Skriftlig eksamen i MATEMATIKK 1, 4MX15-10E1 A 15 studiepoeng ORDINÆR EKSAMEN 20. desember 2010. Sensur faller innen 11. januar 2011. BOKMÅL Resultatet blir tilgjengelig på studentweb første virkedag etter sensurfrist, dvs. 12. januar 2011 (se http://www.hist.no/studentweb). Vi gjør oppmerksom på at frist for eventuelt å be om begrunnelse er 1 uke fra karakteren er bekjentgjort iht. lov om universiteter og høgskoler. Timer: 6 Hjelpemidler: Kalkulator med tilhørende bruksanvisning. Kalkulatoren skal ikke kobles til strømnettet under eksamen. Læreplan for Kunnskapsløftet (LK06). Trykt utgave eller utskrift. Informasjon: Oppgavesettet er på 7 sider og består av 3 oppgaver. Alle oppgavene skal besvares og svarene skal begrunnes. Oppgavene teller i utgangspunktet likt, men den endelige karakteren vil bygge på en helhetsvurdering av besvarelsen. Oppgave 1 (Vekt 1/3) Elevene i 6. klasse er fortrolige med å multiplisere et ensifret tall med et tosifret tall, men multiplikasjon der begge tallene er tosifrete er nytt for dem. Læreren har gitt klassen oppgaven 54 46. Han ønsker å se hvordan elevene tenker når de arbeider med en slik oppgave. Han ber dem derfor først om å arbeide individuelt og vise hvordan de kommer fram til et svar ved å notere i bøkene sine. Deretter har han en samtale med noen av elevene i grupper for å la dem utdype den skriftlige framstillingen. Han ber først de tre elevene Even, Liv og Embla forklare sine framgangsmåter. Even: Jeg delte opp stykket for da blir det lettere. Å multiplisere med tall som slutter med null er enkelt, så jeg starter med 50. 1
54!46 = 50! 40 + 4!6 = 50! 4!10 + 24 = 50!10! 4 + 24 = 2000 + 24 = 2024 Liv: Jeg har også delt opp stykket slik at jeg begynner med 50. 54!46 = 50!54 " 4!4 = 540 + 540 + 540 + 540 + 540 "16 = 2700 "16 = 2684 Embla: Det har jeg også. 54 46 = 50 46 + 4 46 = 100 23 + 2 92 = 23 100 + 184 = 2300 + 184 = 2484 a) Analyser utregningene til Even, Liv og Embla. I analysen skal du trekke inn matematiske begreper og begrunne hvilke strategier og egenskaper/lover hver av elevene har benyttet i utregningene sine. Bruk illustrasjon der du synes det er hensiktsmessig. Tre andre elever Olav, Ask og Odd har løst oppgaven 54 46 som beskrevet nedenfor. Olav: Jeg ganget sammen enerne først, og så ganget jeg sammen tierne, og la sammen. Jeg vet at 4 ganger 6 er 24, og 5 ganger 4 er 20, altså egentlig 2000 da. 54 46 2024 Ask: Jeg har sett broren min regne slike stykker så jeg vet hvordan det er. Det er bare å lage en trapp når du multipliserer med et tosifret tall. 6 2 5 4 4 6 3 2 4 2 1 6 3 4 5 6 2
Odd: Jeg delte opp stykket og så om jeg kunne bruke fordobling, for det er lett. 54!46 54! 2 = 1080! 2 = 2160 54! 6 = 108! 3 = 324 2160 324 2484 b) Analyser Olav, Ask og Odds utregninger. Ta utgangspunkt i et konstruktivistisk syn på læring og kunnskap, og gjør rede for hvordan du kunne tenke deg å hjelpe Olav, Ask og Odd slik at de kan beherske standardalgoritmen for å multiplisere flersifrete tall. I denne redegjørelsen kan det være aktuelt å trekke inn begrepene instrumentell og relasjonell forståelse samt begrepene assimilasjon, akkomodasjon og mentale skjema. Læreren sier til en gruppe elever som arbeider med oppgaven 54 46 utgangspunkt i den enklere oppgaven 50 40 = 2000. at de kan ta c) Vis hvordan