅÈÁ ¾¼¼ Ë Ôº ½ ¹¾¾ Ù Ô Ø ÀÙÒ ÖÝ ÄÆ Ë ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ ¾¼¼ º ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ ØØÔ»»ÛÛÛº ÔÖ Ò Öº»ÓÑÔ»ÐÒ» Ò Üº ØÑÐ ÅÓÖ Æ ÒØ Ê ÙØ ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÆÓÒ¹

ÈÖÓ Ò ÙÖÓÈÎÅ»ÅÈÁ ¾¼¼ Ë Ôº ½ ¹¾¾ Ù Ô Ø ÀÙÒ ÖÝ ÄÆ Ë ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ ¾¼¼ º ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ ØØÔ»»ÛÛÛº ÔÖ Ò Öº»ÓÑÔ»ÐÒ» Ò Üº ØÑÐ ÅÓÖ Æ ÒØ Ê ÙØ ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÆÓÒ¹ ÈÖÓÒ ÙÖÓÈÎÅ»ÅÈÁ ¾¼¼ ËÔº ½¹¾¾ ÙÔ Ø ÀÙÒÖÝ ÄÆË ËÔÖÒÖ¹ÎÖÐ ¾¼¼º ËÔÖÒÖ¹ÎÖÐ ØØÔ»»ÛÛÛº ÔÖÒÖº»ÓÑÔ»ÐÒ»ÒܺØÑÐ ÅÓÖ ÆÒØ ÊÙØÓÒ ÐÓÖØÑ ÓÖ ÆÓÒ¹ÔÓÛÖ¹Ó¹ØÛÓ ÆÙÑÖ Ó ÈÖÓ ÓÖ Ò Å ¹È Ò ÈÖÐÐÐ ËÝ ØÑ ÊÓÐ ÊÒ ÒÖ ½ Ò Â ÔÖ ÄÖ ÓÒ ÌÖĐ«¾

Detaljer

PDF created with pdffactory Pro trial version

PDF created with pdffactory Pro trial version [ ² Ú»» ³»»² ¾ ²» ¹» ô Ì ± « Forord Ò ; ±¹ ²» ³«¹»» òòò [ ²»² ª ; µ«² ¹» ¼» º± îðïéô ¹ «²²»² ¼»»» ¼» µ±³³» ² ³³» ² º± ¾ ²» ¹» «¹«±³ ¹ ( ¼» ¾»²¼ ²¹»»²»» ; ²» ò Ê»² : ¼»» ª µ ¹ ±¾¾ ±¹ ¼»² µ ª º± ª» ¹±¼ ò

Detaljer

arxiv:math.dg/ v1 15 Nov 2004

arxiv:math.dg/ v1 15 Nov 2004 arxiv:math.dg/0411334 v1 15 Nov 2004 ÇÒ Ø ÃË ÈÖÒ ÓÖ ÃĐÐÖ ÉÙÒØÞØÓÒ Ó Ø ÓØÒÒØ ÙÒÐ Ó Ä ÖÓÙÔ ÖÐÓ ÐÓÖÒØÒÓ Ý ÈÖÓ ÅØ Þ ÂÓ ÅÓÙÖÓ Ý Ò ÂÓÓ Èº ÆÙÒ Ý ÅÖ ¼¼ ØÖØ ÒØÙÖÐ ÓÒ¹ÔÖÑØÖ ÑÐÝ Ó ÃĐÐÖ ÕÙÒØÞØÓÒ Ó Ø ÓØÒÒØ ÙÒÐ Ó ÓÑÔØ

Detaljer

Instituto de Sistemas e Robótica. Pólo de Lisboa

Instituto de Sistemas e Robótica. Pólo de Lisboa ÄÖÒÒ ÚÓÖ¹ ÐØÓÒ Ò ÑÙÐعÓÐ ÖÓÓØ Ø ËÒÖ ÐÖ ÒÓ ÄÙ Ù ØÓÓ Ê̹¼½¹¼¾ Instituto de Sistemas e Robótica Pólo de Lisboa ÄÖÒÒ ÚÓÖ¹ ÐØÓÒ Ò ÑÙÐعÓÐ ÖÓÓØ Ø ËÒÖ ÐÖ ÒÓ ÖÙÖÝ ¾¼¼¾ Ê̹¼½¹¼¾ ÄÙ Ù ØÓÓ ÁËÊ ÌÓÖÖ ÆÓÖØ Úº ÊÓÚ Ó

Detaljer

Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÌÖ Ò ÔÓ Ø ÓÒ ÁÒÚ Ö ÒØ ËØÖ Ò Å Ø Ò ÜØ Ò ØÖ Øµ Î Ð Å Ò Ò ½ ÓÒÞ ÐÓ Æ Ú ÖÖÓ ¾ Ò Ó Í ÓÒ Ò ½ ¾ ½ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÈºÇ ÓÜ ¾ Ì ÓÐÐ ÙÙ ØÙ ¾ µ

Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÌÖ Ò ÔÓ Ø ÓÒ ÁÒÚ Ö ÒØ ËØÖ Ò Å Ø Ò ÜØ Ò ØÖ Øµ Î Ð Å Ò Ò ½ ÓÒÞ ÐÓ Æ Ú ÖÖÓ ¾ Ò Ó Í ÓÒ Ò ½ ¾ ½ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÈºÇ ÓÜ ¾ Ì ÓÐÐ ÙÙ ØÙ ¾ µ ÐÓÖØÑ ÓÖ ÌÖÒ ÔÓ ØÓÒ ÁÒÚÖÒØ ËØÖÒ ÅØÒ ÜØÒ ØÖص ÎÐ ÅÒÒ ½ ÓÒÞÐÓ ÆÚÖÖÓ ¾ Ò Ó ÍÓÒÒ ½ ¾ ½ ÔÖØÑÒØ Ó ÓÑÔÙØÖ ËÒ ÈºÇ ÓÜ ¾ ÌÓÐÐ ÙÙ ØÙ ¾ µ Áƹ¼¼¼½ ÍÒÚÖ ØÝ Ó ÀÐ Ò ÒÐÒº ßÚÑÒÒ ÙÓÒÒÐ ºÐ Òº ÒØÖ ÓÖ Ï Ê Ö ÔÖØÑÒØ Ó ÓÑÔÙØÖ

Detaljer

IMM DACE A MATLAB KRIGING TOOLBOX VERSION 2.0. Søren N. Lophaven Hans Bruun Nielsen Jacob Søndergaard TECHNICAL REPORT IMM-REP

IMM DACE A MATLAB KRIGING TOOLBOX VERSION 2.0. Søren N. Lophaven Hans Bruun Nielsen Jacob Søndergaard TECHNICAL REPORT IMM-REP IMM INFORMATICS AND MATHEMATICAL MODELLING Technical University of Denmark DK-2800 Kongens Lyngby Denmark J. No. DACE1 1.8.2002 HBN/ms DACE A MATLAB KRIGING TOOLBOX VERSION 2.0 Søren N. Lophaven Hans Bruun

Detaljer

arxiv: v1 [cond-mat.mtrl-sci] 7 May 2009

arxiv: v1 [cond-mat.mtrl-sci] 7 May 2009 ÎÖØÓÒÐ ÔÖÓÔÖØ Ó ÖÔÒ ÒÒÓÖÓÒ Ý Ö Ø¹ÔÖÒÔÐ ÐÙÐØÓÒ ÊÓÐÒ ÐÐÒ ÅÖÐ ÅÓÖ ÂÒÒ ÅÙÐØÞ Ò Ö ØÒ ÌÓÑ Ò arxiv:0905.1035v1 [cond-mat.mtrl-sci] 7 May 2009 ÁÒ ØØÙØ Ö ØÖÔÖÔÝ ÌÒ ÍÒÚÖ ØØ ÖÐÒ ÀÖÒÖ ØÖº ½¼¾ ÖÐÒ Ø ÇØÓÖ ½ ¾¼½µ ØÖØ

Detaljer

PDF created with pdffactory Pro trial version

PDF created with pdffactory Pro trial version [ ² Ú»» ³»»² ¾ ²» ¹» ô λ¹²¾² Forord Ü»²²» ²»² ¹» ¼» º ²«¼»»³¾» îðïéò a» ª ¼»»» ô ª ¼» ¾»² ² ³³» ² º± ¾ ²» ¹»²ò Ü»²²» µ ª ¾ «µ» ¼ ¾ ¹±¼ µ»² ³»¼ô ±¹ îðïè ª ²² ± ¼» ¼»²²» ªb» ³»¼»¹» ²»² ª ò»»³¾» îðïê ¼¼»

Detaljer

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ÿ Œ œ ˆ ˆ Š Œ. .. ³μ. μ ± Ë ²Ó Ò Ö Ò Í É Å ˆˆ Ô± ³ É ²Ó μ Ë ±, μ, μ Ö Œ Œ ˆˆ 79 ˆ Š ˆ

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ÿ Œ œ ˆ ˆ Š Œ. .. ³μ. μ ± Ë ²Ó Ò Ö Ò Í É Å ˆˆ Ô± ³ É ²Ó μ Ë ±, μ, μ Ö Œ Œ ˆˆ 79 ˆ Š ˆ ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 01.. 4.. 1 Ÿ Œ œ ˆ ˆ Š Œ ˆˆ ˆÄ ˆƒƒ Œˆ Œ Š.. ³μ μ ± Ë ²Ó Ò Ö Ò Í É Å ˆˆ Ô± ³ É ²Ó μ Ë ±, μ, μ Ö ˆ 70 Ÿ Œ œ ˆ ˆ Š Œ ˆˆ ˆÄ 7 ˆ ˆ IFW- ˆˆ ˆ Œ Œ Œ ˆˆ 79 Š ˆ 80 ˆ Š ˆ 81 E-mail: neznamov@vniief.ru

