Restklasser og Langranges teorem

Transkript

1 Restklasser g Langranges terem Idetteavsnittetskalviutviklenenavdegrunnleggendeegenskapenetilenundergruppe. Vi skal se at m G er en endelig gruppe, så vil rdenen til enhver undergruppe av G være en divisr i G. Detteerenavgrunnsteneneiterienfrendeligegrupper, g resultatet går helt tilbake til Lagrange. Hanvardenførstesmpublisertesignifikante g systematiske resultater m grupper. I publiserte han en artikkel med tittel Réflexins sur la réslutin algébrique des équatins, g sm tittelen indikerer, mhandler den ligningsteri, men grupper spiller en str rlle der. Denne artikkelen la grunnlaget fr arbeidene til Evartiste Galis g Niels Henrik Abel. Jseph-Luis Lagrange, eller Giuseppe Ldvic Lagrangia sm døpenavnet hans var, ble født i Trin. Nå ligger Trin i Nrd-Italia, men på Lagranges tid lå det i Hertugdømmet Savyen. Det mfattet den vestlige delen av Alpene sm idag frdeler seg på både fransk g italiensk territrium derav de frskjellige utgavene av navnet. Restklasser Vi har allered stiftet bekjenskap med restklasser ienkeltesitusajner.gruppenez n består av alle restklassene eller kngruensklassene sm vi gså kalte dem mdul n. En slik restklasse er gitt sm [k] ={ x 2 Z x k md n }. Hvismanvil,kanman skrive den på frmen k + nz = { k + ny y 2 Z }, gdeterdennefrmenviskalbruke når vi generaliserer begrepet til vilkårlige grupper. La nå G være en gruppe, sm vi freløpig ikke antar at er endelig, g vi lar H være en undergruppe av G. Sm sagt,skal vi innføre begrepet restklassene til H i G. SidenG generelt er ikke-kmmutativ, vil det frekmme t typer av restklasser høyrerestklasser g venstrerestklasser. Herkmmerdefinisjnen:Fretelementa 2 G definerer vi Ha = { ha h 2 H }, g vi kaller Ha fr en høyrerestklasse til H. Likeledes lar vi ah = { ah h 2 H } g de kalles selvsagt fr venstrerestklassene til H. Eksempel. Additive grupper. Om A er en additiv gruppe sm altså per definisjn er kmmutativ så blir definisjnen av restklasser seende slik ut. La B A være en undergruppe g a 2 A et elemenent da er restklassene til B på frmen: a + B = { a + b b 2 B }. Der er ingen frskjell på høyrerestklasser g venstrerestklasser i dette tilfellet siden A er abelsk. I det spesielle tilfellet at A = Z, finnerviatm + nz =[m], der[m] betegner kngruensklassen til m mdul n. Altså[m] ={ x 2 Z x m md n }. e

2 Restklasser g Langranges terem MAT2200 Vår 2013 Eksempel. Restklassene til µ 3 i µ 6. Vi skal se på eksemplet µ 3 µ 6.Undergruppen µ 3 har de t restklassene µ 3 g µ 3 der = e i/3. Man sjekker nemlig lett at µ 3 = h 2 i = {e, 2, 4 } g µ 3 = 1 µ 3 = 3 µ 3 = {, 1, 3 }. På figuren under er restklassen µ 3 farget rød, mens µ 3 er blå. Im Re µ 3 µ 6 Før vi går videre skal vi gjøre en liten generalisering sm er nyttig fra tid til annen. Definisjnene av restklasser venfr gir mening fr en vilkåårlig undermengde X G : e Xa = { xa x 2 X } ax = { ax x 2 X }. Men disse kalles ikke fr restklasser den hedersbetegnelsen er frbehld undergrupper. De kalles av enkelte fr translater av H, altså frskyvninger av X. Lemma 1 Dersm a g b er elementer i en gruppe G g X G en undermengde, så gjelder det at (Xa)b = Xab b(ax) =bax. Bevis: Siden (Xa)b = { bz z 2 Xa} = { xab x 2 X } følger den første likheten. Den andre bevises likedan. Man trenger ikke begrense seg til å multiplisere mengden X med ett element. Om Y G er en annen undermengde av G,definerervi: XY = { xy x 2 X g y 2 Y } YX = { yx x 2 X g y 2 Y } 2

