INLEINGDette kompendiet vart laga til førelesingar i landmåling i kursa GG213 og GG214 ved

INLEINGDette kompendiet vart laga til førelesingar i landmåling i kursa GG213 og GG214 ved Geografisk institutt, og har seinare vorte modifisert og bruka i andre kurs. Undervisninga i landmåling i kursa ved Geografisk Institutt og seinare Institutt for geofag har teke sikte på å gi studentane eit minimum av innsikt i oppmålingsteori - slik at dei skulle kunne løyse enkle oppmålingsoppgåver. Landmålinga vert undervist som ein del av faget Geomatikk. Nye metodar har kome til etter at kompendiet vart laga, og i dag har GNSS ein stor plass i faget men er ikkje med i dette kompendiet. Det vil alltid vere ei avveging kva som er viktig, og kva som er mindre nyttig å ha med. Eg har prøvd å ta med litt om dei mest nytta punktfastleggingsmetodar, litt om korleis ein kan kartleggje eit område, og ein del om dei instrumenttypar som er aktuelle. Det er i nokre bolkar teke med stoff som er avansert for dette nivået, men det er serleg meint som forklarande stoff for dei som eventuelt skulle kome til å lese fagbøker i geodesi, eller støyte på dette i andre samanhengar. Kva stadium ein skal byrje på, er alltid vanskeleg å vite, men etter eit innleiingskapittel som skal klårgjere ein del omgrep og gi nokre viktige definisjonar, har eg valt å starte med ein einfelt teori om kart og kompas som mange vil finne elementær, men dei som ikkje er O-- løparar vil kanskje finne denne nyttig. Noko av målet med kompendiet er at ein skal kunne nytte det som oppslagsbok, både for korleis ein skal måle, og korleis ein skal rekne ut dei observasjonane ein gjer. Det er difor lagt vekt på korleis ein skal rekne ut koordinatar, sjølv om det er få konkrete døme, men tanken er at desse vert gitt gjennom praktiske øvingar i kursa. **** I den andre utgåva av kompendiet er det lagt til ein bolk om feil og utjamningsrekning. I tillegg er ein del feil retta opp frå den førre utgåva. Men heller ikkje denne utgåva kan kallast endeleg, og eg vil difor vere svært takksam for å få framlegg til rettingar og endringar. **** Nokre mindre justeringar er gjort i det kompendiet og vert nytta i kurset GEG2210 Blindern januar 2014 Trond Eiken 0

1. GENERELT OM GEODETISK GRUNNLAG OG KARTFRAMSTILLING JORDA Ingen er i dag i tvil om at jorda er ein kuleliknande kropp, men dette har slett ikkje vore ei evig sanning. Dei gamle grekarane var dei fyrste ein veit starta studiet av storleiken og forma til jordkroppen. Ideen om ei kuleforma jord vart fyrst postulert av Pytagoras. Andre samtidige foreslo mange andre former, men det var han som vann mest støtte. Han fekk likevel ikkje prova teoriane sine. Det var det truleg Eratostenes som fyrst gjorde ved hjelp av ein vidgjeten brunn i Syene. Trass i alle feilkjeldene gjorde han ei svært god måling av storleiken på jorda. Fig. 1.0: Astronomisk fastlegging av breidd ved måling av vinkel mellom horisontalplan og sol (alfa) eller Polarstjerna og loddlina (90- Situasjon ved vår / haustjamdøgn med sola (A) i senit på ekvator, men deklinasjonen til sola varierer relativt mykje. Polarstjerna (B) står alltid tilnærma i lenginga av jordaksen og kan nyttast tilsvarande Geodesien i mellomalderen fekk ikkje mange støtter, etter som jorda etter definisjonen til kyrkja skulle vere flat, så det var fyrst i det 15. og 16. hundreåret at fornufta fekk råde, mellom anna med Galileo som støtta teorien om ei kulejord, og denne teorien ville Columbus prove. På 1700-talet hadde instrumenta og metodane vorte så mykje betre at ein fann at jorda ikkje var kuleforma, men ein svakt flattrykt ellipsoide. Men det var ikkje semje om korleis den var flattrykt, om det var pol- eller ekvatorradien som var størst. Store franske ekspedisjonar til Peru og Lappland ca. 1735 greidde å gjere målingar som stadfesta at jorda var flattrykt ved polane, og gav til resultat tilnærma dei same mål som me nyttar i dag. (og stadfesta Newton sin teori) I ein parentes kan ein legge til at frå desse tidlege målingane vart meterdefinisjonen til. Ein meter skulle svare til ein timilliontedel av meridiankvadranten, dvs. avstanden frå ekvator til polen. Etter kvart har meteren vorte definert annleis, men dette er opphavet til meteren, eit mål nært knytt til jorda. Jordoverflata som me kjenner, er i tillegg til å vere krum, alt anna enn ei uniform flate. Havoverflata er rimeleg jamn, men landoverflata - eller topografien - er alt anna enn det. Dei store vertikale variasjonane mellom fjell og dalar gjer det umogeleg å tilnærme forma over eit større område med ein rimeleg einfelt matematisk modell. Ein matematisk modell trengs når ein skal kartlegge eller koordinatfeste jordkroppen. Eit referansesystem som gjer dette mogeleg inkluderer ein matematisk modell av jorda. Me kan forenkle tilhøvet ein god del ved å fjerne topografien over medelvatn i havet, og sjå på den overflata som vert resultatet som flat. Flat i denne samanhengen tyder at me kan sjå eit lite stykke i alle retningar frå eit punkt og finne at overflata har same høgd i alle retningar 1

(Figur 1.1). Dette vil sjølvsagt ikkje halde for lange avstandar av di denne flate overflata er krum, og vår plane-(niveller-) line synest vere ei bein line (fig. 1.2. I praksis må me òg ta omsyn til at siktelina er ei krum line, noko som ikkje går fram av figuren her. Krumminga til jorda er ca. 7,9 cm pr kilometer, og aukar med avstanden i kvadrat. Fig. 1.1. Flat jordoverflate over korte Fig. 1.2. Jordoverflate over lengre avstandar avstandar. loddlinene er normale på jordoverflata Nivellerlina står normalt på gravitasjonsretninga i observasjonspunktet (lokal loddline, etter som nivellerlina er definert av ei libelle (eller ei anna tyngde-sensitiv innretning. Etter som jorda har ei slutta overflate vil retninga til nivellerlina vere ulik for kvart observasjonspunkt på denne idealiserte nivå-jordoverflata (Fig. 1.3). GEOIDEN Dersom ein gjer observasjonar i uendeleg mange punkt med same tyngdepotensial, vil nivellerplana som ein får ved å rotere nivellerlinene kring dei lokale loddlinene forme ei samanhengande nivåflate. Dermed er det også gitt at denne nivåflata er nært knytt til gravitasjonsfeltet til jorda. Nivåflata me har framstilt vert kalla geoiden, og kan definerast som ei ekvipotensialflate som fell saman med medelvasstand i verdshava. Men geoiden fell ikkje eksakt saman med den verkelege havoverflata, av di det i havet er straumar og tidevatn. For at vatn skal flyte frå ein stad til ein annan må dei to stadane ligge i ulike nivå, dvs. ha ulike potensial. Fig. 1.3 Ulike nivellerliner på jordoverflata Etter som geoiden er ei ekvipotensialflate, vil gravitasjonspotensialet i alle punkt på denne vere det same, og loddretninga vil i eitkvart punkt stå normalt på geoiden. Dersom landmassane vart gjennomskorne av eit nettverk av kanalar som vatnet i hava fekk flyte fritt gjennom - berre påverka av tyngdekrafta, og me samstundes ser vekk frå tidevatn og straumeffekter, ville vassflata i kanalane forme geoiden. Fig. 1.4 Geoiden er ei av mange ekvipotensialflater 2

