Texas Instruments TI-84

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Texas Instruments TI-84

Innhold 1 Om lommeregneren 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2 Potenser..................................... 4 2.3 Standardform.................................. 4 2.4 n-terøtter.................................... 4 3 Funksjoner 5 3.1 Verditabell................................... 5 3.2 Graf....................................... 5 3.3 Utregning på grafen.............................. 6 3.3.1 Finne y når du kjenner x....................... 6 3.3.2 Skjæringspunkt med aksene.................... 6 3.3.3 Finne x når du kjenner y....................... 7 3.3.4 Finne topp- og bunnpunkter..................... 8 3.3.5 Finne likningen for tangent..................... 8 3.3.6 Finne momentan vekst........................ 8 4 Arbeid med regneark 9 5 Median 9 6 Gjennomsnitt 10 6.1 Gjennomsnitt når alle dataene er oppgitt.................. 10 6.2 Gjennomsnitt i frekvenstabell........................ 10 7 Standardavvik 10 7.1 Standardavvik når alle dataene er oppgitt................. 10 7.2 Standardavvik i frekvenstabeller...................... 11 8 Histogram 11 9 Spredningsdiagram 11 10 Regresjon 13 10.1 Lineær regresjon................................ 13 10.2 Eksponentiell regresjon............................ 14 10.3 Andregradsregresjon............................. 14 10.4 Potensregresjon................................ 15 10.5 Tips til regresjon................................ 15 10.5.1 Tegne regresjonskurven sammen med spredningsdiagrammet 15 10.5.2 Hvor godt passer modellfunksjonen?............... 16 2

Innledning Dette heftet er ment som en beskrivelse av lommeregneren Texas Instruments TI- 84 som digitalt verktøy i undervisningen i faget «Matematikk Vg2P», studieforbedredende utdanningsprogram. Heftet er tilpasset læreverket Sigma matematikk, Gyldendal Undervisning, og inneholder referanser til framstillingen der. Henvisninger fra boka Følgende er en oversikt over de sidetallene i læreboka som har referanse til digitale verktøy. Lista gir deg en oversikt over hvilket avsnitt i dette heftet som omhandler det aktuelle emnet i læreboka. Henvisningene refererer til sidetall i Sigma matematikk 2P, 3. utgave, Gyldendal Undervisning, 2013. I den elektroniske utgaven av heftet er referansene klikkbare. Sidetall i læreboka Emne Avsnitt i dette heftet 10 Potensregning 2.2 15 Standardform 2.3 21 n-terot 2.4 23 Verditabell 3.1 50 Oppbygning av regneark 4 77 Median 5 80 Gjennomsnitt 6 82 Standardavvik 7 87 Histogram 8 116 Tegne graf 3.2 117 Skjæring med aksene 3.3.2 119 Finne når grafen antar en bestemt y-verdi 3.3.3 121 Regne ut funksjonsverdier 3.3.1 123 Finne toppunkt og bunnpunkt 3.3.4 129 Tangent 3.3.5 156 Spredningsdiagram 9 158 Lineær regresjon 10.1 160 Eksponentiell regresjon 10.2 163 Andregradsregresjon 10.3 167 Potensregresjon 10.4 3

1 Om lommeregneren Dette heftet omtaler lommeregneren Texas Instruments TI-84. Versjonen som er brukt er «TI-84 Plus Silver Edition», men forklaringene her burde passe til de fleste versjoner av lommeregneren, herunder også versjoner av TI-83. 2 Regning 2.1 Tallregning Du taster inn regnestykker på vanlig måte. Svaret får du når du trykker på ENTER. 2.2 Potenser Lommeregneren bruker cirkumflex ( ) for potenser. Eksempel: Vi skriver inn utregningen 4 + 5 2 3 : Vi ser at svaret blir 44. 2.3 Standardform Lommeregneren skriver vanligvis tall på vanlig måte dersom antall sifre er 10 eller mindre. Dersom antall sifre blir mer enn 10, bruker lommeregneren standardform. Eksempel: Tallet 1,3 10 29 skrives av lommeregneren som «1.3E+29». Å taste inn tall på standardform gjøres ved å taste potensen inn på vanlig måte: Tallet 1,3 10 29 tastes inn som «1.3 10 29». Det går også an å bruke «EE». Da taster du slik: «1.3 EE1.3 29». 2.4 n-terøtter N-terøtter taster du ved å bruke «x»-funksjonen. Den finner du ved å trykke på MATH-knappen og velge alternativ 5, x. Eksempel: 4 20 taster vi inn som 4 x 20: 4