3 Restklasser g Langranges terem MAT2200 Vår 2013 Restklassene danner en partisjn La ss vende tilbake til restklassene. Til å begynne med skal vi påpeke et par viktig penger m når t venstreresklasser ah g bh er like. Det er selvsagt ingen prinsipiell frskjell på høyre- g venstrerestklasser. Et hvert resultat m venstreresklasser har et mtstykke i høyrerestklassenes verden. Vi frmulerer resultatene bare fr venstreresklasser, g verlater til leseren å versette til utsagn m høyrerestklasser. Vi skal altså finne et kriterium fr når t restklasser er like, g vi ser først på det spesielle tilfellet der den ene innehlder enhetselementet e: Lemma 2 Om H G er en undergruppe g a 2 H et element, så er ah = H hvis g bare hvis a 2 H. Bevis: Dersm a 2 H, såersåklartah H; gmh 2 H, såerh = a(a 1 h) 2 ah frdi ah 1 ligger i H når både h g a ligger der. Omvendt, dersm ah = H, følgerdet at a = a 1 2 ah = H. Det generelle utsagnet er sm følger: Lemma 3 La a g b være t elementer i gruppen G g la H G være en undergruppe. Da er ah = bh hvis g bare hvis b 1 a 2 H. Bevis: Dersm ah = bh, følgerdetata 2 bh, ga = bh fr en h 2 H. Detgir b 1 a = h 2 H. Omvendt,mb 1 a 2 H, erh = b 1 ah, gvedvenstremultiplikasjn med b følger det at bh = ah. Det er en egen skrivemåte fr mengden av venstreresklasser, nemlig G/H. Man leser G/H sm G md H eller G mdul H. Tilsvarende er G\H betegnelsen fr mengden bestående av høyrerestklassene til H. Vanligvisskillermanikkedeti talespråket, G\H mtales gså sm G md H. Ser vi figuren i eksempel 2 venfr, der vi fant alle restklassene til µ 3 i µ 6,erdet sleklart at restklassene enten er disjunkte eller like. Det betyr at de danner en partisjn av µ 6.Detteillustrereretgenereltfenmen,smerenavdeviktigsteegenskapenetil restklasser: Setning 1 La H G være en undergruppe av gruppen G. DadannermengdenG/H = { ah a 2 G } av venstrerestklassene til H en partisjn av G. Bevis: Det er t ting å sjekke. Fr det første at G/H dekker G,altsåat S a2g ah = G. Det følger umiddelbart av at a 2 ah. Fr det andre må vi vise at restklassene er parvis disjunkte, det vil si at t restklasser ah g bh enten er like eller disjunkte. Anta derfr at ah \ bh 6= ;, glac2ah \ bh. Da er c = ah fr et element h 2 H, gc = bk fr et annet element k 2 H. Slårvidisse t likehetene sammen, finner vi at ah = bk. Derfrerb 1 a = kh 1 g kh 1 ligger i H siden både k g h ligger der. Etter lemma 3 venfr er da ah = bh. TklasseriG/H er altså enten like eller disjunkte, g G/H er en partisjn. 3

