R kapittel 4 Funksjonsdrøfting Løsninger til oppgavene i boka 4. a 4 f( ) f ( ) 4 4 b g ( ) 6 c d e f 4. a b c d e f 4. a g ( ) 0 h ( ),8 4 h ( ),8,8 i ( ),8,8 i 0 ( ) j ( ) π j ( ) 0 k ( ) k ( ) f( ) 4 5 f ( ) 4 ( ) 5 4 5 f 4 4 () 4 f 4 4 ( ) 4 ( ) 5 4 4 f () 8 ( ) 5 4 4 f ( ) 8 ( ) 5 4 4 f ( a) ( a) 5 a 5,4 f( ) f ( ), 4, 4,4,4 b f (), 4 ( ),4, 4, 4 Aschehoug www.lokus.no Side av 47
c 4.4 Løsninger til oppgavene i boka Svaret forteller at planten vokser med en fart på,4 cm i uka én uke etter at den er plantet. Den momentane vekstfarten er altså,4. a ( ) b ( ) 4.5 a f( ) ln f ( ) f '(5) 0, 5 b f () 0, Vekstfarten blir 0, når. c Stigningstallet til tangenten blir det samme som den momentane vekstfarten i punktet der. f Stigningstallet blir altså. 4.6 a f( ) e f ( ) e f 0 (0) e b Svaret forteller at den momentane vekstfarten er når 0. Stigningstallet til tangenten i punktet der 0 er også. 4.7 a f + ( ) 4 5 ( ) ( ) f ( ) 4 + 5 + 8 4 0 Aschehoug www.lokus.no Side av 47
b c 4.8 g ( ) 5 ( ) ( ) g ( ) 5 5 6 5 5 h ( ) h ( ) ( ) 5 5 ( ) ( ) 5 + 5 5 + 6 a f( ) f ( ) ( ) 6 0 6 ( ) ( ) 6 Aschehoug www.lokus.no Side av 47
b g ( ) 4 c 4.9 a g ( ) 4 ( ) ( ) 4 4 4 h ( ) ( ) ( ) h ( ) f( ) e f ( ) e e ( ) ( ) Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 47
b c 4.0 a b g ( ) 5ln g ( ) 5 ( ln ) 5 5 + 5 + 5 + h ( ) 5 lg h ( ) 5 ( ) ( lg ) 5 ln0 0 ln0 Ar () πr A () r π ( r ) π r πr Den deriverte til arealet av en sirkel blir dermed omkretsen av sirkelen. 4 V() r πr 4 V () r π ( r ) 4 π r 4πr Den deriverte til volumet av en kule blir dermed overflaten av kula. 4. a Farten vt () måles i meter per sekund m/s. b st ( ) 5,0t t vt ( ) s ( t) 0t v(5) 0 5 50 8 Farten etter 5 sekunder blir 8 meter per sekund. Løsninger til oppgavene i boka Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 47
c 4. st t + t t+ ( ) 0,00 0, 5 0, 0,50 vt s t t + t ( ) ( ) 0,00 0,50 0,0 ( ) v(,0) 0,00,0 + 0,50,0 0,0 0, 0 + 0,50 0, 0 Løsninger til oppgavene i boka 0, 7 Farten etter sekund blir 0,7 meter per sekund, og gjenstanden står dermed i ro. a f( ) f ( ) b g ( ) + g ( ) c h ( ) + h ( ) + d i ( ) 4ln i ( ) 4 ( ln ) 4 4 4. a b f( ) 5e ( ) f ( ) 5 e 5e g 4 ( ) 5 4 ( ) ( ) g ( ) 5 4 5 c h ( ) π h ( ) 0 5 Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 47
d i ( ) 8 4.4 i ( ) 8 ( ) 8 8 4 4 4 a f( ) 0,75 f ( ) 0 b c d 4.5 a g ( ) 0,05 g ( ) 0,05 ( ) 0,05 0, h ( ) 0,5 h ( ) 0,5,, ( ) 0,5,, 6, i ( ) 0,0 i ( ) 0,0 ( ) 0,0 0,06 ( ) 0,5, f + ( ) ( ) f ( ) 0,5 + 0,5 + + Aschehoug www.lokus.no Side 7 av 47
b c g ( ) 0, 0,5 ( ) ( ) g ( ) 0, 0,5 0, h ( ) h ( ) 0, 0,5 ( ) 5 4 d i ( ) + 5 4 5 4 i ( ) ( ) + ( ) 5 4 4 5 + 4 5 4 4 + 4.6 a st t t () 5 6 ( ) ( ) s () t 5 t 6 t 5 t 6 0t 6 b vt ( ) 0t + 5 v ( t) 0 c vt () 5 v () t 0 d s() t gt s () t g ( t ) g t gt 4.7 a f( ) 5 + f ( ) 0 + f () 0 + Aschehoug www.lokus.no Side 8 av 47
b f( ) 7 f ( ) f () c f( ) 8e f ( ) 8e f () 8e d f( ) 6ln f ( ) 6 6 6 f () 4.8 a Vi tegner grafen i GeoGebra. b Vi løser oppgaven med CAS: c g (7) 0 forteller oss at energibehovet til en 7 år gammel gutt er 0 kj per døgn. g (7) 55 forteller oss at for en 7-åring så øker energibehovet med 55 kj per døgn i året. Aschehoug www.lokus.no Side 9 av 47
4.9 Momentan vekstfart når tilsvarer å regne ut f (). f( ) 4 + ln f ( ) 4 ( ) + ( ln ) 4 + 4 + f () 4 + 4 + 5 4.0 Vi løser oppgaven med GeoGebra. Vi skriver først inn funksjonen f( ) i inntastingsfeltet. Vi skriver deretter inn f ( ) i inntastingsfeltet og lar GeoGebra regne ut den deriverte. 4. a f + ( ) 4 f ( ) 4 f ( ) 4 b ( ) 4 6 f ( k) k 4 c ( ) k 4 Aschehoug www.lokus.no Side 0 av 47
( + ) + 4 d f k ( k ) k + 4 k e f '( ) 0 4 0 4 7 f Løsningen forteller oss at når 7, er den momentane vekstfarten 0. 4. a f( ) 4 f ( ) ( ) 4 4 4 4 + 4 + 4 + 4 f () + + + Løsninger til oppgavene i boka Aschehoug www.lokus.no Side av 47
4 ( ) ln t t f ( t) 4 ( ln t) t b f t c d ( t ) ( t) 4 ln 4 t t 8t t 8 t t 8 t t 8 ( ) f () 8 8 8 6 8 f ( ) a + b + c f ( ) a ( ) + b ( ) + ( c) a + b a + b f () a + b 4a + b 4 f( ) ln 4ln f ( ) 4 ln 4 4 4 f () ( ) Aschehoug www.lokus.no Side av 47
4. Vi løser oppgaven i CAS. Først skriver vi inn funksjonsuttrykkene. Vi finner den deriverte av begge uttrykkene, og vi setter disse uttrykkene lik hverandre. Vi løser denne likningen og får alderen de har like stor økning. Ved en alder på, år er økningen i energibehov lik for gutter og jenter. 4.4 Den deriverte av f blir en førstegradsfunksjon med positivt stigningstall. Det vil si at grafen er lineær og stiger, noe som passer med graf 4. Den deriverte av g blir en førstegradsfunksjon med negativt stigningstall. Det vil si at grafen er lineær og synker, noe som passer med graf. Den deriverte av h blir en andregradsfunksjon. Det vil si at grafen buer, noe som passer med graf. Den deriverte av i blir en konstant. Grafen vil dermed være en vannrett linje, noe som passer med graf. Aschehoug www.lokus.no Side av 47
4.5 a f( ) ln f ( ) ln ( ) ( ) f ( ) f () ln 0 (, ) Løsninger til oppgavene i boka b f ( ) 5 5 Dette ser vi ikke er en gyldig løsning siden vi ikke kan sette inn i funksjonsuttrykket. Da får vi den naturlige logaritmen til et negativt tall, og den verdien eksisterer ikke. 4.6 a f ( ) ne n 0 e n 6 ( ) ( ) f ( ) n e n n e n ne n f (0) 6 n n n 6 n 6 n 6 Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 47
b Vi har uttrykket f ( ) ne n. Vekstfarten skal være n. Vi setter dermed f ( ) n og får denne likningen: ne n n ne n : n e ln e ln ln 4.7,6 a f( ),6,6 f() b Tangeringspunktet blir (, ). ( ) f ( ),6,6,6,6 f (),6,6,6 Tangenten har stigningstallet,6. y f f ( ) ( ) ( ) ( ) y,6 y,6,6 + y,6,6 Vi bruker kommandoen Tangent[ <-verdi>, <Funksjon> ] i CAS: c Vi tegner grafen i GeoGebra. Vi bruker kommandoen Tangent[ <Punkt>, <Funksjon> ] i inntastingsfeltet for å tegne tangentene: Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 47
4.8 a g ( ) 6 g(6) 6 6 6 6 6 Tangeringspunktet blir (,6 ). g ( ) 6 g ( ) 6 ( ) 6 6 g (6) 6 6 Tangenten har stigningstallet. ( ) ( ) ( ) y f f Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 47
b y 6 ( 6) y 8 + 6 y + 8 Vi bruker kommandoen Tangent[ <-verdi>, <Funksjon> ] i CAS: 4.9 a h ( ) 4 + 4 + h () 4 + 4 + 4 + 4 + Tangeringspunktet blir (, ). b h + ( ) 8 4 h + + () 8 4 8 4 Tangenten har stigningstallet. ( ) ( ) ( ) y f f ( ) ( ) y y + + y + 4 Vi bruker kommandoen Tangent[ <-verdi>, <Funksjon> ] i CAS: c Vi tegner grafen i GeoGebra. Vi bruker kommandoen Tangent[ <Punkt>, <Funksjon> ] i inntastingsfeltet for å tegne tangentene: Aschehoug www.lokus.no Side 7 av 47
