1P kapittel Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a 10 mm = 10 1 mm = 10 0,1 cm = 1 cm Bredden av A4-arket er 1 cm. 9800 m = 9800 1 m = 9800 0,001 km = 9,8 km Anne løp 9,8 km. c 60 km = 60 1 km = 60 0,1 mil = 6 mil Det er 6 mil fra Lillehammer til Hamar. d 6 dm = 6 1 dm = 6 0,1 m = 0,6 m Bredden av okhyllen er 0,6 m.. a 7, mil = 7, 10 km = 7 km 4,5 km = 4,5 1000 m = 4500 m c 40 d 5 cm = 40 0,01 m = 0,4 m mm = 5 0,001 m = 0,005 m. a 1,4 mil = 1,4 10 000 m = 14 000 m dm c 0,00 m d 5,4 = 100 mm = 00 mm = 0,00 1000 mm = mm cm = 5,4 0,1 dm =,54 dm.4 a 5 dm + 50 mm + 8 mm = 5 10 cm + 50 0,1 cm + 8 0,1 cm = 50 cm + 5 cm + 0,8 cm = 55,8 cm 1 cm + 4 dm + 50 mm = 1 0,01 m + 4 0,1 m + 50 0,001 m = 0,1 m+ 0,4 m+ 0,5 m= 0,77 m c 0,5 m + dm + 40 mm = 0,5 100 cm + 10 cm + 40 0,1 cm = 50 cm + 0 cm + 4 cm = 74 cm.5.6 6 = 6,54 cm = 66,04 cm 66 cm 8 = 8,54 cm = 71,1 cm 71 cm Sykkelhjulene har diametre på 66 cm og 71 cm. 0 fot = 0 1 = 60,54 cm = 914, 4 0,01 m = 9,144 m 9,1 m Lengden av åten er 9,1 m..7 a 4 nautiske mil = 4 185 m = 7408 m 1 nautiske mil = 1 185 m = 4 0,001 km =,4 km, km Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 18
c 1 nautisk mil = 185 m = 1,85 km 1 nautisk mil 1,85 km = 1,85 1,85 1 1 km = nautiske mil 1,85 1 100 km = 100 nautiske mil = 54, 0 nautiske mil 1,85 Det er 54,0 nautiske mil i luftlinje mellom Bodø og Stamsund. Løsninger til innlæringsoppgavene.8 a c d 8 dm = 8 1 dm = 8 100 cm = 800 cm m = 1 m = 100 dm = 100 100 cm = 0 000 cm,5 cm =,5 1 cm =,5 100 mm = 50 mm 0,45 m = 0,45 1 m = 0,45 100 dm = 45 dm.9 a c d 40 dm = 40 1 dm = 40 0,01 m = 0,4 m 10 cm = 10 1 cm = 10 0,01 dm = 0,1 dm 000 cm = 000 1 cm = 000 0,01 dm = 000 0,01 0,01 m = 0, m 5,5 cm = 5,5 1 cm = 5,5 0,01 dm = 0,55 dm.10 a c, 4 mål =, 4 1000 m = 400 m 500 m =,5 1000 m =,5 mål 5 mål = 5 1000 m = 5 000 m.11 a 1 5 000 150 1500 = Hyttefeltet kan deles opp i 150 tomter. 10 m 60 m = 700 m Arealet av fotallanen er 700 m. 700 m = 7, 1000 m =7, mål Arealet av fotallanen er 7, mål. 5 1, 5 1 7, = Det går 1 fotallaner på 5 mål..1 a Den asolutte usikkerheten i målingene er 0,05 cm. Den relative usikkerheten i målingen av redden er 0,05 0,005 0,5 % 0 = = Aschehoug www.lokus.no Side av 18
Den relative usikkerheten er størst i målingen av den korteste lengden, altså i reddemålingen. Vi kan kontrollere dette ved å regne ut den relative usikkerheten i lengdemålingen: 0,05 0, 0017 0,17 % 0 = = c Den største verdien for lengden er 0,05 cm, og den største verdien for redden er 0,05 cm. Den største verdien omkretsen av arket kan ha, er derfor 0,05 cm + 0,05 cm = 100, cm Den minste verdien for lengden er 9,95 cm, og den minste verdien for redden er 19,95 cm. Den minste verdien omkretsen av arket kan ha, er derfor 9,95 cm + 19,95 cm = 99,8 cm d Omkretsen av arket ligger mellom 99,8 cm og 100, cm. Vi kan derfor oppgi omkretsen av arket som (100 ± 0,) cm..1 a Den asolutte