Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 20
2 Stigende og avtagende funksjoner Definisjon En funksjon f kalles stigende på intervallet I hvis f(x ) < f(x 2 ) når x < x 2 i I f(x) = x er stigende på [0, >
2 Stigende og avtagende funksjoner Definisjon En funksjon f kalles stigende på intervallet I hvis f(x ) < f(x 2 ) når x < x 2 i I Definisjon En funksjon f kalles avtagende på intervallet I hvis f(x ) > f(x 2 ) når x < x 2 i I f(x) = x er avtagende på <, 0]
3 Jevne og odde funksjoner Definisjon (Odde) En funksjon f(x) kalles for en odde funksjon hvis f( x) = f(x) for alle x i definisjonsmengden. Eksempel Potensfunksjonen: f(x) = x 3
4 Jevne og odde funksjoner Definisjon (Jevn) En funksjon f(x) kalles for en jevn funksjon hvis f( x) = f(x) for alle x i definisjonsmengden. Eksempel Polynomet: f(x) = x 4 + x 2
5 Horisontal og vertikal forskyvning Horisontal forskyvning mot høyre 2 Horisontal forskyvning mot venstre 3 Vertikal forskyvning opp 4 Vertikal forskyvning ned f(x ) 2
5 Horisontal og vertikal forskyvning Horisontal forskyvning mot høyre 2 Horisontal forskyvning mot venstre 3 Vertikal forskyvning opp 4 Vertikal forskyvning ned f(x + ) 2
5 Horisontal og vertikal forskyvning Horisontal forskyvning mot høyre 2 Horisontal forskyvning mot venstre 3 Vertikal forskyvning opp 4 Vertikal forskyvning ned f(x) + 2
5 Horisontal og vertikal forskyvning Horisontal forskyvning mot høyre 2 Horisontal forskyvning mot venstre 3 Vertikal forskyvning opp 4 Vertikal forskyvning ned f(x) 2
6 Skalering og refleksjon Vertikal krymping 2 f(x) 2 Horisontal krymping 3 Vertikal ekspansjon 4 Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 2 6 Horisontal refleksjon
6 Skalering og refleksjon Vertikal krymping f(2 x) 2 Horisontal krymping 3 Vertikal ekspansjon 4 Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 2 6 Horisontal refleksjon
6 Skalering og refleksjon Vertikal krymping 2 f(x) 2 Horisontal krymping 3 Vertikal ekspansjon 4 Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 2 6 Horisontal refleksjon
6 Skalering og refleksjon Vertikal krymping f( 2 x) 2 Horisontal krymping 3 Vertikal ekspansjon 4 Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 2 6 Horisontal refleksjon
6 Skalering og refleksjon Vertikal krymping f(x) 2 Horisontal krymping 3 Vertikal ekspansjon 4 Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 2 6 Horisontal refleksjon
6 Skalering og refleksjon Vertikal krymping f( x) 2 Horisontal krymping 3 Vertikal ekspansjon 4 Horisontal ekspansjon 5 Vertikal refleksjon 2 6 Horisontal refleksjon
7 Vinkler Grader 90
7 Vinkler Grader og Radianer r = 90 θ = π/2,5708
8 Trigonometriske funksjoner h x a b cos x = a/h sin x = b/h tan x = b/a f(x) = cos(x) 3 2 f(x) = cos(x) f(x) = sin(x) 3 2 f(x) = tan(x) 3 2 3 2 2
8 Trigonometriske funksjoner h x a b cos x = a/h sin x = b/h tan x = b/a f(x) = cos(x) 3 2 f(x) = sin(x) f(x) = sin(x) 3 2 f(x) = tan(x) 3 2 3 2 2
8 Trigonometriske funksjoner h x a b cos x = a/h sin x = b/h tan x = b/a f(x) = cos(x) 3 2 f(x) = tan(x) f(x) = sin(x) 3 2 f(x) = tan(x) 3 2 3 2 2
