til oppgaver i avsnitt.4.4 Oppgaver..4. Konstruer tangenten til en sirkel fra et punkt utenfor sirkelen..4. A og B er to punkter i planet. Konstruer det geometriske stedet for toppunktet til en vinkel på 45 og hvis bein går gjennom A og B..4.3. A og B er to punkter i planet med avstand 6 cm. Du skal konstruere en trekant ABC der C = 30. a. Arealet av ABC skal være cm. Konstruer trekanten. b. Arealet av ABC skal være maksimalt. Konstruer ABC. Figuren ovenfor er i halv målestokk. Vi starter med punktene A og B i avstanden 6 cm. Vi konstruerer en likesidet trekant for å finne sentrum i en sirkel gjennom A og B med sentralvinkel 60. C må da ligge på denne sirkelen. Skal arealet av trekanten være cm, må høyden være 7 cm, så vi konstruerer en parallell med AB i avstanden 7 cm. Skjæringspunktene mellom denne parallellen og sirkelen gir da to muligheter for hjørnet C. Skal trekantens areal være maksimal, må trekantens høyde være maksimal. Det tredje hjørnet må da ligge på sirkelens øverste punkt. MA-3 Geometri Byrge Birkeland
til oppgaver i avsnitt.4.4.4 Av alle trekanter ABC der størrelsen av A og BC er gitt, vil den likebeinte trekanten med A som toppunkt være den som har størst areal. Hvorfor? Det geometriske stedet for A blir en sirkel der AB dekker en sentralvinkel på punktet på denne sirkelen ligger på midtnormalen på AB. A. Det høyeste.4.5 De to linjestykkene a og b er lik 4 og 7 cm. Konstruer mellomproporsjonalen mellom a og b På figuren til høyre er AB=7 cm og BC=4 cm. Vi finner E som midtpunktet på AC og slår sirkelen med sentrum i E og radius AE. Vi oppreiser normalen i B og finner skjæringspunktet D med sirkelen. Stykket BD er da mellomproporsjonalene mellom AB og BC..4.6 Et rektangel har sider 5 og 9 cm. Konstruer et kvadrat med like stort areal Vi starter med å tegne et rektangel med sider 5 og 9. Vi avsetter så lengden 5 på samme linje som siden med lengde 9, og konstruerer mellomproporsjonalen mellom 5 cm og 9 cm. Vi tegner så et kvadrat med denne som side..4.7 Du har gitt to kvadrater, Konstruer et nytt kvadrat med areal lik summen av de to.. Vi bruker Pythagoras setning: MA-3 Geometri Byrge Birkeland
til oppgaver i avsnitt.4.4.8 Gitt en vinkel, der beina skjærer en sirkel og skjærer over buer på henholdsvis x og y (grader). Uttrykk størrelsen av vinkelen v, i de to tilfellene at vinkelens toppunkt er utenfor eller inni sirkelen. Periferivinkelen over en bue x er x/. Av dette får vi for figuren til venstre u x v 80 = 80 = ( x y) og i figuren til høyre: v = ( x + y) MA-3 Geometri 3 Byrge Birkeland
til oppgaver i avsnitt.4.4.9 En korde-tangent-vinkel har størrelse v. Vis at den skjærer av en bue på v. Vi konstruerer SC AB.. SB tangenten og SC AB gir at BSC = TBC = v, fordi vinklenes bein står parvis normalt på hverandre. Videre er SBA = SAB, fordi ABC er likebeint. Dermed er ASC = BSC = v og ASB = v..4.0 (Eksamen i grunnskolen 99) a. Slå en sirkel med radius 4,0 cm, og kall sentrum i sirkelen S. Sett av to punkter A og B på sirkelperiferien slik at AB blir 0. b. Konstruer en tangent til sirkelen i punkt A og en tangent i punkt B. Forleng tangentene til de skjærer hverandre. Kall skjæringspunktet for T. c. Regn ut AT Forleng linjestykket TS slik at det skjærer sirkelen. Kall dette skjæringspunktet for R. d. Tangenten i R