usikkerheten ved målingen er 60 m 1 % = 60 m 0,01= 0,6 m Lengden le målt til 60 m, og den asolutte usikkerheten er 0,6 m. Vi kan derfor oppgi lengden som (60 ± 0,6) m..14 a Lengden le målt til 8,5 m, og den asolutte usikkerheten er 0,5 cm = 0,005 m. Vi kan derfor oppgi lengden av rommet som ( 8,5 ± 0,005) m. Den asolutte usikkerheten ved lasermålingen er 8,5 m 0,5 % = 8,5 m 0,005 = 0,0415 m 4 cm Måleåndet har altså minst usikkerhet. Målingen med måleåndet er mest nøyaktig..15 Lengden og redden av rektanglet er oppgitt med to sifre. Vi regner derfor ut arealet med to sifre. A= l = 8,0 cm 5, 4 cm = 4, cm 4 cm Arealet av rektanglet er 4 cm..16 Grunnlinja og høyden i trekanten er oppgitt med tre sifre. Vi regner derfor ut arealet med tre sifre. g h 5,4 11,5 cm 146,05 cm A 146 cm = = = Arealet av trekanten er 146 cm. Aschehoug www.lokus.no Side av 18
.17 Høyden av det største ildet er 8,9 cm, mens høyden av det minste ildet er 5,9 cm. Forholdet mellom høydene er 8,9 1, 5 5,9 =.18 a Vi regner ut avstanden vist på figuren. På det største ildet er denne avstanden 4, cm, mens avstanden er,8 cm på det minste ildet. Forholdet mellom avstandene er 4, 1, 5,8 = Vi ser altså at forholdet mellom to tilsvarende avstander hele tiden er lik 1,5. De formlike trekantene i oppgave a har de samme vinklene. Det er altså vinklene som estemmer formen på en trekant..19 a Trekantene har to vinkler som er like store. Da er også den tredje vinkelen like stor. Siden trekantene har parvis like store vinkler, er trekantene formlike. Siden AB ligger mellom vinklene 50 og 70 i trekanten ABC. I trekanten DEF er det siden DE som ligger mellom disse vinklene. Altså er AB og DE tilsvarende sider. På samme måte er BC og EF tilsvarende sider, og AC og DF er tilsvarende sider. Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 18
c Vi kjenner lengden av siden BC i trekanten ABC, som er den tilsvarende siden til EF i trekanten DEF. Altså kan vi finne lengden av EF. Forholdet mellom EF og BC er lik forholdet mellom DE og AB. EF DE = BC AB EF 4,0 = 4,5 5, 0 4,0 4,5 EF = 5,0 EF =, 6.0 a DE og AB er tilsvarende sider, og DF og AC er tilsvarende sider. Altså er forholdet mellom DE og AB lik forholdet mellom DF og AC. DE DF = AB AC Vi lar x cm være lengden av DE. x 6 = 6 66 x = = 1 DE =1 cm BC og EF er tilsvarende sider. BC AC = EF DF Vi lar x cm være lengden av BC. x = 9 6 9 x = = 4,5 6 BC = 4,5 cm.1 Hvis to trekanter er formlike, vil de lengste katetene og de korteste katetene være tilsvarende sider. Forholdet mellom de lengste katetene skal altså være lik forholdet mellom de korteste katetene, dersom trekantene er formlike. 6 Trekant B: 1, 5 4 = og 4,5 1, 5 = 5 Trekant C: 1, 5 4 = og 4 1, 1, 5 = Trekant D: 0,5 4 = og 1, 5 0,5 = 6 Trekant E: 1, 5 4 = og 4,5 1, 5 = Vi ser altså at trekantene B, D og E er formlike med trekant A. (For trekant E kan vi godt sammenlikne hypotenusen med trekant A, men det er egentlig unødvendig, siden trekantene er rettvinklet og vi allerede har sammenliknet to sider.) Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 18
