UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: Fys26 Eksamensdag: Fredag 5. desember 24 Tid for eksamen: 43 83 Oppgavesettet er på: 3 sider Vedlegg: ingen Tilatte hjelpemidler Elektronisk kalkulator, godkjent for videregående skole Rottman: Matematisk formelsamling Øgrim og Lian: Fysiske størrelser og enheter To A4 ark med håndskrevne notater arkene kan beskrives på begge sider) Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare oppgavene. Du må i oppgavene begrunne dine svar. Oppgave Hver deloppgave i oppgave teller dobbelt). a) Du kaster en sekssidet terning 8 ganger. Hva er sannsynligheten for å få 6 på terningen nøyaktig 4 ganger? egrunn svaret. Det er tilstrekkelig å finne et uttrykk for sannsynligheten, du behøver ikke å regne ut tallverdien for sannsynligheten). For å kaste 6 fire ganger må du kaste 6 fire ganger og noe annet en seks fire ganger. Sannsynligheten for a kaste 6 en gang er p = /6. En mulighet er at du kaster først 6 fire ganger og så noe annet 4 ganger. Fordi kastene er uavhengige er sannsynligheten for dette utfallet P,,,,,,, ) = p 4 p) 4. ) Dette er ikke eneste måte du kan få fire seksere. Vi må derfor summere sannsynligheten for alle mulige sekvenser av kast som gir fire seksere. Alle disse sekvensene mikrotilstandene) har samme sannsynlighet. Antall sekvenser er lik antall måter du kan velge ut 4 av 8. Sannsynligheten blir derfor ) ) ) 4 ) 4 8 P = p 4 p) 4 8 5 =. 2) 4 4 6 6 b) Gi et eksempel på et system hvor entropien avtar. Er dette i strid med termodynamikkens andre lov? Forklar. c) Vis at tilstandstettheten Dɛ) til en en-dimensjonal elektrongass er Dɛ) = aɛ) /2, hvor ɛn x ) = an 2 x, n x =,, 2,..., angir translasjonstilstandene til elektronene. Tilstandstettheten i n x -rommet er Dn)dn = 2dn. Vi finner Dɛ) gjennom: Dn)dn = Dɛ)dɛ Dɛ) = Dn) dɛ/dn, 3)
hvor og dermed dɛ dn = d ɛ dn an2 = 2an = 2a a = 2 ɛa, 4) Dɛ) = 2 dɛ/dn = 2 2 ɛa = ɛa) /2. 5) d) Energien til et spinn-system med N spinn, S i = ±, er E = N as i, 6) i= hvor a er en konstant. Skriv et program som lager mikrotilstander for et slikt spinn-system med N = 5 og a =, regner ut E for hver mikrotilstand, og viser et histogram over E-verdiene. Skisser histogrammet. Python: M= N=5 nn=2*floorrandm,n)*2)- nt=sumnn,axis=) histnt) show) Matlab M=; N=5; nn=2*floorrandm,n)*2)-; nt=sumnn,2); histnt); Oppgave 2 Vi skal i denne oppgaven studere oppførselsen til en monatomisk gass i et todimensjonalt system av størrelse A = L L. Atomene har masse m. Gassen kan karakteriseres med trykket p, som i to dimensjoner har enhet kraft per lengde. Den termodynamiske identiteten for gassen er T ds = de + pda µdn. For et slikt system ved konstant E, A, og N er entropien gitt som [ ) ] A 2πmE S = Nk ln N Nh 2 + 2. 7) a) Finn et uttrykk for temperaturen, T, uttrykt ved E, A og N. Vi finner T fra T = ) S = Nk E A,N E T = E Nk. 8) 2
Det svarer til E = NkT, 9) som er det vi forventer fra ekvipartisjonsprinsippet siden gassen kun har to frihetsgrader per atom da atomene kun kan bevege seg i to dimensjoner. b) Denne oppgaven teller dobbelt). Vi kan modellere den to-dimensjonale gassen med en molekylær-dynamikk-simulering som gir posisjonene, r i t) og hastighetene, v i t) for hvert tidssteg, t n = n t, for hvert atom i. Skriv et script/program som regner ut temperaturen til gassen ved et tidssteg t n gitt posisjonene og hastighetene til atomene ved dette tidssteget. Vi antar at vi har lagret alle hastighetene i arrayen veln,2). Vi kan da finne temperaturen fra T = E/Nk fra E som vi finner ved å summere den kinetiske energien for hver enkelt atom: som blir implementert som K = i 2 m vx,i 2 + vy,i 2 ), ) K =.5*m*sumvel:,)*vel:,)+vel:,2)*vel:,2)); T = K/N*k); Vi skal nå studere det samme systemet ved konstant T, A, N. De translatoriske energitilstandene til et