9 Trigonometriske funksjoner h x a b sec x = h/b csc x = h/b cot x = a/b f(x) = sec(x) 3 2 f(x) = sec(x) f(x) = csc(x) 3 2 f(x) = cot(x) 3 2 3 2 2
9 Trigonometriske funksjoner h x a b sec x = h/b csc x = h/b cot x = a/b f(x) = sec(x) 3 2 f(x) = csc(x) f(x) = csc(x) 3 2 f(x) = cot(x) 3 2 3 2 2
9 Trigonometriske funksjoner h x a b sec x = h/b csc x = h/b cot x = a/b f(x) = sec(x) 3 2 f(x) = cot(x) f(x) = csc(x) 3 2 f(x) = cot(x) 3 2 3 2 2
0 Periodisitet En funksjon er periodisk med periode T hvis f(x + T) = f(x)
0 Periodisitet En funksjon er periodisk med periode T hvis f(x + T) = f(x) Eksempel: f(x) = sin(x) 5 4 3 2 3 4
Trigonometriske identiteter (cos θ, sin θ) cos 2 θ + sin 2 θ = cos(a + B) = cos A cos B sin A sin B sin(a + B) = sin A cos B + cos A sin B
2 Cosinus-loven B c 2 = a 2 + b 2 2ab cos θ a C θ c b A
3 Eksponensiell oppførsel Eksponensiell endring kjenetegnes at endringen til en størrelse er proposjonal med størrelsen f(x) = 2 x 3 2
4 Eksponensialfunkjsoner Definisjon En funksjon på formen y = a x kalles for en eksponensial funksjon. y = ( 4 )x 3 y = 4 x y = ex y = ( 2 )x y = 2 x 2 Tangenten til e x igjennom punktet (0,) har stigningsgrad. 3 2 3
5 Egenskaper til eksponensial funksjoner a x a y = a x+y 2 a x /a y = a x y 3 (a x ) y = a xy 4 a x b x = (ab) x 5 a x /b x = (a/b) x
5 Egenskaper til eksponensial funksjoner a x a y = a x+y 2 a x /a y = a x y 3 (a x ) y = a xy 4 a x b x = (ab) x 5 a x /b x = (a/b) x
5 Egenskaper til eksponensial funksjoner a x a y = a x+y 2 a x /a y = a x y 3 (a x ) y = a xy 4 a x b x = (ab) x 5 a x /b x = (a/b) x
5 Egenskaper til eksponensial funksjoner a x a y = a x+y 2 a x /a y = a x y 3 (a x ) y = a xy 4 a x b x = (ab) x 5 a x /b x = (a/b) x
5 Egenskaper til eksponensial funksjoner a x a y = a x+y 2 a x /a y = a x y 3 (a x ) y = a xy 4 a x b x = (ab) x 5 a x /b x = (a/b) x
6 En-entydige funksjoner (en-til-en) Definisjon (En-entydighet) En funksjon kalles en-entydig hvis det for hver y i vedimengden finnes en og bare en x i definisjonsmengden som har verdien f(x) = y.
7 Vertikal linjetest Horisontal linjetest En funksjon er en-til-en hvis og bare hvis ingen horisontal linje har mer enn ett punkt felles med grafen. f(x) = x 2 er ikke -
7 Vertikal linjetest Horisontal linjetest En funksjon er en-til-en hvis og bare hvis ingen horisontal linje har mer enn ett punkt felles med grafen. f(x) = x 2 er ikke - Eksponensialfunksjonen e x er en-entydig
8 Speiling av graf om linjen y = x Speiling av grafen til -tydig funksjon om x = y. Om vi speiler grafen til en -tydig funksjon f(x) om linjen x = y får vi grafen til en funksjon 2 2
8 Speiling av graf om linjen y = x Speiling av grafen til -tydig funksjon om x = y. Om vi speiler grafen til en -tydig funksjon f(x) om linjen x = y får vi grafen til en funksjon 2 Hor. linjetest 2
8 Speiling av graf om linjen y = x Speiling av grafen til -tydig funksjon om x = y. Om vi speiler grafen til en -tydig funksjon f(x) om linjen x = y får vi grafen til en funksjon 2 Hor. linjetest 2 Ver. linjetest
