Kap. 7 Innledning Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på Symmetriske matriser. Disse matrisene har uvanlig pene egenskaper mht. diagonalisering. Kvadratiske former på R n. Disse henger nøye sammen med symmetriske matriser. Betydningen av egenverdiene til en symmetrisk matrise i forbindelse med optimeringsproblemer under bibetingelser. Singulærverdi dekomposisjonen til en matrise. Den er nyttig i mange anvendelser. / 6
7. Symmetriske matriser Det er enkelt å avgjøre om en kvadratisk matrise er symmetrisk. Samtidig skal vi se at alle slike matriser er diagonaliserbare, og har spesielle spektrale egenskaper. Singulærverdi dekomposisjonen til en (rektangulær) matrise A, som vi skal studere i avsn. 7.4, henger nøye sammen med diagonaliseringen av den symmetriske matrisen A T A. For komplekse matriser er det analoge til symmetrisk det som kalles selv-adjungerte (eller Hermitiske ) matriser. Disse spiller en fremtrende rolle i fysikk (spesielt i kvantemekanikk). 2 / 6
Definisjon. En n n (reell) matrise A kalles symmetrisk dersom A T = A. Hvis A = [a i,j, så er A symmetrisk hvis og bare hvis a i,j = a j,i for alle i, j. Eksempel. La A = Eksempel. La B = [ 7 2 2 4 [ 7 3 2 4 [ a b Eksempel. La A = c d. Da er A symmetrisk... Da er B ikke symmetrisk. Da er A symmetrisk hvis og bare hvis b = c. 3 / 6
Eksempel. Matrisen A = a b c b d e c e f er symmetrisk. Eksempel. Diagonale matriser er symmetriske. Eksempel. La A M n (R). Da er B = A + A T symmetrisk. Eksempel. La A M m n (R). Da er C = A T A symmetrisk. 4 / 6
Hva er spesielt med symmetriske matriser? Eksempel. Betrakt den symmetriske matrisen A = [ 7 2 2 4 Utregning gir at egenverdiene til A er 3 og 8, og at egenrommene til A er gitt ved [ 4 2 { [ E3 A = Nul(A 3 I ) = Nul } = Span, 2 2 [ 2 { [ E8 A = Nul(A 8 I ) = Nul 2 } = Span. 2 4 Legg merke til at egenrommene til A er ortogonale på hverandre:. 5 / 6
Sett nemlig v = (, 2), v 2 = (2, ), som utspenner hvert sitt egenrom. Da er v v 2 = 2 2 = 0, så disse er ortogonale på hverandre. Ved å normalisere v og v 2 får vi vektorene u = [, u 5 2 2 = [ 2 5, som danner en ortonormal basis for R 2 med egenvektorer for A. Matrisen P = [u u 2 er dermed ortogonal (P = P T ), og slik at A = P [ 3 0 0 8 P = P [ 3 0 0 8 P T Vi skal se at dette er typisk for symmetriske matriser. 6 / 6
En viktig egenskap til en symmetrisk matrise er at dens egenrom er ortogonale på hverandre: Teorem. La A være en symmetrisk matrise, og la u, u 2 være egenvektorer for A som tilhører to forskjellige egenverdier. Da er u ortogonal på u 2. En annen viktig egenskap er: En symmetrisk matrise har bare reelle egenverdier. 7 / 6
Definisjon. A M n (R) kalles ortogonalt diagonaliserbar dersom det fins en n n ortogonal matrise P (så P = P T ) og en n n diagonal matrise D slik at A = P D P T = P D P Merk at da er A diagonaliserbar i vanlig forstand. Videre er A T = (P D P T ) T = (P T ) T D T P T = P D P T = A. En ortogonalt diagonaliserbar matrise er altså symmetrisk. Den omvendte påstanden er også riktig (jf. neste forelesning). Oppsummert: Teorem 2. La A være en kvadratisk matrise. Da er A ortogonalt diagonaliserbar hvis og bare hvis A er symmetrisk. 8 / 6
