Gruppelver Da vi studerte symmetriene til et kvadrat, bemerket vi at det var enkelte karakteristiske trekk ved symmetrier de kan settes sammen g de kan inverteres g det er ikke vanskelig å la seg verbevise m dette er trekk sm ikke er spesifikke fr symmetriene til et kvadrat, men er generelle egenskaper symmetrier har. Hvedelementet i den abstrakte definisjn av en gruppe er at den skal at en underliggende mengde av elementer, g at det skal være gitt et prdukt eller en sammensetningen sm man gså sier. Om a g b er t elementer tilhørende gruppen så skal paret (a, b) være tilrdnet et tredje element i gruppen, sm vi rent midlertidig skal betegne a?b. En slik til rdning kaller vi fr en binær perasjn binær frdi den tar t argumenter. I en aksimatisk kntekst er en slik binær perasjn ikke ne annet enn en avbildning G G! G, g den kan være vilkårlig m ikke ytterlige krav til den stilles, slik vi snart skal gjøre. Fr knkrete grupper er selvsagt den binære perasjnen spesifisert, den er j en fundamental del av gruppestrukturen. Man kan tenke på en slik binær perasjn sm en multiplikasjnstabell; altsåen kvadratisk tabell der radene er indeksert med den første variabelen i G G g klnnene med den andre. I skjæringspunktet mellm raden tilsvarende a g klnnen tilsvarende b plasserer vi a?b.sliketabellererliteegnettilåstuderegrupper,deblirlettstre, g det er vanskelig å trekke infrmajn m gruppen ut av dem, men de kan ha en pedaggisk verdi ved kanskje å gjøre det klarere hva en gruppelv er. Gruppen S 5, fr eksempel sm er en av gruppene vi skal støte på senere, g sm frøvig bærer navnet den symmetriske gruppen på bkstaer har elementer, ne sm ikke er frskrekkelig mange, vil ha en tabell med psisjner. Dens lillebrr A 5,smkalles den alternerende gruppen på bkstaver, har elementer g en multiplikajsnstabell med psisjner. Denne gruppen spiller frøvrig en nøkkelrlle i Abels analyse av femtegradsligningene. Vi kmmer ikke til å bruke slike tabeller, men nevner dem her. Den binære perasjnen sm inngår i gruppedefinisjnen har mange navn. Den kalles fr gruppelven, sammensetningen eller gså prduktet. Detergsåenrekke skrivemåter i bruk fr gruppelven. Vanligvis blir den skrevet sm ab, stundma b fr å gjøre enklete frmler klarere, g det er en knvensjn vi skal adptere. Denne skrivemåten kalles den multiplikative skrivemåten. Fr spesifikke grupper, eller i helt spesielle kntekster, brukes skrivemåtene a b eller gså a + b. Densistemtalesnaturlignksmenadditive skrivemåten, mens skrivemåten a b er frbehldt grupper der gruppe-elementene er avbildninger, g gruppelven rett g slett er sammensetningen av disse. Gruppeaksimene I utgangspunktet er, sm vi sa, en binær perasjn en hvilken sm helst avbildning fra G G til G, menfratdetskalkmmenefruktbartutavden,mådenppfylle