4 Restklasser g Langranges terem MAT2200 Vår 2013 Vi vet at partisjner g ekvivalensklasser er t alen av samme stykke, men la ss eksplisitt beskrive ekvivalensrelasjnen sm tilsvarer partisjnen i restklasser. T gruppeelementer a g b kaller vi ekvivalente hvis g bare hvis ah = bh, i.e., hvis g bare hvis b 1 a 2 H etter lemma 3. Sidenvivetatrestklassenedannerenpartisjn,vetvigså at denne relasjnen ppfyller kravene til å være en ekvivalensrelasjn, ne det heller ikke er vervettes vanskelig å sjekke det direkte. Trekker vi tråden tilbake til kngruensklassene i Z, er undergruppen H på frmen H = nz fr et heltall n,gvifårnaturlignktilbakedenvelkjenteekvivalensrelasjnen a b md n. Lagranges terem Vi er nå kmmet frem til Lagranges terem, sm han altså publiserte i Beviset presenter ne annerledes idag enn slik han gjrde en gang i tiden; det er blitt mdernisert g blankpusset pp gjennm tidene, men dypest sett er det frtsatt nøyaktig det samme beviset. Men før vi går løs på Lagranges terem, trenger vi å frberede grunnen. Antall venstrerestklasser til en undergruppe H kaller vi fr indeksen til H i G, g vi skriver G : H, gidetteliggerdetgsåatviskriver G : H = 1 dersm H har uendelig mange restklasser. La ss bemerke at selvm G g H er uendelige, kan gdt indeksen G : H være endelig. Fr eksempel har undergruppen 2Z av Z bare t restklasser, betsående av de dde g de jevne tallene. Ne mer generelt har vi at nz er av indeks n i Z uasnett hviulket naturlige tall n er. Desm G er endelig, er selvsagt antall restklasser endelig, g like seklvsagt er det at antall elementer i hver retsklasse er endelig. Men mer enn det er riktig; de frskjellige restklassene har alle like mange elementer: Setning 2 Hvis H er endelig undergruppe av gruppen G, såer ah = H fr alle a 2 G. SpesieltharallerestklasseneaH til H like mange elementer. Om H er uendelig, så er gså alle restklassene ah til H uendelige. Bevis: Trikset er å bruke venstremultiplikasjn med a til å fabrikere en bijeksjn mellm H g ah. Venstremultiplikasjnmeda sender elementene til H inn i ah g induserer derfr en avbildning : H! ah. Tilsvarende vil venstremultiplikasjn med a 1 indusere en avbildning : ah! H den andre veien, g åpenbart er =id H (vi har nemlig at a 1 a = e!). Det betyr at (g ) erenbijeksjn,gdetfølgeratah g H har like mange elementer. Vi kan nå frmulerer Lagranges terem: Terem 1 (Lagrange) Hvis G er en endelig gruppe g H en undergruppe, så går rdenen til H pp i rdenen til G. Merpresist,viharat G = G : H H. 4

5 Restklasser g Langranges terem MAT2200 Vår 2013 Bevis: Venstrerestklassene til H danner en partisjn av G, gdeharallelikemange elementer. Dderfr er G lik prduktet av antall restklasser, nemlig G : H, gderes felles antall elementer, sm er lik H etter setning 2. Det er t bemerkninger å gjøre. Fr det første gjelder teremet gså dersm G er uendelig. Imidlertid blir i det tilfellet begge sider av likeheten i teremet uendelig; det er nemlig klart at G er endelig hvis g bare hvis både H g indeksen G : H er endelige. Den andre bemerkningen er at mvendingen av Lagranges terem ikke er riktig. Det finnes eksempler på grupper G g ekte divisrer m i G slik at ingen undergruppe i G er av rden m. Eksemplet av lavest rden er den alternerende gruppen A 4,smer av rden 12, mensmikkeharnenundergruppeavrden6: Eksempel. La nemlig G A 4 være en ptensiell undergruppe av rden 6. Viskal senere vise generelt at m p er en primfaktr i rdenen til en gruppe G, såharg minst et element av rden p (nedenfr gir vi i frm av en ppgave et ad hc argument fr dette fr vår undergruppe G av rden 6). IfølgedetresultatetinnehldervårptensielleG et element av rden tre sm altså er en 3-sykel, g sm vi kan anta er =(1, 2, 3). Denptentielleundergruppen må gså innehlde et element av rden t. Det kan ikke være en 2-sykel, siden 2-sykler er dde permutasjner, så det må være prduktet av t disjunkte 2-sykler, sm vi kan anta er =(1, 2)(3, 4). Enlitenregninggir =(3, 2, 4) g =(1, 3, 4), g disse må sammen med sine inverse ligge i G. Sammenmed g 1,girdette6 elementer av rden 3 i G, g det er fr mange, siden det gså ihvertfall må være plass til enhetselementet g. e Følgende t ppgaver gir et ad hc bevis fr at gruppen G venfr har elementer både av rden 2 g 3. Oppgave 1. La G være en gruppe. Vi skal se på undermengdene av G på frmen { a, a 1 } der a 2 G. VisatdissedannerenpartisjnavG. Visatenhvergruppeav jevn rden har et element av rden 2. X Oppgave 2. Vis at A 4 har tre elementer av rden 2 g åtte elementer av rden 3. Vis at enhver undergruppe G S 3 av rden større enn 4, må innehlde et element av rden 3. X Oppgave 3. Vis at de tre elementene av rden t i A 4 sammen med enhetselementet e danner en gruppe W sm er ismrf med Kleins firergruppe, i.e., Z 2 Z 2.Visat W er en nrmal undergruppe. X Knsekvenser av Lagranges terem Lagranges terem har et par knsekvenser, sm illustrerer at rdenen til en endelig gruppe, eller mere presist primtallsfaktriseringen av rdenen, kan gi sterke føringer på gruppens stuktur. Krllar 1 La G være en endelig gruppe hvis rden G er et primtall. Da er G syklisk. 5