Ortogonal diagonalisering i praksis (når vi regner for hånd!) La A være en symmetrisk n n matrise. Vi skal konstruere P = [u... u n ortogonal og D = diag(λ,..., λ n ) slik at A = P D P T = P D P. Her må λ,..., λ n R være egenverdiene til A og P s kolonner må danne en ortonormal basis for R n bestående av de tilhørende egenvektorene. Vi kan gå frem slik: Bestem egenverdiene til A. For hver av egenverdiene: bestem en basis for det tilh. egenrommet og utfør Gram-Schmidt prosessen med normalisering. Dann mengden B som består av alle de ortonormale basisene konstruert ovenfor. Matrisen P med vektorene fra B som sine kolonner gjør da jobben. Matrisen D er diagonalmatrisen med de tilhørende egenverdiene til A i tilsvarende rekkefølge. 9 / 6
Eksempel. La A = Vi finner da at: 2 2 2 2 2 2. Det(A λi ) =... = (λ 3) 2 (λ + 3). E A 3 Så egenverdiene til A er ±3. = Nul(A 3I ) =... = Span { { Gram-Schmidt prosessen gir da at 2 er en o. n. b. for E A 3. 0, 0 0, }. 6 2 } 0 / 6
E A ( 3) = Nul(A ( 3)I ) =... = Span { { Så 3 { Dermed er B = 2 } er en o. n. b. for E A ( 3). 0, 6 2 en o. n. b. for R 3 av egenvektorer for A. P = 2 6 2 0 6 3 3 6 3 2, 3 }. er da ortogonal, og slik at A = P diag(3, 3, 3) P T. } / 6
Mengden av alle egenverdiene til en kvadratisk matrise A kalles ofte spektret til A. Neste teorem oppsummerer de spektrale egenskapene til symmetriske matriser. Teorem 3 Spektralteoremet for symmetriske matriser. La A være en n n symmetrisk matrise. Da gjelder følgende: a) A har n reelle egenverdier når vi teller med multiplisiteten. b) Dimensjonen til hvert av egenrommene til A er lik multiplisiteten til den tilhørende egenverdien, c) Egenrommene står ortogonalt på hverandre. d) A er ortogonalt diagonaliserbar. 2 / 6
Spektral dekomposisjonen til en symmetrisk matrise. Betrakt en n n symmetrisk matrise A. Velg P = [u... u n ortogonal og D = diag(λ,..., λ n ) slik at A = P D P T. Da er λ 0 0 0 λ 2 0 0 u T A = [u u 2... u n.. 0...... u T........ 2. 0 u T n 0 0 0 λ n u T u T = [λ u λ 2 u 2... λ n u n 2. u T n = λ u u T + λ 2 u 2 u T 2 + + λ n u n u T n (bruker kolonne-rad formelen for matriseproduktet i siste likhet). 3 / 6
Dette kan skrives som A = λ P + λ 2 P 2 + + λ n P n der P j = u j u T j, j =,... n. Dette kalles kalles en spektral dekomposisjon av A. Sett W j = Span {u j }. Ved Teorem 0 i Kap. 6 er Proj Wj (x) = u j u T j x for alle x R n. Matrisen P j = u j u T j er altså standardmatrisen til Proj Wj. Hver P j har rang siden Col P j = W j er -dimensjonalt, og tilfredstiller at P 2 j = P j = P T j. 4 / 6
[ 7 2 Eksempel. La A = 2 4. Vi har sett tidligere at A = P D P T der [ / 5 2/ 5 P = 2/ 5 /, D = 5 En spektral dekomposisjon av A er derfor A = 3 [ / 5 2/ 5 [ 3 0 0 8 [ / 5 2/ 5 +8 [ 2/ 5 / 5. [ 2/ 5 / 5 = 3 [ /5 2/5 2/5 4/5 [ 4/5 2/5 + 8 2/5 /5. 5 / 6
Eksempel. La A = der P = 2 2 2 2 2 2 / 2 / 6 / 3 0 2/ 6 / 3 / 2 / 6 / 3. Vi vet at A = P D P T, og D = En spektral dekomposisjon av A er derfor / 2 A = 3 0 / [ / 2 0 / 2 / 6 + 3 2/ 6 2 / 6 = 3 3 /2 0 /2 0 0 0 /2 0 /2 / 3 / 3 / 3 + 3 [ / 3 / 3 / 3 /6 /3 /6 /3 2/3 /3 /6 /3 /6 3 0 0 0 3 0 0 0 3. [ / 6 2/ 6 / 6 3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 6 / 6