4.0 a i + ( ) 4 ia a a ( ) 4 + Tangeringspunktet blir ( a,a 4a ) i ( ) 6 4 i ( a) 6a 4 +. Tangenten har stigningstallet 6a 4. ( ) ( ) ( ) y f f ( 4 ) ( 6 4) ( ) y a a + a a ( ) ( ) ( ) ( 6 4) y a + a a a a 4 6 4 6 4 y a a + a + a a + 6 4 6 4 4 y a a + Aschehoug www.lokus.no Side 8 av 47
b Stigningstallet gir 6a 4 6a + 4 a a 6 6 4. a Vi bruker kommandoen Tangent[ <-verdi>, <Funksjon> ] i CAS: b 4. Uttrykket skriver vi y + ln a a Stigningstallet gir a a a ( ) f ( ) + 6 f () + 4 + + Tangeringspunktet blir (,). Aschehoug www.lokus.no Side 9 av 47
4. Tangeringspunktet blir (, 5). 4.4 a Vi løser oppgaven med CAS i GeoGebra: Aschehoug www.lokus.no Side 0 av 47
b Vi setter k 6 inn i uttrykket. c Tangeringspunktet blir ( 6,97 ). 4.5 a Vi løser oppgaven med CAS i GeoGebra: Aschehoug www.lokus.no Side av 47
b k kan altså være både og 7. Vi tegner grafen til h ( ) + ki GeoGebra. Vi lager en glider for k. Vi tegner grafen til tangenten y + 5 i samme koordinatsystem. Vi beveger deretter glideren til y blir en tangent til grafen til h. Mulighet I: Aschehoug www.lokus.no Side av 47
Mulighet II: 4.6 Uten hjelpemidler: a g ( ) g ( ) g ( a) a Stigningstallet til tangenten blir altså. a Andrekoordinaten til tangeringspunktet blir ga ( ). a Ettpunktsformelen gir y g( ) g ( ) ( ) y ( a) a a y + + a a a y + a a. b Vi finner koordinaten til A når tangenten skjærer -aksen, altså når y 0. 0 + a a a a a Aschehoug www.lokus.no Side av 47
A har koordinatene ( a,0). Vi finner koordinatene til B når tangenten skjærer y-aksen, altså når 0. y 0 + a a y a B har koordinatene 0, a. Løsninger til oppgavene i boka c Arealet av OAB finner vi ved å gange OA med OB og dele svaret på, formelen for arealet av en trekant. a OA OB 4 OAB a Vi ser at arealet er uavhengig av a og dermed konstant lik. Med hjelpemidler: a Vi løser oppgaven i CAS i GeoGebra: b Vi ganger inn i parentesen og forkorter uttrykket til y a a + a. Vi fortsetter i CAS og setter 0 i likningen for y. Vi løser likningen med hensyn på y og får y-koordinaten til B. Vi setter så y 0 i likningen for y og løser likningen i CAS. Vi får -koordinaten til A. Vi får koordinatene A ( a,0) og B 0, a. Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 47
c Vi finner arealet av trekanten i CAS ved å gange -verdien (lengde) med y-verdien (høyde) med 0,5: Arealet er altså, og arealet er konstant. 4.7 a Vi løser oppgaven med CAS i GeoGebra: b Vi omformer likningen for y. y ( a) + a a a y + + a a a y + + a a a y + a a Vi bruker CAS og finner koordinatene til A og B. Vi finner til slutt arealet av trekanten ved formelen areal l b. Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 47
c A OAB 9 4a 4a 9 a 9 4 4.8 a Vi leser av figuren at tangenten skjærer y-aksen i 0,6 og har stigningstallet 0,4. y a + b y 0, 4 0,6 b Vi leser av figuren at tangenten skjærer y-aksen i 0,6 og har stigningstallet,. y a + b y, 0, 6 c Tangenten i punktet (, f () ) har ikke noe stigningstall siden punktet er et bunnpunkt. d e 4.9 a Tangenten skjærer y-aksen i 0. y a + b y 0 0 y 0 Grafen til funksjonen stiger i punktet. Dermed har den deriverte positivt fortegn. Grafen til funksjonen synker i punktet. Dermed har den deriverte negativt fortegn. f f ( ) + 6 + () + 6 + 8 4 + + 7 Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 47
b f ( ) ( ) ( ) + ( 6) + ( ) + 6 c ( ) f () + 6 4 4 + 6 4 + 6 4 y f f y f ( ) f ( ) ( ) y 7 4 ( ) y 4 8 + 7 y 4 d ( ) ( ) ( ) 4.40 a g ( ) 0 ln g() 0 ln 0 0 0 b g ( ) 0 ( ) ( ln ) c 0 0 g () 0 0 9 y g g y 0 9 ( ) y 9 9 + 0 y 9 + d ( ) ( ) ( ) 4.4 Uten hjelpemidler: ( ) f + f ( ) f '(4) 4 8 5 Vi bruker ettpunktsformelen. Aschehoug www.lokus.no Side 7 av 47
( 4) ( 4) ( 4) 5 5 ( 4) y f f y y 5 0 + 5 y 5 5 Med CAS: 4.4 a Vi finner nullpunktene i CAS ved å sette uttrykket g ( ) 0. b Vi finner tangenten i CAS ved kommandoen Tangent[ <Punkt>, <Funksjon> ]. Grafen skjærer -aksen i nullpunktet ln. Tangenten har likningen y + ln. 4.4 Uten hjelpemidler: g ( ) + 4 g ( ) Vi setter den deriverte lik. Aschehoug www.lokus.no Side 8 av 47
g ( ) Vi finner tilhørende y-verdier. g () 4 4 4 + + ( ) ( ) g( ) + 4 + + 4 4 Vi finner så tangenten i to punktene med ettpunktsformelen. ( ) ( ) ( ) 4 ( ) y g g y y + 4 y + ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( + ) y g g y y + + 4 y + 6 Med hjelpemidler bruker vi CAS: Aschehoug www.lokus.no Side 9 av 47
4.44 a Vi tegner en tangent på grafen i punktet 0,5, f ( 0,5) b c ( ) Løsninger til oppgavene i boka. Vi ser at denne tangenten har stigningstallet ca.,6 og skjærer y-aksen i ca.,7. Dermed har tangenten likningen y,6 +,7 Vi leser av grafen: A,5, 5 B 0, C,, 0 D, 0,8 E, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Vi skriver punktene inn i regnearket i GeoGebra, markerer punktene og bruker verktøyet Regresjonsanalyse. Vi velger Regresjonsmodell Polynom og Grad. d Vi får altså tredjegradsfunksjonen Vi kontrollerer svaret i CAS: f( ) 0,7,08 0,0 +. Svaret i oppgave a stemmer. Aschehoug www.lokus.no Side 0 av 47
4.45 a Vi regner ut f (4) : b Vi regner ut f (4) : c y f ( 4) f ( 4) ( 4) y ( 4) y 48 + y 6 d Vi setter f ( ) 8. Vi bruker deretter kommandoen Tangent[ <Punkt>, <Funksjon> ] for å finne likningen for tangenten i punktet. 4.46 a Vi bruker CAS. Vi definerer funksjonen g [], Vi definerer likningen for tangenten som funksjonen h [], vi finner -koordinaten til tangeringspunktet ved å løse likningen g ( ) [], og til slutt finner vi de respektive k-verdiene ved å løse likningen g ( ) h ( ) [4]. Aschehoug www.lokus.no Side av 47
b y + er en tangent til grafen hvis k 5 eller k 7. Vi tegner grafene i samme koordinatsystem i GeoGebra, med tangenten. Aschehoug www.lokus.no Side av 47
4.47 a Vi definerer funksjonen i CAS. Vi bruker deretter verktøyet Faktoriser fra verktøylinja: b Nullpunktene finner vi med CAS, eller vi ser dem ut fra det faktoriserte uttrykket: Aschehoug www.lokus.no Side av 47
c Vi finner tangenten i punktet P (, h( ) ) med CAS: d Vi setter funksjonsuttrykket h lik tangenten og må løse likningen h ( ) + 5. Denne likningen kan omformes. h ( ) + 5 + + 5 + 5 0 9 5 0 e Vi løser likningen i CAS: Vi får dermed den andre løsningen 5. Punktet Q blir ( 5, 60 ). f Vi setter h ( ) lik stigningstallet til tangenten, som er. Det skjer altså også når. Punktet blir (,6 ). 4.48 a Minimalpunkt for, der grafen går fra å synke til å stige. Maksimalpunkt for, der grafen går fra å stige til synke. b f er voksende for,. c f er minkende for,,. For eksempel: Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 47