relativt sterke betingelser, g i vår sammenheng dreier dette seg m gruppeaksimene. Vi så i mtivasjnsavsnittet, der vi studerte symmetriene til et kvadrat, at symmetriene var underlagt fire prinsipper. I tillegg til at symmetrier kan settes sammen, sm er reflektert i at det er gitt en gruppelv, skal gruppelven være asssiativ, g det skal finnes et nøytralt element, eller et trivielt element sm vi kalte det, g inverser. Her følger der frmelle definisjnen: Definisjn 1 En gruppe er en mengde G med en binær perasjn (a, b) 7! a?b sm ppfyller følgende tre krav: Asssiativitet: a?(b?c)=(a?b)?c fr alle a, b g c fra G. Eksistens av nøytralt element: Detskalfinnesetelemente i G slik at e?a = a?e= a fr alle a 2 G. Eksistens av invers: Tilhvertelementa 2 G skal det finnes et inverst element a 1 2 G sm ppfyller a?a 1 = a 1?a= e. Om man arbeider med flere grupper samtidig g det er behv fr å presisere hvilket nøytrale element man mener, er det praktisk å la e G betegne det nøytrale elementet i gruppen G. Omgruppenskrivesadditivtvil,naturlignk,detnøytraleelementetalltid skrives sm 0. Vivilgsåftemtaledetnøytraleelementetsmenhetselementet. En gruppe kan aldri være tm siden det andre aksimet garanterer at den innehlder et enhetselement. Derimt er G = { e } en gruppe, g i den er det bare én mulig måte ådefineregruppelvenpå,nemligålae?e= e. Dennegruppenkallesnaturlignkfr den trivielle gruppen. Den kmmer gså i en additiv variant. Da skriver vi G = { 0 }, med gruppelv 0+0=0. Det finnes både endelige g uendelige grupper, men vi skal fr det meste arbeide med endelige grupper. Om G er en endelig gruppe, lar vi G betegne antall elementer i G, gvikallerdetteantalletfrrdenen til G. Ordenenerdenmestfundamentale invarianten til en endelig gruppe. Vi skal etter hvert se mange eksempler på grupper, men starter med nen basale g velkjente: Eksempel. Det er naturlig å ta pp tråden fra mtivasjnsavsnittet, g la gruppen av kvadratsymmetrier D 8 være vårt første eksempel. Den er av rden 8. e Eksempel. Alle tallsystemene vi kjenner gir pphav til grupper, fte t grupper, en multiplikativ g en additiv. Eksempler kan være de reelle tallene R, de kmplekse tallene C g de rasjnale tallene Q.Idenmultiplikativegruppenergruppelvenselvsagt multiplikasjn, g den underliggende mengden består av tall frskjellig fra null. Vi vet fra før av at multiplikasjn av kmplekse tall (g derfr av reelle g rasjnale) er en asssiativ perasjn med 1 sm enhetselement, g siden vi ikke har null sm medlem i 2
gruppen, er alle elementene invertible. Disse multiplikative gruppen betegnes slik: R ={ x 2 R x 6= 0} C ={ x 2 C x 6= 0} Q ={ x 2 Q x 6= 0} De additive gruppen har addisjnen sm gruppelv, det nøytrale elementet er 0 g den inverse til x er selvsagt x. Dissegruppeneskrivesadditivt,gdebetegnesmed R, C g Q. e Eksempel. Den additive gruppen av hele tall Z. De hele tallene Z danner en gruppe med addisjn sm gruppelv. Men siden den inverse 1/x til et helt tall x ikke er helt, med mindre x = ±1, erikkez \{0} en gruppe under multiplikasjn. e Eksempel. De generelle lineære gruppene. Vi kjenner til matrisemultiplikasjn fra kurs i lineær algebra. Det er en binær perasjn på rmmet M n (C) av n n-matriser med kmplekse keffisienter, g naturligvis gså på rmmet M n (R) av reelle matriser. Den er asssiativ g har identitetsmatrisen sm nøytralt element. Nå er ikke matriser nødvendigvis invertible, så dette er ingen gruppelv, men begrenser vi ss til å se på mengden Gl(n, C) sm består av invertible matriser, får vi en gruppe. Tilsvarende blir Gl(n, R) en gruppe. Disse kalles de generelle lineære