. a Eksempel: Eksempel:. AB og EF er tilsvarende sider, og AD og EH er tilsvarende sider. Altså er forholdet mellom EH og AD lik forholdet mellom EF og AB. EH EF = AD AB Dessuten er firkantene rektangler, slik at FG = EH. Vi lar x cm være lengden av FG. x 8, 0 =, 0 5, 0 8, 0, 0 x = = 4,8 5,0 FG = 4,8 cm.4 a Rettvinklede trekanter har alltid én felles vinkel, nemlig den rette vinkelen. Men de to andre vinklene kan godt være forskjellige. Rettvinklede trekanter trenger derfor ikke å være formlike. I en likeeint trekant er to vinkler like store. Men denne vinkelen kan være vilkårlig stor (mellom 0 og 90 ). Likeeinte trekanter trenger derfor ikke å være formlike. c I en likesidet trekant er alle tre vinklene like store. Dette etyr at alle vinklene er 60. Alle likesidede trekanter har altså de samme vinklene, som etyr at likesidede trekanter er formlike. d I et kvadrat er alle vinklene 90, og de fire sidene er like lange. Når vi sammenlikner to kvadrater, er derfor vinklene parvis like store, og forholdene mellom tilsvarende sider er like store. Alle kvadrater er altså formlike. e I et rektangel er alle vinklene 90, og to og to sider er like lange. Men forholdet mellom lengden og redden av rektanglet kan være vilkårlig. Rektangler trenger derfor ikke å være formlike. f I et parallellogram er to og to vinkler like store, og to og to sider er like lange. Men for øvrig kan vinklene være vilkårlige, og forholdet mellom lengden av sidene kan være vilkårlig. Parallellogrammer trenger derfor ikke å være formlike. Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 18
g En sirkel er éntydig gitt ved radien. Det eneste som er forskjellig i to sirkler, er derfor radien, altså størrelsen av sirkelen. Formen for øvrig er alltid den samme. Alle sirkler er altså formlike..5 A= l = = = = O= l+ = 86 mm + 54 mm = 80 mm 86 mm 54 mm 4644 mm 4644 0,01 cm 46, 44 cm 46 cm.6 a.7 a A= g h= 6 m,6 m = 1,6 m m ( a+ ) h (4 m+ m) m 9 m A = = = c Vi gjør om alle lengdene til meter. a = 80 cm = 0,8 m = dm = 0, m ( a+ ) h A = = (0,8 m + 0, m) 1,8 m = 0,9 m Det fins flere muligheter for hvordan trapeset kan se ut. Her har vi tegnet to av mulighetene. Forskjellen er at de to parallelle sidene er parallellforskjøvet i forhold til hverandre. Begge disse figurene passer til opplysningene om trapeset. ( a+ ) h (10 + 8,0) 4,0 A = = cm = 6 cm c Vi lar siden i kvadratet være s cm. A= s = 6 s = 6 = 6 Siden i kvadratet er 6 cm..8 Diameteren på plata er d =1 cm. Radien er da d 1 cm r = = = 6 cm Arealet av CD-plata er A=π r =π 6 cm =11 cm Omkretsen er O=π d =π 1 cm =8 cm.9 Arealet av sirkelen er π r =π 6 cm = 11 cm. Arealet av kvadratet er s = 10 cm = 100 cm. Sirkelen har altså størst areal. Aschehoug www.lokus.no Side 7 av 18