skjærer forlengelsen av TA i punktet D og TB i punktet C. Vis at trekanten TSB er formlik med trekant TDR. e. Regn ut CD.. a. Vi slår først sirkelen, og trekker en diameter. I et av skjæringspunktene slår vi en ny sirkel med samme radius. Skjæringspunktene mellom de to sirklene gir de to punktene A og B. b. Vi trekker de to radiene fra S til A og B, og konstruerer normaler til disse radiene. Disse blir tangentene i A og B. c. Vinklene i SAT er 30,60,90, så ST er det dobbelte av AT. Etter Pythagoras setning er da ( ) AT = R R = R 3 = 4 3 cm = 6.9 cm d. TSB TDR, fordi begge åpenbart har vinklene 30,60,90. e. TDC er likesidet, så CD = DR = AT = 8 3 cm = 3.9cm MA-3 Geometri 4 Byrge Birkeland
til oppgaver i avsnitt.4.4. Tangentkonstruksjoner a. Slå en sirkel med radius 3,5 cm om et punkt O. Avsett AO=7,0 cm, og konstruer tangenten til sirkelen gjennom A b. Trekk ei linje m gjennom A og O. Punktet B ligger på m utenfor sirkelen slik at AB>AO og slik at linja m og tangenten gjennom B danner en vinkel på 67. Konstruer denne tangenten. c. Tangenten gjennom A og tangenten gjennom B skjærer hverandre i punkt C slik at vinkel C er spiss. Regn ut ACB. a. Vi konstruerer tangenten fra A ved å slå en sirkel med OA som diameter. Skjæringspunktene mellom de to sirklene vil da være tangeringspunktene. b. Trekantene OBD er rettvinklet, fordi tangenten står normalt på radien i tangeringspunktet. Hvis OBD skal være 67, må BOD være 90 67 =, og vi konstruerer denne vinkelen ved å ta utgangspunkt i en normal på AB gjennom O, og halvere den rette vinkelen to ganger. Skjæringspunktet med sirkelen blir da tangeringspunktet, og tangenten blir en normal til radien i dette punktet. c. Siden OA = OE, er OAC = 30, AOE = 60, EOD = 80 60 +,5 = 4,5 C = 360 90 90 4, 5 = 37, 5.4. Sidene i en trekant ABC har lengder a, b og c., der a er motstående til A osv. Radius i den omskrevne sirkelen er R. Vis at følgende er uttrykk for arealet T av trekantene ABC: a. T = absin C b. abc T = 4R a b c Sinussetningen gir = = = R, der R er radius i omsirkelen.. Men da er sin A sin B sin C b a b c arealet: T = b c sin A = a b sin C = a c sin B = a c = R 4 R.4.3 I en trekant ABC er følgende oppgitt. Du skal regne ut alle de tre sidene og de tre vinklene. a. a=4,7 cm, c=6,9 cm og C = 56. b. c=7, cm, A = 5 og C = 7 MA-3 Geometri 5 Byrge Birkeland
til oppgaver i avsnitt.4 c. B = 48, a=8,0 cm og c= 6,3 cm a. c a a sin C 4.7 = sin A = = sin 56 = 0.5647, sin C sin A c 6.9 A = 34.4 B = 80 56 34.4 = 89.6 b c c 6.9cm = b = sin B = sin 89.6 = 8.3cm sin B sin C sin C sin 56 b. a c c 7,cm = a = sin A = sin 5 = 5.88cm sin A sin C sin C sin 7 B = 80 5 7 = 57 c sin B 7.cm sin 57 b = = = 6.3cm sin C sin 7 c. b a c ac cos B 8 6.3 8 6.3 cos 48 6.0 cm = + = + = a b a sin B 8.0 sin 48 = sin A = = = 0.99, A = 8 sin A sin B b 6.0 C = 80 48 8 = 50.4.4 Gitt trekanten på figuren til høyre. a. Vis at a = b cos C + c cos B b. Bruk så sinusproporsjonen til å vise at sin A = sin B cosc + sin C cos B a b c Sinussetningen = = gir sin A sin B sin C a sin B sin, a b = c = C. Dermed blir sin A sin A MA-3 Geometri 6 Byrge Birkeland