gruppene. e Om binærperasjner Sm en indikasjn på hvr sterke føringer de relativt enkle gruppeaksimene gir på en binær perasjn, g hvr fånyttes det er å studere multiplikasjnstabeller direkte, kan vi gjøre et verslag ver hvr mange binære perasjner sm finnes. Om G har n elementer, så vil G G ha n 2 elementer. Og til hvert par (a, b) er det n mulige verdier fr a?b. Antall binære perasjner er altså n n2. Hvis vi ser på en mengde G med det relativt beskjedne antallet åtte elementer, gir dette 8 64 =6277 101 735 386 680763 835 789 423 207 666 416 102 355 444 464 034 512 896 frskjellige binære perasjner! Det er et frmidabelt tall, av størrelsesrden 10 58. Hvis vi dividerer dette med 8! = 40 320 sm representerer alle måter å rdne elementene i G på, står vi igjen med et tall av rden 10 46.Deteretestimatpåantallien viss frstand 1 ikke-ekvivalente binære perasjner. I kntrast til dette finnes det kun fem essentielt frskjellige grupper med åtte elementer, hvrav vår bekjent D 8 er en! Det sagt, det finnes naturligvus et uhrvelig antall grupper, men hvr mange essentielt frskjellige det er av en gitt rden n, avhengersterktavprimfaktriseringentil n. Omn er et primtall, er det kun én, mens m n er en primtallsptens kan det være 1 Dette er ganske visst upresist, men vi sammenligner de t tallene 5 g 10 46,såviharneågåpå! Penget er å vise den enrme frskjellen på antall gruppelver g antall binære perasjner. 3
svært mange. Fr eksempel m n = 1024 et det essentielt frskjellige grupper! Eksempel. Kleins firergruppe. Det kan være en gd øvelse å se på følgende eksempel sm kalles 2 Kleins firergruppe. Denkanlagespåenkleremåterennvigjør nå, men det krever ne mer begrepsapparatur. Se på mengden V = {e, 1, 2, 3 } med fire elementer, g definer en binær perasjn ved reglene i 2 = e g i j = j i = k dersm i 6= j, derk er tredje hjul på vgnen, det vil si at {i, j, k} = {1, 2, 3}. Og e er selvsagt enhetselementet. Denne binære perasjnen er asssiativ; det er en gd øvelse å verifisere det. Vi skal kun sjekke t tilfeller: Om alle tre indeksene i prduktet i ( j k ) er frskjellige, finner vi i ( j k )= i 2 = e g ( i j ) k = k 2 = e. Omi 6= j, finner vi i ( i j )= i k = j g ( i i ) j = e j = j. e Oppgave 1. Fullfør argumentet g vis at gruppelven venfr er assisiativ. Abelske grupper Gruppene sm vi så på i eksemplene venfr har alle med unntak av D 8,egenskapen at ab = ba, ellera + b = b + a m vi er i en additiv kntekst. Dette selvsagt frdi en tilsvarende regel gjelder fr multiplikasjn g addisjn av tall. Generelt gjelder naturligvis ikke en slik regel, det er kvadratsymmetriene et eksempel på, g det er derfr naturlig med en egen betegnelse fr gruppene der den gjelder. Definisjn 2 Dersm ab = ba, sierviatelementenea g b kmmuterer. Engruppe kalles abelsk eller kmmutativ dersm alle dens elementer kmmuterer; det vil si at ab = ba fr alle a g b i G. Betegnelsen abelsk gruppe er en tributt til Niels Henrik Abel sm var en av de første sm innså betydningen av grupper g deres egenskaper, blant annet av at nen elementer kmmuterer g andre ikke. Enehtselement g inversdannelse I en aksimatisk teri pleier der alltid å være en del relativt enkle g intuitivt pplagte, men grunnleggende ting sm innledningsvis må etableres så gså i gruppeterien. Det dreier seg m en del regler g egenskaper sm vi er gdt vant med fra tallenes verden, men sm frmelt sett må utledes av gruppeaksimene. Vi innleder med entydighet av enhetselementet. Aksimene sier kun at det skal finnes et enhetselement i en gruppe, så apririkunne det tenkes at det var flere, men det er det altså ikke: Lemma 1 I en gruppe G er enhetselementet entydig. 