Det er verd å merkje seg at geoiden berre er ei av mange. Geoiden er valt som referanseflate av di den fell saman med medelvatn og såleis har ein fysisk realitet, medan andre ekvipotensialflater ikkje vil ha ei tilsvarande fysisk realisering, menvere reint teoretiske. Dersom jorda hadde jamn tettleik og topografien ikkje eksisterte ville geoiden få form av ein ellipsoide. Diverre er ikkje situasjonen så einfelt. Effekten på geoiden frå variasjonar i tettleik er synt i Fig 1.5. Der det er underskot på masse vil geoiden kome under ellipsoiden. Motsett der det er overskot på masse, vil geoiden kome over ellipsoiden. Effekten gjer at geoiden avvik frå skapen til ein rotasjonsellipsoide med opp til +/- 100 meter, og dette avviket er kjent som geoidehøgd. ELLIPSOIDEN - referansesystem - GEODETISK DATUM Dersom me skal gjere utrekningar av posisjonar, avstandar eller retningar på jordoverflata, må me ha ei matematisk referanseflate. Den mest vanlege referanseflata er ellipsoiden etter som den har ein nokså einfelt figur, og samsvarar godt med geoiden. Ein ellipsoide vert forma ved at ein ellipse vert rotert om sin vesle akse. Storleiken på ellipsoiden kan gjevast på mange måtar, men det vanlegaste i geodesien er å gi lengda av store halvakse (a) (aksen i ekvatorplanet) og flattrykkinga til ellipsen (f). Flattrykkinga er ein funksjon av den store og den vesle halvaksen (aksen i polretning) (b) i ellipsen f=(a-b):a. Det finst fleire storleikar, avleidde av a og f, som gir dimensjonane til ellipsen, men dette er dei vanlegaste. Ellipsoiden definerer ei matematisk referanseflate, men for å kunne knyte målingar me gjer til denne flaten må det definerast ei plassering av ellipsoiden i høve til den fysiske jordkroppen. Ein definisjon av parametrar som definerer storleik og plassering av ein ellipsoide i høve til den fysiske jordkroppen kallar me eit geodetisk datum. Det er såleis tre flater som ein må ta omsyn til når ein talar om form og storleik på jorda (Fig. 1.7): 1:Topografien - den fysiske jordoverflata. 2: Geoiden - ekvipotensialflata (som òg er ein fysisk realitet). Fig. 1.5.a: Ellipse, Store akse i ekvatorplanet (a) og vesle akse i polretninga (b). Fig. 1.5 Observasjonar relative til geoiden 3: Ellipsoiden - den matematiske referanseflata for utrekningar, knytt til den fysiske jordkroppen gjennom definisjonen av datum. 3

Plassering (tilknyting) av ellipsoiden i høve til den fysiske jordkroppen kan ein gjere på to ulike måtar. Tidlegare nytta ein det ein kallar eit toposentrisk geodetisk datum, der fekk eitt punkt (Datumpunktet) på jordoverflata ein fast (gitt) geodetisk koordinat (breidd+lengd), til vanleg fastlagd ved astronomisk punktfastlegging, og denne koordinaten «låser» plasseringa av ellipsoiden til dette punktet. Observasjonar med vanlege landmålings instrument (ikkje satellittmålingar) vert gjort med instrument horisonterte med libellar, og såleis gjorde relativt til ein normal til geoiden (Fig 1.5 og 1.7). Ved posisjonsfastlegging med astronomiske metodar må det difor korrigerast for loddavvik (fig. 1.7), som er skilnad mellom retninga for normalen til geoiden og normalen til referanseellipsoiden, dersom posisjonsreferansen skal vere til ellipsoiden. Fig. 1.7 Dei tre flatene, topografien, geoiden og ellipsoiden Etter at satellittmåling kom i bruk til fastlegging av posisjonar vart i staden tyngdesenteret til jorda referansepunktet saman med retninga til rotasjonsaksen til jorda. Punkt på overflata vart såleis via ellipsoiden referert til jordsenteret og ikkje til eit utgongspunkt på overflata. På eit vis har me flytta referansen frå jordoverflata ut til satellittar sidan dei er vårt «direkte» tilknytingspunkt til «Datumpunktet». Dette er den vanlege datumrefereransen i dag eit geosentrisk datum. Ulike geodetiske datum - historie For tidlegare toposentriske datum hadde ofte nasjonar eller grupper av nasjonar sine ulike datumpunkt og referanseellipsoidar for at dei skulle høve deira område best mogeleg. Eksempel på slike er synt i Fig. 1.6, der Nord Amerikansk datum og Europeisk Datum er saman (figuren er sterkt overdriven!!). I Noreg har me fleire historiske toposentriske datum. Flaggstonga på Kongsvinger festning vart nytta som datumpunkt frå 1779 og seinare er Oslo Observatorium m.a. Datumpunkt i NGO1948. Fig. 1.6 Geoiden og to ellipsar. Tilpassa høvesvis Europa og Nord-Amerika. Det Europeiske Datum 1950 (ED50) har Helmert-Turm (tårn) i Potsdam som datumpunkt. Noreg innførde i 1993 EUREF89 som nytt geodetisk datum samstundes som det vart starta eit større målearbeid for å gi landet eit nytt nett av referansepunkt basert på målingar med GPSsystemet. EUREF89 skulle erstatte både NGO1948 og ED50 som vart bruka parallelt med tekniske målingar (detaljkart) i NGO og landsdekkande kartseriar N50 m.fl. i ED50. 4

EUREF89 er eit datum som baserer seg på det internasjonale terrestriske referanse systemet ITRF, men punkta på jorda er gitt faste koordinatar i høve til den posisjon dei hadde pr. 1 januar 1989 (Epoke 1989.0). I ITRF er det ingen faste punkt på jordoverflata, der er det tyngdesentret og akseretninga til jorda som fastlegg referansesystemet. Punkt på jordoverflata får koordinatar som endrar seg litt over tid ut frå den rørsle dei ulike tektoniske platene har. I ITRF referansessystemet har difor ein koordinat fire dimensjonar der tidspunktet går inn som den fjerde dimensjon. Det er fleire ITRF ramer, gitt ved ITRF+år, og i tillegg eit tidspunkt, ein epoke ved det tidspunkt målinga er utført., td ITRF08 (2013.211) for å syne at ITRF08 er referanseramen og fastlegginga skjer på dag 211 i 2013. Datum og referanserame har vorte serleg aktuelt etter at satellittsystem no kan gi oss svært presis posisjon i nær sann tid. Ulike metodar for posisjonsfastlegging refererer til ulike referanseramer og datum, og det gjer det viktigare enn før å halde greie på dette. Klassisk landmåling baserer seg på bruk av koordinatgitte fastpunkt og då er det referanseramen til fastpunkta som og gir referansen til resultatet. Tilsvarande gir bruk av GPS/GNSS til relative målingar (statisk eller kinematisk) resultat relativt til referansepunkta og dermed gitt referanse. Ved bruk av metoden kalla presis (absolutt) punktfastlegging (PPP) er det ingen fastpunkt på jorda involvert, og resultata vert referert i satellittane sitt referansesystem, og dermed i ein ITRF refereranserame. Omrekningar mellom ulike referanserammer kan skje med kjende algoritmar (konvertering av koordinatar). Det viktige er å vite kva ein gjer og dokumentere dette i høve til resultata. 5