til oppgaver i avsnitt.4 a sin B a sin C a = c cos B + b cosc = cosc + cos B. Vi dividerer denne likheten med a sin A sin A og multipliserer sin A: sin A = sin B cosc + sin C cos B. Siden sin( B + C) = sin(80 B C) = sin A, følger at sin( B + C) = sin B cosc + sin C cos B.4.5 Gitt en trekant ABC. a. Konstruer en sirkel S som går gjennom A og som tangerer linja BC i B b. Konstruer en sirkel S som går gjennom A og tangerer BC i C. c. Vis følgende: Dersom S har radien s og S har radien t, så er st=r, der R er omradius til ABC..4.6 I en trekant ligger omsenteret på en av sidene i trekanten. Hva kan vi si om denne trekanten? Hvis omsenteret ligger på en av sidene i trekant, må denne sida være en diameter i omsirkelen. Den motstående vinkelen må dermed være rett. Trekanten må altså være rettvinklet..4.7 Forklar at omsenteret og ortosenteret til en stumpvinklet trekant ligger utenfor trekanten. Hvis vinkel C, som er periferivinkel i omsirkelen, er større enn 90, er den tilsvarende sentralvinkelen større enn 80, og det er umulig hvis omsenteret ligger inni firkanten. Hvis vinkel C er stump, vil de to høydene fra A og B bare ha ett punkt hver felles med trekanten, nemlig hhv. A og B, og skjæringspunktet deres må da også ligge utenfor trekanten. MA-3 Geometri 7 Byrge Birkeland
til oppgaver i avsnitt.4.4.8 Gitt en trekant ABC. Konstruer en ny trekant DEF med sider lik medianene i ABC. Undersøk forholdet mellom arealene av de to trekantene. La medianenes skjæringspunkt være D. Trekk BE parallell med CD til skjæring med CE, som er parallell med DB. Da har alle trekantene DBF, BEF, FEC og DFC samme areal, fordi de har like lang grunnlinje og samme høyde fra D, h.h.v. E til BC. Men sidene i DBE er alle /3 av hver sin av medianenes lengde, og må derfor ha et areal som er 4/9 av arealet A' av trekantene utspent av medianene. Men DBE har samme areal som BCD, som har et areal som er /3 av arealet A av ABC. Men da må 4/9 A' = /3 A, og derfor er A'=3/4 A..4.9 Er en trekant med to like lange medianer en likebeint trekant? Begrunn svaret. SE figuren til høyre. Hvis medianen AA og BB er like lange, og D er skjæringspunktet, vil også stykkene B D og A D være like lange, og også AD og BD. Dessuten er er ADB ' = BDA', fordi de er toppvinkler. Dermed er ADB ' BDA', Siden AC =C B og DC er felles for AC ' D og C ' BD, er også AC ' D = C ' BD. Derfor er A = BAA' + A' AC = ABB ' + B ' BC = B. Vinklene ved A og B er altså like, og da er trekanten likebeint..4.0 Er en trekant med to like lange høyder en likebeint trekant? Begrunn svaret. Hvis høydene BB og AA er like lange, er de to trekantene ABA og ABB kongruente ifølge kongruenssetningen SSV. Dermed er A = B, og ABC er likebeint..4. a b c Vis at omradien i en trekant kan beregnes som R =, der a, b 4 T og c er sidene i trekanten og T er arealet av trekanten. Vink: Bruk sinussetningen. MA-3 Geometri 8 Byrge Birkeland
til oppgaver i avsnitt.4 a Vi har R sin A = og dermed sin a A =. Arealet av trekanten er da R abc abc T = b c sin A = R = 4R og herav abc R =. 4T.4. En rettvinklet trekant har sider 3, 4 og 5. Regn ut innradien og omradien. T = =. Innradien r finnes av ( ) Arealet er 3 4 6 hjelp av foregående oppgave: hypotenusen. 