2 Etter den tyske matematikeren Felix Klein sm kalte den der Viergruppe. 4
Bevis: Vi minner m at enhetselementet er definert ved at det tilfredstiller likhetene 3 ea = ae = a, fra et vilkårlig element i G. Vårppgaveeråviseatdetbarefinnes ett element sm ppfyller denne betingelsen. Så anta at e 0 er et annet. Per hyptese tilfredstiller det da likhetene ae 0 = e 0 a = a fr enhver a 2 G. Vedførståsettee 0 inn i likheten ae = a fr så å sette e inn i e 0 a = a, finnervie 0 = e 0 e = e. Vel så viktig sm å vite at enhetselementet er entydig, er det å vite at den inverse til et element er entydig: Lemma 2 Hvis a 2 G, såera 1 det eneste elementet sm tilfredstiller ligningene a 1 a = aa 1 = e. Bevis: Anta at a 0 er en ptensiell piratinvers altså et element sm ppfyller aa 0 = a 0 a = e. Vedganskeenkeltåmultipliseremeda 1 fra venstre på begge sider av ligningen aa 0 = e, fårvia 1 (aa 0 )=(a 1 a)a 0 = ea 0 = a 1.Detgira 0 = a 1,gvieri mål. Man kan i enkelte tilfeller bruke dette resultatet til å vise frmler fr den inverse. Et eksempel på slik bruk er følgende, der vi etablerer setningen m den inverse til et prdukt: Lemma 3 Hvis a g a er elementer i G, såer(ab) 1 = b 1 a 1. Bevis: Vi skal bruke at ligningen aa 1 = a 1 a = e karakteriserer den inverse, g vi sjekker at den ppfylles av b 1 a 1 : (ab)(b 1 a 1 )=a(bb 1 )a 1 = aa 1 = e der vi har brukt asssiativitet g at bb 1 = aa 1 = e. Vimågsåsjekkedenandre likheten, at (b 1 a 1 )(ab) =e, mendetverlatervitilleseren. Dersm a g b kmmuterer, så kmmuterer gså a 1 g b 1 (Det er en gd øvelse i aksimatikkens hårkløveri, å vise det!), g prblemstillingen mkring rekkefølgen er ikke aktuell i det tilfellet. Setningen venfr kan generaliseres til et vilkårlig antall elemener: Lemma 4 La a 1,a 2,...,a r være elementer i en gruppe G. Dagjelderdetat (a 1 a 2 a r ) 1 = a 1 r a 1 2 a 1 1. Bevis: Beviset gjøres ved induksjn på r. Detverlatestilleserenåfylleinndetaljene. Et eksemel til på en ganske pplagt ting, men sm frmelt sett gså må utledes av aksimene: 5
Lemma 5 La a 2 G være et element. Da er (a 1 ) 1 = a Bevis: Dette følger direkte av karakteriseringen av den inverse, da aa 1 = a 1 a = e. Asssiativitet La ss dvele ne ved asssiativiteten. Prduktet i en gruppe er en binær perasjn sm til t elementer a g b tilrdner et tredje. Siden vi bare kan multiplisere t g t elementer, har et uttrykk av typen abc apririingen mening. Skal vi gi det en mening, må faktrene grupperes slik at kun t g t multipliseres av gangen. Har vi tre faktrer, er det t muligheter, faktrene kan grupperes enten sm (ab)c eller sm a(bc) vimåselvsagtbehlderekkefølgenpågruppeelementene.asssiativitetsaksimet garanterer at disse t grupperingene gir samme resultat når de multipliseres ut. Vi kan derfr