3 Funksjoner 3.1 Verditabell Verditabellen lager vi på lommeregneren ved å legge inn funksjonsuttrykket på «Y=» og så trykke på 2nd > TABLE. Eksempel: Vi skal lage verditabell for funksjonen f(x) = 36 0, 96 x med x fra 5 til 20. Vi trykker på «Y=». Der taster vi inn funksjonsuttrykket: «36 0.96 X». Pass på å taste inn x med den knappen som er merket med «X, T, Θ, n». Når vi så trykker på TABLE, får vi opp en tabell. Dersom vi ønsker andre x-verdier enn de som automatisk kommer opp, trykker vi på 2nd > TBLSET. Der kan vi gå til linja «Indpnt» og velge «Ask». Når vi nå går tilbake til tabellen (2nd > TABLE), er verditabellen tom. Vi taster inn de x-verdiene vi vil ha og trykker på ENTER. 3.2 Graf Å tegne grafen til en funksjon er i prinsippet bare å taste inn funksjonsuttrykket og så tilpasse vinduet. Eksempel: Vi vil lage en rask skisse av grafen til f(x) = x 2. Vi taster inn «X 2» og trykker ENTER. Når vi så velger GRAPH, vises grafen: Av og til gir nå lommeregnervinduet en passende graf. Men ofte må vi endre på vindusinnstillingene for at vi skal få et riktig inntrykk av grafen. Det tryggeste er å bestemme eksakt hvilke verdier som skal være på aksene. Eksempel: Vi skal tegne grafen til funksjonen f(x) = 0, 0215x 2 + 0, 87x + 2, 10 for x mellom 0 og 45. Eksempelet er hentet fra side 116 i læreboka. 5

1. Vi lager en verditabell over funksjonen med x fra 0 til 45, se forklaring ovenfor i avsnitt 3.1. 2. Vi leser av hvilke y-verdier som passer. I verditabellen ser vi at y minst må være 3 og aldri er over 11. Vi vil derfor la y være mellom 3 og 11. Vi lar x være mellom 0 og 45. 3. Vi trykker på WINDOW. Vi setter «Xmin» til 3, «Xmax» til 45, «Ymin» til 3 og «Ymax» til 11. Da blir grafen vår slik: 3.3 Utregning på grafen 3.3.1 Finne y når du kjenner x Om vi skal finne funksjonsverdien av en bestemt verdi a av x, taster vi inn a i verditabellen. Eksempel: Vi lar f være f(x) = 0, 005x 2 + 0, 28x, som i eksempel 2 på side 120 i læreboka. Vi legger inn funksjonsuttrykket på «Y=» og lager verditabell. Der taster vi inn 60 som en x-verdi ser at y da blir 34,8. 3.3.2 Skjæringspunkt med aksene Skjæringspunktene med y-aksen finner du ved å regne ut f(0), se avsnitt 3.3.1 ovenfor. Skjæringspunktene med x-aksen kalles nullpunkter. Du finner nullpunktene til en graf ved å tegne grafen og velge 2nd > CALC og velge «zero». Deretter angir du venstre og høyre grense og taster ENTER. For å finne flere nullpunkter gjentar du prosessen. Eksempel: Vi skal finne nullpunktene til funksjonen f(x) = 0, 0215x 2 + 0, 87x + 2, 10. Vi tegner grafen, trykker på 2nd > CALC og velger «zero». Da ser vinduet vårt slik ut: 6