denne elevgruppen nå kan tenkes å løse oppgaven 54 46 ved å bruke den multiplikative strukturen/situasjonen like grupper. Bruk illustrasjon. Una har også arbeidet med oppgaven 54 46. Hun har eksperimentert lenge. Hun sier plutselig: Se her! Jeg har startet med 50 50 = 2500, og så fant jeg ut noe rart. Det blir sånn : 54 46 = 50 50 4 4 = 2500 16 = 2484 Det er fordi 54 er 4 mer enn 50 og 46 er 4 mindre enn 50. Det blir alltid sånn når forskjellen er den samme. Bare prøv på 101 99 = 100 100 1 1 = 10000 1 = 9999. d) Lag to andre multiplikasjonsstykker av samme type, og vis at Unas metode virker. Forklar at Unas resonnement er en anvendelse av tredje kvadratsetning 2 2 (konjugatsetningen), ( a + b)(a b) = a b. Bruk den multiplikative situasjonen/strukturen areal til å vise at denne setningen alltid gjelder. 3
Oppgave 2 (Vekt 1/3) En gruppe elever blir spurt om hvordan de vil dele to pizzaer mellom tre personer. Berit foreslår å gi hver person! pizza pluss! pizza. Læreren ber elevene om å tegne Berit sitt!! forslag til løsning i arbeidsboka si. Sigurd tegner to sirkler og deler hver av dem i to like deler, og så deler han den ene halvdelen i tre. Sigurds forslag Sigurd sier at hvis hver person får én av halvdelene og én av de tre delene som han delte den siste halvdelen i, så vil det bli sånn som Berit foreslår. Eva framstiller løsningen på en annen måte. Hun starter også med å dele begge pizzaene i to, men etterpå deler hun den ene halvdelen i seks deler. Evas forslag Eva sier at da får hver person!! pizza pluss!! pizza. Læreren spør hva de andre elevene mener, og Christian sier at de små delene i Evas tegning ikke er seksdeler, men tolvdeler. Eva er ikke enig. Hun sier: De er seksdeler, fordi det er seks deler, ikke sant? Christian tegner deretter denne illustrasjonen for å forklare hva han mener. Christians forslag Han sier at nå er hver av de små bitene seksdeler, fordi en hel pizza inneholder seks slike biter. a) Analyser Sigurd, Eva og Christian sine forslag til illustrasjon av!! pizza pluss!! pizza. Trekk inn relevante egenskaper ved brøkbegrepet i analysen. 4
b) For å multiplisere to brøker har vi regelen å gange teller med teller, og nevner med nevner. Bruk eksemplet!! til å gjøre rede for forskjellen på instrumentell og!! relasjonell forståelse for denne regelen. Vis spesielt hvordan en illustrasjon kan være til hjelp for å utvikle relasjonell forståelse for regelen. c) En liten brusflaske rommer! liter, og en stor brusflaske rommer 1,5 liter. Hvis du! fyller innholdet av en liten flaske opp i en stor flaske, hvor stor del av den store flaska blir da fylt opp? d) Situasjonen med brusflaskene i punkt c) kan gi opphav til regnestykket!!!!. Forklar hva svaret på dette regnestykket i så fall uttrykker, og gjør rede for om denne divisjonen er målingsdivisjon eller delingsdivisjon. 5