trygt drppe parentesene g skrive abc. Hva m det er flere enn tre gruppe-elementer? Tilsvarende gjelder frtsatt, g de fleste vet vel dette fra sklegangen når det gjelder rdinær multiplikasjn g addisjn av tall, men jeg trr ikke mange har sett et nn-hand-waving-argument fr det, så vi skal gi et. Anta nå at vi har n gruppe-elementer a 1,a 2,...,a n.fratuttrykket a 1 a 2 a 3 a n skal ha mening, må faktrene grupperes ved at det settes parenteser på en intelligent måte. Det betyr at de settes slik at hvert par av parenteser kun mslutter t elementer, sm i sin tur naturligvis kan være prdukter av flere intelligent grupperte gruppeelementer. Et eksempel kan være ((a 1 ((a 2 a 3 ) a 4 )) a 5 ) (a 6 a 7 ). Et annet eksempel på en intelligent gruppering er følgende. n =(...(((a 1 a 2 )a 3 )...)a n 1 )a n ) (?) sm vi gså skal bruke i beviset. Vi skal vise følgende: Lemma 6 Enhver intelligent gruppering av uttrykket a 1 a 2 a 3 a n gir samme prdukt sm grupperingen (?). 3 Vi frlater nå skrivemåten a?b fr gruppelven g bruker i fremtiden utelukkende jukstapsisjn, sm det heter, det vil si vi skriver ab. 6
Av det følger selvsagt at prduktet er uavhengig av grupperingen. Bevis: Beviset gjennmføres ved induksjn på n: Asssiativitetsaksimetgirssinduksjnsstarten 4 fr n =3. Anta nå at påstanden gjelder fr alle grupperinger med færre enn n elementer, g la g være en vilkårlig intelligent gruppering av elementene a 1,..,a n. Vi starter med å bemerke at n = n 1 a n.nårviparentesfrparentesmultipliserer ut en grupperingen, vil vi måtte avslutte med et prdukt av t elementer. Derfr er grupperingen g på frmen a b der både a g b er intelligente grupperinger, men begge med færre faktrer enn n. Etter induksjnshyptesen er da a = k fr en passende k<n, g b er et prdukt på frmen (?), men sm invlverer elementene a k+1,a k+2,a k+3,...,a n. Det betyr at enten er b = a n eller b = b 0 a n der b 0 er et intelligent gruppert prdukt. Følglig er g = a(b 0 a n )=(ab 0 )a n,gennyanvendelseavinduksjnshyptesengirat ab 0 = n 1.Dermederg = n. Svært mange av de mest fruktbare binære perasjnene sm er i bruk i matematikken er asssiative, men det er gså en rekke viktige ikke-asssiative lver. Et eksempel på et slikt ikke-asssiativt prdukt er kryssprduktet av vektrer i R 3.Omi, j g k er de tre standard enhetsvektrene i R 3,såeri (i j) = j, mens(i i) j =0,så i (i j) 6= (i i) j. Ptenser Den siste av de elementære renereglene vi skal behandle, mhandler ptenser av et element; altså suksessive prdukter av et element med seg selv. De ppfører seg fullstendigt analgt til hva vi er vant til fr tall, g i g fr seg er bevisene fr dem gså svært like de gamle, men fr rdens skyld skal vi gjennmføre dem i vår aksimatiske kntekst. La a 2 G være er elemente g la n>0 være et heltall. Vi definerer ptensene a n rekursivt ved a 0 =1 g a n = a n 1 a fr n 1, (?) g tillfellet der ekspnenten er negativ, tar vi hånd m med følgende definisjn, der n frtsatt er psitiv: a n =(a 1 ) n. (??) Fra lemma 4 på side 5 følger det at a n =(a n ) 1.Smsagt,degdegamleregnereglene gjelder frsatt: 4 Påstanden gjelder gså fr n =2,meninduksjnssteppetvilikkekunnevirkefran =3til n =2. I så fall ville alle binære perasjner vært asssiative! Situasjnen minner m beviset fr at alle punkter i planet ligger på en rett linje eller at alle menn er høye g mørke. 7
