Forord Dette opplæringsheftet for ClassPad 300 kan på ingen måte erstatte den svært omfattende brukerveiledningen User s Guide på bortimot 700 sider. Hensikten med heftet er å hjelpe brukeren av ClassPad 300 over inngangsterskelen. I starten av heftet er de ulike tastetrykk og pekinger grundig beskrevet. Etter hvert som leseren blir mer trygg på bruken av lommeregneren, blir beskrivelsen av framgangsmåter ikke fullt så detaljert. Vi har heller ikke fokusert på alle alternative framgangsmåter. Brukeren kan komme til å gå seg bort dersom han/hun forsøker å lære for mange ulike veier til målet i innlæringsfasen. Takk til lektor Bjørn Bjørneng - Dokka videregående skole - for gode råd. Lykke til med ClassPad 300! Tor Andersen 25.april 2006 Steinkjer Lykkelige ClassPad-elever ved Egge videregående skole. 1
ClassPad 300 Opplæringshefte Lektor/forsker Tor Andersen - NSMO Innledning ClassPad 300 er en kraftig symbolbehandlende lommeregner fra Casio. Svært mange elever og lærere kjenner godt til Casio lommeregnere med grafisk vindu. I denne korte innføringen i bruk av ClassPad 300 vil vi derfor konsentrere oss om fasiliteter ved denne lommeregneren som vi ikke finner på lommeregnere med grafisk vindu. Vi vil først og fremst rette fokus på symbolbehandlende egenskaper hos ClassPad 300. User s Guide svarer på alt du lurer på omkring ClassPad 300. Lommeregneren leveres med en CD som inneholder en svært detaljert brukerveiledning på 670 sider. Lommeregneren ClassPad 300 har en såkalt touch-screen og er utstyrt med en pekepenn. Pekepennen finner du i en spalte på høyre side av lommeregneren. Ved hjelp av denne pennen kan du plassere skrivemarkøren, velge tall og symboler og hente fram funksjoner og kommandoer. Med litt trening blir du blir fort fortrolig med bruken av pekepennen. On/Off knappen er plassert øverst til høyre på det vi kaller hardware-keyboardet. ClassPad 300 har nemlig to tastatur. ClassPad 300 er en kraftig symbolbehandlende lommeregner. touch-screen pekepenn to keyboard Etter å ha gjort et valg i hovedmenyen, kan du trykke på knappen merket Keyboard. Da kommer det fram et nytt tastatur (softkeyboardet) nederst på lommeregnerskjermen. Bruk pekepennen på softkeyboardet. Ved å trykke Keyboard en gang til, slår du av dette tastaturet. 2
Manageren ClassPad leveres både som lommeregner og programvare. Lommeregneren heter altså ClassPad 300, mens programvaren heter ClassPad Manager. Manageren følger gratis med på kjøpet som en CD-plate. Installasjonen er veldig enkel. I dette heftet vil vi konsentrere veiledning omkring selve lommeregneren. Men Manageren og 300-utgaven er såpass like at det meste av det vi viser, gjelder for begge utgaver av ClassPad. Ved å velge Always on top kan vi arbeide i Word eller Excel samtidig som Manageren er framme på skjermen. ClassPad Manager egner seg godt som undervisningsverktøy, men kan også erstatte lommeregneren for en vanlig bruker. På bildet ovenfor viser vi hvordan det såkalte LCDvinduet tar seg ut på dataskjermen. Elever bakerst i klasserommet på Egge videregående skole ser godt når Manageren er blåst opp til 2x. Kombinasjonen lærer med PC og elev med lommeregner fungerer godt. Før skolestart høsten 2006 kommer ClassPad Manager i en utgave der programmet tar i bruk hele skjermbredden. Da vil ClassPad Manager se slik ut. 3
Hovedmenyen på ClassPad 300 Det første vi får se når vi slår på ClassPad 300, er hovedmenyen. Rullefelt Resten av menyen kommer fram ved å dra rullefeltet nedover. Det er mulig å legge til flere valg i hovedmenyen ved å laste ned oppgraderinger fra Internett. Nyere utgaver av ClassPad 300 har regneark, men vi kommer ikke til å ta for oss dette menyvalget i denne korte innføringen. Main og forskjellige tastatur Pek på Main med pekepennen. Da kommer en blank ClassPad-skjerm fram. Vi skal først se nærmere på hovedskjermen som betegnes Main. Vi trykker med pekepennen på ikonet Main øverst til venstre på skjermen. Vi får en blank skjerm med en del knapper øverst. På den siste knappen finner vi symbolet. Når vi trykker på dette tegnet, får vi en ny nedfelt meny. Denne gir oss tilgang til andre menyvalg som vi kan bruke i sammenheng med Main. Hvis du roter deg bort, anbefaler vi deg å alltid gå tilbake til hovedmenyen. Trykk på. Vi får da opp et ekstra tastatur nederst på ClassPad 300 skjermen. 4