9 Inverse funksjoner Definisjon (Den inverse til en funksjon) La f(x) være en -funksjon.
9 Inverse funksjoner Definisjon (Den inverse til en funksjon) La f(x) være en -funksjon. 2 Reflekter grafen y = f(x) om linjen y = x
9 Inverse funksjoner Definisjon (Den inverse til en funksjon) La f(x) være en -funksjon. 2 Reflekter grafen y = f(x) om linjen y = x 3 Den reflekterte grafen er en graf til en funksjon.
9 Inverse funksjoner Definisjon (Den inverse til en funksjon) La f(x) være en -funksjon. 2 Reflekter grafen y = f(x) om linjen y = x 3 Den reflekterte grafen er en graf til en funksjon. 4 Denne funksjonen kalles for den inverse til f(x).
9 Inverse funksjoner Definisjon (Den inverse til en funksjon) La f(x) være en -funksjon. 2 Reflekter grafen y = f(x) om linjen y = x 3 Den reflekterte grafen er en graf til en funksjon. 4 Denne funksjonen kalles for den inverse til f(x). 5 Vi skriver den inverse til f som f (x)
20 Inverse funksjoner Definisjon (Presis definisjon av den inverse til en funksjon) La f(x) være en -funksjon.
20 Inverse funksjoner Definisjon (Presis definisjon av den inverse til en funksjon) La f(x) være en -funksjon. 2 Den inverse til f er funksjonen f med egenskapen:
20 Inverse funksjoner Definisjon (Presis definisjon av den inverse til en funksjon) La f(x) være en -funksjon. 2 Den inverse til f er funksjonen f med egenskapen: 3 Hvis f(a) = b så er f (b) = a
2 Logaritmefunksjoner Definisjon (Logaritmer) Den inverse funksjonen til a x kalles for logaritmen med grunntall a av x. Vi skriver log a x
2 Logaritmefunksjoner Definisjon (Logaritmer) Den inverse funksjonen til a x kalles for logaritmen med grunntall a av x. Vi skriver log a x Løsning av likninger Løsningen av likningen a x = b er x = log a b
2 Logaritmefunksjoner Definisjon (Logaritmer) Den inverse funksjonen til a x kalles for logaritmen med grunntall a av x. Vi skriver log a x Løsning av likninger Løsningen av likningen a x = b er Regneregler log a bc = log a b + log a c x = log a b
2 Logaritmefunksjoner Definisjon (Logaritmer) Den inverse funksjonen til a x kalles for logaritmen med grunntall a av x. Vi skriver log a x Løsning av likninger Løsningen av likningen a x = b er Regneregler log a bc = log a b + log a c 2 log a b c = c log a b x = log a b
2 Logaritmefunksjoner Definisjon (Logaritmer) Den inverse funksjonen til a x kalles for logaritmen med grunntall a av x. Vi skriver log a x Løsning av likninger Løsningen av likningen a x = b er x = log a b Regneregler log a bc = log a b + log a c 2 log a b c = c log a b 3 log a b/c = log a b log a c
22 Den naturlige logaritmen Definisjon (Den naturlige logaritmen) Den naturlige logaritmen er logarimen med e = 2,7828... som grunntall.
