Newons loe i o og e dimensjone 11..15 Oblig : De mangle alledie fo paameene i oppgae k) (fo å skie e pogam). En n esjon ble lag u i gå. Fellesinnleeinge i Deil: De e mulig å definee en guppe. Ski også delig på besaelse hem dela i fellesinnleeing (fo å æe sikke a de bli egise). FYS-MEK 111 11..15 1
FYS-MEK 111 11..15 Skå kas uen lufmosand akseleasjon: g x ) sin( ) ( ) cos( ) ( j g a ˆ hasighe: 1 ) sin( ) ( ) cos( ) ( g x posisjon:
Skå kas med lufmosand F ne F D G D mg ˆj hoisonal og eikal beegelse ikke lenge uahengig: a x d x d D m x x a d d D m x g numeisk løsning D =.49 kg/m D = kg/m iniialbeingelse: h m m/s 35 FYS-MEK 111 11..15 3
hp://pingo.upb.de/ access numbe: 8178 En deoke ske en bedøelsespil på en leskem ape. Nå apen høe skudde slippe han ake i samme øeblikk som pilen folae geæe. Hilke punk bø okeen sike på fo å effe apen? (Vi se bo fa lufmosand.) A. e på apen h B. laee h A C. enda laee h B D. ahengig a pilens iniialhasighe C FYS-MEK 111 11..15 4
Demonsasjon ed Haad Uniesi hp://www.ouube.com/wach?=jgznmf3po FYS-MEK 111 11..15 5
Skå ballkas med lufmosand: ha skje ee ballen effe på gule? Kan i beskie beegelsen idee? eksempel: bodennisball FYS-MEK 111 11..15 6
Skå ballkas med lufmosand: ha skje ee ballen effe på gule? Kan i beskie beegelsen idee? ball som spee fa gule i én dimensjon. Nomalkafen oppså his: ( ) R Ballen defomees i modellee nomalkafen som en fjækaf: N k L ˆj N k R ( ) ˆj R R Nomalkafen ike allid eikal oppoe uanse i hilke ening ballen beege seg. FYS-MEK 111 11..15 7
husk: å modellee nomalkafen som en lineæ fjækaf e bae en ilnæming! kefe som oppså nå ballen (og gule) defomees kan æe me komplise. elle enda me komplise FYS-MEK 111 11..15 8
fi-legeme diagam: konakkefe: lufmosand nomalkaf langekkende kaf: gaiasjon alle kefe ha åsak i omgielsen og ike på sseme (=ball) kafmodelle: lufmosand: F D D fa lufen på ballen, hasighesahengig, mosa beegelsesening nomalkaf: N k R ( ) ˆj R R fa gule på pallen, posisjonsahengig, oppoe (inkele på gule) gaiasjon: G mg ˆj fa joden på ballen konsan, nedoe (mo jodens senum) (Vi se bo fa fiksjon mellom ball og gule.) FYS-MEK 111 11..15 9
lufmosand: F D D nomalkaf: N k R ( ) ˆj R R gaiasjon: G mg ˆj NL: Fne F Fne a m ex F D N G ma FYS-MEK 111 11..15 1
Numeisk løsning: FYS-MEK 111 11..15 11
[m] ikke pefek: ingen dempning i fjækafen ingen fiksjon men ikke så ille... x [m] FYS-MEK 111 11..15 1
Resula (med og uen lufmosand) dempe beegelse i x og ening FYS-MEK 111 11..15 13
alg a idsseg =.1 s =.1 s =.3 s FYS-MEK 111 11..15 14
alg a idsseg Nomalkafen e so og ike i ko idsineall. Beegelse i luf: jen uen soe foandinge; soe foendinge mens i konak med bakken. =.1 s =.1 s =.3 s FYS-MEK 111 11..15 15
FYS-MEK 111 11..15 16 =.3 s =.1 s =.1 s a ) ( ) ( lim ) ( fo små idsseg : a ) ( ) ( ) (
Gaiasjon geneell: F G mm mm ˆ u û enheseko i adial ening Hiil ha i se på objeke på jodens oeflae: M og e konsan. Vi beake en lokal begense del a jodoeflaen. i neglisjee kumning kaesisk koodinassem mm F ˆj mg ˆj g m 9.81 s x His i se på planees bane elle komee, så må i buke den geneelle gaiasjonsloen. FYS-MEK 111 11..15 17