4.49 a f( ) + 6 f + ( ) 6 ( ) + ABC ( )( ) + Vi lager fortegnslinje. Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 47
Vi får et toppunkt for. f ( ) + 6 8 + 6 + 0 ( ) ( ) ( ) Toppunktet har koordinatene (,0). Vi får et bunnpunkt for. f () + 6 + 6 7 ( ) ( ) ( ) 7 Bunnpunktet har koordinatene,. b f er voksende for,,. f er minkende for,. Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 47
c Vi tegner grafen i GeoGebra. Vi ser av grafen at utregningene stemmer. Aschehoug www.lokus.no Side 7 av 47
4.50 Vi ser at funksjonen minker til venstre for ln, og at funksjonen stiger til høyre. Dermed har vi ln, ln. et bunnpunkt. Bunnpunktet har koordinatene ( ) 4.5 a f + ( ) 6 7 f + ( ) ( ) 4 + 4 Vi løser likningen ( ) ( ) 4 ± 4 4 4 4 ± 0 Vi regner ut y-verdien: 4 + 4 0 med abc-formel og finner -verdien. Aschehoug www.lokus.no Side 8 av 47
b () 6 7 f + 8 4 + 4 7 Det stasjonære punktet har koordinatene (, ). Vi lager fortegnslinje for den deriverte. Vi ser at den deriverte ikke skifter fortegn. Dermed har vi ikke noe ekstremalpunkt, men et terrassepunkt. c f er voksende for, og for,. Aschehoug www.lokus.no Side 9 av 47
d Vi tegner grafen i GeoGebra. Vi ser at resultatene stemmer. Aschehoug www.lokus.no Side 40 av 47
4.5 a Vi løser oppgaven med CAS: Vi deriverer først funksjonen før vi bruker verktøyet Faktoriser i verktøylinja på svaret. (4 + )(4 ) f ( ) b Vi finner monotoniegenskapene med CAS. Vi løser først likningen f ( ) 0. Siden må være større enn 0, er det bare for hvor den deriverte skifter fortegn. 4 Funksjonen minker for 0,. 4 Funksjonen vokser for,. 4 Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 47
c Vi ser at vi her har et bunnpunkt for. 4 Dette svaret omformer vi. ln 4 + + ln + ln Bunnpunktet har altså koordinatene 4.5 a Vi løser oppgaven i CAS:, + ln 4. Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 47
b Vi ser at 00 er et toppunkt, og 00 er produksjonsmengden som gir mest overskudd. Dette overskuddet er 700 kr. Vi tegner grafen i GeoGebra. Vi finner toppunkt med kommandoen Ekstremalpunkt[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>]. Størst overskudd ved produksjon på 00 enheter. Da er overskuddet 700 kr. 4.54 a Vi bruker CAS og finner ekstremalpunktet: Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 47
b Vi ser at ekstremalpunktet er et toppunkt. Ballen er høyest etter sekund. Vi finner høyden på ballen. 4.55 a Ballen kom 6,4 meter opp i lufta. At bæreevnen B er proporsjonal med bredden og kvadratet av høyden y, betyr at den kan skrives på formen B ( ) k y, der k er en positiv konstant. Pytagorassetningen forteller oss at + y 0. Det gir y 900. Vi får uttrykket ( ) ( ) B ( ) k 900 k 900. b Siden diameteren av røret er 0,0 cm, må definisjonsmengden være 0,0 B D. c Vi finner først bredden : Aschehoug www.lokus.no Side 44 av 47
Vi får et toppunkt når 0 7,. Bredden er altså 7, cm når bærekraften er størst. Vi finner y ved hjelp av sammenhengen y kommandoen Løs[ <Likning>, <Variabel> ]: 900. Vi løser likningen i CAS med Høyden må være positiv, og den er altså 4,5 cm når bærekraften er størst. 4.56 a Bredden vil bli b 48. Lengden vil bli l 0. Høyden vil bli h. Volumet er gitt ved ( ) ( 0 ) ( 48 ) V l b h. b Vi løser oppgaven med CAS: Aschehoug www.lokus.no Side 45 av 47
Vi får toppunktet for 6, siden det er her funksjonen går fra å vokse til minke. 4.56 c Det største volumet blir 888 cm. Det tilsvarer ca.,9 liter. Høyden i esken er 6 cm. 0 6 0 8 cm. Lengden i esken blir ( ) Bredden i esken blir 48 ( 6) 48 6 cm. Vi tegner en skisse i GeoGebra: Aschehoug www.lokus.no Side 46 av 47
4.57 En tredjegradsfunksjon er på formen f ( ) a b c d + + +. Ut fra topp- og bunnpunktet, det generelle funksjonsuttrykket og at den deriverte er null i ekstremalpunktene, kan vi nå sette opp fire likninger: Aschehoug www.lokus.no Side 47 av 47
a + b + c + d a + b + c + d 6 6 6 a + b + c 6 6 0 a + b + c 0 Vi bruker kommandoen Løs[ <Liste med likninger>, <Liste med variabler> ] i CAS: Vi får funksjonsuttrykket 9 f 8 ( ) + + 4.58 4 + stiger, mens minker. Dette ser vi på tallet foran -leddet. Grafen vil derfor ha et bunnpunkt for 0 og 6, mens den vil ha et toppunkt for. f (0) 0 + 4 4 f () 0 f (6) 6 7 Bunnpunkt: ( 0,4 ) og ( 6,7 ). Toppunkt: (,0). 4.59 g ( ) + g ( ) Vi lager fortegnslinje for den deriverte. Aschehoug www.lokus.no Side 48 av 47
Vi får et toppunkt for 0. f (0). Toppunkt: ( 0, ) Vi får et bunnpunkt for. f (). Bunnpunkt: (, ). I tillegg har vi et bunnpunkt i randpunktet. ( ) 4.60 a f( ) 0 0 ( ) 0 0 0 0 Nullpunkter: ( 0,0 ) og (,0 ). f. Bunnpunkt: (,). b c f D f ( ),4 f ( ) 6 f ( ) 6 ( ) Aschehoug www.lokus.no Side 49 av 47
d Grafen vokser:,0,4 Grafen minker: 0, e Vi ser på fortegnslinja at f har et toppunkt for 0 og et bunnpunkt for. f (0) 0 0 0 f Toppunktet har koordinatene ( 0,0 ). f () 8 4 Bunnpunktet har koordinatene (, 4). Grafen ser slik ut: Aschehoug www.lokus.no Side 50 av 47
4.6 Løsninger til oppgavene i boka a Vi ser at funksjonsuttrykket inneholder. Vi kan bare ta kvadratroten av tall som er større eller lik 0. Vi får definisjonsmengden D g 0,. b g ( ) 0 6 0 6 ( 6 ) ( 6) ( ) 6 0 + ( ) + 6 0 0 + 6 0 0 6 Vi får altså to nullpunkter. c g ( ) 6 6 ( ) ( ) g ( ) 6 6 ( ) 6 6 d Vi setter først g ( ) 0. g ( ) 0 0 ( ) 9 Vi lager fortegnslinje: Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 47
e Grafen vokser: 0,9 Grafen minker: 9, f Grafen har et toppunkt for 9. g (9) 6 9 9 6 9 8 9 9 9,9. g Toppunktet har koordinatene: ( ) Grafen har også et randpunkt når 0 som her er et bunnpunkt. g (0) 6 0 0 0 Bunnpunktet har koordinatene ( 0,0 ). Grafen ser slik ut: Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 47
4.6 Den blå grafen er funksjonen, den oransje er grafen til den deriverte av funksjonen. Dette ser vi fordi den oransje grafen er null der den blå grafen har topp- og bunnpunkt. 4.6 a f( ) f ( ) Vi setter den deriverte lik 0. 0 0 0 Vi lager fortegnslinje. Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 47
b Grafen har altså et terrassepunkt når 0. f (0) 0 Punktet har koordinatene ( 0,0 ). f( ) e ( ) ( ) f ( ) e e e Vi setter den deriverte lik 0. e 0 e ln e ln ln Vi lager fortegnslinje. c Grafen har altså et toppunkt når ln. ln f (ln ) ln e ln Punktet har koordinatene ( ln, ln ). f( ) + 4 f ( ) 4 + 4 Vi setter den deriverte lik 0. Aschehoug www.lokus.no Side 54 av 47
