R - V0 R - Eksamen 04.06.0 - Løsningsskisser Del - Uten hjelpemidler Oppgave a) ) Kjerneregel: fx 3 sin u, u x f x 3 cosu 6 cosu 6 cosx ) 3) Produktregel: g x x sin x x cosx x sin x x cosx Kjerneregel: kx 5 cosu 7, u x k x 5 sin u 5 sin x b) Delvis integrasjon: xe x dx x ex ex dx x ex x ex 4 ex C 4 ex x C ex C c) Variabelskifte: u x 4 du x dx du dx x x dx u du x u du ln u C ln x 4 C x x 4 7 3 x dx x 4 3 7 ln x 4 ln 7 4 ln 3 4 ln 45 ln 5 ln5 9 ln 5 ln 5 ln 9 ln 5 ln 9 ln 3 ln 3 d) Kan separere eller bruke integrerende faktor, separerer: y 3 y y 3y, y 3 y 3y dx dx 3y dy dx ln 3 y x C ln 3 y x C 3 y C 3 e x y Ce x 3 (Generell løsning. Inkluderer y 3.) Initialbetingelse: 8 Ce 0 3 C 8 3 9 H-P Ulven av 7 R_V_ls.tex
R - V0 y 9 ex 3 (Spesiell løsning.) e) ) Geometrisk rekke med kvotient k e x e x x 0 e x 0 e x k er oppfyllt og rekken konvergerer. ) S a k e x f) ex e x a) a b 3,, 6, 4, 8 4 4 8 b) a b e x e y e z 3 6 4 0, 6, 8 5, 3, 9 c) a b a a a b a 3 8 4 Oppgave 3 a) Produktregel: f x e x xe x xe x Produktregel: f x e x xe x e x xe x xe x b) f x 0 xe x 0 x 0 x BP, f,e, e f x 0 xe x 0 x 0 x VP, f,e, e c) n : f x x e x OK, se a) n n : Må vise at f n x n e x hvis vi forutsetter at f n x ne x : f n x f n x x ne x e x x ne x (produktregel) e x xe x ne x x n e x OK Del - Uten hjelpemidler Oppgave 4 ft 9 4 cos t [timer], t 0 [dager] 80 H-P Ulven av 7 R_V_ls.tex
R - V0 (I praktiske oppgaver burde antall gjeldende siffer vært angitt, eksempelvis: ft 9. 0 4. 00 cos 80 t ) a) 5 mars: t 30 5 85 f85 9 4 cos 85 8. 7 8 : 4 80 ): Det mørkner ca. kl. 8:40 b) Likevektslinje: L 9 Amplitude: A 4 Periode: T (Faseforskyving: 80 ) 80 T 360 (30) Gjennomsnittlig tidspunkt tilsvarer L; kl. 9:00 c) 9. 0 4. 00 cos 80 80 t. 3 k 80 t 80.3 t 8 cos t 80 4 t. 3 k k360 t.380 t 75. 6 k360 t 84 k360 ): ca. 6. mars og 4. oktober k360 d) Lengst dagslys tilsvarer senest tidspunkt: f max 9 4 3 når 80 t k t 80 k360 80 k360 ): ca. 30. juni Oppgave 5 a) tanu v sinuv tan utan v tan u tan v cosuv sin u cos vcos u sin v cos u cos vsin u sin v sinu cos vcos u sinv cos u cos v cos u cos vsinu sinv cos u cos v b) Trekantene gir: tan v x og tan u 4 x, som gir: fx tan tanu v tan utan v tan u tan v 4 x x 4 x x 3x x 4 H-P Ulven 3 av 7 R_V_ls.tex
R - V0 c) Brøkregel: f x 3x 43xx x 4 3x x 4 Maksimum: f x 0 3x x 4 0 3x 0 34 x 0 3 x x 0 x (forkastes) x Største verdi: f 3 3 4 4 når: x [m] d) Største synsvinkel: tan 3 4 ): ca. 36. 9 (Det går an å løse dette geometrisk ved hjelp av R-pensumet: Hvis punktet A beveges rundt i rommet på en sirkel som går gjennom A og B, vil være konstant (periferivinkel) hvis sirkelens radius holdes konstant. (Sirkel, A, B, C og D i samme plan.) Hvis A kommer innenfor sirkelen blir mindre, hvis A kommer utenfor sirkelen blir større. For en gitt sirkel er altså maksimum når sirkelen tangerer AB i A: Da er ED. 5 og DS AS BE. 5 Vinkelen er da gitt av: sin ED.5 3 36. 9 DS.5 5 Rettvinklet trekant med sider 3,4 og 5 viser at da er også tan 3 slik som i oppgavens utregning. ) 4 Oppgave 6 Motstand (vann og luft) proporsjonalt med kvadratet av farten og motsatt rettet: y ky, k 0 a) Initialbetingelser: y0 5, y 0 Disse gir innsatt i differensialligningen: k5 k 5 0. 09 [/m] Separabel: y y k, y 0 H-P Ulven 4 av 7 R_V_ls.tex
