Ma0 - Aalyse II Øvig 5 Øistei Søvik.0.0 Oppgaver 9. Determie whether the give sequece is (a) bouded (above or below), (b) positive or egative (ultimately), (c) icreasig, decreasig, or alteratig, ad (d) coverget, diverget, diverget to or. { } + Dee følge er begreset ovefra lim + lim ± + 0 0. Videre så + 0 er de sykede, og stregt positiv. De største verdie følge ka ha er år og de miste er 0 år x.. { ( )} si Dee følge er begreset ( ) ovefra og edefra, de er positiv, og sykede. Følge går mot ull. Side lim si si(0) 0 side x x 0 år x De største verdie følge ka ha er si() 0, 8. { ( π cos )} Dee følge her er altererede, og stigede. At følge er diverget ka vi for eksempel se ved at cos(xπ/) oskillerer mellom og mes er stregt voksede. Slik at miste verdi er 0 og de er ikke øvre budet. Evaluate, wherever possible, the limit of the sequece {a }.. a Her ka vi gjøre e lite omskrivig + + Nå ser vi raskt at lim a + + + + 0 + 7. a (!) ()! Er flere måter å vise at a 0 år. De frekke metode er å legge merke til at ( ) ()! ()! (! ( )! (!)
Dette fører til at grese blir a lim (!) ()! ) lim /( 0 Her tregs det e lite forklarig. De siste biomialkoeffisiete er det samme som å ha e kurv med baller og velge halvparte. Om vi har uedelig atall baller, og velger ut halvparte av disse ka dette bli gjort på øyaktig uedelig atall måter Alterativt ka vi se at (!) ()! 5... Vi ser at hvert ledd er midre eller lik /. Slik at de er begreset ovefra av /. Videre så er a + a (( + / )!) (!) (( + ))! ()! ()!( + ) (!) (!) ( + )( + ) ()! ()!(( + )!) (!) (( + ))! ()!(( + )!) (!) ( + )( + )()! ( + ) ( + )( + ) Vi ser at fuksjoe er begreset edefra av / + side lim + forskjelle mellom to påfølgede ledd alltid er større e /. Nå vet vi at < (!) ()! < + +. Altså at Skviseteoremet gir at grese må være ull. Da alt er kotiuerlig. Her tregs det vel kaskje ikke å brukes e så sterk skvisig. Vi ka sløyfe edre grese, og bare hevde at fakultet alltid er større e ull, slik at vi får 0 < (!) ()! <. 6. Which of the followig statemets are TRUE ad which are FALSE? Justify your aswers. (a) If lim a ad lim b L > 0, the lim a b Uedelig gaget uedelig, må ødvedigvis bli uedelig. Sat (b) If lim a ad lim b, the lim (a + b ) 0 Bare dersom a og b går like raskt mot pluss uedelig og mius uedelig, ellers er grese udefiert. Usat (c) If lim a ad lim b, the lim (a + b ) Vi skiller ikke mellom ulike uedeligheter i dette faget. Legger du mer uedelig til uedelig får du uedelig. Sat (d) If either {a } or {b } coverges, the {a b } does ot coverge. Usikker, tror ikk dette stemmer. Har dog ige god bregruelse. Me jeg tror at dersom vi ser på for eksempel a / og b / så divergerer begge disse, me produktet kovergerer. Usat
(e) If { a } coverges, the {a } coverges. Dette er åpebart sat. Side a a Altså at a alltid er midre eller lik a side a uttelukkede består av positive ledd, og a ka bestå av positive og egative ledd. Så om de første kovergerer så må de adre kovergere. Determie whether the give sequece is (a) bouded (above or below), (b) positive or egative (ultimately), (c) icreasig, decreasig, or alteratig, ad (d) coverget, diverget, diverget to or { + ( ) } Dee er ikke mootot sykedede eller voksede. og pedler frem og tilbake mellom og -. Grese er ikke defiert, da vokser mot uedelig. Nedre grese er 0. Oppgaver 9. Fid the sum of the give series, or show that the series diverges. (Possibly to ifiity or egative ifiity). + 9 + 7 + Vi ser at /+ /. Slik at forholdet mellom to ledd er kostat. Dette er altså e geometrisk rekke, og summe er gitt som a 0 k / /.. + 6 + 6 +... ( ) Kostater ka trekkes utefor, og vi har at ( summe blir ( ) ( ) ( a0 k 0. 0 + + Vi ka dele opp summe i to deler, som vist + + (+) + 9 ( ) Her har vi summe av to geometriske rekker. Side (+)/ (+) / og S S + S /9 / + 9 ) / ( ) /. Dette gir oss at ) ( /) 5 + 5 ( ) + / ( ) / / / 6 + 9 7 8. 0 ( )( + ) + 5 + 5 7
