MAT0 - Prøveeksamen 9 mai - Løsningsforslag Oppgave Sett A = 4 4 0 x 0, x = x, b =, x 0 og la v, v, v betegne kolonnevektorene til A a) Skriv A x = y som en vektorlikning x Svar : Siden A x = [v v v ] x = x v + x v + x v kan vi skrive x A x = b som vektorlikningen x v + x v + x v = b Begrunn at systemet er konsistent og angi b som en lineær kombinasjon av v, v, v Svar: Siden den reduserte trappeformen til den utvidede matrisen til systemet A x = b er oppgitt til å være 0 0 0 0 0 0 4 ser vi at systemet har (en entydig) løsning, nemlig x =, x =, x = 4 Dermed er systemet konsistent og b = v + v + 4 v b) Begrunn at {v, v, v } er lineært uavhengig og at A er inverterbar Svar : At {v, v, v } er lineært uavhengig betyr det samme som at systemet A x = 0 bare har den trivielle løsningen Fra den oppgitte red trappeformen ser vi at den reduserte trapperformen til matrisen [A 0] er [I 0] Det gir at A x = 0 bare har den trivielle løsningen, og dermed at {v, v, v } er lineært uavhengig Fra IMT kan vi da konkludere med at A er inverterbar Alternativt: Utregning gir at det A = 4 0, så A er inverterbar Fra IMT kan vi da konkludere med at {v, v, v } er lineært uavhengig
c) Finn en basis for Nul(A I) Svar : Vi har at så [A I 0] = 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s t Nul(A I) = { s s, t R} = {s + t 0 s, t R}, t 0 dvs at Nul(A I) = Span{, 0 } 0 Siden og 0 opplagt ikke er multiple av hverandre er disse 0 vektorene lineært uavhengige (noe vi vet vil skje automatisk her) Dermed danner disse to vektorene en basis for Nul(A I) d) Begrunn at A er diagonaliserbar og angi en inverterbar matrise P som er slik at P AP blir diagonal Svar : Det vi har funnet i punkt c) betyr at er en egenverdi til A og at {, 0 } er en basis for det tilhørende egenrommet E 0 Utregning gir at det karakteristiske polynomet til A er p(λ) = (λ )(λ ) Dermed er den andre egenverdien til A Utregning gir at E = Nul(A I) = = Span{(,, )} Matrisen P = 0 er da inverterbar (dette kan vi sjekke ved å regne 0
ut at det P = = 0), og består av egenvektorer for A Dermed vil 0 0 P AP = 0 0, 0 0 dvs at A er diagonaliserbar og P diagonaliserer A e) Finn den generelle løsningen av ordens difflikningsystemet x = A x + c der c = (0,, 0) Svar : I d) har vi funnet P og D som diagonaliserer A Det gir at den generelle løsningen til det homogene systemet y = A y er gitt ved y(t) = C e t + C e t 0 + C e t 0 der C, C, C R Vi har sett at A er inverterbar Likevektspunktet x l = A (c) til systemet er den entydige løsningen av likningen Ax + c = 0, dvs Ax = b der b = (0,, 0) Fra a) får vi at x l = (,, 4) (Merk at det er altså unødvendig å regne ut A for å regne ut x l = A (c) ved hjelp av det) Dermed er den generelle løsningen av x = A x + c gitt ved x(t) = y(t) + x l = C e t + C e t 0 + C e t + 0 4 der C, C, C R Oppgave Et vektorfelt i xy-planet er gitt ved F(x, y) = (5x y, x + y), (x, y) R a) Begrunn at F er konservativt og finn potensialfunksjonen φ for F som er slik at φ(, ) =
Svar : Vi har at curl F = ( ) = 0, så F er konservativt Vi vet da at det fins en potensialfunksjon φ slik at φ = F, dvs slik at φ φ (x, y) = 5x y, (x, y) = x + y x y Første likning gir φ(x, y) = 5 x xy + C(y) Da må φ y (x, y) = x + C (y) Andre likning gir da C (y) = y, dvs C(y) = y + D for en konstant D Tilsammen gir dette at en potensialfunksjon for F er φ(x, y) = 5 x xy + y + D, der D er en konstant Betingelsen φ(, ) = gir 0 8 + 4 + D =, dvs D = 0 Altså er φ(x, y) = 5 x xy + y den ønskede potensialfunksjonen b) Sjekk at punktene (, ) og (, ) ligger på samme nivåkurve for φ Svar: Vi har at φ(, ) = 0 8 + 4 = så (, ) og (, ) ligger begge på nivåkurven φ(x, y) = La så C være kurven som går i rett linje fra (, ) til (, ) Beregn linjeintegralet til F langs C Svar : Siden F = φ har vi at F T C dt = φ(, ) φ(, ) = = 0 C c) La Ω betegne området i xy-planet som begrenses av trekanten med hjørner i (, ), (, ) og (, ) Beskriv Ω som et område av type I og beregn φ(x, y) dxdy Ω Svar : Ω = {(x, y) R x y, x } φ(x, y) dxdy = Ω = x (5 x xy+y ) (5 dy dx = x y xy + y ) y= y=x dx ( 5x 4x + 8 5 x + x x ) 5 dx = = + 8 4 = 4
Oppgave En reell matrise A har en kompleks egenvektor z = tilhører egenverdien λ = ( + 4i) Begrunn først at A n x 0 når n dersom x = [ ] i som + i [ ] eller x = [ ] Begrunn deretter at dette holder for alle x R [ ] + i Svar : Vi har da at z = er en kompleks egenvektor til A som i tilhører egenverdien λ = ( 4i) [ ] Anta at x = Da er x = z + z Dermed er A n x = A n ( z + z) = An z + An z = λn z + λ n z Nå er λ = + 4i = 5 < Dermed vil λn = λ n 0 når n Det gir at λ n 0 når n Siden λ = λ < får vi tilsvarende at λ n 0 når n Dette gir at Anta så at x = A n x = λn z + λ n z 0 når n [ ] Da er x = z z i i En tilsvarende argumentasjon gir at A n x 0 når n [ ] [ ] La nå x R Det er klart at og gir en basis for R, så det finnes c, c R slik at Dette gir at ( [ ] A n x = A n c når n + c [ x = c [ ] [ ] + c ] ) [ ] = c A n [ ] + c A n c 0 + c 0 = 0 5
Ekstraoppgave : Finn matrisen A i Oppgave Svar: Sett P = [ z z ] = [ ] i + i + i i Kolonnene til P består da av to komplekse egenvektorer for A tilhørende de to forskjellige egenverdiene til A Så P vil diagonalisere A, dvs ( A = P [ ] + 4i 0 ) P 0 4i Nå er det(p ) = ( i)( i) ( + i)( + i) = 4 i, så Dermed er P = 4i A = [ ] i ( + i) = ( + i) i 4 [ ] [ ] i + i + 4i 0 + i i 0 4i 4 = = 84 [ ] 50 40 = 80 4 4 [ ] + i i i + i [ + i ] i i + i [ ] 5 0 40 7