KOORDINATSYSTEM 1 Geodetiske koordinatar - Breidd og Lengd For å gi posisjonar på ellipsoiden (eller kula) trengst eit koordinatsystem. Tidlegare var det geografiske nettet, geografiske eller geodetiske koordinatar, mest nytta, men i dag er jordsentriske rettvinkla koordinatar, kartesiske- / geosentriske koordinatar kanskje dei vanlegaste å nytte. Geodetiske koordinatar er eit vinkelkoordinatsystem der nettet er orientert etter jordaksen, og vert laga av plan som skjer ellipsoiden (kula). Plan som inneheld jordaksen lagar storsirklar, ein slik storsirkel som går frå pol til pol vert kalla ein meridian. Meridianen som går gjennom observatoriet i Greenwich vert nytta som referanse og vert kalla nullmeridianen. Plan som står normalt på jordaksen skjer ellipsoiden i sirklar kalla parallellsirklar. Planet som inneheld jordsenteret lagar ein storsirkel som vert kalla ekvator. Alle andre parallellsirklar er småsirklar, og storleiken avtek med avstanden frå ekvator. Det geodetiske koordinatsystemet gir posisjonar på ellipsoiden med breidd og lengd. Alle punkt på ein parallellsirkel har same breidd, og likeeins har alle punkt på ein meridian same lengd. (Fig. 1.8). Breidda (φ) til eit punkt P er vinkelen mellom ellipsoidenormalen gjennom P og ekvatorplanet. Breidda er null i ekvatorplanet (φ = 0 o ) og veks mot polane til maksimumsverdet (φ = 90 o ). (Fig. 1.9) Lengda (λ) er vinkelen mellom meridianen som går gjennom Greenwich og meridianen som går gjennom det aktuelle punktet. Vinkelen vert målt langs ekvator frå Greenwich-meridianen, anten austover til 360, eller austover til 180 o og vestover til 180 o. Breidd og lengd vert nytta til å definere posisjonen til eit punkt P som synt i Fig. 1.10. Definisjonen av breidd vert litt klarare ved å sjå på Fig. 1.9 som syner eit snitt av meridianplanet gjennom P. Dersom ein hadde nytta ei kule i staden for ein Fig. 1.8 Meridianar og parallellsirklar Fig. 1.9 Meridianplan med geografisk breidd Fig. 1.10 Geodetisk (geografisk) posisjon. Breidd Avst N/S ( ) = 1' Avst. A/V( ) = 1' 0 1843 1855 30 1848 1608 45 1852 1314 60 1857 930 Tabell 1 Avstandar på ellipsoiden (avrunda til m)-(1 (minutt = 1/60 grad). (Sexagesimalt system) 6

ellipsoide, ville breidda til P vere vinkelen y i sentrum av kula, av di normalane på ei kuleflate vil gå gjennom sentrum. Breidd og lengd vert alltid gitt i vinkelmål. Det kan vere interessant å sjå på samanhengen mellom vinkelmål og avstandar på overflata til ellipsoiden. Me vel ein ellipsoide med dimensjonane store halvakse (a) = 6378137,0 m flattrykking (f) = 1 : 298,26... Me hoppar over den matematiske utrekninga, men resultatet er sett opp i tabell 1. Breidd er avstand i nord-sør retning, medan lengd er avstand aust-vest. I nord-sør retning varierer storleiken på ei vinkeleining (her 1 ) nokre meter (0,75%) medan det i aust/vest retning er ei halvering frå ekvator til 60 og vidare til null på polane. Ellipsoiden som vart valt her er nær den som dannar grunnlaget for det globale referansesystemet WGS-84 - World Geodetic System -84 som m.a. GPS-systemet er basert på. Det finst andre ellipsoidar som kunne vore nytta. I dette tilfellet ville det ikkje verka inn på resultatet. Avvika mellom dei ulike ellipsoidane som er i bruk i dag er opptil nokre hundre meter for halvaksane, og nokre få hundredelar for flattrykkinga. GEODETISK - ASTRONOMISK POSISJON Det er tidlegare gjort greie for at geoiden og ellipsoiden ikkje fell saman over alt, dermed vil heller ikkje normalar til dei to flatene i same punkt falle saman. Ovanfor er breidda til eit punkt definert ved hjelp av ellipsoidenormalen, men ved astronomisk posisjonsfastlegging vil breidd verte knytt til geoidenormalen (referanse for libeller), og me kan få ulike breidd (og lengd), alt etter kva for flate (geoide/ellipsoide) det er referert til. Me definerer geodetisk breidd som normalen til ellipsoiden, og astronomisk breidd når det er referert til geoidenormalen i eit punkt. Ordet geodetisk vert nytta av di referansen er den geodetiske referanseflata - ellipsoiden, medan ordet astronomisk vert nytta av di ein ved astronomiske posisjonar nyttar instrument der loddretninga vert danna ved ei libelle, og såleis er knytt til geoiden i punktet. Skilnaden mellom geodetisk og astronomisk posisjon skal svare til loddavviket i punktet. (I fjellterreng kan loddavviket utgjere mange sekund i posisjon.) Geografiske koordinatar er eit (upresist) samlenamn for båe typane, men det vert dels bruka om astronomisk fastlagde koordinatar. 7

Kartesiske (geosentriske) koordinatar Etter at satellittar vart ein vanleg del av kvardagen til landmålaren har det jordsentriske rettvinkla koordinatsystemet, kalla kartesiske- eller geosentriske koordinatar vorte vanleg å bruke. Dette er eit rettvinkla tredimensjonalt koordinatsystem plassert med origo i tyngdesentret il jorda, samanfallande med sentrum i ellipsoiden. Z-aksen er samanfallande med rotasjonsaksen til jorda, og XY-planet vil ligge i Ekvatorplanet. X- aksen er definert gjennom Greenwich-meridianen. Konvertering mellom kartesiske og geodetiske koordinatar er med relativt enkle eksakte formlar Den matematiske samanhengen mellom dei to koordinatsystema er: (formlar frå Statens kartverk, Standard: Koordinatbasert referansesystem) X N h cos cos Y ( N h)cos sin 2 Z N 1 e h sin Fig. 1.11 Kartesisk jordsentrisk koordinatsystem (P.H.Dana) Frå geodetiske til kartesiske koordinatar Her er N perpendikulærkrummingsradius til ellipsoiden i punktet, også kalla normalkrummingsradius. Det er krummingsradien til det normalsnittet på ellipsoiden som står vinkelrett på meridianplanet. Storleiken e er eksentrisiteten til ellipsoiden, og h er høgde over ellipsoiden målt langs ellipsoidenormalen gjennom punktet P. Dersom punktet P ligg innafor ellipsoideflaten, vert h negativ. Storleikane er gitt ved: e = 2 2f f der f = (a b)/a N = a / 1 e 2 sin 2 f er flattrykkinga til ellipsoiden, medan a og b er store og vesle halvakse til ellipsoiden. Frå kartesiske til geodetiske koordinatar nyttar ein to hjelpestorleikar og og finn så, og h (ellipsoidisk høgd) ved: = 2 2 X Y tg = Z / (1 f) = arctan[ Z + e 2 /(1 f) a sin 3 / ( e 2 a cos 3 )] = arctan [Y/X] h = /cos N Formlane gir reknepresisjon for, og h betre enn ein millimeter ved alle aktuelle høgder på jorda, dvs for høgder med talverde mindre enn 10 000 m. Formelen for h gjeld ikkje ved polpunkta der er 90. 8