23 Tilpassing av funksjoner Funksjoner som ikke er -tydige kan bli det ved å forandre på definisjonsmengden Eksempel Funksjonen f(x) = x 2, x 0 er. Den inverse er f (x) = x 2 2
24 Om å finne den inverse Algoritme: å finne den inverse Å finne den inverse til f(x) Bytt om x og y i y = f(x)
24 Om å finne den inverse Algoritme: å finne den inverse Å finne den inverse til f(x) Bytt om x og y i y = f(x) 2 Løs likningen x = f(y) med hensyn på y Eksempel (Finne den inverse) Vi vil finne den inverse til f(x) = x 2,x 0.
24 Om å finne den inverse Algoritme: å finne den inverse Å finne den inverse til f(x) Bytt om x og y i y = f(x) 2 Løs likningen x = f(y) med hensyn på y 3 Løsningen vi får er y = f (x). Eksempel (Finne den inverse) Vi vil finne den inverse til f(x) = x 2,x 0.
24 Om å finne den inverse Algoritme: å finne den inverse Å finne den inverse til f(x) Bytt om x og y i y = f(x) 2 Løs likningen x = f(y) med hensyn på y 3 Løsningen vi får er y = f (x). Eksempel (Finne den inverse) Vi vil finne den inverse til f(x) = x 2,x 0.
24 Om å finne den inverse Algoritme: å finne den inverse Å finne den inverse til f(x) Bytt om x og y i y = f(x) 2 Løs likningen x = f(y) med hensyn på y 3 Løsningen vi får er y = f (x). Eksempel (Finne den inverse) Vi vil finne den inverse til f(x) = x 2,x 0. Bytt om x og y: x = y 2.
24 Om å finne den inverse Algoritme: å finne den inverse Å finne den inverse til f(x) Bytt om x og y i y = f(x) 2 Løs likningen x = f(y) med hensyn på y 3 Løsningen vi får er y = f (x). Eksempel (Finne den inverse) Vi vil finne den inverse til f(x) = x 2,x 0. Bytt om x og y: x = y 2. 2 Løs likningen x = y 2 y = x.
24 Om å finne den inverse Algoritme: å finne den inverse Å finne den inverse til f(x) Bytt om x og y i y = f(x) 2 Løs likningen x = f(y) med hensyn på y 3 Løsningen vi får er y = f (x). Eksempel (Finne den inverse) Vi vil finne den inverse til f(x) = x 2,x 0. Bytt om x og y: x = y 2. 2 Løs likningen x = y 2 y = x. 3 Løsningen vi får er f (x) = x.
25 Andre trigonometriske funksjoner Tangens: tan x = sin x cos x 2 y = tan x 7 6 5 4 3 2 3 4 5 6 7
25 Andre trigonometriske funksjoner Tangens: tan x = sin x cos x 2 Cotangens:cot x = cos x sin x 2 y = cot x 7 6 5 4 3 2 3 4 5 6 7
25 Andre trigonometriske funksjoner Tangens: tan x = sin x cos x 2 Cotangens:cot x = cos x sin x 3 Secant: sec x = cos x 2 y = sec x 7 6 5 4 3 2 3 4 5 6 7
25 Andre trigonometriske funksjoner Tangens: tan x = sin x cos x 2 Cotangens:cot x = cos x sin x 3 Secant: sec x = cos x 4 Cosecant: csc x = sin x 2 y = csc x 7 6 5 4 3 2 3 4 5 6 7
26 Inverse trigonometriske funksjoner arccos x 4 3 2 y = cos x 4 3 2 y = cos x 3 3 2 3 4 3 3 2 3 4
26 Inverse trigonometriske funksjoner arccos x 2 arcsin x 4 3 2 y = sin x 4 3 2 y = sin x 3 3 2 3 4 3 3 2 3 4
26 Inverse trigonometriske funksjoner arccos x 2 arcsin x 3 arctan x 4 3 2 y = tan x 4 3 2 y = tan x 3 3 2 3 4 3 3 2 3 4
26 Inverse trigonometriske funksjoner arccos x 2 arcsin x 3 arctan x 4 arccot x 4 3 2 y = cot x 4 3 2 y = cot x 3 3 2 3 4 3 3 2 3 4
26 Inverse trigonometriske funksjoner arccos x 2 arcsin x 3 arctan x 4 arccot x 5 arcsec x 4 3 2 y = sec x 4 3 2 y = sec x 3 3 2 3 4 3 3 2 3 4
26 Inverse trigonometriske funksjoner arccos x 2 arcsin x 3 arctan x 4 arccot x 5 arcsec x 6 arccsc x 4 3 2 y = csc x 4 3 2 y = csc x 3 3 2 3 4 3 3 2 3 4
27 Sammensatte funksjoner Definisjon La f og g være to funksjoner. Den sammensatte funksjonen g f er definert ved g f(x) = g(f(x)). Definisjonsmengden er alle x i definisjonsmengden i x slik at f(x) er i definisjonsmengden til g.