f ( ) 0 4 + 4 0 abc-formel ( ) ( ) 4 ± 4 4 4 4 ± 6 6 4 Vi lager fortegnslinje. d Grafen har altså et terrassepunkt når. 8 6 9 7 6 6 6 f () + 4 8 + 8 Punktet har koordinatene f( ) ln ( ) ( ) f ( ) ln Vi setter den deriverte lik 0. 7, 6. Aschehoug www.lokus.no Side 55 av 47
f ( ) 0 0 0 ( )( ) + 0 Her er bare Vi lager fortegnslinje. 0 + en gyldig løsning siden > 0. Grafen har altså et toppunkt når. Aschehoug www.lokus.no Side 56 av 47
4.64 a f ln ln ln ln ln ln ln ln ln + ln + Punktet har koordinatene f( ) e ln +,. Vi løser oppgaven med CAS. I denne oppgaven bruker vi kommandoen Nløs. Aschehoug www.lokus.no Side 57 av 47
Grafen vokser:, 0,6,5, Grafen minker: 0,6,,5 Toppunkt for 0,6 og bunnpunkt for,5. Toppunkt: ( 0,6,,7). Bunnpunkt: (,5, 0,66). b f( ) ln Vi løser oppgaven med CAS. I denne oppgaven bruker vi kommandoen Nløs. Siden oppgaven inneholder den naturlige logaritmen til, vet vi at må være større enn 0, siden vi ikke kan ta den naturlige logaritmen av 0 eller negative tall. Grafen minker: 0,4 Grafen vokser: 4, Bunnpunkt for 4. Bunnpunkt: ( 4, ln 4). Aschehoug www.lokus.no Side 58 av 47
c Vi løser oppgaven med CAS: Grafen vokser: Grafen minker: Toppunkt for + +,, 8 8 + +,, 8 8 + og for, og bunnpunkt for 8 +. 8 Aschehoug www.lokus.no Side 59 av 47
d +,,6 0,59,,6 8 Toppunkt: ( ) + Bunnpunkt:,,08 ( 0,84,,08 ). 8 Vi løser oppgaven med CAS: og (,0 ). Aschehoug www.lokus.no Side 60 av 47
I tillegg ser vi at vi har et brudd for 0. Grafen vokser:,,,, Grafen minker:,, 0 0,, Toppunkt for, og bunnpunkt for,. Toppunkt: (,,,75) Bunnpunkt: (,,, 75 ) Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 47
4.65 a For å ha et ekstremalpunkt i intervallet a, b må den deriverte være null i intervallet. Det vil si b f: at grafene til den deriverte må ha ett eller flere nullpunkter. Der den deriverte går fra å være positiv (over -aksen) til å være negativ (under -aksen) har vi et maksimalpunkt. Motsatt har vi et maksimalpunkt. f: et maksimalpunkt g: et minimalpunkt h: ingen i: et terrassepunkt, men ingen maksimal- eller minimalpunkt j: ingen i: først et maksimalpunkt, så et minimalpunkt Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 47
g: h: Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 47
i: j: Aschehoug www.lokus.no Side 64 av 47
k: Aschehoug www.lokus.no Side 65 av 47
4.66 a b c d Løsninger til oppgavene i boka Hvis er mindre eller lik 0, eller større eller lik 4, vil y-verdien bli 0 eller negativ. Da har ikke rektanglet noen høyde. h y h 4 4 4 h 4 4 4 h Dette gir oss avstanden fra 0 til. Men bredden er dobbelt så lang siden grafen speiler seg om y-aksen. 4 Dermed blir bredden 4 h. Arealet blir A h b 4 ( ) Ah ( ) h 4 h 4 4 h h Vi løser oppgaven med CAS: Vi ser at Ah ( ) har et toppunkt når 6 h. 5 Aschehoug www.lokus.no Side 66 av 47
e Størst areal i CAS: 4.67 Siden funksjonen har et bunnpunkt for, vet vi at f () 0. Siden funksjonen har en tangent med stigningstall for, vet vi at f ( ). Dermed har vi to likninger med a og b som ukjente. Vi løser likningssettet i CAS med kommandoen Løs[ <Liste med likninger>, <Liste med variabler> ]. 4.68 a Vi regner ut den siste siden i trekanten med pytagorasetningen 0 + 40 : Den siste siden er 50. Arealet av trekanten er Vi finner høyden i trekanten ned på grunnlinja i CAS: Aschehoug www.lokus.no Side 67 av 47
Vi kaller høyden i det innskrevne rektanglet for y. Arealet av rektanglet blir da A ( ) y. Vi ser at arealet av det innskrevne rektanglet og av de tre små trekantene til sammen blir arealet av den store trekanten. I utregningen slår vi sammen grunnlinjene til de to nederste trekantene på figuren, og de får samlet grunnlinje på 50. Det gir oss følgende likning: ( 4 y) ( 50 ) y + + y 600 Vi løser likningen i CAS, med y som variabel. Vi finner uttrykket for arealet av det innskrevne rektanglet: A ( ) y A ( ) 4 5 A ( ) 4 5 Aschehoug www.lokus.no Side 68 av 47
b Vi regner ut det største arealet i CAS: Vi har et toppunkt for 5. Det største arealet det innskrevne rektanglet kan ha, er 00. 4.69 a Kjernen er u ( ) 8. b Den ytre funksjonen er ln u. ( ) Kjernen er u ( ). Den ytre funksjonen er u ( ). c Kjernen er u ( ) 5+ 4. 4.70 Den ytre funksjonen er 6 ( u ( )). f( ) e 4.7 5 + 6 a ( ) 4 f( ) Kjerne: u u Aschehoug www.lokus.no Side 69 av 47
Ytre funksjon: 4 4 u ( u ) 4u f ( ) 4 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) 8 b ( ) g ( ) + 5 Kjerne: + 5 u + 5 u Ytre funksjon: u ( u ) ( ) ( ) ( 5) ( 5) ( 4 0) ( 5) g ( ) + 5 + 5 + + + + u c ( ) 6 4.7 a h () 4+ 5 Kjerne: u 4 + 5 u 4 Ytre funksjon: 6 6 5 u ( u ) 8u h ( ) 8 4 + 5 4 + 5 ( 5 ) ( ) ( 5 ) ( 5 ) 8 4 + 5 4 7 4 + 5 4 f( ) e Kjerne: u 4 u 4 Ytre funksjon: e u u ( e ) e u b ( ) 4 f ( ) e 4 4 e 4 4e 4 + 8 g ( ) e Kjerne: + 8 u + 8 u Ytre funksjon: e u u ( e ) e u Aschehoug www.lokus.no Side 70 av 47
c ( ) + 8 g ( ) e + 8 + 8 e ( 8) + 8 ( 8e ) + + ( ) 5e h 4.7 Kjerne: u u Ytre funksjon: 5e u u ( 5e ) h ( ) ( ) ( ) 5e 5e 0e a f( ) 4 5e u Kjerne: u 4 u 4 Ytre funksjon: u ( u ) f ( ) ( 4 ) 4 4 4 4 u b g + ( ) Kjerne: + u + u Ytre funksjon: u ( u ) g ( ) ( + ) + ( + ) + ( + ) + + + u Aschehoug www.lokus.no Side 7 av 47
c h ( ) ln Kjerne: u ln u Ytre funksjon: u ( u ) h ( ) ln ln ln ln 4.74 a f( ) ln ( ) Kjerne: u u Ytre funksjon: ln u ( ln u) f ( ) ( ) b g ( ) ln ( ) u u Kjerne: u u Ytre funksjon: ln u ( ln u) g ( ) ( ) ( ) h ( ) 4ln c ( ) Kjerne: u u Ytre funksjon: 4 ln u ( u) u 4 ln 4 u u Aschehoug www.lokus.no Side 7 av 47
4.75 4 h ( ) 4 8 a f( ) b ( ) f ( ) ln ln g ( ) Kjerne: u u Ytre funksjon: u u ( ) u ln c ( ) g ( ) ln ln ln h ( ) 4 5 4.76 a Kjerne: u. Ytre funksjon: 4 5 u u u ( ) ( ) ( ) ( ) h( ) 4 5 ln 5 4 5 ln 5 4ln 5 5 f( ) e u 4 5 4 5 ln5 Kjerne: u u Ytre funksjon: e u u ( e ) e u ( ) f ( ) e e e b g ( ) ln ( + ) Kjerne: u + u Aschehoug www.lokus.no Side 7 av 47
Ytre funksjon: ln u ( ln u) g ( ) ( + ) + + + u c ( ) 4 4.77 h ( ) Kjerne: u Ytre funksjon: u 4 4 u ( u ) 4u ( ) ( ) ( ) ( ) h ( ) 4 a f( ) 7 4 8 f ( ) 7 ln 7 ln 7 7 b g ( ) 7 Kjerne: u 7 u Ytre funksjon: u ( u ) g ( ) ( 7) 7 7 7 u c h 7 ( ) e Kjerne: u 7 u 7 Ytre funksjon: e u u ( e ) e u Aschehoug www.lokus.no Side 74 av 47
4.78 a h ( ) ( ) 7 ( ) e 7 7 e 7 7e + 5 7 f( ) e Kjerne: u 5 + u + 5 Ytre funksjon: e u u ( e ) ( ) f ( ) e 5 + 5 + + 5 e ( 5) + 5 ( 5e ) + + b ( ) g ( ) ln Kjerne: u ln u Ytre funksjon: u ( u ) e u u c g ( ) ln ln ln ln h ( ) ( ) 4.79 Kjerne: u u Ytre funksjon: u ( u ) h ( ) ( ) a ( ) f( ) ( ) Vi setter f( ) 0 og finner nullpunkt. u Aschehoug www.lokus.no Side 75 av 47