Detaljer

ﺪ ﻩ ﻋﺍ ﻮﹶ ﻭ ﻗ ﻪ ﹾﻘ ﹾﻟ ﻔ ﺍ ﹺﻝ ﻮ ﹸﺃ ﺻ ﹸ ﻣ ﺔ ﻮﹸ ﻈ ﻣ ﻨ $ ﺡﺮﺷ! " ' (# $% & )*! +,!* -

ﺪ ﻩ ﻋﺍ ﻮﹶ ﻭ ﻗ ﻪ ﹾﻘ ﹾﻟ ﻔ ﺍ ﹺﻝ ﻮ ﹸﺃ ﺻ ﹸ ﻣ ﺔ ﻮﹸ ﻈ ﻣ ﻨ $ ﺡﺮﺷ!  ' (# $% & )*! +,!* - م ن ة ظو م ل ا ا ل صو ق ف ه و ع وا ق و ه د $ شرح ٢ الا ول] [الدرس :$, : $ $, : ; $, موقع التف ري غ للدرو س الع لمية والبحوث الشرعي ة Ï Î Í Ì ٣,,,,,, : :, :,, :,, : $,,,,,, : :,, :,,:ÑÐ, :,,,, :,, :,,,,,,,,

Detaljer

PDF created with pdffactory Pro trial version

PDF created with pdffactory Pro trial version [ ² Ú»» ³»»² ¾ ²» ¹» ô ß«¹»²¼ ¼»² Forord Ÿ ² îðïé ¹»² ¾» µ ª»» ª ¾ ²» ¹»² ±»ô»»² ±² ª ¾ ²» ¹»²ô µ µ» ± ² ²¹» ±¹ ª»¼ ¹±¹ µ» ¾» ¼ò Ð ² ¾» ¼» ¾ ²» ¹»²» ¾ ¹¹» ± ºa ¹»²¼» ³»æ ó Î ³³» ² º± ¾ ²» ¹»² ²² ± ¼ ±¹

Detaljer

Offentlig utvalg for punktskrift, OUP Norsk standard for 8-punktskrift punktskrift 24. oktober 2004 sist endret

Offentlig utvalg for punktskrift, OUP Norsk standard for 8-punktskrift punktskrift 24. oktober 2004 sist endret Offentlig utvalg for punktskrift, OUP Norsk standard for 8-punktskrift punktskrift 24. oktober 2004 sist endret 19.10.2007 Desimal Hex Beskrivelse Tegnets utseende Punktkode 0 0000 4578

Detaljer

P ±Ê. Š - ˆ Œˆ œ Ÿ Š ˆŒ ˆŸ ƒ Ÿ Š Œ ˆ ŠˆŒ. ² μ Ê ² Œ É ³ É Î ±μ ³μ ² μ.

P ±Ê. Š - ˆ Œˆ œ Ÿ Š ˆŒ ˆŸ ƒ Ÿ Š Œ ˆ ŠˆŒ. ² μ Ê ² Œ É ³ É Î ±μ ³μ ² μ. P-22-86.. ±Ê Š - ˆŒˆ œÿ Š ˆŒ ˆŸ ƒ Ÿ Š Œ ˆ ŠˆŒ ˆ Œ ² μ Ê ² Œ É ³ É Î ±μ ³μ ² μ E-mail: dnd@jinr.ru ±Ê.. P-22-86 ŠÊ μî μ- μ² μ³ ²Ó Ö μ± ³ Í Ö Ï Éμ μ μ Ö ± Éμ³ É Î ± ³ μ Ê ³ Ê ²μ ŠμÔËË Í ÉÒ ³μ ² ²μ± ²Ó μ

Detaljer

Tegn og tekst. Et representert tegn kan vises på flere måter. Noen definisjoner. Enda noen definisjoner. \yvind og ]se N{rb}? a a a.