.0 a Vi gjør om grunnlinja til cm. g = 15 mm = 1,5 cm Arealet av trekanten er g h 1, 5, cm 1, 65 cm A = = = 1, 7 cm Vi gjør om høyden til meter. h = 40 cm = 0,4 m Arealet av trekanten er g h 0,5 0, 4 A = = m = 0,1 m c Vi gjør om høyden til meter. h = 75 cm = 0,75 m Arealet av trekanten er g h 0,8 0,75 m 0,075 m A = = = 0,1 m Løsninger til innlæringsoppgavene.1 Alle trekantene har samme grunnlinje og samme høyde. De har derfor samme areal.. Vi deler opp terrassen i to rektangler, slik figuren viser. Arealet av terrassen er dermed A = 4,0 m,0 m+ 6,0 m 4,0 m = 6 m. Lekeplassen estår av et kvadrat med side 40 m og en halvsirkel med radius 0 m. Arealet er 1 A = 40 m + π 0 m = 8 m 0 m Omkretsen er O = 40 m +π 0 m = 18 m.4 Arealet av firkanten AEBC er lik arealet av trekanten ABC minus arealet av trekanten ABE. Høyden i trekant ABE er gitt ved DE = DC CE = 5,0 cm,0 cm =,0 cm Arealet av firkanten er dermed 10 5,0 10,0 A = cm cm = 15 cm Aschehoug www.lokus.no Side 8 av 18
.5 a Katetene har lengde x og,5 m, og hypotenusen er 8,0 m. Pytagorassetningen gir x + (,5 m) = (8,0 m) x x + 1,5 m = 64 m = 64 m 1,5 m x = 51,75 m= 7,19 m 7, m Vi kan ruke siden med lengde 7, m som grunnlinje, og siden med lengde,5 m som høyde i trekanten. Arealet av trekanten er dermed g h 7,19,5 m A = = =1,6 m 1 m Katetene har lengde 0,6 m og 1,5 m, og hypotenusen er. Pytagorassetningen gir (0,6 m) + (1,5 m) = 0,6 m +, 5 m = =,61 m= 1,6 m 1,6 m Arealet av trekanten er g h 1, 5 0, 6 m 0,45 m A = = = c Katetene har lengde g og 1,5 m, og hypotenusen er,0 m. Pytagorassetningen gir g + (1, 5 m) = (, 0 m) g +, 5 m = 9,0 m g = 9,0 m, 5 m g = 6,75 m=,60 m,6 m Arealet av trekanten er g h,60 1,5 A = = m = 1,95 m,0 m d Katetene har lengde 4,0 cm og 8,0 cm, og hypotenusen er x. Pytagorassetningen gir (4,0 cm) + (8,0 cm) = x 16 cm + 64 cm = x x = 80 cm = 8,94 cm 8,9 cm Arealet av trekanten er g h 4,0 8,0 cm 16 cm A = = = Aschehoug www.lokus.no Side 9 av 18
.6 a ( a+ ) h (8,0+ 5,0) 4,0 A = = cm = 6 cm Trekanten på figuren har katetene,0 cm og 4,0 cm. Vi lar hypotenusen være x cm. Pytagorassetningen gir, 0 + 4, 0 = x 9,0 + 16,0 = x x = 5,0 = 5,0 Hypotenusen har lengde 5,0 cm. Omkretsen av trapeset er dermed O = 8,0 cm + 4, 0 cm + 5,0 cm + 5,0 cm = cm.7 a Hvis trekanten er rettvinklet, må hypotenusen være den lengste siden, c =16,0. a + = 14, 0 + 7, 00 = 196 + 49, 0 = 45 c = 16, 0 = 56 a + c Tallene passer ikke i pytagorassetningen. Trekanten er derfor ikke rettvinklet. Hvis trekanten er rettvinklet, må hypotenusen være den lengste siden, c = 6,0. a + = 10, 0 + 4, 0 = 100 + 576 = 676 c = 6, 0 = 676 a + = c Tallene passer i pytagorassetningen. Trekanten er derfor rettvinklet..8 Her er a = 5, 40 og c = 7,00 katetene, og = 9,05 er hypotenusen. a + c = 5,40 + 7,00 = 9, + 49,0 =78, = 9,05 = 81, 9 Siden a + c, er vinkel B ikke rett..9 a Bredden av huset er (i virkeligheten) 8,50 m = 8,50 1000 mm = 8500 mm Målestokken er forholdet mellom redden på tegningen og redden i virkeligheten. redden på tegningen 85 mm 85:85 1 Målestokken = = = = redden i virkeligheten 8500 mm 8500 : 85 100 Målestokken er 1 : 100. Målestokken 1 : 50 etyr at 1 cm på tegningen svarer til 50 cm i virkeligheten. 4 cm på tegningen svarer da til 4 50 cm = 00 cm = m i virkeligheten. Tomtegrensa er m. Aschehoug www.lokus.no Side 10 av 18
