Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 8. august 20
2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden angir ett entydig tall i verdimengden
2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden angir ett entydig tall i verdimengden Vi kan tenke på en funksjon som en maskin x Funksjon f f(x)
3 Definisjon- og verdimengde f D f V f
4 Funksjon som en graf 2 f(x) = x 2 2x 2 3 4
5 De fire representasjonen av en funksjon Nummerisk (ved hjelp av tabell.) Lufttrykket målt ved en stemmegaffel er gitt ved tabellen tid / ms trykk / µbar 0,0,36 0,6,303,2 0,62,8 0,482..
5 De fire representasjonen av en funksjon Nummerisk (ved hjelp av tabell.) 2 Verbalt (ved tekst.) Største heltall - funksjonen f(x) = x = største heltall som er mindre eller lik x
5 De fire representasjonen av en funksjon Nummerisk (ved hjelp av tabell.) 2 Verbalt (ved tekst.) 3 visuelt (Beskrevet ved hjelp av graf.) 2 2 3 4
5 De fire representasjonen av en funksjon Nummerisk (ved hjelp av tabell.) 2 Verbalt (ved tekst.) 3 visuelt (Beskrevet ved hjelp av graf.) 4 Algebraisk (Beskrevet ved hjelp av formel) f(x) = sin x x
6 Delt forskrift Absoluttverdi-funksjonen f(x) = x. f(x) = { x ; x 0 x ; x < 0
6 Delt forskrift Absoluttverdi-funksjonen f(x) = x og dens graf. f(x) = { x ; x 0 x ; x < 0
7 Vertikal linjetest Kun en funskjonsverdi for hver argumentverdi f 2
7 Vertikal linjetest Kun en funskjonsverdi for hver argumentverdi En vertikal linje krysser maksimalt et punkt på grafen til en funksjon. 2 f
7 Vertikal linjetest Kun en funskjonsverdi for hver argumentverdi En vertikal linje krysser maksimalt et punkt på grafen til en funksjon. Hvis en vertikal linje krysser i flere punkter på grafen, så er den ikke grafen til en funksjon. 2 f
8 Lineære Funksjoner Definisjon En funksjon kalles lineær hvis grafen dens er en rett linje En lineær funksjon kan skrives på formen f(x) = mx + b, der m er stigningstallet og b er y-verdien til skjæringen med y-aksen. Eksempel f(x) = x + 4
9 Konstant funksjoner og proposjonaliteter Definisjon En funksjon kalles konstant hvis grafen dens er en horisontal rett linje
9 Konstant funksjoner og proposjonaliteter Definisjon En funksjon kalles konstant hvis grafen dens er en horisontal rett linje En konstant funksjon kan skrives på formen f(x) = c, der c er y-verdien til skjæringen med y-aksen.
9 Konstant funksjoner og proposjonaliteter Definisjon En funksjon kalles konstant hvis grafen dens er en horisontal rett linje En konstant funksjon kan skrives på formen y = c f(x) = c, der c er y-verdien til skjæringen med y-aksen.
9 Konstant funksjoner og proposjonaliteter Definisjon En funksjon kalles konstant hvis grafen dens er en horisontal rett linje En konstant funksjon kan skrives på formen f(x) = c, der c er y-verdien til skjæringen med y-aksen. Definisjon y = c En funksjon kalles en proposjonalitet hvis grafen dens er en rett linje igjennom origo
9 Konstant funksjoner og proposjonaliteter Definisjon En funksjon kalles konstant hvis grafen dens er en horisontal rett linje En konstant funksjon kan skrives på formen f(x) = c, der c er y-verdien til skjæringen med y-aksen. Definisjon y = c En funksjon kalles en proposjonalitet hvis grafen dens er en rett linje igjennom origo En proposjonalitet kan skrives på formen f(x) = m x der m er proposjonalitetskonstanten.
9 Konstant funksjoner og proposjonaliteter Definisjon En funksjon kalles konstant hvis grafen dens er en horisontal rett linje En konstant funksjon kan skrives på formen f(x) = c, der c er y-verdien til skjæringen med y-aksen. Definisjon y = c En funksjon kalles en proposjonalitet hvis grafen dens er en rett linje igjennom origo En proposjonalitet kan skrives på formen f(x) = m x der m er proposjonalitetskonstanten. y = mx
0 Polynomer Definisjon (Polynom P(x) av grad n) P(x) = a n x n + a n x n + + a x + a 0.
0 Polynomer Definisjon (Polynom P(x) av grad n) P(x) = a n x n + a n x n + + a x + a 0. Definisjon (Koeffisienter.) Konstantene a 0, a osv kalles koeffisientene til P(x).