6 Restklasser g Langranges terem MAT2200 Vår 2013 Bevis: La H G være en undergruppe. Da H er en divisr i G, smeretprimtall, er enten H =1g H = {e}, eller H = G g G = H. SåG har ingen ikke-trivielle, ekte undergrupper. La a 2 G være et ikke-trivielt element (sm finnes siden G 2). Da er h a i6= {e}, gfølgeligerh a i = G, gg er syklisk. Krllar 2 La G være en endelig gruppe g la a 2 G. Dagårrdenentila pp i rdenen til G. Bevis: Bruk Lagranges terem på undergruppen generert av a. Man kunne spørre seg m mvendingen av dette krllaret gjelder, altså m det fr hver divisr m i G, finnesetelementig av rden m. Detteville(siden G er en divisr i G ) implisert at alle grupper var sykliske.det er heller ikke riktig at en hver ekte divisr kan realiseres sm rdenen til et element. Et eksempel er Z 2 Z 2 Z 2 sm er en gruppe av rden 8, menalledensikke-trivielleelementereravrden2. Krllar 3 Dersm G er en gruppe g G = pq, derp g q er t primtall, så er en hver ikke-triviell, ekte undergruppe syklisk. Bevis: La H G være en undergruppe, ikke-triviell g ekte. Da H deler pq, gbåde p g q er primtall, er enten H = p eller H = q. IbeggetilfellererrdenentilH prim, g H er syklisk etter krllar 1. Høyre g venstrerestklasser er frskjellige IdeflestesituasjnerderenundergruppeH av en gruppe G g et element a 2 G er gitt, vil ventrerestklassen ah g høyrerestklassen Ha være frskjellige, altså ah 6= Ha. Dette reflekterer at vi har ikke-kmmuterende elementer i en generell gruppe. I enkelte spesielle tilfeller er allikevel ah = Ha.Detgjelderfreksempelma kmmuterer med alle elementer i H (spesielt m gruppen G er abelsk). Men gså uten denne kmmuteringsbetingelsen hender det i enkelte situasjner at ah = Ha.Hvis en undergruppe er slik at dette gjelder fr alle a 2 G, kallesundergruppennrmal. Nrmaleundergrupper spiller en fundamental rlle i gruppeterien, g vi kmmer tilbake til dem ved mange anledninger. Nrmale undergrupper kalles gså fr invariante undergrupper. Den språkbruken har sin rt i følgende egenskap: Setning 3 La H G være en undergruppe i gruppen G. Daerfølgendeekvivalent ah = Ha fr alle a 2 G. aha 1 = H fr alle a 2 G. Bevis: Vi passerer fra likheten ah = Ha til likheten aha 1 = H ved å multiplisere fra høyre med a 1,gdenandreveienvedhøyremultiplikasjnmeda. 6

