Funksjoner, M1 høst 2007 Fasit til skriftlige oppgavene Avdeling for Lærerutdanning Høgskolen i Vestfold M1 høst 2007 5. oktober 2007 Legger du merke til noen feil, vennligst send beskjed til george.h.hitching@hive.no. 1. Gi definisjonsområdet og verdiområdet til de følgende funksjonene. (a) Definisjonsområdet: De positive heltallene fra 1 til 92 SVARET: Verdiområdet: 92 antall med penger, de ulike lønnene tilsvarende de ulike lønnstrinn (b) f(x) = x. SV.: Definert i alle réelle tall Verdier: Alle ikke-negative réelle tall (c) f(x) = x + 2. SV.: Definert i alle réelle tall større enn eller lik 2. Verdier: Alle ikke-negative réelle tall. (d) f(x) = x + 2. SV.: Definert i alle ikke-negative réelle tall. Verdier: alle réelle tall større enn eller lik 2. (e) f(x) = 3 x+3 SV.: Definert i alle réelle tall untatt 3. Verdier: alle réelle tall untatt 0. (f) f(x) = 12x 3x 5 SV.: Definert i alle réelle tall untatt 5/3. Verdier: alle réelle tall untatt 4. 1
2. Danner de følgende reglene funksjoner? Hvis ikke, foreslå en måte å lage en funksjon av den. (a) En student i klassen idrettsaktivitet hun/han driver med SV.: Denne danner ingen funksjon, fordi man kan drive med flere ulike idrettsaktiviteter. En kunne lage en funksjon av det ved å si En student i klassen idrettsaktivitet hun/han bruker mest tid på (Det er mange andre måter og så.) (b) En student i klassen teamet sitt SV.: Denne er godt definert (altså, en funksjon). (c) Et réelt tall x et réelt tall y slik at y 3 = x SV.: Denne er en funksjon fordi hvert réelt tall har akkurat ei réel tredjerot. (d) Et réelt tall x et réelt tall y slik at y 4 = x SV.: Denne er ingen funksjon, fordi ethvert réelt tall annet enn 0 har to réelle fjerderøtter. Vi kan lage en funksjon av det akkurat som vi gjorde med kvadratrøtter: vi velger enten den positive eller den negative réelle fjerderota. 3. Hvor er de følgende funksjonene kontinuerlige? Obs: En funksjon er kontinuerlig i et punkt dersom det er ikke en sprang i grafen i det punktet. For eksempel, f(x) = 1/x er kontinuerlig i hvert x untatt x = 0, fordi grafen har ingen sprang annet enn i x = 0. (a) x 2 + 3x + 1 2 SV.: En polynomfunksjon, så kontinuerlig overalt. (b) 1 x 2 +1 SV.: Kontinuerlig overalt (selv om det har en x i nevneren!) (c) x2 2x+1 x+1 SV.: Kontinuerlig annet enn i x = 1. 4. Lineære funksjoner (a) Arealet A til en sirkel er proporsjonal med kvadraten av sirkelens radius r. Med andre ord, A = k r 2 for et réelt tall k. Hva er proporsjonalitetskonstanten k? 2
SV.: Proporsjonalitetskonstanten k er lik π 3, 141. Formelen er A = πr 2. (b) I tillegg til Celsius og Fahrenheit finnes det en annen måte å måle temperatur: Kelvinskalaen. Forholdet er slik: 273 C = 0K og en temperaturstigning på en kelvin er lik en på 1 C. (Merk at man snakker om en kelvin og ikke om en grad Kelvin, og man skriver for eksempel 24K og ikke 24 K.) Vis at temperaturmålingen i kelvin er er en lineær funksjon av den i Celsius. SV.: En måling på x grader Celsius tilsvarer x + 273 kelvin er. I symboler har vi at x C = (x + 273)K. Slik har vi skrevet x C som (ax + b)k der a = 1 og b = 273. Derfor er (kelvin er) per definisjon en lineær funksjon av (grader Celsius). En annen måte å gjøre det hadde vært å trekke grafen og legge merke til at det er ei rett linje. Obs: Siden oppgaven er av typen Vis at denne er en lineær funksjon, så er det viktig å trekke en konklusjon, altså, å avslutte ved å si noe som Siden funksjonen kann uttrykkes som ax+b der a og b er faste tall, da er det per definisjon en lineær funksjon. (c) En viss fagforening koster 300kr i månaden, og man betaler og så en innmeldingsavgift på 650kr. Vis at (pengene betalt til fagforeningen) er en lineær funksjon av (tiden man har vært medlem). SV.: Etter én måned har en medlem betalt 650kr + 300kr, etter to måneder etter tre måneder 650kr + 300kr + 300kr = 650kr + 2 300kr, 650kr + 300kr + 300kr + 300kr = 650kr + 3 300kr og så videre. Generelt, hvis vi skriver da har man betalt n = antall måneder man har vært medlem 650kr + (n 300kr) etter n måneder. Slik har vi uttrykket (pengene betalt til fagforeningen) som an + b der a = 300 og b = 650, så er det en lineær funksjon. 3