( ) 0 ( ) 0 0 b ( ) ( ) f () 4 7 Vi finner så den deriverte. Kjerne: u u Ytre funksjon: u u u ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) 6( ) ( ) ( ) c y f() f () ( ) y 7 54 ( ) 4.80 f () 6 6 4 6 6 9 54 y 54 08 + 7 y 54 8 a ( ) b 4.8 a f( ) 5 Kjerne: u 5 u 5 Ytre funksjon: u u u ( ) f ( ) 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 0 5 50 0 ( ) f( ) 5 + 5 0 f ( ) 50 0 f ( ) e e Vi setter f( ) 0 og finner nullpunkt. Aschehoug www.lokus.no Side 76 av 47
e e 0 ( ) ( ) e e 0 e e 0 e 0 e 0 ln e ln 0 ln e ln ln Nullpunkt for ln. b f () ( e ) e ( ) e e ( ) e e Vi lager fortegnslinje. e har et nullpunkt for 0. Dette kan vises slik: e 0 e ln e ln 0 Vi ser at funksjonen går fra å minke til å vokse for 0, og grafen har et bunnpunkt. 0 0 0 0 f (0) e e e e Bunnpunktet har koordinatene ( 0, ). 4.8 a Vi løser oppgaven med CAS og finner M (80) : Aschehoug www.lokus.no Side 77 av 47
b Vi finner den deriverte M (80) med CAS: c 4.8 Svaret i oppgave a forteller at etter tre timer (80 minutter) strømmer det 6,9 kilo gass per minutt inn i beholderen. Svaret i oppgave b forteller at etter nøyaktig tre timer avtar innstrømmingen med 0,9 kilo per minutt, altså den momentane vekstfarten. kt a f( t) 0e 0 Vi får vite at f (5) 78. Det gir oss likningen k 5 78 0e 0 5k 78 0e 0 Vi løser denne likningen i CAS og finner k: Aschehoug www.lokus.no Side 78 av 47
b Vi setter k 0,0 inn i uttrykket og regner ut f () i CAS: Løsninger til oppgavene i boka c Temperaturen synker med grader i minuttet etter minutter. Vi tegner grafen i GeoGebra: Aschehoug www.lokus.no Side 79 av 47
4.84 a For at funksjonen skal være gyldig, må logaritmen av 0 eller negative tall. + > 0 ( ) + > 0 Vi lager fortegnslinje: Løsninger til oppgavene i boka + > 0, siden vi ikke kan ta den naturlige Fra fortegnslinja ser vi at D f, 0,. b f( ) ln ( + ) Kjerne: u + u + Ytre funksjon: ln u ( ln u) u f ( ) ( + ) + ( + ) + + + ( ) Vi lager fortegnslinje: Aschehoug www.lokus.no Side 80 av 47
4.85 Her er ikke funksjonen definert for [,0], så dette intervallet må vi se bort fra. Funksjonen vokser: 0, Funksjonen minker:, a Vi løser likningen i GeoGebra. Vi tegner funksjonen Mt () og linja y 45. Vi bruker verktøyet Skjæring mellom to objekt og klikker på de to grafene. Vi får da dette skjermbildet: Mt ( ) 45 gir t 50,94 5. Aschehoug www.lokus.no Side 8 av 47
b Vi løser likningen i CAS. Vi bruker her kommandoen NLøs[ <Likning>, <Variabel> ]. c M ( t) 0, 40 gir t 9,68 0,0. Svaret i oppgave a forteller at det strømmer inn 45 kilo gass per minutt etter ca. 5 minutter, i overkant av,5 timer. Svaret i oppgave b forteller at mengden gass som strømmer inn i beholderen per minutt, avtar med 0,4 kilo i minuttet etter ca. 0 minutter. Aschehoug www.lokus.no Side 8 av 47
4.86 Vi løser oppgaven med CAS: Minimalverdien er. 4.87 ( ) ( ) f( ) ln 8 f () ln 8 ( ) ln 9 8 ln 0 0 Vi finner f ( ). Kjerne: u 8 u Ytre funksjon: ln u ( u) ln u u Aschehoug www.lokus.no Side 8 av 47
f ( ) ( 8 ) 8 ( ) 8 4 8 4 f () 9 8 8 Vi bruker ettpunktsformelen: ( ) ( ) y f() f () 4.88 y 0 y 6 ( ) a f( ) ln ( ) Kjerne: u ln ( ) b Her må vi bruke kjernederivasjon en gang til for å finne u. Kjerne: v v Ytre funksjon: ln v ( ln v) v u ( ) Den deriverte av kjernen blir u. Ytre funksjon: u u u ( ) ( ( )) ( ) ( ( ) ) ( ) f ( ) ln ln ( ln ( ) ) g ( ) e ln + Kjerne: u + Aschehoug www.lokus.no Side 84 av 47
c Her må vi bruke kjernederivasjon en gang til for å finne u. Kjerne: v + v Ytre funksjon: v ( v ) v u ( + ) + + + Den deriverte av kjernen blir u ' +. u e u e Ytre funksjon: e u ( ) ( ) g + + ( ) e + e e + + 4 h ( ) + e Kjerne: 4 u + e + Ytre funksjon: u ( ) h ( ) + e 4 + e 4 4e 4 + e e 4 + e 4 4 ( ) 4.89 a f( ) ln ( + ) 4 u 4e u u Løsninger til oppgavene i boka Vi kan bare ta den naturlige logaritmen av tall større enn 0. Dermed må + > 0. + > 0 > > Aschehoug www.lokus.no Side 85 av 47
b D f, Vi finner ekstremalpunktene i CAS: Funksjonen har et toppunkt for 5. Vi finner tilhørende y-verdi i punktet: c Funksjonen vil aldri komme høyere enn V f 5, ln 6 6 Tangenten skal være parallell med linja 5 ln 6. Vi får denne verdimengden: 6 5 5 y. Det vil si at f ( ). Aschehoug www.lokus.no Side 86 av 47
Vi vet altså at tangenten tangerer grafen til funksjonen i 0. Vi finner f (0) : 4.90 Vi kan nå bruke ettpunktsformelen: y f(0) f (0) 0 ( ) e f 5 y 0 0 5 y ( ) ( ) Vi finner den deriverte f ( ) : Kjerne: u u u e u e Ytre funksjon: e u ( ) ( ) f ( ) e e ( ) ( ) e Ettpunktsformelen gir oss y f( ) f ( ) ( ) Vi setter inn uttrykkene for f( ) og f ( ) i formelen: ( ) ( ) ( ) ( ) y e e Vi vet at tangenten går gjennom punktet,. Det vil si at og også inn i formelen: ( ) ( ) e ( ) e y. Dette setter vi Aschehoug www.lokus.no Side 87 av 47
Denne likningen løser vi med CAS: Vi får fire løsninger: 0,9 0 4,9 Vi finner y-verdiene i CAS: Aschehoug www.lokus.no Side 88 av 47
Vi får punktene 0,9, 0,58 0,,,9, 0,58 ( ) ( ) ( ) ( ) 4.9 a f( ) ln u v ln f ( ) ( ) ln + (ln ) ln + ln + b g ( ) e u v e g ( ) ( ) e + (e ) e + e e + e ( + )e c h ( ) e u v e h ( ) ( ) e + (e ) e + e e e + ( + )e 4.9 a ( ) e f u v e f ( ) ( ) e + (e ) e + e ( + )e Aschehoug www.lokus.no Side 89 av 47
b g ( ) e u e v g ( ) (e ) + e ( ) e + e + ( )e c h ( ) e ln u e v ln h ( ) (e ) ln + e (ln ) e ln + e ln e + e ( ln + )e 4.9 a f( ) e u v e f + ( ) ( ) e (e ) + e e ( + )e b g ( ) ln u v ln g ( ) ( ) ln + (ln ) ln + ln + Aschehoug www.lokus.no Side 90 av 47
c h () + e u + 4.94 a v e ( ) h ( ) + e + + (e ) e + + e + e ( + )e + + + ( + )e + f( ) e u v e ( ) f ( ) ( ) e + e e + e ( )e + b g ( ) 5 e u 5 v e g ( ) (5 ) e + 5 (e ) 5 e + 5 e ( ) 5( )e c h ( ) 4ln 5 u 4 v ln 5 h ( ) (4 ) ln 5+ 4 (ln 5 ) 4 ln 5+ 4 5 5 4(ln 5 + ) Aschehoug www.lokus.no Side 9 av 47
4.95 a f( ) ( ) ln u ( ) v ln ( ) f ( ) ( ) ln + ( ) (ln ) ( ) ln ( ) + 6 ( ) ln ( ) + ( )(6ln + ) b g ( ) ln ( + ) c u ( ) v ln + ( ) ( ) g ( ) ( ) ln + + ln( + ) ln + + + ( ) + ln ( + ) + + h ( ) e 6 u 6 v e 4 4 ( + ) h ( ) e + 6 6 e + 6 6 4 (4+ ) e 6 ( ) 4 4 4 4 e e 4 Aschehoug www.lokus.no Side 9 av 47
4.96 a f() e u v e f ( ) ( ) e + (e ) e + e ( + )e b g ( ) 4ln u 4 v ln g ( ) (4 ) ln + 4 ln 4 ln + 4 4(ln + ) c h ( ) ( ) ln ( ) ( ) d u ( ) v ln ( ) ( ) ( ) ( ) h ( ) ln + ln( ) ln + ( ) ( ) ( ) ( ) ln( ) + i ( ) ln u ln v i ( ) (ln ) + ln + ln ( ) ln Aschehoug www.lokus.no Side 9 av 47