R - V0 y dx kdx y y dy kdx y y C kx y Ckx kx C OBS: Vi forutsatte at y 0, og innsetting i differensialligningen viser at y 0 også er en løsning. ): Generell løsning: y Ckx y 0 Initialbetingelse: y0 5 fører til at y 0 ikke kan brukes, så vi får: y C0.0x hvis vi runder av k 0. 09 til ett gjeldende siffer (?!?) slik oppgaven har gjort... At oppgaven kaller dette en "generell" løsning er feil, da vi har brukt initialbetingelsene til å eliminere y 0, så dette er en spesiell løsning! b) Initialbetingelsen y0 5 gir: 5 C0 C 5 0. 04 c) Eksakt differensialligning: s y Løses med integrasjon: s ydx dx 50 dx 50 ln x D 0.0x0.04 x ): s 50 lnx D [m], x 0 [s] (Generell løsning.) Her har vi initialbetingelsen at s0 0: 0 50 ln D D 50 ln ): s 50 lnx 50 ln 50 ln x (Spesiell løsning.) I løpet av tre sekunder: s3 50 ln 3 46 [m] (Oppgaven legger opp til ett (?!?) gjeldende siffer, så kanskje jeg burde svare 50 m...) Oppgave 7 a) Hver rute har areal: 5 5 5 Antall ruter: 3 4 5 Arealantallruterareal en rute: 3 4 5 5 5 5 3 5 b) Hver rute har areal: n n n Antall ruter: 3...n Arealantall ruterareal en rute: S n 3...n n n n 3 n...n n Aritmetisk sum: a a n n gir: 3...n n n ): S n n n n nn n n n H-P Ulven 5 av 7 R_V_ls.tex
R - V0 c) S 5 5 5 6 0 3 5 som selvfølgelig er det samme som i a) d) lim n S n lim n n n lim n n Når n blir stor, vil det bli mange, små trinn fra A til C. Det store antallet små trinn vil derfor bli mer og mer lik en rett linje fra A til C, så arealet vil gå mot arealet av trekanten ABC, som er: ABAC som stemmer med hva vi regnet ut. Oppgave 8 a) I planet : AB, 0,4, AC,, 0 Normalvektor til planet : e x e y e z AB AC 0 4 0 Velger: n,, 4,4,,, Med Px, y, z i planet : x y z4 0 AP n 0 x, y, z4,, 0 (Ligning for plan.) Plan har normalvektor n,, n ; n n b) Velger et punkt i : Q 0, 0, (Velger x y 0) AQ 0, 0,6 Projeksjonen av AQ på normalvektoren er avstanden mellom planene: d AQn n 0,0,6,, 6 3 (Kunne også regnet ut avstandene til Origo: d 3 d 4 4 3 4 3 Fortegnene på tellerne viser at planen ligger på hver sin side av Origo, så d d d 3 4 3 ) c) l har punktet P 5,, 4 og retningsvektor n n n x, y, z 5,, 4 t,, x 5 t l : y t z 4 t H-P Ulven 6 av 7 R_V_ls.tex
R - V0 d) Skjæring mellom l og: 5 t t 4 t 0 9t 8 0 t ): D 5,, 4, 3, Enhetsvektor langs l: e n n,, 3 OE ODd e, 3,,, 7, 5, 8 3 3 3 3 E 7 3, 5 3, 8 3 e) OS OD d e, 3,,, 5, 7, 7 3 3 3 3 S 5, 7, 7 3 3 3 Radius: r Kuleflateligning: x 5 3 y 7 3 z 7 3 (Ingen grunn til å multiplisere ut til: x 0 3 y 4 3 z 4 38 z 3 3 0 ) H-P Ulven 7 av 7 R_V_ls.tex