3 4 5 r 6 + + =, r=. Omradien finnes ved 3 4 5 5 R = =., eller enklere, det er halve lengden av 4 6.4.3 Vis Herons formel for arealet av en trekant. Du kan gå fram slik: a. Arealet er T = bc sin A b. Cosinussetningen gir et uttrykk for cos A. c. Av a. og b. får du uttrykk for sin A og cos A. Disse settes inn i relasjonen sin A + cos A =. d. Vis av dette at 6T = 4b c ( b + c a ) e. Bruk konjugatsetningen x y ( x y) ( x y). = +. a. Høyden i trekanten blir b sin A, så trekantens areal T er T = c b sin A = b c sin A eller sin A =. b c b. Cosinussetningen gir a = b + c b c cos A og b + c a herav cos A = b c c. Vi setter resultatene fra a. og b. inn i identiteten sin A + cos A = og får 4 T b + c a + = b c b c d. Herav 6T = 4b c ( b + c a ) e. Vi omformer videre: ( ) ( ) ( ) 6T = 4b c b + c a = bc + b + c a bc b c + a = (( ) ) ( ) ( a + b + c) ( a + b + c a) ( a + b + c b) ( a + b + c c) ( ) ( ) ( ) ( )( ) b + c a a b c = b + c a b + c + a a + b c a b + c = MA-3 Geometri 9 Byrge Birkeland
til oppgaver i avsnitt.4 Vi innfører p = ( a + b + c) og får 6 T P ( P a) ( P b) ( P c) 6 P ( P a)( P b)( P c) T = P( P a)( P b)( P c) = = og herav.4.4 Tegn en vilkårlig trekant ABC, og trekk medianen AM. Halver nabovinklene AMB og AMC, og kall halveringslinjenes skjæringspunkter med AB og AC for henholdsvis P og Q. Bevis at PQ er parallell med BC. Setningen om delingsforhold og halveringslinjer gir: AM AP AM AQ = og = og dermed MB PB MC QC AP AM AM AQ PB QC PB QC AP + PB AQ + QC = = = = + = + = PB MB MC QC AP AQ AP AQ AP AQ AB AC =. Etter transversalsetningen må da QP BC AP AQ.4.5 a. Konstruer trekanten ABC, der AB=7 cm, BC=4 cm og AC= 6 cm. b. Halveringslinjen for vinkel C deler AB i stykkene x og y. Beregn disse stykkene. c. Gjenta utregningen når AB=c, BC=a og AC=b. a. Se figuren til høyre b. Ifølge setning om delingsforhold og x 6 halveringslinje er y = 4, så 3 x = y, og vi har også x + y = 7. Da må 3 5 y + y = y =, så 7 y =, x = =. 4 3 4 5 5 5 c. Når AB=c, BC=a og AC=b, må x + y = c og x = AC = b og y BC a b c a c b c + y = c og y = =, x =. a b a + b a + b + a b x = y. Da må a.4.6 Konstruer en trekant der du har gitt to sider a og b og lengden av den mellomliggende vinkelens halveringslinje innenfor trekanten. Hva er betingelsen for løsningen? MA-3 Geometri 0 Byrge Birkeland
til oppgaver i avsnitt.4 La lengden av halveringslinja innenfor trekanten være t, og de to gitte sidelengdene a og b. Vi uttrykker arealet av trekanten på to måter: a sin v t + t b sin v = a b sin v, der v er vinkelen mellom sidene med oppgitte lengder. Da blir ( ) t sin v a + b = a b sin v cos v t a + b b cos v a + b og herav b cos v = eller =. På grunnlag av dette resultatet kan vi a b t a konstruere b cos v, som er projeksjonen a sida på halveringslinja, ved hjelp av formlike trekanter, se figuren til venstre. Vi slår da to sirkler med samme sentrum og radier a og b og avsetter den konstruerte lengden y fra sentrum langs en radius og oppreiser en normal i punktet. Skjæringspunktene med sirkelen med radius b gir det andre hjørnet på denne kanten og et punkt på forlengelsen av den andre kanten. Det andre endepunktet ligger på sirkelen t a + b med radius a. Skal denne konstruksjonen føre fram, må projeksjon b cos v = < b, så a a b vi må ha t < a + b..4.7 I trekanten ABC er C = 90, A = 30 og AB=s. Halveringslinja for C deler AB i to stykker. Beregn disse stykkene uten å bruke tilnærmingsverdier. I denne trekanten er AB=s, BC = s, AC = s 3. Setningen om vinkelhalveringslinjenes deling av den motstående side i en trekant gir da 3 / AC AD AD = 3 = = = og herav / BC BD s AD ( ) ( ) 3 ( 3 ) s ( 3 3 ) ( 3 + )( 3 ) AD = 3 s AD, AD + 3 = 3 s AD = = s 3 s ( 3 ) ( 3 ) BD = AB AD = s + =.4.8 Konstruer en trekant der forholdet mellom to sider er 3:4., den mellomliggende vinkelen er 75, og lengden av denne vinkelens halveringslinje innenfor trekanten er 5 cm. MA-3 Geometri Byrge Birkeland