e j ( ) u f v ( ) j ( ) ( ) + k + + ( ) e u v e ( ) ( ) k ( ) e + e + e e ( ) ( ) e 4.97 a b f( ) (ln ) ln ln u ln v ln f ( ) ln ln + ln ln ( ) ( ) ln + ln ln c f ( ) 0 ln 0 ln 0 Vi lager fortegnslinje for f ( ). Aschehoug www.lokus.no Side 94 av 47
Vi ser av fortegnslinja at f har et bunnpunkt for. f () (ln) 0 Bunnpunkt: (, 0) 4.98 a f ( ) b ( ) e f( ) 0 ( ) 0 ( ) e 0 Nullpunktene til f er 0 og. Vi løser i CAS: Den deriverte skifter fra positiv til negativ i (,68, 0,840), som dermed er et topppunkt, og fra negativ til positiv i (0,68, 0,48), som dermed er et bunnpunkt. Toppunktet er (,68, 0,840), og bunnpunktet er (0,68, 0,48). Aschehoug www.lokus.no Side 95 av 47
4.99 a f( ) e u v e ( ) f '( ) ( ) e + e e + e ( + )e Vi lager fortegnslinje for f ( ). Vi ser av fortegnslinja at f har et bunnpunkt for. f ( ) ( ) e e Bunnpunkt: b g ( ) ln u v ln, e g ( ) ( ) ln + (ln ) ln + (ln + ) Vi lager fortegnslinje for g ( ). Vi ser av fortegnslinja at g har et bunnpunkt for g ln ( ) e e e e e Bunnpunkt:, e e. e Aschehoug www.lokus.no Side 96 av 47
c Funksjonen h har definisjonsmengden D h [0,. h ( ) e u e v h ( ) (e ) + e ( ) e + e e ( + ) h ( ) 0 e ( + ) 0 + 0 0,5 Den deriverte av h er ikke lik null for noen -verdi i definisjonsmengden. Den deriverte eksisterer ikke for 0 og er positiv for alle verdier av i definisjonsmengden. 0 er dermed et bunnpunkt. ( ) 0 h 0 e 0 0 Bunnpunkt: (0, 0) 4.00 a Lengden l av grunnlinja i trekanten er. b Høyden h i trekanten er f( ). Arealet av en trekant er gitt ved A g ( ) f( ) g ( ) e e 4 6 6 Vi velger u og v og deriverer. l h. Aschehoug www.lokus.no Side 97 av 47
u 4 v e 6 6 6 g ( ) e + e 4 4 6 6 e + e 4 4 6 6 e e 8 8 6 6 (6 )e 8 6 Vi lager fortegnslinje for g ( ). Vi ser av fortegnslinja at g har et toppunkt for 6. Det største arealet trekanten kan ha, er dermed 6 9 6 g(6) 6 e 4 e d Trekanten er likebeint når OA AB, dvs. når f( ). Vi definerer funksjonen i CAS, løser likningen og finner det tilhørende arealet: Trekanten er likebeint når,. Arealet av trekanten er da 0,748. Aschehoug www.lokus.no Side 98 av 47
4.0 a ( ) (5 ), [ 0, 5] f D f u v (5 ) ( ) f ( ) ( ) (5 ) + (5 ) (5 ) (5 ) ( ) + (5 ) (5 ) (5 ) (5 4 ) b Vi lager fortegnslinje for f ( ). c Vi leser av fortegnslinja at f har et toppunkt for 6, 5. Det betyr at det ble høstet flest epler etter ca. 6 dager. 4.0 a f + + ( ) ( 4 ) + 4 u v + ( ) f + + + + + ( ) ( 4 ) ( 4 ) + + + + + ( 4) ( 4 ) (+ 4) (+ ) + 4 + + + + + + + + 4 8 4 4 + + 5 4 4 + + Aschehoug www.lokus.no Side 99 av 47
b c g ( ) (5 ) e u (5 ) v e ( ) ( ) ( ) g ( ) (5 ) e + (5 ) e + (5 ) ( ) e (5 ) e ( ) 6 (5 ) (5 ) e ( )(5 ) e ( ) e ln h u e v ln h ( ) e ln + e ln ( ) ( ) e ln e + e 4 ln e + ln ln (4ln + )e ln ln 4.0 a Lengden l og bredden b av esken er like. b l b k Høyden h av esken er. V lbh V( ) ( k ) må være større enn null for at esken skal ha en positiv høyde og dermed svare til en virkelig k eske. For at esken skal ha positive sidekanter, må vi også ha k > 0 <. k Dette gir følgende definisjonsmengde: D V 0,. Aschehoug www.lokus.no Side 00 av 47
c Vi definerer funksjonen i CAS og finner nullpunktene til den deriverte: d Vi forkaster verdien utenfor definisjonsmengden. Den andre verdien må være ett toppunkt, da vi vet at volumet er null i begge randpunktene for definisjonsmengden (enten høyde lik null eller sidekanter lik null), og at vi må ha et positivt volum av esken mellom disse verdiene. k Volumet er størst mulig for. 6 Vi finner det største volumet i CAS: Det største volumet esken kan ha, er 7 k. 4.04 a 00 S ( ) 000 ln, D S 0, 60 u 000 00 v ln 00 00 S ( ) (000 ) ln + 000 ln 00 00 000 ln + 000 00 00 000 000 ln 00 000 ln Aschehoug www.lokus.no Side 0 av 47
b Vi definerer funksjonen i CAS og finner toppunktet: Prisen må være ca. 7 kr for at salgssummen skal bli størst mulig. 4.05 Vi deriverer funksjonen ved hjelp av produktregelen. u u ( ) v k ( ku ( )) u ( ) k+ u ( ) k ku ( ) + u ( ) 0 k u ( ) Dette beviser regelen fra underkapittel 4A. 4.06 ln a f( ) u ln v f ( ) ( ln ) ln ( ) ( ) ln ln Aschehoug www.lokus.no Side 0 av 47
b g ( ) c u e v e g ( ) ( ) e ( e ) ( e ) e ( ) e ( e ) 4 h ( ) u 4 v h ( ) ( 4 ) ( 4) ( ) ( ) ( 4) 4 4.07 e a f( ) u e f ( ) v ( e ) e ( ) ( ) 4 ( )e e e Aschehoug www.lokus.no Side 0 av 47
b c + g ( ) + u + v + g ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 6+ 6 4 h ( ) ln u ( + ) ( + ) v ln h ( ) ( ) ln ( ln ) ( ln ) ( ln ) ( ln ) 6 ln ( ln ) 4.08 a f( ) u ln ln v e e Aschehoug www.lokus.no Side 04 av 47
b c f ( ) ( ) ( ) ( ) ln ( ) ( ) e g ( ) ln e ln ( ) ln ( ) ( ln ) e u e g ( ) h ( ) v ( e ) e ( ) ( ) e e ( )e + h ( ) u + v ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) Aschehoug www.lokus.no Side 05 av 47
4.09 a f( ) e u v e f ( ) e ln b g ( ) u ln v g ( ) ( ) e ( e ) ( e ) e e ( e ) ( ln ) ln ( ) ( ) c ln ln e h ( ) u e v h ( ) ( e ) e ( ) ( ) e ( ) e 4 ( + )e Aschehoug www.lokus.no Side 06 av 47
4.0 a b c e f( ) u e v f ( ) ( e ) e ( ) ( ) e e 4 ( )e e g ( ) u e v g ( ) h ( ) h ( ) ( e ) ( ) e ( ) ( ) ( ) e ( ) e ( )e u v ( ln ) ( ln ) ( ) ( ) ( ln ) ( ln ) ( ln ) ( ) (( ln ) ) ( ln ) ln ln ( ln ) 4 Aschehoug www.lokus.no Side 07 av 47
4. a ( ) f( ) ln u ( ) v ln f ( ) b g ( ) (( ) ) ln ( ) ( ln ) ( ln ) ( ) ln ( ) ( ln ) ( ) 6 ln ( ) ( ln ) ( ) ( ln ) ( ) 6ln + e u v e g ( ) e + + c h ( ) 4 u + + v ( ) e ( ) ( e ) ( e ) ()e ( )e () 4 ( e ) Aschehoug www.lokus.no Side 08 av 47
h ( ) ( + + ) ( 4 ) ( + + ) ( 4) ( 4) ( + ) ( 4 ) ( + + ) (( + )( ) ) 4 4 8 4 + ( + ) ( ) 4 4 8 ( + ) ( ) 4. a b c f( ) + u + v f ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) 5 ( ) f( ) u f ( ) v ( ) ( ) ( ) ( ) + f( ) + u ( ) v + Aschehoug www.lokus.no Side 09 av 47
4. f ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) 6 ( ) + ( + ) 6+ 6 6 ( + ) 6 ( + ) 8 f( ) + 0 ( ) 8 f ( ) 0+ ( ) 8 ( ) 8 f (6) (6 ) 8 4 8 6 4.4 a f er en rasjonal funksjon. b Vi deriverer f ved hjelp av brøkregelen. 4 f( ) 5 u 4 v 5 f ( ) ( 4 ) (5 ) 4 ( 5 ) ( 5 ) 4 (5 ) 4 ( ) 0 ( 5 ) ( 5 ) Aschehoug www.lokus.no Side 0 av 47
c Den deriverte av f har ingen nullpunkter, da et rasjonalt uttrykk med heltallig nevner aldri kan være null. f ( ) > 0 for alle Df. 4.5 a b c f( ) f ( ) ( + ) u v + ( ) ( ) (( + ) ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) 4 ( + ) ( + )( 4 ) 4 ( + ) + + (0 + )( 4 0 ) f (0) 4 e f( ) e u e v e f ( ) ( 0 + ) ( e ) e (e ) ( e ) ( e ) e e (e ) e e e f (0) 0 e 4e f( ) e u 4e v e Aschehoug www.lokus.no Side av 47