HØGDER og HØGDESYSTEM Det er tidlegare referert til geoiden og ellipsoiden og normalar til desse som referanseflater og retningar. Dei to flatene kan tilsvarande nyttast som referanseflater for høgdesystem. Eit punkt i terrenget kan såleis refererast til ulike høgdesystem og høgdene i desse vil vere ulike. Vår oppfatning av høgder er nær knytt til fysiske eigenskapar. Vatn vil renne frå høgare til lågare område, Fig. 1.12 Skilnaden mellom høgd (ortom.) og eller frå større til mindre høgd. Denne ellipsoidehøgd er geoidehøgda, eller definisjonen fell saman med høgder som er avstanden mellom geoide og ellipsoide. referert til geoiden og tyngdefeltet, og vil i nokre tilfelle ikkje falle saman med ellipsoidiske høgdeskilnader. Ei vassflate vil ha konstant høgd over geoiden, men ellipsoidisk høgd vil kunne variere. To høgdesystem må difor definerast (fig. 1.12): - høgder over geoiden, ofte kalla ortometriske høgder (og normalhøgder sjå seinare) - høgder over ellipsoiden, ellipsoidehøgder. Høgda med geoiden til referanse, svarar til høgder over medelvatn i havet, og for eit punkt er høgda definert som lengda av loddlina frå punktet til geoiden. Loddlina vil vere ei litt krum line (sidan den skal stå normalt på alle ekvipotensialflater og ekvipotensialflater i ulike nivå ikkje er parallelle (fig. 1.4). Til vanleg praktisk bruk nøyer me oss med å definere høgd til ei bein loddline. Frå Fig. 1.4 ser me at denne enkle definisjonen ikkje strekk til om ei ekvipotensialflate over alt skal ha same høgdeverde over referanseflaten. Avstanden mellom ekvipotensialflatene vil variere med tyngdekrafta, og me må difor knyte saman tyngdepotensial, tyngdeakselerasjon og høgd i definisjonen av høgder. Ortometriske høgdeskilnader er korrigert med tyngdeakselerasjon langs geoidenormalen, men er problematisk sidan dette involverer eit ukjent tyngdeflet inne i jorda. Omgrepa normalhøgde og kvasigeoide er nær i slekt med ortometriske høgder og geoide, men definerer i staden bruk av normaltyngdefeltet for korreksjonen mellom ekvipotensialflater, og gjer det enklare. Det nye høgdesystemet ein innfører i Noreg NN2000 nyttar normalhøgder og kvasigeoide som referansenivå, men skil seg lite frå ortometriske høgder (opptil 0,2 m). Ellipsoidehøgda til eit punkt er lengda av ellipsoidenormalen, frå punktet til ellipsoiden. Årsaka til at me har desse to ulike definisjonane på høgd er at berre høgder frå geoiden er fysisk mogeleg å påvise i marka. Dette sjølvsagt av di ellipsoiden er ei reint teoretisk flate som ikkje kan finnast i praksis. Det siste har i den seinare tid vorte usant, etter som ein ved måling mot satellittar definerer posisjonar i høve til jordsenteret, og dermed kan finne ellipsoidehøgda til eit punkt. Dette har sett oss i stand til vesentleg betre enn før å kartleggje korleis geoiden går i høve til ellipsoiden, slik at me i dag til dels kan nytte ellipsoidiske høgder i nokre samanhengar. Men til praktisk bruk er det høgder frå geoiden som er aktuelle, sjølv om bruk av ellipsoidiske høgder (jfr. fig. 1.12) vert meir og meir aktuelt ved bruk av GNSS-målingar. Ellipsoidehøgder kan reknast om til høgder over medelvatn om ein kjenner 9

geoidehøgda i punktet, og denne kan med god tilnærming finnas ved bruk av geoidemodellar. I dag er det tilgjengeleg slike geoidemodellar som kan nyttast i feltmålebøker saman med GNSS målingar. (Her er det bruka ein kvasigeoide som gir normalhøgder som nemnt over i det nye høgdesystemet NN2000) HØGDEGRUNNLAG Til nullnivå for høgder nyttar ein medelvasstanden i havet (geoiden). Medelvasstanden kan fastleggast ved registrering av vasstanden, anten kontinuerleg ved ein registrerande vasstandsmålar, eller ved avlesing på ei stong til dømes kvar heile time over eit lengre tidsrom. Statens kartverk Sjøkartverket driv fleire permanente tidevassmålarar langs kysten. I Noreg har ein nytta eit nullnivå kalla Normal Null (NN) 1954, med utgongspunkt i vasstandsmålaren ved Tregde, nær Mandal, der landhevinga er nær null, som referanse. No er Noreg kome eit stykke på veg med innføring av eit nytt høgdesystem NN2000 som knyter Noreg til høgdesystemet i nabolanda. Utgongspunktet for høgdene er Amsterdam (NAP). Høgdene i det nye systemet er normalhøgder. Bakgrunnen for innføringa av nytt høgdesystem er å få meir presis samanheng mellom ellipsoidiske- (satellittmålte) høgder og høgder over havet. Høgdereferansepunkt vert fastlagt langs dei viktigaste vegane i landet med presisjonsnivellement. Fastmerke med nokre få kilometers avstand er innmålt med høgdegrannsemd på få millimeter, og materialiserer høgdene i terrenget. Nivellementsnettet i Noreg utgjer om lag 31 000 fastmerke fordelt i 93% av kommunane i landet (Kartverket), og har ei innbyrdes grannsemd (nøyaktigheit) på om lag 1,5 mm/km. Dei er i hovudsak plassert langs vegar og jarnbaneliner. (http://www.kartverket.no/kunnskap/kart-og-kartlegging/referanseramme/dekoordinatbestemte-fastmerkene/#sthash.isrec7oo.dpuf) Med ein presis modell for skilnaden mellom ellipsoide og geoide i NN2000 vil ein og kunne nytte satellittmålingar (ellipsoidiske høgdeskilnader) til å måle høgdeskilnader i NN2000. Det har vore fleire ulike høgdesystem i bruk i Noreg. Frå 1890 frem til NN1954 vart teke i bruk var det eit høgdereferansepunkt i Oslo. Dette vart primært gått bort frå sidan det i Oslo var relativt stor landheving, fleire millimeter per år. I Nord-Noreg var det lenge eit eige nullpunkt NNN (Nord Norsk Null), men dette vart eliminert i det ein fekk samanhengande nivellerliner i heile landet. 10

