Forsiden kommer her. 1

Transkript

1 Forsiden kommer her. 1

2 Oppgave 1 Familien JULESEN består av mor, far, storebror Julian og to yngre brødre Julius og Josef. De er rimelig nok interessert i matematikk. (a) En dag leser Julian om Den assosiative lov for multiplikasjon, som kan skrives (a b) c = a (b c). Han leser at dette kan utnyttes ved hoderegning av store tall, som Bruk disse tallene og forklar hvordan det gjør denne hoderegningen enkel ved å bruke den assosiative lov. (b) Julian ble interessert og bestemte seg for å finne en regel som inneholder både multiplikasjon og addisjon. Han fant Den distributive lov, som kan skrives a (b + c) = a b + a c. Velg selv tre (3) tall, og bruk disse for å illustrere den distributive lov. Vis ved regning at den stemmer. (c) Men Josef ville også ha en utfordring, og han gjorde følgende regnestykke: Forklar hvordan Josef kan ha tenkt = = 77. (d) Julian har hatt en jobb etter skoletid for å få penger til julepresanger. Han har tjent 8000kr, og han har handlet julepresanger for 5000kr. Hvor mange prosent av lønna brukte han på julepresanger? (e) Forklar divisjonsregelen som er brukt her: 3 4 : 3 8 = 2. (f) Forklar hvorfor dette stykket er feil: = 5 9. (g) Fibonacci-tallfølgen (Fibonacci var en italiensk matematiker) ser ut som følger: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... 2

3 Hva blir det neste tallet i denne tallfølgen? (h) (I) Tallene i tallfølgen 2, 6, 12, blir kalt rektangeltallene. Bruk figurene og finn det femte rektangeltallet. Rektangeltall 1 Rektangeltall 2 (II) Finn den generelle formelen for det n-te tallet i rektangelrekken. Oppgave 2 Del A Bjørn skal kjøpe langstilkede roser til kona si på bryllupsdagen. Han er en temmelig romantisk kar og vil gjerne overraske sin kjære med levering på jobben. Han ringer blomsterbutikk Alpha, og han finner ut at slike blomster koster 50kr pr. stk., med gratis levering. (i) La x være antall roser kjøpt. Finn en formel f(x) for prisen betalt hos Alpha, som funksjon av x. (ii) Hva slags funksjon er f? (iii) Selv om Bjørn er romantisk, så tenker han også praktisk. Før han bestiller, ringer han derfor til blomsterbutikken Beta for å sammenligne priser. Han finner ut at hos Beta koster roser 40kr pr. stk. I tillegg skal Beta ha 70kr for å levere blomstene. Finn en formel g(x) for prisen betalt for x roser hos Beta. Hva slags funksjon er g? (iv) Hvor mye betaler han for 14 roser hos Beta? (v) Han kan tenke seg å bruke maks. 500kr på blomstene. Hvilken butikk bør han bestille fra? 3

4 Vennligst besvar ENTEN Del B (annengradsfunksjoner) ELLER Del C (rasjonale funksjoner). Du skal IKKE besvare BÅDE B og C. Del B Vi betrakter annengradsfunksjonen h(x) = (2 x)(x + 4) = x 2 2x + 8. (i) Hva kaller vi grafen til h(x)? (ii) Her er en delvis utfylt tabell med verdier til h(x). Fyll ut de tomme feltene. x h(x) 7 (iii) Bruk informasjonen du har funnet i (i) og (ii) til å skissere grafen til h(x). (iv) Finn symmetriaksen til grafen til h(x). Regn ut funksjonens største verdi. Finn skjæringspunktet mellom grafen og y-aksen. (v) Ved å trekke ei vannrett linje på diagrammet ditt, eller på et annet vis, anslå x-verdiene der h(x) = 4. (i) Du har en rasjonal funksjon Del C f(x) = x 3 x + 2. (a) Finn den vertikale asymptoten. (b) Finn den horisontale asymptoten. (c) Fyll ut tabellen og skisser grafen. x f(x) 1, 5 0, 17 0, , 5 2, 25 1, 83 (ii) Finn hvor grafen skjærer x-aksen og y-aksen. (iii) Hvorfor er dette en rasjonal funksjon? 4

