Inspirasjon og motivasjon for matematikk Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen 8-Feb-07 Oversikt kursinnhold 1.gang: Generell innføring i den nye læreplanen og kompetansebegrepene. 2.gang (22.11):Matematisk samtale og undersøkelseslandskap: (Problemløsnings-, kommunikasjons, resonnement og tankegangskompetansen) 3.gang (13.02): Fokus på utvikling av god tallforståelse: (Representasjons og symbolkompetanse) 4.gong (19.04): Matematikk i et tverrfaglig perspektiv Hovedfokus på kunstfaga, storyline og uteskole (Anvendelse og modelleringskompetansen) 8-Feb-07 2 En visuell representasjon av de ulike matematiske kompetansene 8-Feb-07 3 1
Hvordan skal jeg regne, lærer? Fokus på tall og utvikling av god tall forståelse 8-Feb-07 Representasjonskompetanse Representasjon (forestilling, bilde) Skape og bruke representasjon ( eks; konkreter, symboler, tabeller)til å organisere, huske og kommunisere matematiske begreper. Velge, bruke og overføre mellom matematisk representasjoner til å løse problemer. Bruke representasjon til modellere og forklare fysisk, sosial og matematiske fenomen. 8-Feb-07 5 Symbol- og formalismekompetanse Symbol- og formalismekompetanse inneholder det å kunne bruke og avkode symbol- og formalismespråket og oversette mellom matematisk symbolspråk og dagligtale. Det vil også si å ha innsikt i de matematiske spillereglene. 8-Feb-07 6 2
Regnestrategier og se matematiske sammenhenger 8-Feb-07 7 Både utvikle og bruke metoder Skal ikke elevene lenger kunne standardalgoritmene? 8-Feb-07 8 435 : 3 = 145 3 13 12 15 15 0 435 : 3 = 300 100 135 120 40 15 15 5 0 145 8-Feb-07 9 3
Hvem får mest drops? 8-Feb-07 10 Veien fra konkret til abstrakt Multiplikasjon: 8-Feb-07 11 Sammenheng mellom multiplikasjon og areal 8-Feb-07 12 4
Hva er tallforståelse? dele opp og bygge mengder, sette sammen og dele opp tiergrupper (Grupperingsmodell) bruke tallinjen til beregninger og til å angi tallstørrelser (Lineær tallmodell) 8-Feb-07 13 Grupperingsmodell Et viktig element i tallforståelse er at elevene får erfaring med hvordan vi grupperer og deler opp grupper i posisjonssystemet. For å lette telling av større mengder er det svært gunstig å gruppere. 8-Feb-07 14 Grupperingsmodell Det er akkurat denne grupperingstanken som er et av de mest sentrale aspektene ved et tallsystem. Så å si alle tallsystem som har vokse frem i ulike kulturer rundt om i verden, hviler på denne ideen. 8-Feb-07 15 5
På plass 8-Feb-07 16 Lineær tallmodell Arbeid med tallinje vil gi elevene en rikere tallforståelse Barna får et godt verktøy for å orientere seg i tallrekken: De kan diskutere tallenes relative plassering, se sammenhenger mellom tallene, erfare hvordan tall kan deles opp og beskrives Den lineære modellen styrker hoderegningen Alternativer: Perlesnor, målebånd, tallrekke på veggen, tallinje med tall, tom tallinje 8-Feb-07 17 Tallinja 8-Feb-07 18 6
Tom tallinje, 46+28 +10 +10 +10-2 46 56 66 74 76 +10 +10 +4 +4 46 56 66 70 74 8-Feb-07 19 Hundreruta 8-Feb-07 20 Prinsipp for oppbygging av matematisk innsikt og ferdigheter En vei mot god begrepsforståelse 1. Konkret nivå 2. Halvkonkret nivå 3. Halvabstrakt nivå 4. Abstrakt nivå 8-Feb-07 21 7
Konkret nivå Elevene må få sin første opplæring på et konkret nivå Telleobjekt Måleband Vekt Geometriske figurer 8-Feb-07 22 Halvkonkret nivå: Bilder, tegninger, figurer Dette er ikke objektene i seg selv: Nå er vi begynt å bygge en bro til det abstrakte nivået. 8-Feb-07 23 Halvabstrakt nivå: Fortettet tegning, kan ikke se hva det forestiller Tellestreker Prikker Illustrasjoner Diagram Kart 8-Feb-07 24 8