KARTPROJEKSJON KOORDINATSYSTEM 2 Kartlegging eller oppmåling av større eller mindre delar av jordoverflata kan definerast som fastlegging av dei gjensidige posisjonane til eit større eller mindre tal på terrengpunkt, eller meir presis fastlegging av terrengpunkt i eit koordinatsystem. Kva koordinatsystem ein vel er for så vidt likegyldig, men både geodetiske og geosentriske koordinatar, vil av fleire årsaker vere upraktiske i bruk. Plane koordinatsystem, der projeksjonen av terrengpunkta ned på koordinatplanet gir oss X- og Y-koordinatar, og høgda til punktet over eit referansenivå gir oss Z-koordinaten eller høgda, er eit langt enklare system å operere med. Det vanlegaste er at ein fastlegg punkta i XY-planet for seg og i Z- eller høgd for seg. Den fysiske jordoverflata har særs uregelrett form. Når ho skal framstillast i eit plan, projiserer me fyrst terrengpunkta på ei idealisert overflate, referanseflata, vanlegvis ellipsoiden som er definert på ein slik måte at han kan uttrykkjast relativt einfelt matematisk. Biletet av referanseflata på planet får ein ved å bruke ein kartprojeksjon. FASTMERKE Med fastmerke forstår me varig avmerkte punkt. Det kan vere boltar i fjell eller faste merke i jorda, men sams for dei er at posisjonen skal vere stabil over tid. Mange vardar i fjella er og målte inn som fastmerke. Fastmerka kan vere fastlagde anten i grunnriss - X- og Y- koordinatar kjende, eller i høgd - H kjend, eller både i grunnriss og høgd. Fastmerka tek koordinatsystemet ut i terrenget og materialiserer det der (Sitat: Kai Borre, dansk geodet). Fastmerka er realiseringa av koordinatsystemet i marka. Satellittmåleteknikkane GPS/GNSS har gjort at ein kan måle presist nesten utan fastemerke, og slike punkt spelar difor ei langt mindre rolle i dag enn for berre eit tiår eller to sidan. I klassiske geodetiske målingar vart datumpunktet fastlagt ved astronomiske målingar, men koordinatgitte fastmerke som skulle nyttast til praktiske målingar, vart fastlagt ved å måle vinklar i samanhengande nett av trekantar. Fig. 1.13 syner korleis eit overordna trekantnett vart utvida frå datumpunktet (Oslo Observatorium) til å dekke heile landet. 11

Fig. 1.13 Det norske 1.ordens nettet med vinkel- og avstandsmålingar. Framføring av gitte koordinatar frå datumpunktet «Oslo» observatorium til heile landet ved trianguelering og trilatersjon 12

Triangulering - Trilaterasjon - Polygondrag For eit heilt land (eller eit heilt kontinent) vart det tidlegare bygt opp eit grovmaska trekantnett, eit 1. ordens nett med sidelengder på 30-60 km (Fig. 1.12). Utgongspunktet var datumpunktet i landet. Nokre av punkta i nettet vart ofte absolutt koordinatfastlagde ved astronomiske observasjonar. Dermed fekk ein fastlagt kvar desse punkta ligg, og har gitt retning og avstand mellom dei. Frå slutten av 1950 talet fekk ein elektroniske avstandsmålarar som kunne måle sider i 1. ordens nettet direkte. Mykje av målingane etter den tid er gjort med avstandsmåling eller trilaterasjon (av lattus - side). Fig. 1.12 (side 8) syner det norske 1. ordens nettet. Dei fleste av sidene og vinklane i nettet er målt. Etter at eit grovmaska 1. ordens nett er oppmålt, vart nye punkt mellom desse målt inn i eit nett av trekantar, og ein deler gjerne punkta opp i ordenar etter lengdene på sidene. 1. ordens nett sidelengder 30-60 km 2. ordens nett sidelengder 10-30 km 3. ordens nett sidelengder 5-10 km Oppmålinga av netta av lågare orden skjer dels ved vinkelmåling, og dels ved avstandsmåling. Trekantnetta vart der det trongs, serleg i tettbygde stròk, fortetta slik at ein har fekk nett med sidelengder ned mot ein kilometer. Mellom triangelpunkta vert det så gått polygondrag, ofte fyrst eit storpolygondrag med sider på nokre hundre meter, og seinare (små)polygondrag mellom storpolygonpunkta. I mange tettbygde stròk er det naudsynt med fastpunkt med avstand 50-100 meter for å løyse oppmålingsoppgåver med tradisjonelle instrument. GNSS målingar har gjort at ein klarer seg med langt færre fastpunkt. I EUREF89 (innført 1993) utgjer 113 nasjonale basispunkt (kalla 3D-punkt) grunnstammen knytt til eit globalt nett. I tillegg er det eit stamnett med ca. 1000 fastmerke som dekker heile landet med eitt eller fleire fastmerke i var kommune. Stamnettet har Statens kartverk fortetta vidare i Landsnettet, som inkluderer ein del av dei gamle triangelpunkta. Stamnett og landsnett utgjer ca. 12000 punkt i alt. Frå Referanseflate Til Kartprojeksjon Storleikar som me som landmålarar måler i marka er avstandar, horisontal- og vertikalvinklar frå teodolitt / avstandsmålar, tredimensjonale koordinatdifferansar (vektorar) med GPS eller høgdeskilnader ved nivellement. Sidan jordoverflata er dobbelkrum, må ein for å rekne med dei observerte storleikane nytte sfærisk geometri. For å unngå den kompliserte matematikken reduserer, eller korrigerer, me målingane til eit kartprojeksjonsplan, slik at me kan nytte plan geometri til utrekningane. Målte skråavstandar må korrigerast for: Reduksjon frå skrå til horisontal avstand Reduksjon til ellipsoiden (høgd 0) Reduksjon til kartprojeksjonsplanet Horisontale vinklar treng ingen reduksjon når siktelinene er korte, men for lange sider eller store y-verde (avstandar frå referansemeridianen) må ein korrigere observerte vinklane til kartprojeksjonsplanet. 13

Ein kartprojeksjon kan anten vere ein grafisk projisering (perspektivisk), eller ein matematisk formel for å rekne om frå koordinatar på ellipsoiden (t.d. geografiske) til koordinatar i kartplanet. Ein grafisk projeksjon kan òg framstillast matematisk, men mange kartprojeksjonar eksisterer berre som matematiske, dvs. dei kan ikkje framstillast grafisk. Ein kan sjå på ei kartprojeksjonsavbilding som ei n form for konvertering av koordinatar. Konverteringsalgoritmen vil variere med kva for kartprojeksjon ein nyttar. Z nullmeridian sentralmeridian lokal meridian b P h 0 P a Y avbildning av sentralmeridian N P avbildning av lok al meridian s 0 E X Del av ellipsoide Kartplan Fig. 1.14: Kartprojeksjon. Avbilding av ein del av ellipsoiden til kartplanet. Ulike typar kartprojeksjonar Ein deler inn kartprojeksjonar etter ulike typer, og har to hovudtypar inndeling: 1: Generell inndeling (ytre eigenskap) Kjegle Sylinder Plan 2: Inndeling etter avbildingseigenskap (knytt til vilkår / eigenskapar til avbildinga) - (indre eigenskap) vinkelrett (konform) avstandsrett (ekvidistant) flaterett (ekvivalent) Fig. 1.15 Ulike kartprojeksjonar, plan (a), kjegle (b) og sylindar (c). 14