til oppgaver i avsnitt.4 Jeg trakk først en stråle fra et punkt A, og avsatte det samme stykket 4 ganger bortover strålen til punktet B. Jeg slo deretter en sirkel med radius 3 av disse delene. Jeg konstruerte en vinkel på 75 i A. Jeg fant så skjæringspunktet C mellom sirkelen og venstre vinkelbein av vinkelen. Da har vi en trekant AB C som en formlik med den søkte. Jeg halverte vinkel A og avsatte 5 cm langs halveringslinja til punktet D. Jeg konstruerte en parallell BC med B C gjennom D.4.9 Gitt et trapes ABCD med parallellsidene AB og CD. Diagonalene skjærer hverandre i E, og sidene AD og BC skjærer hverandre i F. Bevis at den rette linja EF halverer AB og CD. AB DC gir at ABD og ABC har samme grunnlinje og samme høyde og dermed samme areal. ABE er felles for de to trekantene, så derfor må AED = ABD ABE = ( ) ( ) ( ) ( ABC ) ( ABE) = ( EBC) Vi trekker HI AB DC gjennom E. La h, h og h være h.h.v. avstandene mellom AB og DC, mellom HI og DC og AED skrives mellom AB og HI. Da kan ( ) som HE h + HE h = HE h og ( ) EBC som EI h + EI h = EI h, Skal disse være like, må HE = EI. Formlike trekanter AGF HEF DKF og AG HE DK AG GF DK KF GBF EIF KCF gir at = = og = = og = =, altså GF EF KF GB GF KC KF AG = GB og DK = KC. Alternativt: Cevas setning på ABF : ABF DCF, så FC = FD = t, eller CB FA BC FD AG ( t) FB t FA AG AG FC = t FB, FD = t FA. Da må = = =, altså CF DA GB t FB t FA GB GB AG = GB ( ) MA-3 Geometri Byrge Birkeland
til oppgaver i avsnitt.4.4.30 I en sirkel med radius 5 cm er innskrevet en likebeint trekant ABC. AC og BC er de like lange sidene, og C = 45. a. Konstruer trekanten, og regn ut sidene, Høyden fra C på AB forlenges til den skjærer sirkelen i E. b. Finn arealet av firkanten AEBC a. Vi har AB = 5 + 5 = 5 og ( ) ( ) ( + ) 5 5 5 5 AC = + 5 + = + 5 + + 5 = 5 AC = 5 + 9. b. Arealet av firkanten AEBC blir AB DE AB DC AB DE DC 5 0cm = 5 cm 35.3cm ( ).4.3 I en trekant ABC er AB=0 cm, BC=6 cm, høyden fra C på AB er 3 3 cm, og a. Konstruer trekanten og den innskrevne sirkelen i trekanten. b. Hvor lang er siden AC? c. Hvor lang er radius i den innskrevne sirkelen? a. Figuren til høyre er i halv målestokk. Vi starter med AB=0 cm. I trekanten BCD er CBD = 30 og CDB = 90, BC=6 cm. Da er CD=3 cm og BD = 6 3 = 7 = 3 3. Når C er plassert til venstre for BD, blir B spiss og = 60. b. Den utvidede pytagoreiske setning gir AC = AB + BC AB BC cos B = 0 6 0 6 cos 60 00 36 60 + = + = 76 = 4 9 og AC = 9 B er spiss. MA-3 Geometri 3 Byrge Birkeland