Figuren viser at det er «Y1» vi skal finne nullpunktet for. Vi må nå angi en x-verdi på hver side av nullpunktet. Vi taster først inn en x-verdi til venstre for nullpunktet («Left Bound»), for eksempel 4, og trykker ENTER. Deretter taster vi inn en x- verdi til høyre for nullpunktet («Right Bound»), for eksempel 2, og trykker ENTER. Til slutt taster vi inn en x-verdi i nærheten av nullpunktet («Guess»), for eksempel 1, og trykker ENTER. Da ser vinduet slik ut: Dette betyr at det venstre nullpunktet har koordinatene ( 2, 28, 0). Så gjentar vi prosessen, men bruker for eksempel 40 og 45 som grenser. Da får vi at det høyre nullpunktet har koordinatene (42, 75, 0). Dersom en funksjon ikke har noe nullpunkt, vil lommeregneren vise «ERR: NO SIGN CHNG». 3.3.3 Finne x når du kjenner y Vi skal finne når en funksjon f har oppnådd en bestemt verdi b. Dette kan gjøres på flere måter. Vi velger å gjøre det ved å tegne inn en rett linje y = b og så finne skjæringspunktet mellom denne linja og grafen. Eksempel: Vi skal finne når den rette linja y = 0, 32x + 65 får verdien y = 200. Eksempelet er hentet fra side 119 i læreboka. Vi legger først inn funksjonen y = 0, 32x + 65 på «Y 1». Deretter legger vi inn funksjonen y = 200 på «Y 2». Vi tegner grafen til de to funksjopnene, jfr. avsnitt 3.2 over. Til slutt finner skjæringspunktet mellom disse funksjonene ved å trykke på 2nd > CALC og velge «intersect». Vi bekrefter «first curve» og «second curve» med ENTER og angir for eksempel 300 som vår gjetning («Guess»). Da ser vinduet slik ut: 7

Dette betyr at f(x) = 200 når x = 422. 3.3.4 Finne topp- og bunnpunkter Vi skal finne toppunktet på grafen til f(x) = 0, 015x 3 +0, 29x 2 1, 39x+4, hentet fra eksempel 3 på side 122 i læreboka. Vi legger inn funksjonen, tegner grafen, trykker på 2nd > CALC og velger «maximum». Vi setter venstre grense («Left Bound») til 8, høyre grense («Right Bound») til 11 og vår gjetning («Guess») til 10. Da ser vinduet slik ut: Dette betyr at koordinatene til toppunktet er (9, 71, 4, 11). 3.3.5 Finne likningen for tangent Lommeregneren egner seg ikke til å finne tangentlikningen med. Vi finner heller den momentane veksten med derivert, se avsnitt 3.3.6 nedenfor. 3.3.6 Finne momentan vekst Vi tar utgangspunkt i funksjonen f(x) = 0, 0197x 3 + 2, 5x 2 1, 3x + 65 fra side 128 i læreboka. Vi skal finne den momentane veksten til f for x = 15, altså f (15). Vi legger inn funksjonsuttrykket. Deretter avslutter vi «Y=» med 2nd > QUIT. Så trykker vi på MATH-knappen og velger «nderiv(». Deretter taster vi inn «Y» ved å trykke på VARS, velge Y-VARS > Function og velge «Y 1». Deretter trykker du på «X, T, Theta, n»-knappen, skriver inn et komma (ikke desimalkomma, men kommaet til venstre for venstreparentes, før du skriver «15» og trykker ENTER. Da skal vinduet ditt se slik ut: 8

Dette betyr at f (15) = 60, 4. Det er mulig å taste inn funksjonsuttrykket direkte i stedet for å skrive inn «Y 1», men ofte er det mest effektivt å legge inn funksjonsutrykket på «Y=» først. 4 Arbeid med regneark Lommeregneren inneholder et forenklet system for regning i regneark. Dette får du fram med APPS > CelSheet. Imidlertid er fordelene med å i stedet gjøre dette arbeidet på en datamaskin med regneark så store at vi heller anbefaler det. 5 Median For å gjøre statistiske beregninger på lommeregneren legger vi inn datamaterialet på lommeregnerens statistikkprogram. 1. Trykk på STAT og velg «Edit». 2. Legg datamaterialet i for eksempel «L1». 3. Velg operasjon fra STAT > CALC. Eksempel: Vi skal finne medianen i eksempel 2, side 77 i boka. Vi legger inn dataene i «L1». Da skal det slik ut: Deretter trykker vi STAT og går til CALC-menyen ved å trykke høyrepil. Der velger vi «1-Var Stats». Etter noen trykk på nedoverpil, ser skjermbildet slik ut: 9