Tegn og tekst. Et representert tegn kan vises på flere måter. Noen definisjoner. Enda noen definisjoner. \yvind og ]se N{rb}? a a a. o o {rb} rprr på r år o prpp rpro r r rr rpro o r o or α r o or bor brp or b rr på ppr r r r r r rrr år på o oroooro o r or o br å r r pår r r orør p o b b år r å r o o o rprrr o p o rprrr o or op r r

Detaljer

Šˆ Ÿ Š Œ ˆˆ Ÿ ˆ Š ˆ Ÿ

Šˆ Ÿ Š Œ ˆˆ Ÿ ˆ Š ˆ Ÿ ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2018.. 49.. 2.. 476Ä581 Œ ƒ ˆŠ Šˆ Ÿ Š Œ ˆˆ Ÿ ˆ Š ˆ Ÿ.. ƒê μ 1, 2,.. Êϱ 2,. ƒ. Ê±μ ± 1,,.. ÒÏ 2 1 Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê 2 Í μ ²Ó Ò ² μ É ²Ó ± Ö Ò Ê É É Œˆ ˆ, Œμ ± ˆ 477 Œ ˆŸ Š ˆ Šˆ Š 480

Detaljer

Ó³ Ÿ , º 6Ä7(176Ä177).. 823Ä Œ. Œ ²±μ,,.. É ²,.. μ ²Ó,.. Íμ,.. ŠÊÉÊ μ,.. μ ±μ,.. ÒÏ

Ó³ Ÿ , º 6Ä7(176Ä177).. 823Ä Œ. Œ ²±μ,,.. É ²,.. μ ²Ó,.. Íμ,.. ŠÊÉÊ μ,.. μ ±μ,.. ÒÏ Ó³ Ÿ. 2012.. 9, º 6Ä7(176Ä177).. 823Ä837 Œ ˆŠ ˆ ˆ Š ƒ Š ˆŒ Š Œ ƒ Š Š Š ˆŒ ˆ ˆ. Œ. Œ ²±μ,,.. É ²,.. μ ²Ó,.. Íμ,.. ŠÊÉÊ μ,.. μ ±μ,.. ÒÏ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê μë ± Ê É É ³.. Š² ³ É Ì ±μ μ, μë Ö μ Éμ É μ μ

Detaljer

ˆ ˆŒˆ ˆŸ Š Œ ƒˆˆ 60Ä1000 ŒÔ ˆ ˆŠ ˆŸ Ÿ ˆ ˆ ˆ ˆ Š ˆ Š ˆŠˆ

ˆ ˆŒˆ ˆŸ Š Œ ƒˆˆ 60Ä1000 ŒÔ ˆ ˆŠ ˆŸ Ÿ ˆ ˆ ˆ ˆ Š ˆ Š ˆŠˆ Ó³ Ÿ. 2017.. 14, º 1(206).. 144Ä163 ˆ ˆŠ ˆ ˆŠ Š ˆ ˆ ˆŒˆ ˆŸ Š Œ ƒˆˆ 60Ä1000 ŒÔ ˆ ˆŠ ˆŸ Ÿ ˆ ˆ ˆ ˆ Š ˆ Š ˆŠˆ.. É ³μ μ 1,. Œ. ˆ μ,.. ˆ μ,.., ƒ.. Ö μ ƒ É Ê ± É ÉÊÉ Ö μ Ë ± ³... Šμ É É μ ˆ ŠÊ Î Éμ ± É ÉÊÉ, ƒ

Detaljer

ÍÌ Ù Ø Ò Î ÐÐ ¾¼¼ Æ Û ÊÓ Ó ÙÔ ÓÙÖ¹Ä Ì Ñ È Ø Ö ËØÓÒ ÃÙÖØ Ö Ò Ö Ë Ð Ñ Ìº Ö Ó Ò È Ý ÐÑ Ò Æ ÓРú ÂÓÒ Æ Ø ÃÓ Ð Ö ÓÖÝ ÃÙ ÐÑ ÒÒ ÐÐ Ä Ò ÅÓ Ò ËÖ Ö Ò Ò Ð ËØÖÓÒ

ÍÌ Ù Ø Ò Î ÐÐ ¾¼¼ Æ Û ÊÓ Ó ÙÔ ÓÙÖ¹Ä Ì Ñ È Ø Ö ËØÓÒ ÃÙÖØ Ö Ò Ö Ë Ð Ñ Ìº Ö Ó Ò È Ý ÐÑ Ò Æ ÓРú ÂÓÒ Æ Ø ÃÓ Ð Ö ÓÖÝ ÃÙ ÐÑ ÒÒ ÐÐ Ä Ò ÅÓ Ò ËÖ Ö Ò Ò Ð ËØÖÓÒ ÍÌ Ù ØÒ ÎÐÐ ¾¼¼ ÆÛ ÊÓÓÙÔ ÓÙÖ¹Ä ÌÑ ÈØÖ ËØÓÒ ÃÙÖØ Ö ÒÖ ËÐÑ Ìº ÖÓÒ ÈÝ ÐÑÒ ÆÓРú ÂÓÒ ÆØ ÃÓÐ ÖÓÖÝ ÃÙÐÑÒÒ ÐÐ ÄÒ ÅÓÒ ËÖÖÒ ÒÐ ËØÖÓÒÖ ÙÖÙ ÝÑ ÀÖÖÒ ÔÖØÑÒØ Ó ÓÑÔÙØÖ ËÒ Ì ÍÒÚÖ ØÝ Ó ÌÜ Ø Ù ØÒ ½ ÍÒÚÖ ØÝ ËØØÓÒ ¼¼¼ Ù