(d) Lag en lineær funksjon som tar verdiene i den følgende tabellen: Argument 1 0 1 2 3 Verdi 2 5 12 19 26 SV.: Siden funksjonen er lineær, vet vi at den kan uttrykkes på formen ax + b der a og b er faste tall. Disse a og b må vi beregne. Vi husker at a-en er stigningsforholdet til funksjonens graf. Derfor kan vi beregne det ved å ta to punkter (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) på grafen og beregne y 2 y 1 x 2 x 1. Vi tar (x 1, y 1 ) = (0, 5) og (x 2, y 2 ) = (1, 12), som gir et noe enklere regnestykk en de fleste slike valg: a = 12 5 1 0 = 7 1 = 7. Nå husker vi og så at f(0) = a 0 + b = b. Derfor er b = 5. For å oppsummere: f(x) = 7x + 5. (e) Menn som trener på gymmen opplyses om maksimum som pulsen skal stige til under trening: det beregnes ved å trekke mans alder fra 220. Vis at maksimumpulsen er en lineær funksjon av alderen. SV.: La oss skrive x for alderen. Da er maksimumpulsen lik 220 x = ( 1) x + 220. Slik har vi skrevet maksimumpulsen som ax + b, der a = 1 og b = 220. Derfor er maksimumpulsen en lineær funksjon av alderen. (f) La f(x) = ax + b være en generell lineær funksjon. For nesten alle 1 verdier av a og b, funksjonen har en invers. Regn ut inversen til en generell lineær funksjon f(x) = ax + b, når det er mulig. For hvilken a og b har f ingen invers? SV.: Hvis a 0 da har f en invers, som er gitt av f 1 (x) = x b a. Hvis a er null da er funksjonen konstant: f(x) = b for enhver x. Derfor kan ikke funksjonen ha en invers. 5. Annengradsfunksjoner 1 Nesten alle betyr alle untatt endelig mange. 4
(a) En parkeringsplass har formen av et rektangel: det er x meter på den korte siden og x + 2 på den lange. Vis at arealet til parkeringsplasset er en annegradfunksjon av x. SV.: Arealet er lik x(x+2)m 2 = (x 2 +2x)m 2, altså (ax 2 +bx+c)m 2 der a = 1, b = 2 og c = 0. Per definisjon er arealet derfor en annengradfunksjon av x. (b) Breiteig Venheim [BV2], side 103, oppgave 9.20, deler a og b. SV.: (a) En parabel som åpner nedover, skjærer y-aksen i 1, 5 har makspunkt i omtrent t = 2 og maksverdi omtrent y = 21. (b) Løs ligningen f(t) = 0. Den positive løsningen er omtrent 4, 2 sekunder. (c) Lag en annengradfunksjon som tar de følgende verdiene: Argument x 2 1 0 1 2 Verdi f(x) 3 0 1 0 3 SV.: Først skal vi lage en annengradfunksjon som forsvinner i x = 1 og x = 1. Dette gjør vi ved å gange sammen (x + 1) og (x 1). Vi får x 2 1. Den funksjonen vi leter etter blir en multipel av dette, ax 2 a. For å finne a-en, bruker vi en annen av de tilgjengelige verdiene. Den letteste å bruke er den i 0, som gir direkt at f(0) = 1 = a, så er a = 1. Funksjonen våre er da f(x) = x 2 1. (d) (Denne er litt mer utfordrende.) La f(x) = x 2 + 4x + 7. Omskriv uttrykket for f(x) i formen (x c) 2 + d der c og d er faste tall. Hvilken forme har grafen, lue eller kopp? Hvor er maksimum- eller minimumpunktet? (Se på Breiteig Venheim [BV2, side 101 102] for hjelp og videre opplysninger.) SV.: For å gjøre dette generelt har vi oppskriften ) ) x 2 + bx + c = (x 2 + bx + b2 + (c b2 4 4 ( = x + 2) b 2 ) + (c b2 4 5