7 Restklasser g Langranges terem MAT2200 Vår 2013 Eksempel. Restklassene i S 3. Vi avslutter denne paragrafen med et eksempel, g vi skal studere restklassene i den symmetriske gruppen S 3.Vivetatdennegruppen gså kan realiseres sm symmetrigruppen til en likesidet trekant, g er man gemetrisk anlagt, kan man ha den i tankene. Vi lar r =(1, 2, 3) g s =(1, 2). Daerr 3 = s 2 = e, gvihardenfundamentale relasjnen srs = r 1. Elementene i S 3 kan rganiseres i følgende tabell e r r 1 s rs r 1 s Hvis vi lar H = {e, s} smerenundergruppesidens 2 = e vilvenstrerestklassene til H presis være søylene i tabellen, mens frdi sr = r 1 s g sr 1 = rs, vilhøyrerestklassene være de t diagnalene i tabellen, i.e., Hr = {r, r 1 s} g Hr 1 = {r 1,rs}. Det er da klart at rh 6= Hr g r 1 H 6= Hr 1 siden rs g r 1 er t frskjellige elementer i S 3. Lar vi nå H = h r i = {e, r, r 1 } er situasjnen annerledes. Dette er en nrmal undergruppe. Den har kun t restklasser, H g sh = Hs.(Sjekkdet!) e Oppgave 4. Sjekk at rs =(1, 3) g r 1 s =(2, 3), slikats, rs g r 1 s er de tre elementene i S 3 av rden 2. Detavrden3, ernaturligvisr =(1, 2, 3) g r 2 = r 1 = (1, 3, 2). X Oppgave 5. La G være en gruppe g H G en undergruppe. Vis at dersm H er av indeks t, så er H en nrmal undergruppe. Hint: Hvr mange ikketrivielle venstrerestklasser g hvr mange ikketrivielle høyrerestklasser har H? X Tårn av undergrupper La ss anta at vi har en gruppe G med t undergrupperh g K slik at K H. Det betyr at vi har et tårn av undergrupper med tre nivåer: Da gjelder følgende K H G Setning 4 G : K = G : H H : K. (?) Bevis: Dersm G er en endelig gruppe, føger dette direkte av Lagranges terem, frdi G : K = G / K = G / H H / K = G : H H : K Imidlertid er det mange interessante situsajner der undergrupper av en uendelig gruppe er av endelig indeks, altså en situasjn der undergruppen bare har endelig mange restklasser eksempelvis er, sm vi nevnte tidligere, alle ikke-trivielle undergrupper nz av Z av endelig indeks siden undergfruppene nz j har n restklasser. En likhet sm 7

8 Restklasser g Langranges terem MAT2200 Vår 2013 isetning4 er derfr av interesse gså fr uendelige grupper, g vi skal gi et nytt bevis gyldig gså i det tilfellet. Beviset bygger på bservasjnen at m P er en partisjn av en mengde med n klasser, g vi fretar en videre ppdeling av disse klassene, hver av dem i like mange nye klasser, la ss si m, sågirdetteenpartisjnavdenpprinneligemengdenmednm klasser. Den i denne sammenheng naturlige partisjnen av G består av restklassene til H i G. DeteraltsåundermengdenepåfrmengH med g 2 G. RestklassenetilK i H danner en partisjn av H hvis klasser alle er på frmen hk der h 2 H. Vi kan transprtere denne partisjnen av H til hver av retsklassene gh ved hjelp av venstremultiplikasjn med g, altså ved hjelp av bijeksjnen mellm H g gh gitt ved h 7! gh. DetgirenpartisjnavgH med klasser sm alle er på frmen ghk, g sm derfr har H : K elementer. Ved bservasjnen vi gjrde, finner vi at G/K har G : H H : K elementer. Oppgaver Oppgave 6. Tegn et undergruppediagram fr A 4. Oppgave 7. Vis at det i A 5 finnes 24 elementer av rden 5, 20 av rden 3 g 15 av rden 2. Hint: Skriv et element sm et prdukt av disjunkte sykler g bruk definisjnen av A 5. Oppgave 8. ( Pincarés lemma). La H g K være t undergrupper av en gruppe G. Denneppgavengårutpååviseat G : H \ K apple G : H G : K. a) Vis at ved å la restklassen ah \ K sendes til paret (ah, ak) får vi en veldefinert avbildning : G/H \ K! G/H G/K. Hint: Sjekk at hverken ah eller ak avhenger av valget av representant fr ah \ K. b) Vis at er injektiv. c) Vis at m begge undergruppene H g K er av endelig indeks i G, såergsåundergruppen H \ K det. d) Vis at m G : H g G : K er relativt primiske, så er G : H \ K = G : H G : K. Versjn: Tuesday, February 5, :59:41 PM 8