atom in en boks av størrelse A = L L er da ɛn x, n y ) = hvor a = h 2 /8m), n x =,, 2,... og n y =,, 2,.... h2 n 2 8mL 2 x + n 2 ) a y = n 2 A x + n 2 ) y, ) c) Vis at partiksjonsfunksjonen for ett enkelt atom kan skrives som Z = π AkT. 2) 4a Vi finner partisjonsfunksjonen som summen over alle tilstander n x, n y ): ɛnx,ny)/kt Z = sum nx,n y e.3) Vi tilnærmer summen med et integral i n x, n y rommet: Z Vi endrer integrasjonsvariabelen til n: Z e an2 /AkT ) dn x dn y. 4) e an2 /AkT ) 2π ndn, 5) 4 hvor vi har dividert med 4 fordi vi kun ser på 4de kvadrant. Vi kan så endre integrasjonvariable til u = an 2 /AkT ) slik at du = 2an/AkT ). Det gir Z e u 2π 4 AkT 2a du = pi 4a AkT e u du = pi AkT. 6) 4a 3
d) Hva er partisjonsfunksjonen for N atomer? egrunn svaret. Partisjonsfunksjonen for N atomer er egrunnelse finnes i forelesningsnotatene. Z N = N! ZN. 7) e) ruk Stirlings tilnærming ln N! = N ln N N) til å vise at Helmholtz fri energi for gassen er F = NkT ln πakt ) 4aN +. 8) Helmholtz fri energi er relatert til partisjonsfunksjonen ved ) Z N F = kt ln Z = kt ln = NkT ln Z + kt ln N!. 9) N! Vi vet at ln N! = N ln N N som gir kt ln N! = kt N ln N NkT, 2) og vi setter inn for Z som gir πakt F = NkT ln + NkT ln N NkT, 2) 4a hvor vi så setter inn for a = h 2 /8m) som gir 2πAkT F = NkT ln Nh 2 NkT = NkT [ ] 2πmAkT ln Nh 2 +.22) f) Finn entropien ST, A, N) til gassen. Vi finner entropien fra ) F S = T A,N [ ] 2πmAkT = Nk ln Nh 2 + + NkT T [ ] 2πmAkT = Nk ln Nh 2 + 2. 23) g) Finn tilstandslikningen for gassen. Vi finner tilstandslikningen fra ) F p = A T,N = NkT A = NkT A. 24) 4
h) Skisser to isotermer i et p-a-diagram. Indiker hvilken isoterm som har høyest temperatur. i) Finn adiabatlikningen, pa), for en adiabatisk prosess, og skisser to adiabater. Adiabatlikningne angir pa) langs en adiabat, dvs for en prosess som har konstant entropi. Vi ser på lukkede systemer som det er ingen endring i N i prosessen. Det er derfor kun A og T som utvikler seg i prosessen. Vi skriver om S slik at den blir en funksjon av N, A, og p, og ikke av T, ved å sette inn kt = pa/n fra tilstandslikningen: S = Nk [ ] 2πmAkT ln Nh 2 + 2 [ ] 2πmApA = Nk ln N 2 h 2 + 2 =.25) Vi ser derfor at konstant S svarer til at pa 2 er konstant, slik at en adiabat er beskrevet ved at pa 2 = c p = c A 2. 26) Dette er adiabatlikningen. Oppgave 3 Vi skal i denne oppgaven studere en krystall som består av A og atomer. Vi antar at atomene er forskjellige og at de ikke vekselvirker på noen måte. Krystallen består av A-atomer og N -atomer og har totalt N = +N gitter-plasser. Den har volum V og er i termisk likevekt med et stort reservoar med temperaturen T. Vi antar en forenklet modell for tilstandene til atomene. Et A-atom kan kun være i en tilstand med energien ɛ A og et -atom kan kun være i en tilstand med energien ɛ. Du kan i denne oppgaven bruke den forenklede formelen for Stirlings tilnærmelse: ln M! = M ln M M. a) Hva er partisjonsfunksjonen z A for et system som består av kun et A- atom? Hva er partisjonsfunksjonen z for et system som består av kun et -atom? Partisjonsfunksjonen er gitt som summen over alle tilstander i: z A = i e ɛi/kt = e ɛ A/kT, 27) og tilsvarende for atomet z = e ɛ /kt. 28) b) Hva er partisjonsfunksjonen ZT, V,, N ) for et system som består av A-atomer og N -atomer? Hvordan er Z relatert til z A og z? 5