For oss er b = 4 og c = 7, så får vi ( f(x) = x 2 + 4x + 7 = x + 4x + 16 ) ( + 7 16 ) = (x + 2) 2 + 3. 4 4 Siden fortegnet til x 2 -leddet er positiv, så er grafen en kopp (eller et smile :-) ). Minimumpunktet er nådd i x = b/2, altså x = 2. Vi har f( 2) = 5 som minimalverdi. 6. Tredjegradfunksjoner: En betong søyle som skal bære en bom består av en kvadratisk søyle som måles x cm x cm 3x cm, sammen med en kule som sitter på toppen, som har diameter xcm. Regn ut volumen av betong i søylen som funksjon av x, sidelengden på bunnen. SV.: Volumen er summen av volumen til ( den kvadratiske søylen, som er 3x 3 cm 3, plus den til kulen, som er 4π x ) 3 3 2 cm 3. Tilsammen blir det omtrent 3, 52x 3 cm 3. 7. (a) Regn ut asymptotene til grafene til den rasjonale funksjonen f(x) = x + 5 2x 6. SV.: Først, funksjonen er ikke definert i den x-en der 2x 6 = 0, altså x = 3. Ved å velge x nært nok til 3, så kan vi nå til en så stor eller stor negativ verdi av funksjonen som vi vil, så nærmer grafen seg til den loddrette linja x = 3. Derfor er x = 3 en loddrett asymptote. Siden funksjonen er definert i alle punkter unntatt x = 3, så er denne den eneste loddrett asymptote. Til gjengjeld, la oss se på hva som skjer når x blir veldig stor eller stor negativ. Vi har lim x x + 5 2x 6 = lim 1 + 5 x x 2 6 x = 1 2. Tar vi lim-en i den negative retningen, da får vi samme svaret. Derfor er y = 1 en vannrett asymptote. 2 (b) Et team fra HiVe har fått beskjed om en interessant dagsseminar i Oslo. De er omtrent 50 stykker, så har bestemmt seg for å leie en buss med sjåfør for dagen. Prisen er 5000kr, samme hvor mange studenter blir med. Studentene skal spleise kosten. Det kan hende selvfølgelig at ikke alle blir med. Skriv s for antall med studenter som reiser med bussen. 6
i. Vis at transportkosten for hver av disse studentene er en rasjonal funksjon av s. ii. Hva skjer med prisen hver enkel student må betale når s er stor, og når s er liten? SV.: (i) Hvis totalkosten er 5000kr og det er spleist jevnt mellom deltagerne, så kan vi finne kosten for hver enkel student ved å dele 5000kr med antallet deltagerne. Hvis det er s deltagere, så betaler de 5000kr hver. Men 5000 er en (konstant) polynom, og s s er en (lineær) polynom i s. Derfor kan kosten for hver deltager uttrykkes som forhold av to polynomer. Per definisjon er det derfor en rasjonal funksjon av s. (ii) Når s er stor, så deltar mange studenter, så kosten for hver enkel av dem blir liten. (Matematisk sett: deler vi en konstant størrelse med noe stort, da får vi noe liten.) Når s er liten, da har vi færre deltagere, slik at de 5000kr må betales av færre stykker, så de må betale mer hver. (Matematisk sett: deler vi en konstant størrelse med noe liten, da får vi noe stort.) 8. Eksponentialfunksjoner. Enten (a) eller (b). (a) En dag får jeg halsebetegnelse når en bakterie vandrer inn. Jeg vet at slike vesener deler seg i to hvert tiende minutt, slik at antall bakterier fordobler seg hver 10 minutt. Hvis den første bakterien slår seg ned kl. 08:00, hvor mange bakterier finnes i halsen min kl. 12:00? (Vi betrakter helt ideale omstendigheter, der ingen bakterier dør og alle deler seg akkurat så ofte som de skal.) SV.: Kl. 8 til kl. 12 er fire timer, som er 24 ganger 10 minutter. Derfor fordobler antall med bakterier 24 ganger. Siden der var én på begynnelsen, så er det til slutt 2 24 = 16777216. (b) La f(x) = 3 (1, 1487) x. Beregn fordoblingstiden til f(x). Nærmere presist, beregn tallet t slik at f(x + t) = 2f(x). Det holder med å gi det nærmeste heltallet. (Vink: 5 2 1, 1487.) SV.: Vi vil regne ut for hvilken t vi har f(x + t) = 2f(x). Siden 5 2 1, 1487, skal dette være nesten det samme som den t-en som 7
er slik at ( ) 5 x ( ) 5 t ( ) 5 x 3 2 2 = 2 3 2, altså ( 5 2 ) t = 2. Men ( 5 2 ) 5 = 2, så er t = 5. Referanser [BV1] T. Breiteig, R. Venheim: Matematikk for Lærere 1, 4. utgave, Universitetsforlaget, Oslo, 2005. [BV2] T. Breiteig, R. Venheim: Matematikk for Lærere 2, 4. utgave, Universitetsforlaget, Oslo, 2005. Avdeling for Lærerutdanning Høgskolen i Vestfold Grenaderveien 11 3103 Tønsberg Email: Anne-Marit.L.Brun@hive.no, George.H.Hitching@hive.no 8