OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36 Avsnitt 1.4: 17, 29, 32 Avsnitt 2.2: 12 Avsnitt 2.3: 41, 52 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 9/9 Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag 12.15-14.00: Seminar 1 Rask variant, Aud. B, Allégaten 66, der oppgavene gjennomgås på 1 time (og andre time brukes på gjennomgang av oppgavene under Mer dybde fra oppgavesettet uken før); Seminar 2 Sakte variant, Aud. A, Allégaten 66, der oppgavene gjennomgås på 2 timer. Merk at vi har gjort et bytte av rom i forhold til det som står på Mitt Uib, men at det kan bli aktuelt å bytte tilbake igjen avhengig av hvor mange studenter som møter opp på de to alternativene. Oppgaver til gruppene uke 37 (Blått tall i parentes viser til utgave 6 av læreboken.) Løs disse først så disse Mer dybde Avsnitt 1.4 6, 18, 19, 30 10, 14, 31 Avsnitt 2.1 22 Avsnitt 2.2 11, 45(43) 17(15), 48(46) 51(49) Avsnitt 2.3 10, 45 21, 46, 54 På settet G.1 G.2, G.3 G.4, G.5, G.6, G.7, G.8 Oppgavene under Mer dybde vil behandles i 2. time av det raske seminaret 16/9. ( ) Det kun gis én oppgave fra 2.1, men flere av oppgavene fra 2.2 og 2.3 omhandler temaene fra 2.1 (tangenter og normaler). ( ) Oppgaven G.8 er nok spesielt krevende. Husk også orakeltjenesten som går hver fredag etter seminarene i Lunsjrommet 4A9f (Realfagbygget 4. etasje). Obligatoriske oppgaver Oppgavene 5 og 6 i Obligatorisk innlevering 1 (innleveringsfrist mandag 26/09). 1
2 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36 OPPGAVE S.1 (Eksamen UiO) Vi ser på et reellt polynom P (x) = x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 + + a 1 x + a 0 der graden n er et partall. Vis at lim x P (x) = og lim x P (x) =. Vis deretter at det finnes et tall K slik at p(x) > K for alle x R. OPPGAVE G.1 (Eksamen UiB-V10-Oppg. 8) OPPGAVE G.2 (Eksamen UiB-H10-Oppg. 1) OPPGAVE G.3 Du har fått deg en jobb i et firma og skal kjøre til en konferanse med overnatting. Du drar hjemmefra på mandag kl 07:15 og ankommer 11:07. Du overnatter på et hotell. Dagen etterpå kjører du nøyaktig samme rute tilbake. Det er mindre trafikk, slik at du starter kl 08:32 og ankommer 11:01. Vis at det finnes et punkt på strekningen der du var på nøyaktig samme tidspunkt de to dagene. (Husk å begrunne hvilken matematisk setning du bruker.)
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36 3 OPPGAVE G.4 (Eksamen UiB-V13-Oppg. 10) La f være en funksjon som er dobbelt deriverbar, dvs. f er deriverbar og f er deriverbar. Funksjonen f har nøyaktig to kritiske punkt, disse er x = 1 og x = 3. Den deriverte av f er positiv for x = 2. Vis at f (x) er positiv for alle x (1, 3). PS: Til denne oppgaven trenger vi definisjonen av kritisk punkt, som kommer senere i kurset (se 2.7, 2.8 og 4.4 i læreboken): x er et kritisk punkt for f hvis f (x) = 0. (Altså er de kritiske punktene til en funksjon det samme som nullpunktene til den deriverte av funksjonen.) OPPGAVE G.5 (Eksamen UiO) Ole påstår at dersom du slår en sirkel på et kart, vil det på denne sirkelen alltid være to diametralt motsatte punkter som har samme høyde over havet. Berit mener at dette umulig kan være riktig, og at hun har et moteksempel. Lag en liten historie der Ole og Berit begrunner sine synspunkter. Historien skal ende med at begge to innser at den andres argumenter har gitt dem en bedre forståelse av problemet. OPPGAVE G.6 (En funksjon som er diskontinuerlig overalt!) La f(x) være funksjonen 1, x rasjonal; 0, x irrasjonal. Rasjonale og irrasjonale tall ligger tett på tallinjen, dvs. at i ethvert intervall, uansett hvor lite det er, vil det finnes både rasjonale og irrasjonale tall. Vis at f er diskontinuerlig i alle punkter. Forsøk først å argumentere intuitivt. Forsøk deretter med et formelt bevis. En enkel modifisering av beviset viser for øvrig også at lim x a f(x) ikke eksisterer i noe punkt. Funksjonen f(x) blir kalt Dirichlets funksjon, etter den tyske matematikeren Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 1859), som regnes som faren til det formelle funksjonsbegrepet.