.40 På tegningen er redden av huset 69 mm. redden på tegningen 69 mm 69 : 69 1 Målestokken = = = = redden i virkeligheten 6900 mm 6900 : 69 100 Målestokken er 1 : 100..41 a Målestokken 1 : 00 etyr at 1 cm på tegningen svarer til 00 cm i virkeligheten. På tegningen er lengden av soverommet 1,9 cm, og redden er 1,7 cm. I virkeligheten er derfor lengden 1,9 00 cm = 80 cm =,8 m Bredden er i virkeligheten 1,7 00 cm = 40 cm =, 4 m Dermed kan vi finne arealet.,8 m,4 m = 1,9 m 1 m Arealet av soverommet er ca. 1 m. Døråpningene på tegningen er ca. 0,4 cm. 0, 4 00 cm = 80 cm Døråpningene er ca. 80 cm rede i virkeligheten..4 Målestokken 1 : 10 etyr at 1 cm på tegningen svarer til 10 cm i virkeligheten. På tegningen er a =,5 cm, = 1,0 cm, c =,0 cm og d = 1, cm. De virkelige lengdene er derfor a =,5 10 cm = 5 cm = 1,0 10 cm = 10 cm c =,0 10 cm = 0 cm d = 1, 10 cm = 1 cm.44 a Toppen av Gråergan ligger 989 m over havet. På kartet er avstanden 8, cm. Målestokken er 1 : 50 000, som etyr at 1 cm på kartet svarer til 50 000 cm = 500 m i virkeligheten. 8, 500 m = 4150 m 400 m Avstanden i luftlinje fra toppen av Gråergan til toppen av Skeikampen er ca. 400 m. c Lengden av rektanglet er l = 5,1 cm, og redden er =,0 cm. Arealet er dermed A= l = 5,1 cm,0 cm = 15, cm 15 cm d 1 cm på kartet svarer til 500 m i virkeligheten. Lengden og redden av rektanglet er derfor i virkeligheten l = 5,1 500 m = 550 m =,55 km =,0 500 m = 1500 m = 1,5 km Arealet av området er A= l =,55 km 1,5 km =,85 km,8 km Aschehoug www.lokus.no Side 11 av 18
.45 a c d 1,05 m = 1,05 1 m = 1,05 1000 dm = 1050 dm,1 cm =,1 1 cm =,1 1000 mm = 100 mm 0,5 dm = 0,5 1 dm = 0,5 1000 cm = 0,5 1000 1000 mm = 50 000 mm 0,005 m = 0,005 1 m = 0,005 1000 dm = 0,005 1000 1000 cm = 5000 cm.46 a c d 50 dm = 50 1 dm = 50 0,001 m = 0,5 m 100 cm = 100 1 cm = 100 0,001 dm = 0,1 dm 000 cm = 000 1 cm = 000 0,001 dm = 000 0,001 0,001 m = 0,00 m 400 000 mm = 400 000 1 mm = 400 000 0,001 cm = = = 400 0,001 dm 0,4 0,001 m 0,0004 m.47 a 0,006 m = 0,006 1000 dm = 6 dm = 6 L 0,5 L = 0,5 dm = 0,5 1000 cm = 500 cm c Grunnflaten er G = 10 cm 10 cm = 100 cm. Volumet av kartongen er dermed V = G h= 100 cm 5,0 cm = 500 cm = 500 0,001 dm = 0,5 dm = 0,5 L d Volumet av kartongen skal være V = 1 L = 1 dm = 1000 cm Grunnflaten er G =100 cm. V = G h V 1000 h = = cm = 10 cm G 100 Kartongen må være 10 cm høy..48 a Diameteren i grunnflaten er d =,5 m. Radien er dermed d,5 m r = = = 1, 5 m V =π r h=π 1, 5, 0 m = 14, 7 m 14,7 1000 dm 14 700 dm 14 V = = = 700 L c 14 700 L 9800 L = Det er 9800 L vann i tanken..49 a Radien i grunnflaten er d 4,0 m r = = =,0 m Volumet av grushaugen er πrh π,0,0 V = = m = 8,4 m Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 18