Oppgave 3 (Vekt 1/3) En gruppe elever på 5. trinn arbeider med en tekstoppgave som gir opphav til gangestykket 60 7,5. De har ikke tidligere fått undervisning i multiplikasjon med desimaltall, og læreren gir dem denne oppgaven for å få et bedre grunnlag for å legge opp sin undervisning i dette temaet senere. Erik, Kari, Mona og Svein diskuterer hvordan de skal gå løs på oppgaven (altså 60 7,5), og følgende dialog finner sted: 1. Erik: Det er seks ganger sju, det kan vi ta først. 2. Mona: Seks ganger sju. 3. Erik: Seks ganger sju det er, hva var det igjen da? Ja, det er førtito. Og så er det. 4. Kari: Jeg er ikke med her. Jeg skjønner ikke noe. 5. Svein: Ikke jeg heller. 6. Erik: Vent litt da. Jeg skal bare finne ut, så kan dere herme etter meg. 7. Kari: Nei. 8. Erik: Nei, vel da. Det er førtito. Og så er det seks ganger en halv. Det er tre, da er det førtifem. 9. Kari: Jeg skjønner ikke noe av det du snakker om. 10. Erik: Og så førtifem pluss en null. Det er firehundre og femti. Det er firehundre og femti. 11. Kari: Nei! Kan du forklare sånn at vi skjønner det? Elevene diskuterer videre, og etter en stund sier Kari og Mona at de fortsatt ikke skjønner hva Erik mener. Han prøver seg med en ny forklaring. 12. Erik: Seksti ganger sju komma fem det er enkelt da. Det er bare å ta sju ganger seks og så en halv ganger seks og så plusser en på nulleren og så blir det svaret. 13. Mona: Får ikke med det du sier. Du snakker så fort. 14. Erik: Vi kan, vi tar sånn, først så tar vi sju ganger seks. 15. Kari: Ja. 16. Mona: Ja. 17. Kari: Og hva er det? Jo, det er førtito. 18. Erik: Førtito ja, det vet alle. 19. Kari: Ja det vet alle. 20. Erik: Så tar vi en halv ganger seks, det er halvparten av seks. 21. Mona: Å ja. 22. Erik: Det er tre. 23. Kari: En halv ganger seks? 24. Erik: Og førtito ganger 25. Kari: Jeg kan ikke det der en halv ganger seks og halv ganger nitten og halv ganger femten og halv ganger 26. Erik: Nei men det er i hvert fall tre. Så tar da tar vi førtito pluss tre og så plusser vi på nulleren fra den seksti. 27. Mona: Å ja, nå har jeg skjønt det. 28. Kari: Jeg skjønner ingenting. 29. Svein: Ikke jeg heller. 30. Erik: Skjønte du hvordan man gjorde det? Man tar først sju gange seks. 31. Kari: Ja nå har jeg tatt sju ganger seks det er førtito. 6
32. Erik: Ja. 33. Kari: Ja. 34. Erik: Så tar man en halv ganger seks. 35. Kari: Jeg vet ikke de der halv greiene jeg. 36. Mona: Å, nå har jeg skjønt det. 37. Erik: Å, men siden en ganger seks er seks og halvparten av en er jo en halv, og da blir det halvparten av seks, da blir det tre. a) Gjør rede for viktige elementer i Eriks løsningsstrategi. I denne redegjørelsen skal du komme inn på hvilke egenskaper ved multiplikasjon og hvilke tidligere kjente kunnskaper om multiplikasjon Erik gjør bruk av. Få spesielt med noe om Eriks måte å uttrykke en halv ganger seks på. b) Gjør rede for hvilke deler av løsningsstrategien de andre elevene synes å forstå og hvilke de har problemer med. Begrunn svaret gjennom å vise til ytringer i dialogen. c) Det ser ut til at verken Kari eller Svein har kommet nærmere en forståelse for utregningen av 60 7,5 gjennom denne samtalen. Pek på ytringer i dialogen som kan forklare hvorfor samtalen ikke synes å være så vellykket med tanke på læring. d) Tenk deg at du er læreren i denne situasjonen og skal hjelpe de elevene som synes å ikke forstå utregningen av 60 7,5 slik den blir forklart av Erik. Ta utgangspunkt i et sosiokulturelt syn på læring og kunnskap, og forklar hvordan du ville ha hjulpet elevene. I begrunnelsen for de valgene du gjør, kan det være aktuelt å bruke begreper som den proksimale utviklingssonen, språklig mediering og begrepsutvikling som resultatet av et samspill mellom spontane og vitenskapelige begreper. Lykke til! 7