0 Polynomer Definisjon (Polynom P(x) av grad n) P(x) = a n x n + a n x n + + a x + a 0. Definisjon (Koeffisienter.) Konstantene a 0, a osv kalles koeffisientene til P(x). Eksempel f(x) = x 2 x er et 2.gradspolynom.
Potensfunksjoner Eksempel Eksempler på potensfunksjoner er y = x y = x 2 etc y = x 3
Potensfunksjoner Eksempel Eksempler på potensfunksjoner er y = x y = x 2 etc y = x 3 Definisjon En potensfunksjon er en funksjon på formen f(x) = x a, der a er en konstant.
Potensfunksjoner Eksempel Eksempler på potensfunksjoner er y = x y = x 2 etc y = x 3 Definisjon En potensfunksjon er en funksjon på formen f(x) = x a, der a er en konstant. Eksempel y = x 4 = x 4 og rotfunksjoner er andre eksempler.
2 Rot funksjoner Definisjon (nte-roten) w = n a er definert som det tallet som gir w n = a For eksempel er 2 = 3 8 fordi 2 3 = 8.
2 Rot funksjoner Definisjon (nte-roten) w = n a er definert som det tallet som gir w n = a For eksempel er 2 = 3 8 fordi 2 3 = 8. nte røtter kan brukes til å definere funksjoner y = 3 x y = x 2 x 2 x
3 Rasjonale funksjoner Definisjon (rasjonal funksjon) Hvis P og Q er polynomer så kalles y = P(x) for en rasjonal funksjon. Q(x)
3 Rasjonale funksjoner Definisjon (rasjonal funksjon) Hvis P og Q er polynomer så kalles y = P(x) for en rasjonal funksjon. Q(x) 4 2 y = x x + x 2 4 4 2 y = x 2 x 2 x 2 4
4 Stigende og avtagende funksjoner Definisjon En funksjon f kalles stigende på intervallet I hvis f(x ) < f(x 2 ) når x < x 2 i I f(x) = x er stigende på [0, >
4 Stigende og avtagende funksjoner Definisjon En funksjon f kalles stigende på intervallet I hvis f(x ) < f(x 2 ) når x < x 2 i I Definisjon En funksjon f kalles avtagende på intervallet I hvis f(x ) > f(x 2 ) når x < x 2 i I f(x) = x er avtagende på <, 0]
5 Jevne og odde funksjoner Definisjon (Odde) En funksjon f(x) kalles for en odde funksjon hvis f( x) = f(x) for alle x i definisjonsmengden. Eksempel Potensfunksjonen: f(x) = x 3
6 Jevne og odde funksjoner Definisjon (Jevn) En funksjon f(x) kalles for en jevn funksjon hvis f( x) = f(x) for alle x i definisjonsmengden. Eksempel Polynomet: f(x) = x 4 + x 2
7 Horisontal og vertikal forskyvning Horisontal forskyvning mot høyre 2 Horisontal forskyvning mot venstre 3 Vertikal forskyvning opp 4 Vertikal forskyvning ned f(x ) 2
7 Horisontal og vertikal forskyvning Horisontal forskyvning mot høyre 2 Horisontal forskyvning mot venstre 3 Vertikal forskyvning opp 4 Vertikal forskyvning ned f(x + ) 2
7 Horisontal og vertikal forskyvning Horisontal forskyvning mot høyre 2 Horisontal forskyvning mot venstre 3 Vertikal forskyvning opp 4 Vertikal forskyvning ned f(x) + 2
7 Horisontal og vertikal forskyvning Horisontal forskyvning mot høyre 2 Horisontal forskyvning mot venstre 3 Vertikal forskyvning opp 4 Vertikal forskyvning ned f(x) 2
8 Skalering og refleksjon Vertikal krymping 2 f(x) 2 Horisontal krymping 3 Vertikal ekspansjon 4 Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 2 6 Horisontal refleksjon
8 Skalering og refleksjon Vertikal krymping f(2 x) 2 Horisontal krymping 3 Vertikal ekspansjon 4 Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 2 6 Horisontal refleksjon
8 Skalering og refleksjon Vertikal krymping 2 f(x) 2 Horisontal krymping 3 Vertikal ekspansjon 4 Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 2 6 Horisontal refleksjon
8 Skalering og refleksjon Vertikal krymping f( 2 x) 2 Horisontal krymping 3 Vertikal ekspansjon 4 Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 2 6 Horisontal refleksjon