f ( ) ( 4e ) ( e ) ( 4e ) ( e ) ( e ) ( 4e ) ( ) ( e ) ( 4e ) ( e ) ( e ) 4e ( e ) 4 ( e ) e 8 ( e ) 8 4 f (0) 4 ( ) 4.6 + f( ) u + v f ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) + + 6 6 6+ 5 ( ) ( )( 5) ( ) ( ) Vi lager fortegnslinje for f ( ). Vi må ha for å unngå null i nevner. Aschehoug www.lokus.no Side av 47
Vi leser av fortegnslinja at f har et topppunkt for og et bunnpunkt for 5. + + f () 0 5 5 6 + f (5) 8 5 Toppunkt: (,0 ) Bunnpunkt: ( 5,8 ) Løsninger til oppgavene i boka 4.7 Vi tegner trekanten for å visualisere oppgaven. Hjørnene i trekanten har koordinatene ( 0,0 ), (, f( )) og (, f( ) ) Høyden i trekanten har lengden f( ). Grunnlinja i trekanten har lengden. Arealet av trekanten er dermed gitt ved A( ) f( ) f( ) 4, > 0 + Vi definerer arealfunksjonen i CAS og finner ekstremalverdiene for funksjonen: Aschehoug www.lokus.no Side av 47
Bare den ene verdien er innenfor definisjonsmengden. Arealet er altså størst når. Når arealet er størst, har hjørnene koordinatene ( 0,0 ), (, f () ) og (, f ( ) ) 4 f () + 4 f ( ) ( ) + Når arealet er størst, har hjørnene koordinatene ( 0,0 ), (, ) og (,).. 4.8 a Vi bruker ettpunktsformelen og finner likningen for linja: y y a ( ) y 4 a ( ) y a + 4 a b Linja skjærer -aksen der y 0. 0 a + 4 a a 4 a a 4 A,0 a Linja skjærer y-aksen der 0. y a 0+ 4 a y 4 a ( 0,4 a) B Grunnlinja g i trekanten er OA, med lengde a 4. a Høyden h i trekanten er OB, med lengde 4 a. Arealet av trekanten er dermed gitt ved Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 47
c f g h a 4 f( a) (4 a) a (4 a) (4 a) a (4 a) a Vi løser først oppgaven uten hjelpemidler. Arealet er størst der f har et toppunkt. (4 a) f( a) a f ( a) ((4 a) ) a (4 a) ( a) ( a) (4 ) ( ) (4 ) a a a 4a 6a+ 4a + 6a a 4a a 6 a 4a a (4 + a)(4 a) a Vi lager fortegnslinje for den deriverte. Vi ser av fortegnslinja at f har et bunnpunkt, og dermed minst mulig areal for a 4. Likningen for linja er da y 4+ 4 ( 4) y 4+ 8 Nå løser vi oppgaven med hjelpemidler. Vi definerer funksjonen f i CAS og finner nullpunktene til den deriverte: Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 47
Vi vet at a må være negativ for å gi en trekant, altså a 4. Likningen for linja er da y 4+ 4 ( 4) y 4+ 8 4.9 u ( ) f( ) u ( ) u ( ) v ( ) v ( ) v ( ) ( ) ( ) f ( ) u ( ) v ( ) + u ( ) v ( ) ( v) ( v ( )) ( ) u v + u v v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u ( ) u ( ) v ( ) v ( ) ( ) u ( ) v( ) u( ) v ( ) v ( ) v ( ) v ( ) u ( ) v( ) u( ) v ( ) 4.0 a f( ) 4 f ( ) 4 f ( ) b f( ) e f ( ) e f ( ) e Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 47
c f( ) ln f ( ) f ( ) 4. a f( ) ( 4) b c 4. a b c ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) 4 6 4 f ( ) 6 4 4 4 48X 96 f( ) e f () e f ( ) e 9e f( ) ln f ( ) f ( ) f( ) e ( ) ( ) f ( ) ( ) e + e e + e ( + )e f ( ) e + e e + e + e ( + )e f( ) ln f ( ) ( ) ln + ( ln ) ln + ln + f ( ) ln f( ) ( ln ) ln ( ) ln ln ( ) f ( ln ) ( ln ) ( ) + ln ln f ( ) 4 4 Aschehoug www.lokus.no Side 7 av 47
4. a at () s () t b c st ( ) 0,0t + 0,50t vt ( ) s ( t) 0,06t +,00t v (,0) 0,06,0,00,0 0,94 + Farten etter,0 s er 0,94 m/s. at ( ) s ( t) 0,t+,00 a(,0) 0,,0 +,00 0,88 Akselerasjonen etter,0 s er st ( ) + 5t 5,0t vt ( ) s ( t) 5 0,0t v(,0) 5 0,0,0 5,0 Farten etter,0 s er 5,0 m/s. at () s () t 0,0 a(,0) 0,0 Akselerasjonen etter,0 s er 0,88 m/s. 0,0 m/s. 4.4 a f( ) f ( ) 6 f ( ) 6 6 Vi lager fortegnslinje for f ( ). Grafen vender den hule siden opp for, og den hule siden ned for,. Vendepunktet er i. Vendepunktet er i (, ). b g ( ) e 5+ c g ( ) e 5 g ( ) e f (). g ( ) er alltid positiv, og grafen til g har ingen vendepunkter og vender alltid den hule siden opp. 4 h ( ) 4 h ( ) 4 h ( ) Aschehoug www.lokus.no Side 8 av 47
Vi lager fortegnslinje for h ( ). Den andrederiverte skifter aldri fortegn, og grafen til h har derfor ingen vendepunkt. Grafen vender alltid den krumme siden ned. 4.5 a Grafen vender alltid den krumme siden opp. Fortegnslinja ser slik ut: b Grafen har et vendepunkt for, og vender den krumme siden ned før vendepunktet, og den krumme siden opp etter vendepunktet. Fortegnslinja ser slik ut: 4.6 a Grafen vender den hule siden opp for < og den hule siden ned for >. Grafen kan se slik ut: Aschehoug www.lokus.no Side 9 av 47
b Grafen vender den hule siden opp for < > og den hule siden ned for < <. Grafen kan se slik ut: 4.7 a f ( ) f ( ) 0 0 f har infleksjonspunktet. b f ( ) ln( ) f ( ) 0 ln( ) 0 e 0 + f har infleksjonspunktet. c f ( ) e f ( ) 0 e 0 Likningen f ( ) 0 har ingen løsning, og f har dermed ingen infleksjonspunkter. Aschehoug www.lokus.no Side 0 av 47
4.8 a Grafen har et vendepunkt for 4,5, og vender den krumme siden opp før vendepunktet. b c Folketallsveksten øker når den andrederiverte av folketallet er positiv, altså de første 4,5 årene. Folketallsveksten er størst når grafen er brattest, dvs. i vendepunktet til grafen. Etter 4,5 år. 4.9 a b c ( ) 0, 005 0, 075 0,50 ht t + t + h ( t) 0, 0075t + 0,50t h ( t) 0, 05t+ 0,50 h () t 0 0 0, 050t + 0,50 t 0 Treet vokser raskest etter 0 år. h (0) 0, 005 0 + 0, 075 0 + 0,50 5,50 Etter 0 år er treet 5,5 m høyt. h (0) 0, 0075 0 + 0,50 0 0, 75 Etter 0 år vokser treet med 0,75 m/år. 4.0 a Vi definerer funksjonen i CAS og finner når den andrederiverte er null: Vendepunktet på grafen er ( 0,, 800 000 ). Aschehoug www.lokus.no Side av 47
b Villsaubestanden vokste raskest etter 0, år, dvs. i 8. c Etter 0, år vokste bestanden med 47 00 sauer per år. d Vi tegner grafen til N i GeoGebra, med som variabel for å kunne bearbeide funksjonen videre. Vi skriver N ( ) og N ( ). Det gir figuren nedenfor: Vi skriver Ekstremalverdi[N (),5,5]. Dette gir punkt A. Vi skriver Nullpunkt[N (),5,5]. Dette gir punkt B. Vi kan da lese av grafen at bestanden vokser raskest etter 0, år. Da vokser bestanden med 47 00 sauer per år. Aschehoug www.lokus.no Side av 47
4. a Vi definerer funksjonen i CAS og finner ekstremalpunktene til den deriverte: Løsninger til oppgavene i boka b Kostnaden øker minst ved en produksjon på 444 enheter. Da er kostnaden på 9 00 kr. c Da øker kostnaden med 89 kr per enhet. 4. a f( ) f ( ) f ( ) f ( ) 0 0 Vendetangenten tangerer i. f 4 8 Tangeringspunkt: Stigningstall:, f 4 Vi bruker ettpunktsformelen og finner likningen for vendetangenten. Aschehoug www.lokus.no Side av 47