til oppgaver i avsnitt.4 c. Arealet av trekanten er T = AB 3 3 = 0 3 3 = 5 3 5. Innradius r er da bestemt ved at ( ) ( ) AB BC AC r 5 3 + + = eller ( ) 5 3 ( 8 9 ) ( ) ( ) ( ) 3 5 3 3 r = = = 8 9 6 + 9 8 + 9 8 9 6 + 9 r = 5 3, og herav.4.3 a. Konstruer et trapes ABCD der avstanden mellom de parallelle sidene AB og CD er lik et gitt linjestykke a, BAD = 90 og BAC = 30. Diagonalene skjærer hverandre i punktet E slik at AE:EC=:. b. Finn diagonalene AC og BD uttrykt ved a. a. Vi konstruerte en rett vinkel DAB og avsatte AD=a. Vi konstruerte deretter en rett vinkel ADC. for å få DC parallell med AB. Så konstruerte vi en vinkel BAF = 30. C er da skjæringspunktet med linja DC. Vi delte så linjestykket AC i tre og fant punktet E. DE skjærer da AB i B. b. Siden BAC = ACD = 30, er AC = a, DC = a 3. Videre er DCE ABE, så AB AE = =, AB = CD = a 3, CD EC DB = a + a = a.4.33 Konstruer en firkant ABCD der AB=6 cm, BC=4 cm, AD=7,5 cm, CD=5 cm og diagonalen AC er 8 cm. Halver vinklene B og D, og bevis at halveringslinjene må skjære hverandre på AC. Hvor langt ligger dette skjæringspunktet fra A? Undersøk tilsvarende halveringslinjene for vinklene A og C. La E være skjæringspunktet med AC og halveringslinja AE 7.5 3 for D. Da må = =. La tilsvarende E være EC 5.0 skjæringspunktet mellom AC og halveringslinja for 3 MA-3 Geometri 4 Byrge Birkeland
til oppgaver i avsnitt.4 AE ' AB 6 3 vinkelen B. Da må = = =. Skjæringspunktene mellom AC og halveringslinjene E ' C BC 4 for hhv B og D deler AC i samme forhold og må derfor falle sammen. Tilsvarende er 7.5 5 =, og det viser at halveringslinjene for vinklene A og C skjærer hverandre på BD. 6 4.4.34 På en linje l er merket av to punkter A og B. En annen linje m skjærer l utenfor AB. Finn det punktet P på m som gjør vinkelen APB så stor som mulig. Vi kan tenke på P som toppunktet i en periferivinkel i en sirkel som går gjennom A og B og P. Vinkelen som AB spenner over, blir større jo mindre sirkelen er. Den minst tenkelige sirkelen må være den som bare har punktet P felles med m. Det er altså en sirkel som tangerer m og som går gjennom A og B. La C være skjæringspunktet mellom l og m. Vi kan da uttrykke C s potens m.h.p. sirkelen på to måter: CP = CA CB. Det betyr at CP er mellomproporsjonalen mellom CA og CB. Dette bruker vi til å konstruere punktet P..4.35 Gitt et kvadrat ABCD med side 4 cm. Finn midtpunktet M på BC, og bestem ved konstruksjon et punkt P på siden CD slik at vinkelen APM blir så stor som mulig. Regn så ut avstanden CP både i eksakt form og i cm med to desimaler. Her får vi bruk for forrige oppgave. Vi konstruerer en sirkel som går gjennom A og M og som tangerer DC. Hvis tangeringspunktet er P, uttrykker vi E s potens m.h.p sirkelen på to måter: EP = EM EA. Det betyr at EP er mellomproporsjonalen mellom ME og AM. Vi konstruerer denne som linjestykket FE, og slår buen FP. Vi har AM = ME = AB + = AB AB da: ( ) 5 EP = AB 5 AB 5 = AB 0 og ( ) CP = AP 0.3.4.36 På en 54 m høy holme står et 4 m høyt fyrtårn. Hvor langt fra tårnets fotpunkt i vannflatens nivå må en ro ut for å se tårnet under størst mulig vinkel, forutsatt at en kunne ha øyet i vannflaten? MA-3 Geometri 5 Byrge Birkeland
til oppgaver i avsnitt.4 Dette er enda en anvendelse av oppgave 34. Avstanden blir mellomproporsjonalen mellom 54 og 54+4=96, altså 54 96 = 7..4.37 a. Gitt en sirkel med radius r og et punkt P i en avstand r fra sentrum. Konstruer gjennom P en korde som blir delt av P i forholdet :. Regn ut den minste delen av korden. b. Gjenta konstruksjonen og beregningen når P har avstanden d fra sentrum. Hva er betingelsen for at oppgaven kan løses? r 3r a. Vi uttrykker punktet P s potens m.h.p. sirkelen på to måter: x x = eller 3 r x = r. Da må x være mellomproporsjonalen mellom 3 4 4 r og r : r r x = = 4 4 6. Se figuren etter oppgave b. r d r + d b. I det andre tilfellet blir x x = ( r d ) ( r + d ) og x ( r d ) da være mellomproporsjonalen mellom sirklene, må vi ha: r + d og r d r + d r x = ( r d ) > r d ( r + d ) > r d 3d > r d > 3 = =. x må. For å få skjæring mellom de to MA-3 Geometri 6 Byrge Birkeland