8 Skalering og refleksjon Vertikal krymping f(x) 2 Horisontal krymping 3 Vertikal ekspansjon 4 Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 2 6 Horisontal refleksjon
8 Skalering og refleksjon Vertikal krymping f( x) 2 Horisontal krymping 3 Vertikal ekspansjon 4 Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 2 6 Horisontal refleksjon
9 Vinkler Grader 90
9 Vinkler Grader og Radianer r = 90 θ = π/2,5708
20 Trigonometriske funksjoner h x a b cos x = a/h sin x = b/h tan x = b/a f(x) = cos(x) 3 2 f(x) = cos(x) f(x) = sin(x) 3 2 f(x) = tan(x) 3 2 3 2
20 Trigonometriske funksjoner h x a b cos x = a/h sin x = b/h tan x = b/a f(x) = cos(x) 3 2 f(x) = sin(x) f(x) = sin(x) 3 2 f(x) = tan(x) 3 2 3 2
20 Trigonometriske funksjoner h x a b cos x = a/h sin x = b/h tan x = b/a f(x) = cos(x) 3 2 f(x) = tan(x) f(x) = sin(x) 3 2 f(x) = tan(x) 3 2 3 2
2 Trigonometriske funksjoner h x a b sec x = h/b csc x = h/b cot x = a/b f(x) = sec(x) 3 2 f(x) = sec(x) f(x) = csc(x) 3 2 f(x) = cot(x) 3 2 3 2
2 Trigonometriske funksjoner h x a b sec x = h/b csc x = h/b cot x = a/b f(x) = sec(x) 3 2 f(x) = csc(x) f(x) = csc(x) 3 2 f(x) = cot(x) 3 2 3 2
2 Trigonometriske funksjoner h x a b sec x = h/b csc x = h/b cot x = a/b f(x) = sec(x) 3 2 f(x) = cot(x) f(x) = csc(x) 3 2 f(x) = cot(x) 3 2 3 2
22 Periodisitet En funksjon er periodisk med periode T hvis f(x + T) = f(x)
22 Periodisitet En funksjon er periodisk med periode T hvis f(x + T) = f(x) Eksempel: f(x) = sin(x) 5 4 3 2 3 4
23 Trigonometriske identiteter (cos θ, sin θ) cos 2 θ + sin 2 θ = cos(a + B) = cos A cos B sin A sin B sin(a + B) = sin A cos B + cos A sin B
24 Cosinus-loven B c 2 = a 2 + b 2 2ab cos θ a C θ c b A
25 Eksponensiell oppførsel Eksponensiell endring kjenetegnes at endringen til en størrelse er proposjonal med størrelsen f(x) = 2 x 3 2
26 Eksponensialfunkjsoner Definisjon En funksjon på formen y = a x kalles for en eksponensial funksjon. y = ( 4 )x 3 y = 4 x y = ex y = ( 2 )x y = 2 x 2 Tangenten til e x igjennom punktet (0,) har stigningsgrad. 3 2 3
27 Egenskaper til eksponensial funksjoner a x a y = a x+y 2 a x /a y = a x y 3 (a x ) y = a xy 4 a x b x = (ab) x 5 a x /b x = (a/b) x
27 Egenskaper til eksponensial funksjoner a x a y = a x+y 2 a x /a y = a x y 3 (a x ) y = a xy 4 a x b x = (ab) x 5 a x /b x = (a/b) x
27 Egenskaper til eksponensial funksjoner a x a y = a x+y 2 a x /a y = a x y 3 (a x ) y = a xy 4 a x b x = (ab) x 5 a x /b x = (a/b) x
27 Egenskaper til eksponensial funksjoner a x a y = a x+y 2 a x /a y = a x y 3 (a x ) y = a xy 4 a x b x = (ab) x 5 a x /b x = (a/b) x
27 Egenskaper til eksponensial funksjoner a x a y = a x+y 2 a x /a y = a x y 3 (a x ) y = a xy 4 a x b x = (ab) x 5 a x /b x = (a/b) x
28 En-til-enfunksjoner En-til-en hvis: bare oppfylles når f(x ) = f(x 2 ) x = x 2
28 En-til-enfunksjoner En-til-en hvis: bare oppfylles når Eksempler: f(x ) = f(x 2 ) x = x 2 f(x) = ax + b, a og b er konstanter. f(x) = e x f(x) = sin x, π 2 < x < π 2 f(x) = tan x, π 2 < x < π 2
29 Inverse funksjoner To (en-til-en) funksjoner f og g er hverandres inverser hvis f(g(y)) = y og g(f(x)) = x x f g f(x)
29 Inverse funksjoner To (en-til-en) funksjoner f og g er hverandres inverser hvis f(g(y)) = y og g(f(x)) = x x f f f(x) Vi skriver g = f
30 Finne inverser Løs først likningen y = f(x) for x 2 Skriv løsningen som x = g(y) 3 Bytt om på x og y. (Gjør aldri dette i fysikk anvendelser) Eksempel (Inverter f(x) = x 2, x > 0.) Eksempel (Finn tiden) En stein faller avstanden s = 5 t 2 meter i løpet av t sekunder. Finn tiden det tar å falle s meter.