Trykk på Du får fram et eget tastatur for trigonometri. NB! Du kommer deg alltid tilbake ved å peke/trykke på Ved å trykke CALC, OPTN og VAR kommer følgende tastatur fram: Vi kan også slå soft-keyboardet av og på ved å peke på øverst til venstre. Slår soft-keyboardet av og på. Trykk på i tur og orden. Da kommer det fram nye tastatur som vi etter hvert skal gjøre oss kjent med. 5
Setup Velg Main. Nederste linje på skjermbildet viser innstillingen/setup til ClassPad 300. Hvordan kan vi forandre innstillingen/setupen? Velg Settings enten øverst til venstre eller helt nederst til venstre på lommeregneren. Vi får følgende skjermbilde. 6
Vi velger Setup og får følgende vindu. Vi velger Basic Format. 1 La oss skifte fra Rad til Deg. 2 3 Velg Degree Display har mange utgaver. Vi kan blant annet bestemme hvor mange desimaler vi vil ha i svar. Normal 2 bør være den mest vanlige innstilling. Normal 1 velger nemlig å skrive små tall på standardform. Du kan også velge om du vil ha eksakte svar eller tilnærmede svar som desimaltall. Her har vi valgt Decimal Calculation. Du bekrefter Setup ved å velge Set. 7
Enkle regneoperasjoner på ClassPad 300 Vi går tilbake til Main og velger mth. Vi skal regne ut 40,6. Merk at komma er punktum på ClassPad 300. Velg Complex Format i Setup og svaret kommer ut som en uekte brøk. Ved å peke på brøken blir denne markert. Så peker vi på tegnet øverst til venstre. Vi får svaret som desimaltall. Trykk en gang til på. Hva skjer? Merk: Svaret kommer ikke automatisk opp på neste linje når du regner videre slik det er på andre grafiske lommeregnere. Velg ans for å regne videre med svaret. Vi regner videre med svaret ved å bruke ans. Du kan også markere 2.4 og dra og slipp svaret på neste linje. Dette krever litt trening. Prøv selv. Edit etterfulgt av Clear All blanker ut skjermen. Edit etterfulgt av Delete blanker ut den aktuelle linjen. Cut sletter tall og bokstaver som du har merket. Fjerner ett og ett tegn for hvert trykk. Fjerner et regneuttrykk på en linje, men fjerner ikke svaret. 8
Naturlig display ved hjelp av 2D Endelig har vi fått en Casio lommeregner som skriver matematiske uttrykk slik vi er vant med fra lærebøker. Brøk, kvadratrot og potens kan ved hjelp av 2D skrives i såkalt naturlig display. Vi velger 2D og får fram dette tastaturet brøk på ClassPad 300 Pek på pil ned og du får fram flere knapper for eksempel integraltegnet. Sjekk selv. Brøk Kvadratrot Potens Husk å forlate eksponent når du skal skrive et nytt grunntall. Merk: Blandet tall må skrives som sum av 1 helt tall og brøk: 3+. 2 Dersom vi skriver 1 3 2, betyr det 1 3. 2 9
Litt algebra på ClassPad 300 Ulike funksjoner og kommandoer kan vi få tak i på forskjellige måter. I starten er det imidlertid tryggest å bruke katalogen cat. I katalogen er samtlige funksjoner og kommandoer tilgjengelig i alfabetisk rekkefølge. Ved å velge All under Form får vi listet ut absolutt alle funksjoner og kommandoer. Merk at ord med stor bokstav kommer først. Det betyr at Do kommer før det(. Du kommer deg kjapt til et ord som starter med en bokstav ute i alfabetet, ved å velge en bokstav i bokstavrekken nederst. Vi velger Func under Form for å få tak i ønskede funksjoner litt raskere. På første skjermbilde nedenfor henter vi simplify( i katalogen. Bilde nummer to viser hvordan vi kan bruke kommandoen til å forenkle et algebraisk uttrykk. Hva skjer når vi bruker factor(ans)? Utforsk expand( på egnen hånd På skjermbildet nedenfor har vi skrevet inn det algebraiske uttrykket først. Så kontrollerer vi lommeregnerens oppfatning av uttrykket. Etter å ha godkjent uttrykket foretar vi en operasjon i dette tilfellet simplify( Husk å sette pennen på plass etter bruk. 10