til oppgaver i avsnitt.4.4.38 a. Gjør ved konstruksjon et gitt rektangel om til et like stort kvadrat. b. Gjør det samme med en gitt trekant.4.39 Gitt en vilkårlig femkant. Konstruer et like stort kvadrat. Vi deler femkanten opp i tre trekanter og konstruerer sidene i kvadrater med samme areal som hver av trekantene. Til slutt bruker vi Pythagoras setning to ganger for å konstruere et kvadrat som har areal lik summen av arealene av de tre kvadratene. MA-3 Geometri 7 Byrge Birkeland
til oppgaver i avsnitt.4.4.40 Gitt en vilkårlig trekant. Konstruer en linje som er parallell med en av sidene og halverer trekantens areal. Hvis avstanden fra C til D er s ganger avstanden fra C til A, vil arealet av DEC være s ganger arealet av ABC. Skal denne være halvdelen av arealet av ABC, må s være /, eller ekvivalent DC = AC. Vi konstruerer da en likebeint trekant med vinkler 45, 45 og 90 og med AC som hypotenus. Katetene blir da den søkte CD..4.4 Hva er den minste mulige verdien et punkts potens kan ha? For hvilke punkter har punktets potens denne verdien. Når punktet ligger på sirkelen, er potensen 0, og dette er åpenbart den minste verdien potensen kan ha..4.4 Hva er det geometriske sted for alle punkter hvis potens er konstant? Hvis P er et punkt i avstanden d fra sentrum i en sirkel med radius r, er potensen d r for punkter utenfor sirkelen og r d for punkter innenfor sirkelen. Skal den være konstant, må d også være konstant. Det betyr at det geometriske sted for punkter med samme potens må være sirkler..4.43 En sirkel med radius 3 cm er gitt. I oppgaven skal du bruke eksakte verdier i svarene der du får kvadratrøtter, ikke tilnærmingsverdier. a. Konstruer en sekant som skjærer av buen AB = 90 av sirkelen. Regn ut lengden av korden AB. b. Sett av et punkt C på sekanten utenfor B slik at BC = AB. Regn ut punktet C s potens med hensyn på sirkelen, og regn ut lengden av tangentstykket fra C til sirkelen. c. Konstruer så en trekant ACD slik at hjørnet D ligger på sirkelen og DB blir halveringslinje for ADC. Regn ut sidene i trekanten, og finn C. MA-3 Geometri 8 Byrge Birkeland
til oppgaver i avsnitt.4 a. Figuren er i halv målestokk. Vi starter med å slå sirkelen med radius 3 cm, og en sentralvinkel på 90 for å finne hjørnene A og B. Da må AB = 3 cm b. Vi avsetter så lengden AB to ganger utover langs AB for å finne punktet C. Punktet C s potens m.h.p. sirkelen er AC BC = 3 3 3 cm = 08cm Tangentstykkets lengde blir da 08 cm = 6 3 cm c. Skal D ligge på sirkelen, må ADB være en periferivinkel på 45. ADC må da være 90, siden DB skal halvere ADC. Den må derfor være en periferivinkel i en sirkel med diameter AC. Vi konstruerer da en slik sirkel og finner D som skjæringspunktet mellom de to sirklene. Setningen om halveringslinjene for vinklene i en trekant gir at AD AB = =, CD + AD = ( AD) + AD = 5 AD = ( 3 AB) = 9 8cm CD BC 9 8 AD = 9 cm= 0 cm CD = AD = 0 cm 5 5 5 Vi har AD tan C = =, herav C = 6.6 CD MA-3 Geometri 9 Byrge Birkeland