Ytre \ Indre Konform Ekvivalent Ekvidistant Plan Kjegle Sylindar Tabell 2: Eigenskapar ved kartprojeksjonar. Alle kombinasjonar i matrisa er mogelege, og i tillegg kan ein ha ytre eigenskapar som ikkje oppfyller ein av dei tre indre eigenskapane. Den dobbelkrumme forma til ellipsoiden gjer at berre ein av eigenskapane, vinkelrett, arealrett eller avstandsrett, kan framstillast i kartplanet. Eit kart i ein vinkelrett projeksjon vil innføre feil på avstandar og areal, med unntak av ein eller nokre få liner som kan vere avstandsrette. Det finst svært mange ulike kartprojeksjonar, men berre eit lite tal er i praktisk bruk. Kartplanet som ein projiserer til kan leggast på ulike måtar. Eit plan kan t.d. tangere i polen eller i eit vilkårleg punkt. I staden for tangering kan ein og la planet skjere gjennom ellipsoiden, og såleis gi projeksjonen nye eigenskapar. Det same gjeld for kjegler og plan som kan tangere eller skjere gjennom jordkroppen. Kartprojeksjon vert valt ut frå føremålet med kartet, og det området ein skal dekke. Til dei vanlegaste kartseriane i Noreg er det bruka transversale sylindarprojeksjonar. I tillegg til type kartprojeksjon er geodetisk datum (storleiken til jorda (ellipsoiden)) og plassering av koordinatsystemet naudsynte parametrar. Kartprojeksjonen definerer den matematiske samanhengen mellom geodetiske koordinatar på ellipsoiden og plane koordinatar i kartprojeksjonen ( avbildinga ). Kartprojeksjonar / datum i Noreg Fram til innføringa av EUREF89 som nytt geodetisk datum vart det i Noreg etter andre verdskrig nytta to geodetiske datum med to ulike kartprojeksjonar og koordinatsystem. Båe var basert på transversale (liggande) sylindarprojeksjonar, men projeksjonane er ulike av di datuma har ulik jordstorleik og form, projeksjonssylindarane og koordinatsystema var plassert ulikt. Med EUREF89 vart UTM innført som nasjonal kartprojeksjon til alle føremål, og var i 2009 teken i bruk i alle kommunar i Noreg. På grunn av stor skalafeil i UTM-projeksjonen vart i tillegg EUREF89 NTM (Norsk Transversal Mercator) innført som ein mogeleg projeksjon til særskilde lokale føremål. Dei tidlegare kartprojeksjonane som er gått ut av bruk er: NGO 1948 - som både er eit norsk geodetisk datum definert ut frå eit fundamentalpunkt ved Oslo Observatorium og ein kartprojeksjon. Ellipsoiden som vart bruka var basert på Bessels ellipsoide frå 1848, men akselengdene i den norske Bessel er ikkje identisk med den originale - men kalla den norske Bessel ellipsoiden. NGO 1948 vart nytta til: - Dei fleste tekniske kart / kommunar byar etc. - Økonomisk kartverk 1:5000/1:10000 over heile landet 15

ED50 eller Europeisk Datum 1950 er eit geodetisk datum som dekte heile Europa med fundamentalpunkt i Potsdam i Tyskland. ED50 er basert på den Internasjonale ellipsoiden av 1924 (identisk med Hayford 1909). ED50 er uttrykt på kart gjennom UTM projeksjonen, og var NATO sin standard for kart i Europa fram til NATO sist på 80-talet gjekk over til WGS84 som geodetisk datum. I Noreg vart ED50 nytta til: - M711 seien 1:50000 /N50 - Dei fleste kart i mindre målestokkar (<1:20000) NGO1948 og ED50 er erstatta av EUREF89 som geodetisk datum på alle kart i Noreg etter ca år 2000. AKSESYSTEM OG KOORDINATAR I dei konforme sylindarprojeksjonane som så godt som alle landkarta i Noreg vert utarbeidd i, vert striper av jordoverflata teikna på ei sylinderflate som vert bretta ut og utgjer kartplanet. På den måten kan områda nær ein meridian som sylinderen tangerer, teiknast utan å innføre for store feil. Di lenger ut frå tangeringsmeridianen ein figur ligg, di større vert målestokksfeilen. Sjølv om Noreg er langt både i nord-sør retning og aust-vest (Finnmark) har ein valt å nytte transversale sylindarprojeksjonar, men for å unngå for store projeksjonsfeil må då fleire sylindrar nyttast for å dekkje heile landet. I NGO 48 har ein for å få minst mogeleg feil på biletet av ellipsoiden i planet nytta i alt 8 tangerande sylindrar (fig. 1.14) for ein transversal Mercatorprojeksjon for å dekkje Noreg. Desse tangerer langs ulike meridianar. Fig. 1.15 syner dei 8 aksane eller tangerings-meridianane. For kvar sylindrar/stripe nyttar ein eit eige koordinatsystem. Dei har alle origo på 58 Nord, med X-akse nordover langs tangeringsmeridianen og Y-akse vinkelrett på denne med positiv retning austover. Akse III er lagt gjennom Oslo Observatorium og dannar utgangspunktet i systemet. Aksane er vidare spreidde slik at den maksimale feilen på biletet av ellipsoiden vert ca. 1 : 10 000. Dvs ein avstand på 1000 m i høgd null på ellipsoiden kan få ein maksimal feil på 10 cm i kartbiletet - i kravet til maksimumsfeil avstandar mellom tangeringsmeridianane på 2 20' eller ca. Fig. 1.15.Gauss-Krüger-systemet i Noreg (NGO1948 systemet) 180 km, medan det i Finnmark er 4 10' mellom akse VII og VII - som og svarar til ca. 180 km. 16

NB! Ein nyttar i landmålinga omvend namnsetjing på koordinataksane i høve til matematikken. Ein får dermed eit koordinatsystem som har X-akse mot nord, Y-akse mot aust og positiv omløpsretning med sola frå nord. Dei 8 NGO-aksane ligg i gitte avstandar frå kvarandre slik at det er mogeleg å rekne seg frå eit aksesystem til eit anna. Dersom ein treng nytte koordinatar som er gitt i to ulike aksesystem, må ein fyrst rekne dei om til eit felles system, og deretter gjennomføre rekninga. Dette kan skape ein del ekstra arbeid når til dømes ein kommune har koordinatar frå to ulike aksesystem innanfor grensene. Fig. 1.16. Transversal tangerande (Gauss-Krüger) og skjerande (UTM) sylindarprojeksjon 17 Fig. 1.17. Avbilda sone i UTM-systemet med UTM koordinatsystem for Nord og Sør.