Abstrakt nivå: Tall, tegn, matematiske uttrykk, algebra, formler, matematisk språk. Språket er et svært viktig element i begrepsbyggingen. 8-Feb-07 25 Addisjon og subtraksjon i fire kategorier Problemstillinger som inkluderer addisjon og subtraksjon kan ha svært varierende strukturer. Oppgavens struktur spiller en stor rolle for hvor vanskelig oppgavene vil være for elevene. Viktig at lærerne vet hvilke additive strukturer som finnes. Nødvendig at elevene får gjort erfaringer med alle disse aspektene ved addisjon og subtraksjon slik at de får utvikle rike begreper. Dvs at de både vet når det er passende å bruke de ulike regneoperasjonene, og at de har gode faktakunnskaper og ferdigheter som kan tas i bruk i selve regnearbeidet. 8-Feb-07 26 1. Endring Her har man et antall av et eller annet, så får man noen til (sammenslåing), eller noe forsvinner (separering), slik at en får et nytt antall til slutt. Tre ulike typer oppgaver (A + B = C) 1. Anne har 8 epler. Hun plukker 5 til. Hvor mange epler har hun nå? C er ukjent 2. Anne har 8 epler. Hun plukker noen flere, slik at hun har 13 stykker. Hvor mange plukket hun? B er ukjent 3. Anne har noen epler. Hun plukker 5 til. Da har hun 13 epler. Hvor mange hadde hun først? A er ukjent. 8-Feb-07 27 9
1. Endring Eksempel på separering: A B = C Også her finner en tre ulike typer. 1. Anne har 13 epler i en pose. Så gir hun bort noen til broren. Da har hun 8 igjen. Hvor mange epler gav hun til broren? B er ukjent. Kan dere finne eksempel på de to andre typene? 8-Feb-07 28 2. Kombinere Her kombineres to mengder av et eller annet, eller en mengde separeres i to. A1 + A2 = B A = B1 + B2 Her kan en lage oppgaver av to forskjellige typer, avhengig hva som er ukjent. 1.Anne har 13 epler. 5 røde og resten grønne. Hvor mange grønne har hun? B2 er ukjent 2.Anne har 5 røde og 8 grønne epler. Hvor mange epler har hun? B er ukjent 8-Feb-07 29 3. Sammenligne I oppgaver i denne kategorien handler det om å sammenligne antallet i to mengder. Denne strukturen kan illustreres slik: A1 A2 D A1 og A2 er de to mengdene, mens D er differansen mellom dem. 8-Feb-07 30 10
Eksempler på oppgaver: 1. Anne har 13 epler, mens Berit har 5. Hvor mange flere har Anne? 2. Berit har 5 epler, mens Anne har 8 flere. Hvor mange epler har epler? 3. Anne har 13 epler. Hun har 5 flere enn Berit. Hvor mange epler har Berit? Igjen ser vi tre typer oppgaver: 1. Differansen er ukjent (D) 2. Den største mengden er ukjent 3. Den minste mengden er ukjent. 8-Feb-07 31 4. Å gjøre likt Oppgaver av denne kategorien er omtrent som i sammenligningskategorien, men her skal vi utligne forskjellen. Eksempler: 1. Anne har 13 epler, mens Berit har 5. Hvor mange flere må Berit få for at hun skal ha like mange som Anne? 2. Berit har 5 epler. Hvis hun får 8 til, vil hun ha like mange som Anne. 3. Anne har 13 epler. Hvis Berit får 8 til, vil hun ha like mange som Anne. Hvor mange epler har Berit? 8-Feb-07 32 For at elevene skal utvikle gode begreper, er det nødvendig både med regneferdigheter og med kunnskap om når faktaene og ferdighetene bør brukes. Elevene må få gjøre erfaringer med alle de forskjellige strukturene hvor begrepet kan bringes på bane. Dette gjøres gjennom en bevisst variasjon i strukturen i oppgavene elevene arbeider med, og i hvilken av størrelsene som er den ukjente. 8-Feb-07 33 11