5 Oppgave 3 (a) Julian har lyst til å gjøre noe hyggelig for familien sin og inviterer med seg alle på julekonsert. Han kjøper tre (3) barnebilletter og to (2) voksenbilletter. Voksenbilletten koster 75kr mer enn barnebilletten. Han betaler totalt 400kr. Finn prisen for en barnebillett og en voksenbillett. (b) Neste dag er Julian i godt humør, og han tar frem matematikkboken. Han ønsker å løse følgende oppgaver: (I) Regn ut a + 2ab + a 2(a + ab). (II) Finn et tall x slik at 3 2x 4 = 1. (c) Følgende oppgaver har feil svar. Forklar hva eleven har gjort feil, og vis dette ved å regne matematikkstykkene på nytt. (I) (x + 4) 2 = x (II) x+y x 2 y 2 = 1 x+y (III) (4x + 3)(4x 3) = 4x 2 9 (d) Løs likningen 2x 4 = 5 x. Her skal du gjøre rede for hvilke teknikker du bruker, og hvorfor de er gyldige. (e) Løs likningen x 2 + 3x = 2. Oppgave 4 Del A Johannes skal lage en PINkode til det nye bankkortet sitt. Den skal bestå av fire siffer. Alle siffere fra 0 til 9 kan brukes. (i) Hvor mange koder kan han lage hvis det er lov å bruke samme siffer flere ganger? (ii) Hvor mange koder kan han lage hvis det første sifferet ikke skal være null? (Her kan samme siffer brukes flere ganger.) 5

6 (iii) Hvor mange koder er det som ikke inneholder en 5er eller en 6er? (Her kan samme siffer brukes flere ganger.) (iv) Hvor mange koder kan han lage hvis alle sifferne skal være ulike? Del B En klasse med tretti elever skal leke prikkeleken på en fredag ettermiddag. Læreren skal velge tre elever til å være prikkere. Klassen består av 11 gutter og 19 jenter. (i) På hvor mange måter kan tre prikkere velges ut? (ii) Hvor stor er sannsynligheten for at det valgte laget inkluderer akkurat ei jente? (iii) Hvor stor er sannsynligheten for at det valgte laget inkluderer minst ei jente? (iv) Lille Trygve vil gjerne være prikker i dag. Hvor stor er sannsynligheten for at han er blant de utvalgte elevene? (v) De tre prikkerne i dag ble litt slitne, og derfor tenker læreren å velge to lag neste uke istedenfor ett lag, slik at de kan bytte halvveis. På hvor mange måter kan vi lage to treerlag? (Vi tar ikke hensyn til hvilken gruppe som skal være prikkere først.) Del C I et biologilaboratorium gjennomføres en test på fruktfluer, for å sjekke om de har et gen som kan føre til at de oppnår høyere alder. Det er kjent at 15% av alle fluene har dette genet. Det er også kjent at testen viser riktig svar i 96% av tilfellene. (i) En flue som trekkes ut tester positivt for genet. Hvor stor er sannsynligheten for at fluen faktisk har genet? (ii) Hvor stor er sannsynligheten for at en tilfeldig utvalgt flue tester positivt for genet? 6

7 Oppgave 5 Del A Konstruer en trekant ABC, der A = 90 og B = 60, og AB = 4cm. (i) Regn ut BC og AC. (ii) Utvid trekant ABC til en firkant ABCD der CAD = ACD = 45. Hva kaller vi ACD? (iii) Regn ut arealet av firkant ABCD. (iv) Roter ACD 60 om A. Kall de nye punktene for C og D. (v) Tegn AC D. Del B Familien Julesen skal bygge nytt hus. Det ligger ved en elv, og Julian lurer på hvor bred elven er. Julian har funnet noen mål og tegner figur (se vedlegg, del 2). Elvebredden er avstanden AB. Avstanden AC = 33m, CD = 18m og ED = 12m. Kan du, ved å bruke formlike trekanter, hjelpe Julian å finne ut hvor bred elven er? Del C Foreløpig arkitektutkast på huset ser ut som vist på vedlegg, del 3. Vi ser bort fra dører og vinduer. Huset har åpen kjøkkenløsning, og stue pluss kjøkken er området ABDEF G (et område som ikke er skravert). Vi har AB = 10cm, BD = 15cm og ED = EF = F G = CD = 5cm. (i) I den åpne stue-kjøkken delen skal det legges parkett, og de må kjøpe 15% mer enn grunnflaten på grunn av svinn ved kapp. Målestokken er 1 : 100. Hvor mange m 2 parkett må de kjøpe? (ii) I et hjørne på huset er det en terrasse (skravert område). Terrassen inneholder også et basseng. Terrassen er derfor satt sammen av en trekant og del av en halvsirkel. Buen GH utgjør 36 av sirkelen. Høyden i bassenget er 90cm. Vis at når bassenget er 2/3 fullt med vann, så rommer det mellom 2300 liter og 2360 liter vann. (iii) Regn ut arealet av terrassen (skravert). 7

8 (iv) Terrassen er solid, og familien Julesen ønsker å plassere en aluminiumsfigur der, en figur som far har fått av idrettslaget. Figuren er satt sammen av et prisme og en kule, som er festet på toppen av prismet. Prismet har kvadratisk grunnflate med side 50cm og høyde 1, 1m. Diameter i kulen er 40cm. Regn ut massen av denne figuren når tettheten til aluminium er 2, 7kg/dm 3 og vis at terrassen tåler figuren, når du får vite at terrassen tåler en belastning på 1000kg. SLUTT 8