Altså er medianen 3. 6 Gjennomsnitt 6.1 Gjennomsnitt når alle dataene er oppgitt Gjennomsnittet vises med x på lommeregneren. Eksempel: Vi skal regne ut gjennomsnittet i eksempel 6 på side 80 i læreboka. Vi trykker på STAT og velger «Edit». Så legger vi inn datamaterialet i «L1». Da ser det slik ut: Så velger vi STAT, går til CALC-menyen og velger «1-Var Stats». Da leser vi av at x = 4,6667, altså er gjennomsnittet 4,67. 6.2 Gjennomsnitt i frekvenstabell Dersom dataene er oppgitt i en frekvenstabell er det lettest å regne ut gjennomsnittet i et regneark eller for hånd. 7 Standardavvik 7.1 Standardavvik når alle dataene er oppgitt Standardavviket finner vi på samme måte som gjennomsnittet og medianen: Vi legger inn alle dataene på lommeregnerens statistikk-program og velger STAT > CALC > «1-Var Stats». 10

Eksempel: Vi skal regne ut standardavviket i eksempel 8 på side 82 i læreboka. Vi trykker STAT og velger «Edit». Så legger vi inn datamaterialet i «L1». Da ser det slik ut: Så trykker vi STAT, går til CALC-menyen og velger «1-Var Stats». Da leser vi av at σ x = 0.31. Det betyr at standardavviket er 0,31. 1. 7.2 Standardavvik i frekvenstabeller Med en frekvenstabell, er det best å regne ut standardavviket for hånd. 8 Histogram Lommeregneren egner seg ikke til å tegne histogram. Vi anbefaler at du tegner histogrammene for hånd. 9 Spredningsdiagram Slik lager vi spredningsdiagram: 1. Vi legger verditabellen inn i lister på lommeregneren. Først taster vi x-verdiene inn i «L1». Så legger vi y-verdiene inn i «L2». 2. Så trykker vi på «STAT PLOT» og velger «Plot1». 1 Det finnes også et valg «S x». Den gir galt svar. 11

3. I «Plot1» velger vi «On» og sørger for at «XList» er satt til «L1» og «YList» er satt til «L2». 4. Vi trykker på «WINDOW» og foretar vindusinnstillinger. Vanligvis vil det passe å la «Xmin» være minste x-verdi i verditabellen, men ikke mindre enn 0. Tilsvarende lar vi «Ymin» være minste y-verdi i verditabellen, men ikke mindre enn 0. «Xmax» og «Ymax» lar vi være henholdsvis største x-verdi og største y-verdi i tabellen. 5. Vi trykker på «Y=» og fjerner eller slår av eventuelle funksjonsuttrykk vi ikke vil ha tegnet sammen med spredningsdiagrammet. Eksempel: Vi skal lage spredningsdiagrammet fra side 156 i læreboka, altså med utgangspunkt i følgende verditabell: x 1 2 5 7 8 y 2 5 5 4 6 Vi legger inn verditabellen inn i «L1» og «L2». Da ser det slik ut: Så trykker vi på «STAT PLOT» og velger «Plot1». Der velger vi «On» for å slå på «Plot1». Da skla det se slik ut: Vi fjerner eventuelle funksjonsuttrykk fra «Y=». Deretter trykker vi på WINDOW. Vi lar både x og y gå fra 0 til 10, siden verdiene i verditabellen ligger innenfor dette intervallet for både x og y. 12

Nå trykker vi på GRAPH og får tegnet spredningsdiagrammet. Det er lurt å skru av «Plot1» (velg «Off» i «Plot1») etter at du har brukt det. Hvis du glemmer det, kan du risikere å få problemer med å tegne grafer senere, for eksempel om du i mellomtiden gjør endringer i listene i STAT > «Edit». 10 Regresjon Regresjon på lommeregneren gjøres slik: Trykk på STAT, velg «Edit» og legg inn verditabellen. Trykk på STAT og går til «CALC»-menyen. Der velger du regresjon av passende type. Det kreves litt innsats for å lese av svaret lommeregneren gir. Eksempel: Vi har utført lineær regresjon på en verditabell, jfr. avsnitt 10.1 nedenfor. Da får vi følgende vindu på lommeregneren: Øverst i vinduet finner vi hvilken type modellfunksjon vi har brukt. Her viser uttrykket y = ax + b at vi har valgt en lineær funksjon som modellfunksjon og at vi derfor skal bestemme koeffisientene a og b. Deretter vises den verdien av koeffisientene a og b som passer best ut fra verditabellen vår. Altså er modellfunksjonen vår i dette tilfellet y = 4,8x 24,48. 10.1 Lineær regresjon Eksempel: Vi skal foreta lineær regresjon på verditabellen på side 158 i læreboka. Først trykker vi på STAT, velger «Edit» og legger inn verditabellen i «L1» og «L2». Så trykker vi på STAT, går til «CALC»-menyen med høyrepil og velger «LinReg (ax+b)». Så trykker vi på ENTER. Da ser skjermen slik ut: 13