Lemma 7 Anta at a 2 G g at n g m er hele tall. Da er a n+m = a n a m (a n ) m = a nm. Bevis: Dette beviset er ne plundrete på grunn av de frskjellige mulige frtegnen m g n kan ha, men dersm m g n begge er psitive, følger lemmaet rett frem ved induksjn g bruk av den rekursive definisjnen (?). Er de begge negative altså lik n, respektive m, medm g n psitive følger setningen frdi a m n =(a 1 ) m+n =(a 1 ) m (a 1 ) n = a m a n etter definisjn (??) getterhvavinettppgjrdefrtpsitiveekspnenter.antaså at den ene ekspnent er pstiv la ss si m gatdenandreernegativ lass si den er lik n med n psitiv. Dersm m>nhar vi, etter hva vi gjrde fr psitive ekspnenter, at a m = a m n a n,gderfrera m n = a m a n.omm<n,brukerviat a n m = a n a m sm etter invertering gir a m n = a m a n. Det vi har gjrt så langt i dette avsnittet frutsetter at gruppelven uttrykkes med en multilplikativ skrivemåte, men mange viktige grupper sm de hele tallene Z har en additiv gruppelv, g fr disse går ptensdannelsen i en helt annen lei, sm det er verdt å bruke ne tid på å kmmentere. Ptensen a m står fr det itererte prduktet a a a der det er m faktrer fr enkelhets skyld lar vi m>0. Brukervienadditivskrivemåte,blirdettilsvarende begrepet multiplumet ma, frma er j lik den itererte summen a+a+ +a der det er m addender. Slik at i en additiv gruppe er det multiplene ma sm spiller ptensenes rlle. Reglene slik de er uttrykt i lemma 7 ser gså annerledes, men like tilfrladelige ut: Lemma 8 Anta at a 2 G g at n g m er hele tall. Da er Oppgaver (n + m)a = na + ma m(na) =(nm)a. Oppgave 2. Vis at m a g b er t elementer i en gruppe G, såkmmutetera g b hvis g bare hvis a 1 g b 1 kmmuterer. Oppgave 3. Vis at m a 1,...,a r er elementer i en gruppe G, såer(a 1 a r ) 1 = ar 1 a1 1. 8
Oppgave 4. Vis at m a 2 = b 2 =1,såkmmuterera g b hvis g bare hvis (ab) 2 = e. Oppgave 5. Vis at m alle elementene a iengruppeg er ppfyller a 2 = e, såer gruppen abelsk. Oppgave 6. Et element s sm er i en gruppe G kalles en invlusjn dersm s 6= e g s 2 = e. VisatdetiengruppeG av jevn rden, finnesminsténinvlusjns. Visat antall invlusjner er et dde tall. Hint: {{a, a 1 } a 2 G } er en partisjn av G. Oppgave 7. Gi eksempler på en gruppe G g elementer a, b 2 G slik at (ab) 2 6= a 2 b 2. Oppgave 8. Gitt t elementer a g b fra en gruppe G g et heltall n. Visatab n a 1 = e hvis g bare hvis b n = e Oppgave 9. Gitt t elementer a g b fra gruppen G g et heltall n. Visat(ab) n = e hvis g bare hvis (ba) n = e. Hint: ab = a(ba)a 1 Oppgave 10. La undermengden V av rmmet M 2 (R) av reelle 2 2-matriser være definert ved 1 0 V = { 0 i 2 µ 2 }. 2 a) Vis at V er en gruppe under matrisemultiplikasjn. b) Hvr mange elementer har V? c) Vis at V er abelsk. d) Vis at V har samme multiplikasjnstabell sm Kleins firergruppe i eksempel 5. Oppgave 11. La 1 0 D = { 0 2 0, 3 4 0 i 2 µ 2 } a) Vis at D er en gruppe. b) Hva er rdenen til D? La s = 1 0 g la r = 0 1 0 1 1 0 c) Vis at s 2 =1at r 4 =1g at srs = r 1. Drar du kjensel på denne gruppen? Versjn: Tuesday, January 15, 2013 10:10:03 AM 9