4 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36 OPPGAVE G.7 Vurdér om funksjonen f er (i) kontinuerlig i 0; (ii) derivérbar i 0. (a) 1, x rasjonal; 0, x irrasjonal (b) (c) x, x rasjonal; 0, x irrasjonal x 2, x rasjonal; 0, x irrasjonal Nedenunder ser du grafene til f(x) i (b) (til venstre) og (c) (til høyre):
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36 5 OPPGAVE G.8 (En funksjon som er kontinuerlig i alle irrasjonale tall og diskontinuerlig i alle rasjonale tall!) Denne oppgaven er krevende, men den er med fordi funksjonen er en meget kjent funksjon innefor matematikken og gir et fint eksempel på en funksjon der vi må bruke den formelle definisjonen av grenseverdi for å avgjøre kontinuiteten og der vår intuisjon ikke er nok! Les gjennom oppgaven, forsøk gjerne å løse den, men ikke bekymre dere om dere ikke får den til! :-) La g(x) være funksjonen 1/q, om x = p/q er en fullt forkortet heltallsbrøk; g(x) = 0, x irrasjonal, definert på (0, 1). Vis at lim x a g(x) = 0 for alle punkter a og dermed at g(x) er kontinuerlig i alle irrasjonale tall og diskontinuerlig i alle rasjonale tall i definisjonsmengden. Funksjonen D(x) blir kalt Thomaes funksjon, etter matematikeren Johannes Karl Thomae, men kalles også popcorn-funksjonen, eller (mer romantisk) Stars over Babylon. Nedendunder ser dere grafen. Fasit/hint på neste side
6 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36 Fasit og hint til oppgavene For fasit/løsningsforslag til gamle eksamensoppgaver fra UiB, se vevsiden http://math.uib.no/adm/eksamen/content/mat111/index.html Oppgave G.3. Hint: Definér to funksjoner f og g som angir avstand fra hjemmet på mandag og henholdvis tirsdag ved tid t. Bruk skjæringssetningen på g(t) f(t). Oppgave G.6. Hint: Anta at f er kontinuerlig i et punkt a og skriv ned hva dette betyr med definisjonen av kontinuitet og ɛ δ definisjonen av en grense. Bruk så det faktum at for enhver δ > 0, så vil det i intervallet (a δ, a + δ) finnes både rasjonale og irrasjonale tall, dvs. x er både med 0 og 1, til å vise at det ikke kan finnes noen δ som oppfyller kravene i definisjonen hvis ɛ 1. Oppgave G.7. (a) verken kontinuerlig eller derivérbar i 0. (b) Kontinuerlig, ikke derivérbar i 0. (c) både kontinuerlig og derivérbar i 0. (Hint: bruk definisjonene av kontinuitet og derivérbarhet. Skviseteoremet er også til hjelp.) Oppgave G.8. Hint: Samme som i Oppgave G.6. Bruk i tillegg at for enhver gitt ɛ > 0, finnes det kun endelig mange (fullt forkortede) rasjonale tall p (0, 1) som q tilfredsstiller at f( p ) = 1 < ɛ. q q LYKKE TIL! Andreas Leopold Knutsen