Det betyr at regresjonskurven har funksjonsuttrykk y = 4,79805825x 24,477669, altså y = 4,8x 24,48. 10.2 Eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon foretar vi på samme måte som lineær regresjon, men vi velger «ExpReg» i stedet for «LinReg (ax+b)» Eksempel: Vi skal utføre regresjonen på side 160 i læreboka. Vi legger inn verditabellen i «L1» og «L2». Så trykker vi STAT, går til «CALC»- menyen med høyrepil og velger «Exp». Nedenfor finner ser du en figur som viser hvordan lommeregneren-vinduet ser ut etter denne regresjonen. Som vi kan se, blir uttrykket for regresjonskurven f(x) = 40,31 0.71 x 10.3 Andregradsregresjon Andregradsregresjon utføres med «QuadReg». Eksempel: Vi utfører regresjonen på side 162 og 163 i læreboka. Vi legger inn verditabellen i «L1» og «L2». Så trykker vi STAT, går til «CALC»- menyen og velger «QuadReg». Nedenfor finner ser du en figur som viser hvordan lommeregneren-vinduet ser ut etter denne regresjonen. 14

Som vi kan se, blir uttrykket for regresjonskurven f(x) = 0,0082x 2 + 0,23x + 0,34 Her har vi rundet av 0,0082180809 til 0,0082. 10.4 Potensregresjon Potensregresjon utføres med «PwrReg». Eksempel: Vi utfører regresjonen på side 167 i læreboka. Vi legger inn verditabellen i «L1» og «L2». Så trykker vi STAT, går til «CALC»- menyen og velger «PwrReg». Da får vi omtrent følgende bilde: Vi ser at regresjonskurven har funksjonsuttrykket f(x) = 1,997 x 0,499 2,0 x 0,5 = 2,0 x 10.5 Tips til regresjon 10.5.1 Tegne regresjonskurven sammen med spredningsdiagrammet Det kan ofte være lurt å lage et spredningsdiagram for å avgjøre hvor godt modellfunksjonen passer til verditabellen. Da følger vi framgangsmåten for spredningsdiagram ovenfor, jfr. avsnitt 9, og legger resultatet av regresjonen inn på «Y=». For å slippe å taste inn modellfunksjonen manuelt, og derved innføre en mulig kilde til feil, kan vi be lommeregneren legge den inn automatisk. Vi bruker potensregresjon som eksempel. Tast inn «PwrReg L1,L2,Y1». «PwrReg» velger du på vanlig måte fra STAT > CALC. «L1» og «L2» taster du med 2ND og så 1 og 2 henholdsvis. Bruk kommaet som er plassert like over 7-tallet. Ikke bruk desimalkommaet (.). «Y1» finner du ved å trykke VARS, gå til «Y-VARS»-menyen, velge «Function» og velge «Y1». 15

Resultatet fra regresjonen vises så på samme måte som før. Men i tillegg er modellfunksjonen lagt inn i «Y=». Trykker vi på «Y=» nå, får vi dette skjermbildet: Dersom jeg nå foretar nødvendig vindusinnstillinger og trykker på GRAPH, får jeg dette skjermbildet: 10.5.2 Hvor godt passer modellfunksjonen? Den greieste måten til å avgjøre i hvilken grad modellfunksjonen passer er å tegne grafen til funksjonen sammen med spredningsdiagrammet. Dersom man prøver forskjellige modellfunksjoner, kan det være lurt å tegne grafen til alle modellfunksjonene sammen med spredningsdiagrammet. Det er imidlertid også mulig å se lommeregnerens vurderinger av dette. Dette gjør du ved å trykke på CATALOG og velge «DiagnosticOn». Regresjonen vil da i tillegg til modellfunksjonen angi en størrelse som viser hvor godt modellen passer til verditabellen. Eksempel: Vi gjentar potensregresjonen ovenfor, jfr. 10.4. Nå ser skjermbildet slik ut. Vi kan si at modellfunksjonen passer bedre til verditabellen ettersom størrelsen «r 2» nærmer seg tallet 1. Her ser vi at «r 2» har verdien 0,999988. Det betyr at modellfunksjonen passer svært bra. 16