Detaljer

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ï Ìμ μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê

ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ Ï Ìμ μ. Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ 2015.. 46.. 1 Š ˆ Š Š Š.. Ï Ìμ μ Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê ˆ 167 Œ 168 Šμ É Ê±Í Ö 168 μ É Ò Ì ±É É ± 171 ˆ ˆ Šˆ 172 ˆμ Í Ö μ, μ μ Ê ² 172 Í É Ö 173 ³Ò μéò 178 ƒ μ Ò ³ 180 ² Ö ³ É μ μ± Ê ÕÐ

Detaljer

Recorded signals in time. Transducers Array. Recorded signals in time. Transducers Array

Recorded signals in time. Transducers Array. Recorded signals in time. Transducers Array ÌÁÅ ÊÎÊËÄ Æ ÊÇÍËÁÆ ÁÆ ÊÆÇÅ ÅÁ ÍÁÄÄÍÅ Ä Æ ÄÇÆÁ ÊÀÁÃ Ý ØÖغ ÁÒ ØÑ ÖÚÖ Ð ÓÙ Ø ÜÔÖÑÒØ ÒÐ ÑØØ ÖÓÑ ÐÓÐÞ ÓÙÖ ÖÓÖ Ø Ò ÖÖÝ Ó ÖÚÖ ØÑ ÖÚÖ Ò ÒÐÐÝ Ö¹ÑØØ ÒØÓ Ø ÑÙѺ ÐÖØ ØÙÖ Ó ØÑ ÖÚÖ Ð ÜÔÖÑÒØ ØØ Ø ÖÓÙ Ò Ó Ø Ö¹ÑØØ ÒÐ

Detaljer

P Šμ ²ÓÎʱ 1,.. μë μ 1,.. μ μ 2, Œ. ƒ. μ ±μ 2, ƒ. Œ. ± É 1 Œˆ Œ Œˆ Œˆ. ² μ Ê ² Diamonds and Related Materials ³ É, Ê

P Šμ ²ÓÎʱ 1,.. μë μ 1,.. μ μ 2, Œ. ƒ. μ ±μ 2, ƒ. Œ. ± É 1 Œˆ Œ Œˆ Œˆ. ² μ Ê ² Diamonds and Related Materials ³ É, Ê P14-2017-54.. Šμ ²ÓÎʱ 1,.. μë μ 1,.. μ μ 2, Œ. ƒ. μ ±μ 2, ƒ. Œ. ± É 1 ˆ Œ Œˆ Œ Œˆ Œˆ ² μ Ê ² Diamonds and Related Materials 1 Š ( ), Œ Ò, μ Ö 2 Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê ; ³ É, Ê Šμ ²ÓÎʱ... P14-2017-54 ²ÊÎ

Detaljer

Dagens tema. C-programmering. Nøkkelen til å forstå C-programmering ligger i å forstå hvordan minnet brukes.

Dagens tema. C-programmering. Nøkkelen til å forstå C-programmering ligger i å forstå hvordan minnet brukes. Dagens tema C-programmering Nøkkelen til å forstå C-programmering ligger i å forstå hvordan minnet brukes. Adresser og pekere Parametre Vektorer (array-er) Tekster (string-er) Hvordan ser minnet ut? Variabler,

Detaljer

Dagens tema: INF2100. Utvidelser av Minila array-er. tegn og tekster. Flass- og Flokkode. prosedyrer. Prosjektet struktur. feilhåndtering.

Dagens tema: INF2100. Utvidelser av Minila array-er. tegn og tekster. Flass- og Flokkode. prosedyrer. Prosjektet struktur. feilhåndtering. Dagens tema: Utvidelser av Minila array-er tegn og tekster Flass- og Flokkode array-er prosedyrer Prosjektet struktur feilhåndtering del 0 Dag Langmyhr,Ifi,UiO: Forelesning 6. september 2005 Ark 1 av 19

Detaljer

(a 1, a 2, a 3, a 4 ) ³Æ s 10. a 1 a 2 a 3 a 4 a 1 a 2 a 3 a 4. ( a 1 a 2 a 3 a 4 a 1 a 2 a 3 a 4) (a 1 a 2 a 3 a 4 a 1 a 2 a 3 a 4)