Historien om null Den indiske handelsmannen 8-Feb-07 34 Slik gjorde de i India 4 5 0 2 0 9 8-Feb-07 35 Hvem får høgest tresifrete tal? 8-Feb-07 36 12
Hvem kommer nærmest 1000? 8-Feb-07 37 Hvem kommer nærmest 1000? 8-Feb-07 38 Spill: Lag størst tall Elevene spiller sammen i par eller smågrupper. Elevene tegner fire ruter foran seg slik, med komma mellom 2. og 3. rute: Elevene kaster en terning etter tur. De skal lage høyest mulig tosifret tall med to desimaler. Terningen angir ett siffer og for hvert kast plasseres sifferet i en av de fire rutene. Elevene avgjør selv i hvilken rute. Etter fire kast er tallet ferdig. Den som har laget det største tallet, får ett poeng. Vinneren er den med høyest poengsum etter for eksempel fem eller ti omganger. 8-Feb-07 39 13
Vi utforsker tallenes egenskaper Mål: Elevene får utforske tallenes egenskaper. De vil oppdage mønster, strukturer og sammenhenger mellom ulike tall. Det vil gi dem grunnleggende forståelse for multiplikasjon. Videre vil de kunne gjøre oppdagelser med primtallenes, kvadrattallenes og trekanttallenes egenskaper 8-Feb-07 40 PUSLESPILL MED KVADRATER Ta for dere alle tallene fra 1 til 50. Lag rektangler av tallene. Rektanglene skal bestå av 2, 3 eller flere rader. Tegn ned på ruteark de ulike resultatene dere finner. Skriv en liste over alle tallene. Av og til går det ikke an å legge et rektangel. Hvilke tall er det? Marker disse tallene med egen farge i listen Av og til kan du lage flere ulike rektangler av samme tall. Marker disse tallene med egen farge. Med noen tall kan du lage kvadratiske rektangler. Hva tror du vi kaller disse tallene? Marker dem med egen farge. 8-Feb-07 41 Fyll ut tabell 8-Feb-07 42 14
Automatisere multiplikasjonstabellen 8-Feb-07 43 Bygge kvadrater 8-Feb-07 44 Å bruke varierte uttrykksmåter... For eksempel i algebra... 8-Feb-07 45 15
Algebra på barneskolen X = 4 X + 3 = 8 3x + 5 = 14 4x + 7 = 2x + 12 8-Feb-07 46 Rød og sort s + r r -s 2r + s 3s r s-r 3r s r-s s 2s +r 8-Feb-07 47 Vi spiller Plump 8-Feb-07 48 16
Nytt kartleggingsmateriell Professor Alistair McIntosh, University of Tasmania, har utviklet et materiell for kartlegging av barns talloppfatning og tallforståelse. Arbeidet bygger på et langt forskerliv innenfor nettopp dette området av matematikkdidaktikken, og materialet er tilpasset skandinaviske forhold. Materialet omfatter skriftlige tester for 1. - 10. trinn, veiledning for gjennomføring og vurdering av testene, vurderingsskjemaer, samt veiledning til elevintervjuer. 8-Feb-07 49 Nytt kartleggingsmateriell I tillegg til testmaterialet, har McIntosh skrevet en håndbok. Oppgavene i testene har henvisninger til kapitler i håndboka, der det finnes nærmere forklaring på hva oppgavene skal teste av forståelse. Boka beskriver vanlige misoppfatninger, hvorfor de forekommer, og det gis konkrete forslag til hvordan lærerne kan jobbe videre ut fra resultatene på testene. Vi vil anbefale alle skoler om å bruke materialet, både til planlegging av undervisning, til kartlegging av elevenes talloppfatning, og til planlegging og gjennomføring av tiltak. Testene er laget for å brukes ved starten av hvert skoleår. Noen oppgaver finnes igjen over flere år, slik at en kan teste elevenes utvikling over tid. 8-Feb-07 50 Generell informasjon og veiledning Testene er ikke laget for å måle elevenes ferdigheter, men for: Kartlegging av tallforståelse og veiledning til å hjelpe elevene Riktige og gale svar gir verdifull informasjon om elevenes styrker og svakheter 8-Feb-07 51 17