Yaw. Eda e av disse teleskoperede rekkee. ( )( + ) ( + ) ( ) ( )( + ) + Vi ka sette tallet utefor summe, side dette er e kostat. Skriver vi opp de første leddee ser vi at ( S ) ( + ) ( + 5 5 ) +... + 7 + Her ser vi at alle leddee forsvier utatt siste og første ledd. Slik at summe av de -første leddede blir S + Som fører til at S 0 ( )( + ) lim +. Whe dropped, a elastic ball bouced back up to a height three-quarters of that from which it fell. if the ball is dropped from a height of m, ad allowed to bouce up ad dow idefiitely what is the total distace it travels before comig to rest? Er vel ulike måter å se dette problemet på. Selvfølgelig har vi med e uedelig geometrisk rekke her. Utifra tegig får vi at legde blir etter de første hoppee S + + ( ) ( ) ( ) + + + + ( ) ( ) + + + + Dette er e geometrisk rekke hvor r / slik at de totale legde balle hopper blir / S + + /. If a bak accout pays 0% simple iterest ito a accout oce a year, what is the balace i the accout at the ed of 8 years, if $000 is deposited ito the accout at the begiig of each of the eight years? Etter litt tekig kom jeg frem til at pegee ha setter i første året, får 8 gager rete. Pegee ha setter i året etter får 7 gager rete osv. Da ka vi skrive at pegee ha har er (.) tilsvarer 0/ S 000(.) 8 + 000(.) 7 +... + 000(.) 000(.) (.) 7 + (.) 6 +... + 000(.) 579.769$ (. 8 ) (.) Slik at pegee på kotoe har steget til 579 dollar etter 8 år. 579769 00000
Oppgaver.. 5 Solve the equatio x x.. a where a > 0. The expoet tower goes o forever. Dee var litt vaskelig... Litt av problemet er om stege jeg utfører er rigorøse ok, oe jeg tviler på. Det å behadle greser som tall virker veldig sketchy, det samme om å ta logaritmer av tig. Dersom potesrekke ikke kovergerer og vi styrer på med logaritmer byr dette også på problemer. Side logaritme i det komplekse er e multivariabel fuksjo. Så bare for å oppsumere: Dee oppgave er lagt over mitt ivå... Vi ser åpebart at poteståret kovergerer år a da er x åpebart. Videre ved å teste oe verdier i matlab så virker det som poteståret kovergerer år a < hvor mye midre er vaskelig å si. Her er kode f u c t i o T e t r a t i o ( a, d ) c l c c a ˆ a ; f p r i t f ( x 0 %f \ x %f \, a, c ) f o r i :( d ) c a ˆ c ; f p r i t f ( x %d %f \, i +, c ) ed ed Jeg begyer med mie skite algebraiske kep, for å se om jeg kommer frem til oe mer.. a x x.. a x a log a (a) a log a (x) log a (x) /a x a /a Her ser vi for eksempel at dersom a så er x dette stemmer godt over es med resultatee fra Matlab. Vi øsker å fie domeet til høyre side, eller alle mulige a-verdier. Vi vet at poteståret må være e til e, vi ka ikke ha flere a verdier til samme x-verdi, slik at a ( /a) må være e til e. Ved derivasjo ser vi at a ( /a) er mootot stigede frem til e som er toppuktet. Dermed er det slik at a aldri ka være større e e. Og dette var så lagt jeg kom ute hjelp... Jeg atok videre at miste grese vi kue oppå 0. Dog viste dette seg å være feil. Numeriske kalkulasjoer viser at poteståret altererer år a blir svært lite og Fasitesom står på wikipedia sier at poteståret kovergerer år x /(e e ), e /e og da ka de oppå a-verdiee a /e, e. Så ja, øvre grese er riktig. Mes edre er feil. Dog aer jeg ikke hvorda jeg skal fie edre grese ) Skrev litt mer i matlab og fat e umerisk verdi både for øvre og edre grese, me dette holder jo ikke. 5