Tykkelsen på gruslaget er cm,0 10 0,0 m = 10,8 m De har kjøpt inn for lite grus..50 a Radien i fotallen er Løsninger til innlæringsoppgavene = 0,0 m. Volumet av gruslaget skal altså være d cm r = = = 11 cm. Volumet av allen er 4πr 4π 11 cm 5575 cm 5600 cm V = = = Radien i tanken er 1, m. Volumet er 4πr 4π 1, m 7, m V = = = I liter er dette 7, m = 7, 1000 dm = 700 dm = 700 L..51 Radien i grunnflaten er,5 cm. πrh π,5 1, 0 cm 167 cm V = = = 170 cm = 170 0,001 dm = 0,17 dm = 0,17 L Kjeksen rommer 170 cm = 0,17 L is..5 a Overflaten estår av fire rektangler med målene 9,5 cm og 6,5 cm, og to kvadrater med side 6,5 cm. Overflaten av pakningen er derfor O = 4 9,5 cm 6,5 cm + 6,5 cm 6,5 cm = 1,5 cm cm Volumet av pakningen er V = 6,5 cm 6,5 cm 9,5 cm = 401 cm.5 a V = l h= 0,80 m 0,60 m 1,0 m = 0,576 m 0,58 m c Av figuren i oppgave ser vi at overflaten av tanken er O = 0,60 m 1,0 m + 0,80 m 1,0 m + 0,80 m 0,60 m = 4, m 4, m Det går med 4, m plate til å lage tanken..54 a Radien er 5,0 cm. Dermed er volumet av oksen V =π r h=π 5,0 11,0 cm = 864 cm = 864 0,001 dm = 0,864 dm = 0,864 L Omkretsen av oksen er π r = π 5,0 cm = 1, 4 cm 1, 4 cm Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 18
c Arealet av sideflaten er 1, 4 cm 11,0 cm = 45,6 cm Arealet av unnflaten og toppflaten er π r =π 5, 0 cm = 78,54 cm Overflaten av fiskeolleoksen er dermed 45,6 cm + 78,54 cm = 50 cm Det går med 50 cm metall til å lage fiskeolleoksen..55 a Radien i fotallen er 10,4 cm. Volumet av allen er dermed 4πr 4π 10,4 cm 471 cm 471 0,001 dm 4,71 dm V = = = = = 4,71 dm Overflaten av allen er O= 4π r = 4π 10,4 cm = 159 cm = 159 0,01 dm = 1,59 dm 1,6 dm Radien i en lungelære er 0,1 mm. Overflaten av hver lungelære er 4π r = 4π 0,1 mm = 0,1 mm Til sammen har alle lungelærene dermed overflaten 6 0,1 mm 100 10 = 1 000 000 mm = 1 000 000 0,01 cm = 10 000 0,01 dm = 100 0,01 m = 1 m.56 Vi finner høyden a i sideflaten fra pytagorassetningen. a = 6 + 0 cm = 46 cm = 0,9 cm Overflaten av pyramiden er dermed s a 1 0,9 O= s + 4 = 1 cm + 4 cm = 646 cm = 646 0,01 dm = 6, 46 dm 6,5 dm Aschehoug www.lokus.no Side 14 av 18
.57 Taket estår av fire trekanter. To av dem har grunnlinje 1,0 m og høyde a, og to av dem har grunnlinje 8,0 m og høyde. Vi finner a og fra pytagorassetningen. a = 4,0 +,0 m = 5,0 m = 5,00 m = 6,0 +,0 m = 45,0 m = 6,71 m Overflaten av taket er dermed 1,0 5,00 8,0 6,71 m + m = 11,68 m 114 m.58 a Diameteren i grunnflaten er 4 cm. Radien er derfor d 4 cm r = = = 1 cm c d πrh π 1 8,0 cm 106 cm 106 0,001 dm 1, 06 dm 1, dm V = = = = = s = 1 + 8,0 cm = 08 cm = 14, 4 cm 14 cm O=π r +π rs =π 1 cm +π 1 14, 4 cm = 996 cm = 996 0,01 dm = 9,96 dm 10,0 dm.59 Diameteren i grunnflaten er 0 cm. Både radien i grunnflaten og høyden i kjegla er halvparten av diameteren, altså 10 cm. Volumet av kjegla er dermed πrh π 10 10 cm 1047 cm 1047 0,001 dm 1,047 dm V = = = = = 1,0 dm Sidekanten i kjegla er s = r + h = 10 + 10 cm = 00 cm = 14,14 cm Overflaten er dermed O=π r +π rs =π 10 cm +π 10 14,14 cm = 758 cm = 758 0,01 dm = 7,58 dm 7,6 dm Aschehoug www.lokus.no Side 15 av 18