b y f( ) f ( ) ( ) y 4 y + 4 8 y + 4 4 4 g ( ) 4 g ( ) 4 g ( ) 4 4 g ( ) 0 4 4 0 Vendetangentene tangerer i. Vi ser først på tangenten i. 4 5 g ( ) Tangeringspunkt: 5, Stigningstall: ( ) 4 4 8 g 4 4 Vi bruker ettpunktsformelen og finner likningen for vendetangenten. y g ( ) g ( ) ( ) 5 8 y ( ) 8 8 5 y + 8 y + Nå ser vi på tangenten i. 4 5 g ( ) ( ) ( ) Tangeringspunkt: 5, 4 4 8 g ( ) 4 ( ) + 4 Stigningstall: ( ) Vi bruker ettpunktsformelen og finner likningen for vendetangenten. Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 47
c y g ( ) g ( ) ( ) 5 8 y ( ( ) ) 8 8 5 y + 8 y + Vendetangentene har likningene h ( ) e ( ) ( ) 8 y + og h ( ) ( ) e + e e + e ( + )e h ( ) e + e e + e + e ( + )e h ( ) 0 ( + )e 0 Vendetangenten tangerer i. h( ) e e Tangeringspunkt:, e h ( + )e e Stigningstall: ( ) 8 y +. Vi bruker ettpunktsformelen og finner likningen for vendetangenten. y h ( ) h ( ) ( ) y e e y e e e 4 y e e ( ( ) ) 4. a f( ) 4 f ( ) 4 4 f ( ) 4 Vi finner de stasjonære punktene: Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 47
f ( ) 0 4 4 0 4 ( ) 0 4 ( + )( ) 0 f 4 (0) 0 0 0 f (0) 0 4 4 0 f (0) < 0. Det betyr at ( 0,0 ) er et toppunkt. f 4 ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) 4 8 f ( ) > 0. Det betyr at (, ) er et bunnpunkt b c f 4 () f () 4 8 f ( ) > 0. Det betyr at (, ) er et bunnpunkt. ( 0,0 ) er et toppunkt. (, ) og (, ) g ( ) ln g ( ) g ( ) Vi finner de stasjonære punktene: g ( ) 0 0 g() ln g () g () > 0. Det betyr at (, ) er et bunnpunkt. h ( ) e h ( ) ( ) e + e e e ( )e ( ) ( ) ( ) ( ) er bunnpunkter. h ( ) e e e e e ( )e Vi finner de stasjonære punktene: Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 47
h ( ) 0 ( )e 0 h() e h e () ( ) e e h () < 0. Det betyr at, e er et bunnpunkt. 4.4 a Funksjonen er negativ fram til 0,5. Deretter er den positiv. b Funksjonen stiger for < og for >. Den synker for < <. c Grafen vender den hule siden ned for <. Den vender den hule siden opp for >. 4.5 a Grafen vender den hule siden opp for <, 5. Den vender den hule siden ned for >, 5. b Infleksjonspunktet til f er, 5. c Vendepunktet til f er (,5,). d Grafen stiger i vendepunktet, så her er f ( ) positiv. e f vokser raskest for, 5. f Vekstfarten til f er null for 0,5 og for,5. Aschehoug www.lokus.no Side 7 av 47
4.6 a b f f( ) 0 ( ) 0 0 Nullpunktene til f er 0 og. f ( ) 4 ( ) f( ) 0 ( ) 0 0 f (0) 0 f 6 8 () 8 Vi tar andrederiverttesten på ekstremalpunktene. f ( ) 4 4 f (0) 4 f (0) < 0 f () 4 f () > 0 Toppunkt: ( 0,0 ) 8 Bunnpunkt:, Vi undersøker vendepunktet. f ( ) 0 4 4 0 f 4 () 4 Vendepunktet er,. Aschehoug www.lokus.no Side 8 av 47
c d f ( ) > 0 når f( ) vokser, dvs. når,0,. f ( ) < 0 når f( ) vender den hule siden ned, dvs. når,. Vi ser derfor av figuren at f ( ) > 0 og f ( ) < 0 samtidig når,0. 4.7 a Ved tellingen er t 0. N (0) 000. Det var 000 dyr ved tellingen. Aschehoug www.lokus.no Side 9 av 47
b Vi definerer funksjonen i CAS og finner ekstremalpunktene. Her døper vi om variabelen til, da GeoGebras kommando Ekstremalpunkt ikke fungerer med andre variabelnavn (versjon 5.0.57). c Det er flest dyr i bestanden etter ca. år og færrest dyr etter ca. år. Vi finner ekstremalpunktene til den deriverte i CAS: Den deriverte er negativ her, så vi vet at bestanden minket. Bestanden minket raskest etter 7 år. Da minket bestanden med 44 dyr per år. 4.8 a f( ) + + 4 + + 4 Nullpunkter: f( ) 0 + + 4 0 + + + + 4 0 b 0 4 0 6 4 4ac 4 4 4 < 0 Andregradsuttrykket har ingen reelle løsninger, så eneste nullpunkt er 0. Aschehoug www.lokus.no Side 0 av 47
b f ( ) + 4+ 4 ( + ) Vi lager fortegnslinje for f ( ). c d Som vi ser av fortegnsskjemaet, er et terrassepunkt. f har dermed ingen topp- eller bunnpunkter. f ( ) + 4 f ( ) 0 + 0 f + + 8 8 + 8 8 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) Vendepunktet til f er 8,. Punktet i oppgave c kalles et terrassepunkt. 4.9 f ( ) ln ( ) + Vi definerer funksjonen i CAS og finner ekstremalpunktene til f ( ) : f ( ) vokser bare i det ene ekstremalpunktet. f( ) vokser raskest for. 4.40 a Funksjonen synker for < 0 og for >. Den stiger for 0< <. Grafen vender den hule siden opp for <. Den vender den hule siden ned for >. Aschehoug www.lokus.no Side av 47
b Toppunkt i. Bunnpunkt i 0. Vendepunkt i. 4.4 a Først finner vi eventuelle topp- og bunnpunkter. f( ) + f ( ) f ( ) 0 ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) + 0 0 + ( + ) ( + ) 0 f (0) 0 0 + Nevneren i f ( ) er alltid positiv. Det betyr at f ( ) er negativ for < 0 og positiv for > 0. Det betyr at ( 0,0 ) er et bunnpunkt. Så ser vi på vendepunkter. f ( ) ( + ) Aschehoug www.lokus.no Side av 47
b f ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) 4 ( + ) ( + ) ( + ) 4 ( + ) ( + ) ( + 8 ) 4 ( + ) ( ) ( + ) f ( ) 0 0 0 ± ± f 4 4 + + f 4 4 + + Vendepunktene er, og 4, 4. Vi finner først stigningstallet til vendetangentene. 9 f 6 6 8 + + 9 9 f 6 6 8 + + 9 Ettpunktsformelen gir likningen til tangentene. Aschehoug www.lokus.no Side av 47
y f( ) f ( ) ( ) Tangenten i, er 4 y 4 8 9 y + 8 4 4 y 8 8 Tangenten i, er 4 y 4 8 9 y + 8 4 4 y 8 8 4.4 a Grafen vender den hule siden ned for < og den hule siden opp for >. b Vi antar at f() er et tredjegradspolynom på formen Vi deriverer f() to ganger: f ( ) a b c Vi setter inn opplysningene gitt i oppgaven og får: f (0) 0 gir c 0 f ( ) a b c d + + +. + + og f ( ) 6a + b. f () 0 gir 6a + b 0 (og f () 0 gir a+ 4b 0 ) f () 6 gir a + b + d 6 f() må skjære høyere på. aksen enn vendepunktet. Velger konstantleddet d 8: a + b + 8 6 a + b Vi løser likningssettet 6a+ b 0 a+ b og får a og b. Dermed kan f for eksempel se slik ut: f ( ) + 8 Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 47
4.4 4 g + + 0 4 g ( ) + + 4 4 g + + 5 4 ( ) 6 ( ) 8 + ( ) ( ) g ( ) er faktorisert i CAS: Vi lager fortegnslinje. Vi ser av fortegnslinja at grafen til g vender den hule siden opp for < og den hule siden ned for >. 5 4 4 g( ) ( ) + ( ) + ( ) 6 ( ) 0 7 0 7 Vendepunktet er, 0. 4.44 f ( ) k( )( + ) k( + + ) a f ( ) k( + ) k( ) Vi lager fortegnslinjer. Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 47
b Vi leser av fortegnslinjene at ekstremalpunktene er og, og at infleksjonspunktet er. 4.45 a Vi velger u og v og deriverer. f( ) 0 e u 0 v e 4 4 4 4 f ( ) ( 0) e + 0 e 4 4 0 e + 0 e 4 4 4 0 e 5 e 4 5( ) e b Vi tegner grafen til f ( ) i GeoGebra, og bruker kommandoene Nullpunkt[f,-, ] og Ekstremalpunkt[f,-, ] for å finne ekstremalpunkter (Punkt A og B) og infleksjonspunkter (punkt C, D og E). Se figuren. Vi leser av grafen at ekstremalpunktene er, 4 og, 4. Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 47