27 Sammensatte funksjoner Definisjon La f og g være to funksjoner. Den sammensatte funksjonen g f er definert ved g f(x) = g(f(x)). Definisjonsmengden er alle x i definisjonsmengden i x slik at f(x) er i definisjonsmengden til g. Eksempel La f(x) = e x og g(x) = x. Definisjonsmengden til g er x 0. Definisjonsmengden til g f er derfor bestemt av f(x) 0. Dvs e x 0. Dvs x 0.
28 Transendentale funksjoner Definisjon Funksjoner som ikke er algebraiske kalles for transendentale funksjoner. Eksempler er de trigonometriske funksjonene og deres inverse, eksponentsial funksjoner og logaritmer.
29 Gjenomsnitlig endring x = b a y = f(b) f(a) Gjennomsnittlig endring av f(x) på intervallet [a, b]: y x = f(b) f(a) b a a x b y Eksempel: Gjennomsnittlig fart v = tilbakelagt vei brukt tid
30 Sekanters stigningstall P Q Stigningstallet til sekanten til y = f(x) igjennom punktene P(a, f(a)) og Q(b, f(b)) er lik gjennomsnittlig endringsrate til f(x) på [a, b]
3 Stigningstallet til en kurve P Q Stigningstallet til kurven i P er lik stigningstallet til tangenten i P
32 Momentan endringsrate Den momentane endringsraten til f(x) i x = a er lik stigningstallet til tangenten til y = f(x) i P(a, f(a))
32 Momentan endringsrate Den momentane endringsraten til f(x) i x = a er lik stigningstallet til tangenten til y = f(x) i P(a, f(a)) y = x 2 Eksempel: f(x) = x 2
32 Momentan endringsrate Den momentane endringsraten til f(x) i x = a er lik stigningstallet til tangenten til y = f(x) i P(a, f(a)) y = x 2 P Q Eksempel: f(x) = x 2 Sekanten igjennom P(, ) og Q( + h, + 2h + h 2 )
32 Momentan endringsrate Den momentane endringsraten til f(x) i x = a er lik stigningstallet til tangenten til y = f(x) i P(a, f(a)) y = x 2 2h + h 2 Eksempel: f(x) = x 2 Sekanten igjennom P(, ) og Q( + h, + 2h + h 2 ) 2h + h2 Har stigningstall = 2 + h. h Q P h + h
32 Momentan endringsrate Den momentane endringsraten til f(x) i x = a er lik stigningstallet til tangenten til y = f(x) i P(a, f(a)) y = x 2 2h + h 2 P h + h Eksempel: f(x) = x 2 Sekanten igjennom P(, ) og Q( + h, + 2h + h 2 ) 2h + h2 Har stigningstall = 2 + h. h Tangentens stigningstall får vi ved å sette h = 0. Hvorfor??? Stigningstallet i x = er lik 2
33 Grensen av en funksjon 2 2 2
34 Når grenser ikke eksisterer Brudd 2 Vokser for mye 3 Svinger for mye
34 Når grenser ikke eksisterer Brudd 2 Vokser for mye 3 Svinger for mye
34 Når grenser ikke eksisterer Brudd 2 Vokser for mye 3 Svinger for mye