.7 a c d e f 60 v = 180 = 60 60 v = 180 = 90 4 60 v = 180 = 108 5 60 v = 180 = 10 6 60 v = 180 = 18, 6 7 60 v = 180 = 15 8.74 Vinkelen i en regulær åttekant er 60 v = 180 = 15 8 Hvis vi skal kunne fylle planet med regulære åttekanter, må summen av vinklene i punktene der åttekantene møtes, være 60. Men 15 går ikke opp i 60. Hvis vi legger to åttekanter ved siden av hverandre, lir det 60 15 = 90 til overs, hvor det ikke er plass til en tredje åttekant. Vi kan derfor ikke fylle planet med regulære åttekanter..75 a Vinkelen i en regulær firkant er 90, og vinkelen i en regulær sekskant er 10. Hvis vi skal ha minst én firkant og minst én sekskant, må antall sekskanter være én eller to (med tre sekskanter er vi allerede oppe i 60 til sammen, uten noen firkanter). Men hverken 60 1 10 = 40 eller 60 10 = 10 kan deles på 90. Det er derfor ikke mulig for regulære firkanter og regulære sekskanter å møtes i et hjørne slik at summen av vinklene lir 60. Vinkelen i en regulær trekant er 60, og vinkelen i en regulær firkant er 90. Antall firkanter må være én, to eller tre. 60 1 90 = 70 kan ikke deles på 60 60 90 = 180 kan deles på 60 (180 = 60 ) 60 90 = 90 kan ikke deles på 60 Vi ser at tre trekanter og to firkanter til sammen gir 60. Altså kan regulære trekanter og regulære firkanter møtes i et hjørne slik at summen av vinklene lir 60. Aschehoug www.lokus.no Side 16 av 18
c Vi kan ikke ruke firkanter og sekskanter til å fylle planet, siden summen av vinklene ikke lir 60. I oppgave fant vi at tre trekanter og to firkanter til sammen gir 60 når de møtes i et hjørne. Vi må undersøke om dette mønstret kan utvides til å fylle hele planet. Det viser seg at det er to forskjellige mønstre som er mulig:.76 a Det første mønstret estår av tre trekanter og to firkanter, altså (,,,4,4). Det andre mønstret estår av to trekanter og to sekskanter, i rekkefølgen trekant sekskant trekant sekskant. Skrivemåten for mønstret er altså (,6,,6). Det siste mønstret estår av én firkant og to åttekanter, altså (4,8,8). Mønstret har skrivemåten (,,4,,4). c Figuren nedenfor viser mønstrene (,,,, 6), (, 4, 6, 4), (4, 6,1) og (,1,1). Aschehoug www.lokus.no Side 17 av 18
d Mønstret (6,6,6) inneholder kun sekskanter, mens et semiregulært mønster skal inneholde minst to forskjellige typer mangekanter. Derfor er (6,6,6) ikke et semiregulært mønster. Men vi kan fylle planet med regulære sekskanter: e Mønstret i eksempel 4 er det semiregulære mønstret (,4,6,4). Aschehoug www.lokus.no Side 18 av 18