Lærerens rolle Elevene skal oppmuntres til å svare på alle oppgavene. Det er viktig ikke å ha fokus på eller indikere om et svar er rett eller galt. La elevene få vite at de gjør en god jobb. Forsøk ikke å hjelpe, rette på eller undervise eleven mens testen pågår. Det vil virke forstyrrende på evalueringa. Hjelp og undervisning skal komme inn senere. 8-Feb-07 52 Forhåndsinformasjon til elevene Forklar elevene at: det kan komme vanskelige spørsmål først og svært lette til slutt. De må ikke gi opp hele testen når de kommer til en oppgave de føler at de ikke klarer. det er normalt at de skal kunne svare riktig på alle oppgavene. testen er ment for å finne ut hva de har forstått, og hva de må få øve mer på. testresultatene skal hjelpe læreren til å finne ut hvordan han eller hun best skal kunne hjelpe hver enkelt elev. 8-Feb-07 53 Lesehjelp Du kan og skal lese høyt ord og setninger som eleven kan ha problemer med å lese Ikke les tall skrevet med tallsymboler høyt (hele tall, brøk, desimaltall eller prosent). Da kan hensikten med oppgaven forstyrres. Du kan lese tall som er skrevet med bokstaver. 8-Feb-07 54 18
Hoderegning De fleste testene innholder oppgaver med hoderegning. La gjerne elevene besvare disse oppgavene først. Elevskjemaet innholder ikke disse regnestykkene. Les hvert regnestykke to ganger og gi eleven så 10 sekunder til å avslutte oppgaven. Elevene skal ikke skrive ned utregningene, de skriver bare ned svaret. 8-Feb-07 55 8-Feb-07 56 8-Feb-07 57 19
8-Feb-07 58 Intervju Tips om hva man bør gjøre og hva man bør unngå Et intervju er ikke en undervisningssituasjon Hovedhensikten er å finne ut hvordan eleven har tenkt Hvert av punktene nedenfor leder fram mot et viktig hovedprinsipp når det gjelder å gjennomføre et intervju. Dette gjelder enten intervjuet er kort og spontant eller om det er langt og planlagt. 8-Feb-07 59 La eleven stå for snakkingen fordi intervjuet skal avsløre hvordan eleven tenker. (Matematikklærere snakker til vanlig omkring åtte ganger så mye som alle elevene til sammen; TIMSS video studie.) Oppmuntre eleven til å forklare og beskrive, selv om det går tregt Læreren bryter bare inn for å forsikre seg om at hun/han har forstått hva eleven mener. 8-Feb-07 60 20
Under intervjuet må læreren ikke undervise Hensikten med intervjuet er å hjelpe læreren til å finne elevens styrker og svakheter Under intervjuet skal ikke læreren prøve å hjelpe eleven til å finne riktig svar, passende strategier eller korrekt måte å tenke på. Prøver læreren å hjelpe, vil hun/han ikke lære noe om elevens tenkemåte. Lærerens rolle er å lytte! 8-Feb-07 61 Ikke vis hva du tenker underveis intervjuet Bryter man dette prinsippet, kan det ta fra elevene lysten til å snakke og det vil vi unngå for enhver pris. Unngå at eleven prøver å svare slik hun/han oppfatter at du ønsker hun/han skal svar ( gjett hva læreren tenker ) I intervjusituasjonen må læreren oppføre seg som en vitenskapsmann: hvert svar er ikke først å fremst å bli betraktet som riktig eller galt, godt eller dårlig, men som interessant eller informativt. Gale svar er med på å gi informasjon om hva eleven har misforstått eller har problemer med og er derfor like nyttige for læreren som et rett svar. 8-Feb-07 62 Evalueringsskjema www.matematikksenteret.no Se under kurs og veiledning 8-Feb-07 63 21