30 Finne inverser Løs først likningen y = f(x) for x 2 Skriv løsningen som x = g(y) 3 Bytt om på x og y. (Gjør aldri dette i fysikk anvendelser) Eksempel (Inverter f(x) = x 2, x > 0.) Eksempel (Finn tiden) En stein faller avstanden s = 5 t 2 meter i løpet av t sekunder. Finn tiden det tar å falle s meter.
30 Finne inverser Løs først likningen y = f(x) for x 2 Skriv løsningen som x = g(y) 3 Bytt om på x og y. (Gjør aldri dette i fysikk anvendelser) Eksempel (Inverter f(x) = x 2, x > 0.) y = x 2. Løser for x og får x = y Eksempel (Finn tiden) En stein faller avstanden s = 5 t 2 meter i løpet av t sekunder. Finn tiden det tar å falle s meter.
30 Finne inverser Løs først likningen y = f(x) for x 2 Skriv løsningen som x = g(y) 3 Bytt om på x og y. (Gjør aldri dette i fysikk anvendelser) Eksempel (Inverter f(x) = x 2, x > 0.) y = x 2. Løser for x og får x = y Eksempel (Finn tiden) En stein faller avstanden s = 5 t 2 meter i løpet av t sekunder. Finn tiden det tar å falle s meter.
30 Finne inverser Løs først likningen y = f(x) for x 2 Skriv løsningen som x = g(y) 3 Bytt om på x og y. (Gjør aldri dette i fysikk anvendelser) Eksempel (Inverter f(x) = x 2, x > 0.) y = x 2. Løser for x og får x = y g(y) = y Eksempel (Finn tiden) En stein faller avstanden s = 5 t 2 meter i løpet av t sekunder. Finn tiden det tar å falle s meter.
30 Finne inverser Løs først likningen y = f(x) for x 2 Skriv løsningen som x = g(y) 3 Bytt om på x og y. (Gjør aldri dette i fysikk anvendelser) Eksempel (Inverter f(x) = x 2, x > 0.) y = x 2. Løser for x og får x = y g(y) = y Eksempel (Finn tiden) En stein faller avstanden s = 5 t 2 meter i løpet av t sekunder. Finn tiden det tar å falle s meter.
30 Finne inverser Løs først likningen y = f(x) for x 2 Skriv løsningen som x = g(y) 3 Bytt om på x og y. (Gjør aldri dette i fysikk anvendelser) Eksempel (Inverter f(x) = x 2, x > 0.) y = x 2. Løser for x og får x = y g(y) = y g(x) = x Eksempel (Finn tiden) En stein faller avstanden s = 5 t 2 meter i løpet av t sekunder. Finn tiden det tar å falle s meter.
3 Logaritmiske funksjoner Logaritmen f(x) = log a x defineres som den inverse av. a x
3 Logaritmiske funksjoner Logaritmen defineres som den inverse av. Den naturlig logaritmen defineres som den inverse av. f(x) = log a x a x f(x) = ln x e x
32 Egenskaper til logaritmen log a bc = log a b + log a c 2 log a (b/c) = log a b log a c 3 log a (b c ) = c log a b
32 Egenskaper til logaritmen log a bc = log a b + log a c 2 log a (b/c) = log a b log a c 3 log a (b c ) = c log a b
32 Egenskaper til logaritmen log a bc = log a b + log a c 2 log a (b/c) = log a b log a c 3 log a (b c ) = c log a b
33 Inverse trigonometriske funksjoner Trigonometriske funksjoner er ikke en-til-en Inverse trigonometriske funksjoner defineres ved å invertere funksjonene på passende intervaller. 2 2 2 2 sin (x) = Arcsin x