(a 1, a 2, a 3, a 4 ) ³Æ s 10. a 1 a 2 a 3 a 4 a 1 a 2 a 3 a 4. ( a 1 a 2 a 3 a 4 a 1 a 2 a 3 a 4) (a 1 a 2 a 3 a 4 a 1 a 2 a 3 a 4) 5 à ¹¾½ 5.1 ÇÉ» Â Â Þ Kripke Ù M =< S,, I, L > ½ Đ ÞÒ S «É S 2 n Ä ĐÞ n Ê Æ Å n = 4 ÄÝ s 0, s 1, s 2,... (a 1, a 2, a 3, a 4 ) ³Æ s 10 ȹÌĐÞ ÁÆ Ü Đ ³¹Á Ü Ô Ô Ü Ä Ü Á Æ ÔÆ ¹ Ä¹Ì Å Á a 1 a 2 a 3 a 4 Æ s

Detaljer

ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÐÓÛ ÁÒ Ö Ò ÓÖ ÅÄ Ö Ò Ó ÈÓØØ Ö Ö ÒÓ ºÈÓØØ Ö ÒÖ º Ö Î Ò ÒØ Ë ÑÓÒ Ø Î Ò ÒØºË ÑÓÒ Ø ÒÖ º Ö ØÖ Ø Ì Ô Ô Ö ÔÖ ÒØ ØÝÔ ¹ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÛ Ò ÐÝ ÓÖ Ðй

ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÐÓÛ ÁÒ Ö Ò ÓÖ ÅÄ Ö Ò Ó ÈÓØØ Ö Ö ÒÓ ºÈÓØØ Ö ÒÖ º Ö Î Ò ÒØ Ë ÑÓÒ Ø Î Ò ÒØºË ÑÓÒ Ø ÒÖ º Ö ØÖ Ø Ì Ô Ô Ö ÔÖ ÒØ ØÝÔ ¹ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÛ Ò ÐÝ ÓÖ Ðй ÁÒÓÖÑØÓÒ ÐÓÛ ÁÒÖÒ ÓÖ ÅÄ ÖÒÓ ÈÓØØÖ ÖÒÓ ºÈÓØØÖÒÖºÖ ÎÒÒØ ËÑÓÒØ ÎÒÒغËÑÓÒØÒÖºÖ ØÖØ Ì ÔÔÖ ÔÖ ÒØ ØÝÔ¹ ÒÓÖÑØÓÒ ÓÛ ÒÐÝ ÓÖ ÐйݹÚÐÙ ¹ÐÙÐÙ ÕÙÔÔ ÛØ ÖÖÒ Ü¹ ÔØÓÒ Ò ÐعÔÓÐÝÑÓÖÔ Ñ Û Û ÖÖ ØÓ ÓÖ Åĺ Ì ØÝÔ Ý ØÑ ÓÒ ØÖÒع

Detaljer

Tegn og tekst. Om tegn og glyfer. Tegnkoder og kodetabeller Kode Noe som representerer noe annet. Et representert tegn kan vises på flere måter

Tegn og tekst. Om tegn og glyfer. Tegnkoder og kodetabeller Kode Noe som representerer noe annet. Et representert tegn kan vises på flere måter r s s {rb} ærb p br brp r bs srr på ppr sr sr ss r r r rrr år på s s s sr rr s ss r r s brs å sr r pår rss r rør sp b b år rss å r s s s rprsr ss på r år prspp rprss r rs rr rprss r s r α r s r br s rprsrr

Detaljer

USER GUIDE. RRD Silencioso

USER GUIDE. RRD Silencioso USER GUIDE RRD Silencioso!"#$%&'()*+, -,,$.//01$02$%&'()*+,3()4 USER GUIDE 56789:;?@ =9=8 :?B69C>=:6? >D 9EFG:9E@ ii USER GUIDE H IJKLMNOPKQMJRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRS

Detaljer

Vektorer. Dagens tema. Deklarasjon. Bruk

Vektorer. Dagens tema. Deklarasjon. Bruk Dagens tema Dagens tema Deklarasjon Vektorer Vektorer (array-er) Tekster (string-er) Adresser og pekere Dynamisk allokering Alle programmeringsspråk har mulighet til å definere en såkalte vektor (også

Detaljer

Dagens tema INF1070. Vektorer (array er) Tekster (string er) Adresser og pekere. Dynamisk allokering

Dagens tema INF1070. Vektorer (array er) Tekster (string er) Adresser og pekere. Dynamisk allokering Dagens tema Vektorer (array er) Tekster (string er) Adresser og pekere Dynamisk allokering Dag Langmyhr,Ifi,UiO: Forelesning 23. januar 2006 Ark 1 av 23 Vektorer Alle programmeringsspråk har mulighet til