hp://pingo.upb.de/ access numbe: 8178 En kome med masse m beege seg gjennom å solssem og e bae påike a gaiasjonskafen fa solen. Hilke usagn e ikig? A. Komeen beege seg på en sikelbane und solen. B. Komeen bege seg på en ellipisk bane med solen i e bennpunk. C. Gaiasjonskafen abøe banen nå komeen e næ solen, men fo uendelig lang id bli asand mellom komeen og solen uendelig so. D. Komeen beege seg enen på en lukke bane elle folae solsseme ahengig a massen il komeen. E. Komeen beege seg enen på en lukke bane elle folae solsseme ahengig a sin hasighe. FYS-MEK 111 11..15 18
Eksempel Idenifise: Hilke objek beege seg? En kome med masse m beege seg gjennom solsseme. ssem: kome omgielse: solen, planeene, ande sjene (i kan neglisjee planeene og ande sjene hofo?) Hodan måle i? Define e koodinassem. Finn iniialbeingelsene. () iniialbeingelse: () () koodinassem: i elge oigo i solens senum ekoe og definee en plan flae komeen beege seg i denne flaen pobleme e odimensjonal i elge x og aksen slik a iˆ ˆj x FYS-MEK 111 11..15 19
Modelle: fi-legeme diagam: Finn kefene som påike objeke. () Beski kefene med en modell. Buk Newons ande lo fo å finne akseleasjonen. Komeen e ikke i konak med noe, den enese kafen e gaiasjon. F G x Gaiasjonen ike fa solen (omgielse) på komeen (sseme). Kafen e ee mo solen, som befinne seg i oigo. mm mm ˆ u NL: mm Fne FG M a 3 akseleasjon uahengig a komeenes masse ma 3 solmasse: M 1.991 kg 3 11 m gaiasjonskonsan: 6.6731 kg s Masse il planeene e me minde enn solmassen, men kaf kan æe so desom komeen passee i næhe a en plane. Ande sjene e lang boe, slik a dees gaiasjon e neglisjeba. FYS-MEK 111 11..15
i løse numeisk: a d d M 3 Løs: Løs beegelsesligningen. d d a,, d d med iniialbeingelse (analisk elle numeisk). Finn hasighe og posisjon. FYS-MEK 111 11..15 1
Analse: E esulaene fo () og () fonufig? Buk esulaene fo a sae på spøsmåle. x x iˆ 1.51 ˆj 11 m = 1. 1 4 m/s = 3. 1 4 m/s = 4.5 1 4 m/s Inepee esulaene. fo små hasighee: komeen beege seg på en ellipisk bane med solen i e bennpunk fo en spesifikk mellomso hasighe: komeen beege seg på en sikelbane und solen fo soe hasighee: komeen bli abøe men folae solsseme ikig å elge små idsseg: T = 1.5 a = 1 s FYS-MEK 111 11..15
Effek a fo so idsseg = 1 s = 1 s = s x x iˆ 1.51 ˆj 31 3 11 m m/s FYS-MEK 111 11..15 3
hp://pingo.upb.de/ access numbe: 8178 En asonau e på omanding uenfo omfaøe si. Hilke usagn e ikig? A. Neokafen på asonauen e null; han e ekløs. B. Gaiasjonskaf fa joden gi ham akseleasjon mo jodens senum. C. Senifugalkafen kompensee gaiasjon; han føle seg ekløs. D. His lilinen ke e han foap og han die bo i de uendelige. FYS-MEK 111 11..15 4
å falle und joden unnslippningshasighe på samme moe som eple som falle fa ee. Saellie, månen, asonaue,... falle und joden påike a gaiasjonskafen enese foskjell: angensialhasighe FYS-MEK 111 11..15 5
Senalkaf gaiasjon: F G mm mm kaf fa masse M på masse m ee mo senum a masse M negai egn kaf fa m på M posii egn ˆ u M x z F G m Coulombkaf: F C k q1q ˆ u z F C -q z F C +q senalkaf: ee mo (elle fa) en fas punk +Q +Q både gaiasjon og Coulomb kaf e senalkefe som skalee med. F C ˆ u x ilekkende kaf his q 1 og q ha foskjellig foegn x fasøende kaf his q 1 og q ha de samme foegn C C FYS-MEK 111 11..15 6
Tilekkende senalkaf iniialbeingelse: 4 iˆ.5 ˆj.5 ˆj.6 ˆj 1. ˆj små iniialhasighe lukke ellipisk bane so iniialhasighe objek fjene seg mo uendelig FYS-MEK 111 11..15 7
C < : ilekkende kaf C > : fasøende FYS-MEK 111 11..15 8
Fasøende senalkaf Eksempel: Ruhefod spedning spedning a paikle mo gull aome små, ung kjene i e so, om aom FYS-MEK 111 11..15 9