Vi skal summere over alle tilstander for systemet. Det kan vi gjøre ved å summere over alle mulige plasseringer av A og atomer, og for hver plassering summerer vi over tilstandene i A og atomene. For en sekvens av atomer A,,A,..) vil leddene i denne summen se ut som i i 2 e ɛi,a/kt e ɛi2,/kt e ɛi2,a/kt... V iserathvertleddderforkanskrivessom z A zn i 3 avhengig av hvilken rekkefølge A og atomene kommer i sekvense. Fordi det ikke en noen vekselvirkning mellom atomene er energien summen av energiene for hvert enkelt atom). Men hvor mange slike ledd er det i den totale summen over alle tilstander? Det er så mange måte som man kan plukke ut atomer fra N = + N plasser. De resterende plassene er da fylt av -atomer. Hele partisjonsfunksjonen blir derfor ) N Z = z NA A zn. 3) c) Vis at Helmholtz fri energi for systemet er F T, V,, N ) ɛ A + N ɛ ) kt [ + N ) ln + N )] kt [ ln N ln N ]. 3) Vi finner Helmholtz fri energi fra F = kt ln Z N! = kt ln z A N kt ln z kt ln!n! = ɛ A N ɛ kt N ln N N ln + N ln N + N ) = ɛ A N ɛ kt N ln N ln N ln N ). Som var det vi skulle vise hvis vi setter inn N = + N. d) Hva er den indre energien E til krystallen? 32) Vi finner den indre energien fra F = E T S E = F + T S, 33) hvor vi først finner S fra ) F S = T V,,N = k [ + N ) ln + N ) ln N ln N ]. 34) Vi setter det inn i E = F + T S og finner at E = ɛ A N ɛ. 35) 6
e) Krystallen er en blanding av A og atomer. Forklar hvordan uttrykket for F er relatert til blandingsentropien. Den indre energien E til systemet består av den indre energien E A fra A- atomene alene pluss den indre energien E fra -atomene alene siden det ikke er noen vekselvirkning mellom atomene. Vi ser derfor at F = E T S mix, hvor blandingsentropien derfor er entropien S vi fant ovenfor. Vi ønsker i stedet å beskrive krystallen i et system med konstant trykk, p, og ikke ved konstant volum, V. Volumet til systemet er gitt av volumene til A og atomene når de er i krystallen, v A, v : V = v A + N v. f) Finn Gibbs fri energi for systemet. Vi finner Gibbs fri energi fra G = F + pv som gir G = F + pv = F + p v A + N v ), 36) og vi kan så sette inn uttrykket for F. Siden F ikke har noen eksplisitt V - avhengighet behøver vi ikke erstatte V -ledd med p-ledd i uttrykket. g) Vis at det kjemiske potensialet for A atomene i krystallen er µ c AT, p,, N ) = ɛ A kt ln + N ) + pv A. 37) Vi finner det kjemiske potensialet for A-atomene ved ) G µ A = T,p,N = ɛ A + pv A kt ln + N ) + + N ) + N ) ln N ) A = ɛ A + pv A kt ln + N ) ln ) = ɛ A + pv A kt ln + N ). Vi antar nå at krystallen er i likevekt med en ideell gass. Du kan anta at gassen kun består av A-atomer. Det kjemiske potensialet for A-atomene i gassen er µ g A = kt ln n A/n Q,A T ), hvor n A = /V i gassen, og n Q,A T ) = 2πm A kt/h 2 ) 3/2. Du kan anta at pv A er neglisjerbar. h) Vis at damptrykket for A-atomene er p A T ) = n Q,A T )kt e ɛ A/kT + N ). 39) I likevekt må det kjemiske potensialet for A-atomene i krystallen være like det kjemiske potensialet for A-atomene i gassen over krystallen. Dvs at µ c A = ɛ A + pv A kt ln + N 7 ) = µ g A = kt ln n A n Q,A. 4)
Vi kan anta at pv A er liten og kan derfor sløyfes. Vi får da ɛ A kt ln + N ) = kt ln n A, 4) n Q,A som gir og dermed og til slutt n A = e ɛ A/kT + N ), 42) n Q,A n A = p A kt = n Q,Ae ɛ A/kT + N ), 43) p A = kt n Q,A e ɛ A/kT + N ). 44) i) Hva skjer med damptrykket når vi endrer andelen av -atomer i krystallen? Gi en kort fysisk forklaring. Hva ville skje med damptrykket hvis bindingsenergien til -atomene, ɛ, ble endret? Vi ser at damptrykket blir lavere når vi blander inn N atomer i krystallen. Dette svarer til le Chatliers prinsipp. Resultatet er ikke avhengig av bindingenergien til -atomene og altså ikke av typen -atomer men kun av andelen/antallet -atomer i krystallen. j) Denne oppgaven teller dobbelt) Hvordan vil resultatet endre seg hvis vi i stedet så på et system av harmoniske oscillatorer med energier ɛ A,i = i ɛ A, ɛ,j = j ɛ? egrunn svaret. Endringen vil i så fall være at Helmholtz fri energi da endres til F = kt ln z A N kt ln z +..., 45) hvor resten av uttrykket ikke endres. Dette fører til at det kjemiske potensialet endres til µ c A = kt ln z A + pv A kt ln + N ), 46) og dermed blir damptrykket p A = kt n Q,A + N ). 47) z A 8