UTM-systemet (Universal Transverse Mercator) UTM-systemet er òg basert på ein konform sylinderprojeksjon, men til skilnad frå Gauss- Krüger nyttar UTM ein sylinder som er litt mindre enn ellipsoiden, slik at den skjer gjennom Jorda (Fig. 1.16). Dette saman med noko mindre krav til feil i biletet gjer at ein kan nytte færre og breiare striper. Projeksjonen forminskar sentralmeridianen i kvar stripe med ein faktor på 4/10 000. På denne måten kan ein dekkje Noreg med fem projeksjonsstriper. UTM-systemet dekkjer heile verda, med 60 striper (kalla soner) som kvar dekkjer 6 i lengd. Kvar sone har eit koordinatsystem med origo på ekvator. Nummereringa av sonene har utgangspunkt i sona med 183 E som sentralmeridian - UTM-sone nr. 1. Nummerereinga er positiv mot aust, og Noreg er dekt av sonene 32-36, jfr. fig. 1.18 som syner UTM systemet for nord Europa. Koordinatsystemet i UTM-sonene har positiv X-akse nordover langs midtmeridianen med verdet null for ekvator. I staden for X- er det vanleg å kalle verdet N- for Northing. Y-aksen fell langs ekvator, og verdet for origo er sett til 500 000. Dette har ein gjort for å unngå negative verdet for koordinatane. I Fig. 1.18 UTM systemet i nord Europa. staden for Y- kallar ein koordinatverda E- for Easting. På den sørlege halvkula er alle X-koordinatar (som skulle vere negative) gitt eit tillegg på 10 000 000, og ein nyttar dette positive verdet saman med nemninga S ( Southing ). UTM-projeksjonen var tidlegare berre nytta på topografiske kart i Noreg. M711 serien er konstruert i dette systemet. I dag er denne projeksjonen nytta på så godt som alle kart, og det er og referansesystem for trigonometriske punkt. Statens kartverk har gjort nokre modifikasjonar til UTM systemet for å forenkle bruken av det i Noreg. For å unngå at det er fleire UTM soner i same fylke har ein laga grense mellom UTM-32 og UTM-33 på fylkesgrensa mellom Nord-Trøndelag og Nordland og tilsvarande for UTM-33/UTM-35 ved Troms/Finnmark grense. Denne oppdelinga er synt i figur 1.22. UTM-referansesystemet I UTM systemet kan ein nytte koordinaten til eit punkt saman med sonenummeret for å gi ein unik referanse for punktet. Dette vert nytta mest til å gi eksakte koordinatar på eksakte punkt. 18

Ein har og eit system kalla UTM-referansesystemet eller UTM-rutetilvising for å gi unike posisjonar, men dette systemet gir posisjon med presisjon frå 1 meter til 1 kilometer. I UTMreferansesystemet nyttar ein dei same 60 soner - nemnde med tala 1-60 (jfr. koordinatsystemet), og deler i tillegg inn sonene frå 80 S til 84 N i 20 belte nemnde med bokstavane C - X, unnateke I og O. Kvart belte dekkjer 8 i breidde - det nordlegaste 12 grader. Jorda er såleis delt i 20 X 60 (1200) ruter avgrensa av meridianar og parallellsirklar. Rutene kallar ein sonebelte og dei vert definert av sone (tal) + belte (bokstav). I Sør-Noreg er ein til dømes i sonebelte 32V, jfr. fig 1.18. I kvart sonebelte finn ein 100 km ruter som svarar til 100 km ruter i koordinat- systemet, t.d. frå 400000-500000 E og 6500000-6600000 N. Kvar 100 km rute vert gitt med to bokstavar, slik at sone + belte + 2 bokstavar definerer ei unik 100 km rute. Fig. 1.19 UTM-sonebelte inndeling I kvar rute har ein eit lokalt koordinatsystem med origo i nedre venstre hjørne i ruta. Relativt dette hjørnet gir ein aust og nord koordinaten til eit punkt med så mange siffer som ein vil ha presisjonen på tilvisinga - like mange siffer for aust og nord. Koordinaten refererer seg til ei rute som har storleik lik siffertalet. Eit eksempel - jfr. fig 1.21 Rutetilvising, eksempel for Galdhøpiggen: 32V MP 6364534080 10 sifra tilvising definerer ei 1 m rute 32V MP 63643408 8 sifra tilv. definerer ei 10 m rute 32V MP 636340 6 sifra tilv. definerer ei 100 m rute 32V MP 6334 4 sifra tilv. definerer ei 1 km rute Ruta som tilvisinga definerer er gitt med koordinaten som ligg ned til venstre for sjølve punktet, slik at punktet ligg i ruta med gitt storleik. Storleiken til ruta vert gitt med talet på siffer. Merk: Det skal vere like mange siffer i AUST og i NORD tilvisinga, dvs. det må setjast 0 framom i tilfelle den aktuelle koordinaten er mindre enn 10 kilometer. Fig. 1.20: 100-km ruter i sør-noreg Fig. 1.21: 100 km rute MP 19

KART Det meste av oppmålinga ein gjer, har til føremål å framstille kart. Før me kan gå i gong for fullt, kan det vere nyttig å sjå litt på kva omgrepa landmåling og geodesi dekkjer. Opphaveleg - og enno for mange - er landmåling det same som geodesi. (Geodesi - eigentleg gresk for geo- desi jord- deling). Men i dag har geodesi fått ei Fig. 1.22: UTM(EUREF89) soneinndeling for tekniske og økonomiske kartserier i Norge. vidare tyding for oppmåling, og vert ofte definert som læra om jorda si form og storleik, om oppmåling og tyngdefelt. Ei av hovudoppgåvene innanfor geodesien er å fastleggje eit hovudnettverk av varig avmerka punkt som grunnlag for den vidare oppmåling og kartlegging av jordoverflata. Når eit slikt overordna geodetisk grunnlag eksisterer kan ein ved landmåling måle opp mindre delar av jordoverflata. Ein måte å skilje mellom geodesi og landmåling på er ut frå referanseflata som vert nytta. I geodesi reknar ein med den krumme flata, medan ein i landmåling held seg i planet. Landmåling kan ein utføre sjølv om ein ikkje får knytt seg til eit såvore overordna nett, men målinga vil då berre vere relativ, dvs ein vil ikkje ha annan referanse enn dei målingar ein sjølv gjer. Landmålingsarbeid omfattar både triangulering (av lågare orden), polygonering, tekniske nivellement og andre målingar som tek sikte på fortetting av det overordna fastpunktnettet, men òg kartlegging ved til dømes rettvinkelmetodar og tachymetri. Vidare er eigedomsmålingar og måling i samband med byggeprosjekt aktuelle i landmålingssamanheng. Vegen frå triangelpunktet til kartet kan synast lang, men mest all fastpunktmåling skal tene som grunnlagspunkt for kartkonstruksjon, anten direkte ved måling av kartdetaljar i marka, eller som passpunkt ved fotogrammetrisk konstruksjon av kartet. 20