35 Grenselover L = lim x c f(x) lim x c (f(x) ± g(x)) = L ± M 2 lim x c (f(x)g(x)) = LM 3 lim x c (k f(x) = k L 4 lim x c (f(x)/g(x)) = L/M 5 lim x c (f(x) r/s ) = L r/s M = lim x c g(x)
35 Grenselover L = lim x c f(x) lim x c (f(x) ± g(x)) = L ± M 2 lim x c (f(x)g(x)) = LM 3 lim x c (k f(x) = k L 4 lim x c (f(x)/g(x)) = L/M 5 lim x c (f(x) r/s ) = L r/s M = lim x c g(x)
35 Grenselover L = lim x c f(x) lim x c (f(x) ± g(x)) = L ± M 2 lim x c (f(x)g(x)) = LM 3 lim x c (k f(x) = k L 4 lim x c (f(x)/g(x)) = L/M 5 lim x c (f(x) r/s ) = L r/s M = lim x c g(x)
35 Grenselover L = lim x c f(x) lim x c (f(x) ± g(x)) = L ± M 2 lim x c (f(x)g(x)) = LM 3 lim x c (k f(x) = k L 4 lim x c (f(x)/g(x)) = L/M, når M 0 5 lim x c (f(x) r/s ) = L r/s M = lim x c g(x)
35 Grenselover L = lim x c f(x) lim x c (f(x) ± g(x)) = L ± M 2 lim x c (f(x)g(x)) = LM 3 lim x c (k f(x) = k L 4 lim x c (f(x)/g(x)) = L/M, når M 0 5 lim x c (f(x) r/s ) = L r/s Når s er odde må L 0 M = lim x c g(x)
36 Polynomer og rasjonale funksjoner Grensen til et polynom P(x) = a n x n + + a x + a 0 lim P(x) = P(c) = a nc n + + a c + a 0. x c Grensen til en rasjonal funksjon P(x)/Q(y) er lim P(x)/Q(x) = P(c)/Q(c). x c
37 Algebraiske metoder for grensen til rasjonale funksjoner x 2 x lim x x 2 = Faktoriser teller og nevner Forkort brøken Finn grensen av teller og nevner
37 Algebraiske metoder for grensen til rasjonale funksjoner x 2 x lim x x 2 = Faktoriser teller og nevner Forkort brøken Finn grensen av teller og nevner
37 Algebraiske metoder for grensen til rasjonale funksjoner x 2 x lim x x 2 = lim x(x ) x (x + )(x ) = Faktoriser teller og nevner Forkort brøken Finn grensen av teller og nevner
37 Algebraiske metoder for grensen til rasjonale funksjoner x 2 x lim x x 2 = lim x(x ) x (x + )(x ) = Faktoriser teller og nevner Forkort brøken Finn grensen av teller og nevner
37 Algebraiske metoder for grensen til rasjonale funksjoner x 2 x lim x x 2 = lim x Faktoriser teller og nevner Forkort brøken x(x ) (x + )(x ) = lim x Finn grensen av teller og nevner x (x + ) =
37 Algebraiske metoder for grensen til rasjonale funksjoner x 2 x lim x x 2 = lim x Faktoriser teller og nevner Forkort brøken x(x ) (x + )(x ) = lim x Finn grensen av teller og nevner x (x + ) =
37 Algebraiske metoder for grensen til rasjonale funksjoner x 2 x lim x x 2 = lim x Faktoriser teller og nevner Forkort brøken x(x ) (x + )(x ) = lim x Finn grensen av teller og nevner x (x + ) = 2
38 Sandwich-teoremet 3 2 3 A g(x) f(x) h(x) i nærheten av x = c B lim g(x) = lim h(x) = L x c x c Ergo lim f(x) = L x c