Detaljer

ก ก. ก.. Website : ก ก ก ก ก

ก ก. ก.. Website :   ก ก ก ก ก ก ก ก.. Website : Http://province.m-culture.go.th/kamphangphet ก ก ก ก ก å a å a a a å a a ก ก ก. ก ก ก ก ก ก ก ก ก... ก oe i e и å ae и a-e e a å þ2þ5þ5þ3 ie å и å å o åe oe o åæ e a å a и þ2þ7 u å a

Detaljer

P ² Ö³, ƒ. ƒ μ² 1,. ƒô Ï,. Ô² Ô ³ 2. ƒ ŒŒ - Š ˆ ˆ ƒ ˆ Ÿ. ˆ Š œš ˆ ƒ. ƒ Š. ² μ Ê ² μ ± Ö ² μ Éμ Ö

P ² Ö³, ƒ. ƒ μ² 1,. ƒô Ï,. Ô² Ô ³ 2. ƒ ŒŒ - Š ˆ ˆ ƒ ˆ Ÿ. ˆ Š œš ˆ ƒ. ƒ Š. ² μ Ê ² μ ± Ö ² μ Éμ Ö P18-2007-163. ² Ö³, ƒ. ƒ μ² 1,. ƒô Ï,. Ô² Ô ³ 2 Œ Œ ƒ Œ ƒ ƒ ŒŒ - Š ˆ ˆ ƒ ˆ Ÿ ˆŸ ˆŸ ˆ Š œš ˆ ƒ ˆŸ Œ ƒ Š ƒ Š ² μ Ê ² μ ± Ö ² μ Éμ Ö 1 É Ö ÒÌ ² μ Œμ μ²ó ±μ μ μ Ê É μ μ Ê - É É, ² - Éμ 2 ƒμ μ-μ μ É É ²Ó Ò

Detaljer

Tegn og tekst. Posisjonssystemer. Logaritmer en kort repetisjon. Bitposisjoner og bitmønstre. Kapittel August 2008

Tegn og tekst. Posisjonssystemer. Logaritmer en kort repetisjon. Bitposisjoner og bitmønstre. Kapittel August 2008 Posisjonssystemer 10 5 (100 000) 10 4 (10 000) 10 3 (1 000) 10 2 (100) 10 1 (10) 10 0 (1) Tegn og tekst \yvind og ]se N{rb}? 2 7 (128) 2 6 (64) 2 5 (32) 2 4 (16) 2 3 (8) 2 2 (4) 2 1 (2) 2 0 (1) Kapittel

Detaljer

Թػ¼½¼ ¼ ÍÏÌ È ¹¾¼¼½¹½ ÌÍϹ¼½¹¼½¾ Ê ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÒÓÒÓÑÑÙØ Ø Ú Ô ÓØÓÒ Ð ¹ Ò Ö Ý ØÓ ÐÐ ÓÖ Ö Ú Ë Ö ¹Ï ØØ Ò Ñ Ô Ò Ö Ð ½ Â Ô Ö Ö Ñ ØÖÙÔ ¾ À Ö Ð ÖÓ ÄÙ

Թػ¼½¼ ¼ ÍÏÌ È ¹¾¼¼½¹½ ÌÍϹ¼½¹¼½¾ Ê ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÒÓÒÓÑÑÙØ Ø Ú Ô ÓØÓÒ Ð ¹ Ò Ö Ý ØÓ ÐÐ ÓÖ Ö Ú Ë Ö ¹Ï ØØ Ò Ñ Ô Ò Ö Ð ½ Â Ô Ö Ö Ñ ØÖÙÔ ¾ À Ö Ð ÖÓ Ä٠Թػ¼¼¼ ÍÏÌȹ¼¼¹ ÌÍϹ¼¹¼ ÊÒÓÖÑÞØÓÒ Ó Ø ÒÓÒÓÑÑÙØØÚ ÔÓØÓÒ ¹ÒÖÝ ØÓ ÓÖÖ Ú ËÖ¹ÏØØÒ ÑÔ ÒÖ Â ÔÖ ÖÑ ØÖÙÔ ÀÖ ÖÓ ÄÙ ÈÓÔÔ ÅÒÖ ËÛ ÊÑÖ ÏÙÒÖ ÁÒ ØØÙØ ĐÙÖ ÌÓÖØ ÈÝ ÌÒ ÍÒÚÖ ØĐØ ÏÒ ÏÒÖ ÀÙÔØ ØÖ ¹¼ ¹¼¼ ÏÒ Ù ØÖ ÁÒ ØØÙØ ĐÙÖ

Detaljer

P ²Êϱ 1,..Šμ ² ±μ 1,.. μ Î 1,2 ˆ ˆŸ. ² μ Ê ² μ Ì μ ÉÓ. É μ ±, Ì μé μ Ò É μ Ò ² μ Ö. ÍÒ Œμ ±μ ±μ μ μ Ê É μ μ Ê É É ³. Œ..