Kva er eit kart? Kartet skal vere ei attgjeving av terrenget, me kallar det ein projeksjon av terrenget til horisontalplanet. Eit kart kan ha mange føremål, og innhaldet i kartet seier oss oftast nett kva slag kart det er. Eit topografisk kart har til føremål å gje att terrenget med informasjon om høgder gitt som høgdekoter, vegar, elvar, kraftliner og mange andre objekt teikna som liner med ulik tjukn, eller særskilde symbol. Eit situasjonskart har kanskje ikkje høgdeinformasjon i det heile, men gjev informasjon om plassering av objekt i grunnriss. Biletet av terrenget Kartet skal vere eit bilete av jordoverflata i minka utgåve, men sidan jorda er ei dobbelt krumma flate, og kartet er eit plan kan me ikkje utan vidare framstille jordoverflata korrekt på ei plan flate, dvs. på eit kart. Ein kan innvende mot dette at jorda er så stor, og på ei stor kule vil mindre område synast vere så flate at ein kan tilnærme dei med eit plan. Det er for så vidt og rett, og mykje av teorien bak kartlegging byggjer nett på at me gjer ei slik tilnærming. I kapitlet om kartprojeksjonar ser me nærare på dette. Eit kart er til vanleg orientert mot NORD, slik at opp på kartet peikar mot nord når me les det vanleg. Berre i særskilde unntakstilhøve vert dette fråvike, og NORD må då vere tydeleg markert ved nordpil eller med rutenett og /eller gradnett på kartet. KARTTYPAR Kartet skal gi oss informasjon og me deler kart i to ulike typar etter kva føremålet med kartet er: Topografiske kart Tematiske kart Eit topografisk kart er ein generell presentasjon av mange synlege detaljar i terrenget. Eit temakart framhevar eitt eller eit fåtal tema. Temakartet kan syne tilhøve og eigenskapar som direkte eller indirekte kan knytast til objekt i kartet. I tillegg til å skilje mellom topografiske og tematiske kart har det mellom dei topografiske karta vore vanleg å lage skilje etter målestokkane og bruksområda til karta. Geografiske kart er kart i små målestokkar, 1:250 000 og mindre, som har til føremål å framstille eller gi oversyn over større delar av landområde under eitt. Geografiske kart kan ofte ved særskild symbolbruk gi informasjon både om busetnad, høgdetilhøve, vegetasjon og mykje anna. Topografiske kart, har vore nytta som namn på kart i midlare målestokkar, 1:25000-1:100000, og er den vanlegaste karttypen som me nyttar til dømes ved fjellturar for å halde greie på kvar me er. Det norske hovudkartverket (serie N50) er ein typisk topografisk kartserie i målestokk 1:50 000. Eit topografisk kart tek i fyrste rekkje sikte på å gi eit bilete av terrenget. Dette omfattar høgdetilhøve, plassering av vegar, elvar og alt anna som kan vere relevant for den som skal ta seg fram. Økonomiske kart er kart i store målestokkar, 1:5000-1:20000, og har skal tene til tekniske, økonomiske og administrative føremål. Store deler av Noreg er i dag dekt av økonomisk kartverk (ØK) i målestokk 1:5000 og 1:10 000. Desse utgjer grunnlaget for planlegging m.a. i jordbruk og skogbruk. Reguleringsplanar o.l. for 21

større område har òg oftast ØK som grunnlag. Tekniske kart er kart i svært store målestokkar, frå 1:2 500 og større. Slike kart er serleg aktuelle i tettbygde strok, og ved tekniske utbyggingar som krev eit godt og grannsamt kartmateriale. Tematiske kart legg hovudvekta på framstilling av eit særskilt tema, terrengframstillinga er underordna, men til vanleg har temakartet eit topografisk kart som bakgrunn for at det skal vere lettare å orientere seg på kartet. Kart av ulike typar, i ulike målestokkar kan tenkjast nytta som grunnlag for temakart. Sentrale omgrep i kartsamanheng Målestokk - i eit kart er høvet mellom ein avstand i kartet og ein avstand i marka (terrenget). Det tyder at om avstanden mellom to punkt, til dømes to hus er 1,7 cm i kartet, og 340 meter i marka er målestokken: 0,017 / 340 = 1 / 20 000 Me seier at målestokken på kartet er tjuetusen, sjølv om det korrekte er ein til tjuetusen. Tjuetusen vert kalla målestokkstalet, medan brøkverdet (0,00005) er målestokken. Kartteikn er eit språk som ein nyttar for å gi informasjon i eit kart. For å kunne lese kartet må ein kjenne dei kartteikna som vert nytta. Ulike typer kart vil nytte ulike typer symbol. Kartet vil normalt ha ei teikntyding som gir eit oversyn over dei kartteikna som er nytta. Kartteikn kan vere både enkle symbol for å gi informasjon om eit punkt, eller eit flatesymbol for å fortelje noko om eit areal. Høgdekoter er liner som kan trekkjast gjennom punkt som har same høgd (isoliner). Me kan sjå på dei som skjeringsliner mellom terrenget og plan som skjer gjennom terrenget i visse høgdenivå. Slike høgdekoter gir oss informasjon om høgdetilhøva i terrenget, og for ein øva kartbrukar vil høgdekotene mest gi eit tredimensjonalt bilete. Ekvidistanse er den vertikale avstanden mellom to høgdekoter. Denne avstanden varierer alt etter kva målestokk kartet er i, og ikkje minst etter kva føremål kartet har. Di mindre ekvidistansen er, di meir nøyaktig vert biletet av terrenget. Ein opererer til vanleg med runde tal på ekvidistansar, eksempelvis: 1,5,10,20 og 50 m. Når det gjeld spørsmålet om kor stor ekvidistansen skal vere er ein høveleg regel at ekvidistansen skal vere lik tiandeparten av målestokkstalet uttrykt i centimeter. I små Fig. 1.23 Høgdekoter 22

målestokkar, til dømes 1 : 50 000 og mindre er det likevel vanleg med ekvidistanse mindre enn det denne regelen skulle tilseie. MÅLEEININGAR Å måle ein storleik går ut på å finne ut kor mange gongar storleiken inneheld ei valt eining - måleeininga. I landmåling er det i fyrste rekkje lengder (avstandar) og vinklar som vert målte for å fastleggje forma og storleiken til terrengområde. Det finst internasjonale konvensjonar for måleeiningar for vekt og mål, og det vert tilstreba bruk av internasjonale einingar og symbol. Einingar som er med i det internasjonale systemet vert kalla SI- einingar. Lengdemål Lengdeeininga var i tidlegare tider knytt til vilkårlege storleikar, ei fingerbreidd (tomme), ei handslengd (alen) og ein fot var vanleg nytta einingar. Var det tale om større avstandar nytta ein gjerne talet på dagsmarsjar, anten for menneske eller dyr. Då den fyrste franske republikken i 1791 innførde metersystemet var det tanken at det skulle vere eit uforanderleg naturmål, nemleg ein timilliontedel av meridiankvadranten (avstanden frå ekvator til polen). Det synte seg seinare at meridiankvadranten ikkje var eksakt 10 000 000 meter, men eitpar kilometer meir. Fig. 1.24 Meridiankvadrant I våre dagar er difor meteren gitt ein ny definisjon, nemleg ut frå bylgjelengda til den strålinga som krypton avgir ved overgong frå eit nivå til eit anna. I Noreg vart meteren teken i bruk som lengdemål på slutten av 1800-talet, og me har vår standardmeter som kan overførast til våre bruksmål. Måleeininga for lengdemål er 1 meter, men i landmåling vert det og nytta avleidde einingar av grunneininga. Kilometer km 10 3 m 1000 m Meter m Desimeter dm 10 1 m 0.1 m Centimeter cm 10 2 m 0.01 m Millimeter mm 10 3 m 0.001 m Mikrometer mm 10 6 m 0.000001 m Flatemål Som eining for flatemål nyttar ein kvadratmeteren, m 2, som er avleidd av grunneininga meter. Også for flatemål finst det fleire multippeleiningar av eininga kvadratmeter. Kvadratkilometer km 2 10 6 m 2 23