P ²Êϱ 1,..Šμ ² ±μ 1,.. μ Î 1,2 ˆ ˆŸ. ² μ Ê ² μ Ì μ ÉÓ. É μ ±, Ì μé μ Ò É μ Ò ² μ Ö. ÍÒ Œμ ±μ ±μ μ μ Ê É μ μ Ê É É ³. Œ.. .. ²Êϱ 1,..Šμ ² ±μ 1,.. μ Î 1,2 ˆ ˆ Œ ˆ ˆŸ Š ˆ : ˆ ˆ ˆ ˆ? P14-2011-18 ² μ Ê ² μ Ì μ ÉÓ. É μ ±, Ì μé μ Ò É μ Ò ² μ Ö 1 Ñ Ò É ÉÊÉ Ö ÒÌ ² μ, Ê, μ Ö 2 ÊÎ μ- ² μ É ²Ó ± É ÉÊÉ Ö μ Ë ± ³... ±μ ²Ó- ÍÒ Œμ ±μ ±μ

Detaljer

ý òó"bêë1 êë # åådeø "bêë 1 êë " 7 òó ë ;!!E(m(%$ % åådeøg} " råd

ý òóbêë1 êë # åådeø bêë 1 êë  7 òó ë ;!!E(m(%$ % åådeøg}  råd $ $ + # ($)( %$( E ; b -'\ T#L C Z[90\ =+ + ' H @A C 3 2; 25 5 3 2 2 5 3 R6TU,- ab H @A 9 Z C 6 )H @A C @A C W 9 ab 6ST/9 > @A, +6 a b90 ( 8@A C W ab @A C ' -> ` H @A C ab@a C - > `> # $ # #ZA9@A, +6 ab

Detaljer

Planveileder for massevaksinasjon mot pandemisk in u ensa i kommuner og helseforetak

Planveileder for massevaksinasjon mot pandemisk in u ensa i kommuner og helseforetak 201 6 P f j f U H P f j f f 1 j 2016 U H 2 U J2016 T: Pf j f U H B: R f :wwwf Gf: PG L: P :2000 : cxntb IBN9788280827333 IBN9788280827357 Pf j f 3 D f j f j f f D 2008 f f 200910 U Nj f (2014) f D 200910

Detaljer

I# w ,F3<#""" wxy2t {r u v$ 0 Y 4 } ~ Â ` - é$8 UX#' ] d Ñ \ ] J. I \ ] O,+R:,!" {%O DM%M5#' ] J*CO!

I# w ,F3<# wxy2t {r u v$ 0 Y 4 } ~ Â ` - é$8 UX#' ] d Ñ \ ] J. I \ ] O,+R:,! {%O DM%M5#' ] J*CO! !!"1!6"! 2! '1! &8!& & $& & & W>XY W>6 ()W>$ - / (3 JHH H 2 2 + / ( 3< / > / :("82 / B $ )! / 2 2 +("82 P/C ) " / ("82 C8 / $& / ("82 /' ) " / ("82 E ) * + / (" 82 / '? " ("82 )*+ / ("82W $ J( /' / JH

Detaljer

ÄÒÖØÒ ½ ÃÖØÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½ ÄÒÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º½ ËØ

ÄÒÖØÒ ½ ÃÖØÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½ ÄÒÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º½ ËØ ¹ ÌÝ ÆÓÖ ¹ ÆÓÖ ÌÝ ¾ ½ ÊØ ÙÒ ÁÒÓ ÅÖ ØÒÖ ¾º ÖÙÖ ¾¼¼ ÄÒÖØÒ ½ ÃÖØÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½ ÄÒÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º½ ËØÖÒÖØ

Detaljer

ÄÒÖØÒ ½º½ ÃÖØÒ ½ ÄÒÖØÒ ½º½º½ ÄÒÖØ ½º½ ÃÖØÒ ÄÒÖØÒ ½º½º¾ ËØÖÒÖØ ½º½º ÈÖÓÚÒÞÒ

ÄÒÖØÒ ½º½ ÃÖØÒ ½ ÄÒÖØÒ ½º½º½ ÄÒÖØ ½º½ ÃÖØÒ ÄÒÖØÒ ½º½º¾ ËØÖÒÖØ ½º½º ÈÖÓÚÒÞÒ ½ ¾ ÆÓÖ ¹ ÌÝ ÌÝ ¹ ÆÓÖ ÊØ ÙÒ ÁÒÓ ÅÖ ØÒÖ ¾º ÖÙÖ ¾¼¼ ÁÒÐØ ÚÖÞÒ ÁÒÐØ ÚÖÞÒ ½ ÄÒÖØÒ ½º½ ÃÖØÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º½ ÄÒÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Detaljer