Trykker vi ans, blir brøken gjort om til desimaltall. ClassPad 300 kan utføre beregninger med komplekse tall. ClassPad 300 kan omgjøre grader til radianer og vil gi desimaltallet hvis vi trykker ans. ClassPad 300 kan utføre beregninger med (uendelig). Likning Vi finner solve-kommandoen i katalogen. Når vi løser en likning der x er ukjent, trenger vi ikke å spesifisere at likningen løses med hensyn på x. Merk at solve etterfølges av en parentes. Altså solve( Du kan også hente solve( på denne måten. dsolve brukes til differensiallikninger. Du kan lese mer om differensiallikninger i Form og Tall. Se side 18 der Form og Tall omtales nærmere 11
Når vi løser en likning med en annen ukjent enn x eller snur en formel, må vi spesifisere den ukjente. Her har vi funnet høyden i en sylinder uttrykt ved volumet og radius. Likningssett Syntaksen (skrivemåten) for løsning av likningssett med to eller flere ukjente, er annerledes enn hva vi er vant med fra lommeregnere med grafisk vindu. Det kan også være en ulempe at vi ikke ser hele uttrykket på grunn av begrenset skjermbredde. Vi må legge likningssettet inn i finner du i 2D Merk at du må avslutte med 12
Innsetting i formel I mth OPTN finner vi en loddrett strek. Den loddrette streken leser vi som gitt at. Her har vi funnet volumet av en kjegle med gitt radius og høyde. Legg merke til and-kommandoen. Det skal være mellomrom foran and. Du finner selvfølgelig and i katalogen. Tilordning Vi kan gi bokstaver verdier ved hjelp av den såkalte tilordningspilen. Denne pila finner vi i øverste rad i soft-keyboardet. Nedenfor har vi tilordnet verdien 2,3 til r og 3,2 til h. Da blir volumet av kjeglen i avsnittet ovenfor regnet ut direkte. Merk at verdiene tilordnet r og h varer ved - selv om du slår lommeregneren av og på. For å gi r og h status som variable igjen, må vi bruke Delvar. 13
Her ser vi litt av den symbolbehandlende kraften til ClassPad 300. Du kan hente inspirasjon og ideer ved å lese artikler om ClassPad 300 i CASIONYTT. www.casinus.no Define En glødende metallstang blir avkjølt fra 1000 ºC til romtemperatur på 22 ºC. Temperaturen T 0,1x i ºC til stanga x minutter etter at avkjølingen startet, er gitt ved Tx () = 22+ 978 e På skjermbildet nedenfor har vi brukt Define til å definere funksjonen T gitt ved 0,1x T( x) = 22 + 978 e Temperaturen til stanga etter 60 minutter er altså o 24,4 C.. Vi tar med oss T( x ) over til 14
Framgangsmåten er lik den vi er vant med fra lommeregnere med grafisk vindu. Det er viktig å bestemme View Window slik at vitale deler av grafen kommer til syne. I dette eksemplet har vi den praktiske situasjonen å forholde oss til. Ved hjelp av Analysis og G-Solve kan du kose deg på grafen slik du er vant med fra lommeregnere med grafisk vindu. Vi viser for øvrig til User s Guide når det gjelder grafer og tabeller. Merk: Funksjoner som er definert ved hjelp av Define kan selvfølgelig deriveres og integreres uten at vi behøver å skrive inn funksjonsuttrykket på nytt. 15
Trygg trigonometri på ClassPad 300 Svært ofte hender det små tragedier når eksamenskandidater eller andre skal løse oppgaver i trigonometri. På vanlige lommeregnere blir svaret selvfølgelig riv ruskende galt hvis man forsøker å finne gradetallet til en vinkel når lommeregneren er i Rad-mode. Men under tidspress kan det fort skje at vi ikke akter tilstrekkelig på setupen. På ClassPad 300 kan vi regne med grader selv om moden er Rad. På ClassPad 300 finner vi egne tegn for grader og radianer. Det betyr at vi kan overprøve moden. Dersom vi venner oss til å bruke gradetegnet i TRIG, spiller det altså ikke noen rolle om lommeregneren er i Rad-mode. Vi får riktig svar. Her står ClassPad 300 i Rad-mode, men finner altså o sin(30 ). I Rad-mode blir o π 30 elegant gjort om til 6 Hvis ClassPad 300 står i Deg-mode, vil den regne i Rad ved at vi bruker r. I Deg-mode blir 6 π elegant gjort om til 30 (grader) 16
Derivasjon Den deriverte av en funksjon kan vi finne ved å bruke eller Du kommer kjapt til diff ved å trykke på D. Dette tegnet finner du nederst i 2D-menyen. På neste skjermbilde har vi funnet den deriverte av funksjonen gitt ved f ( x) = x 2x 4 2 Merk at den deriverte her skjer med hensyn på a. På neste skjermbilde har vi blant annet vist at x = 10 representerer et maksimum på grafen til V 2 gitt ved V( x) = x(60 2 x). Som vi ser, er den andrederiverte av V negativ. 17
Merk hvordan vi bruker gitt at i siste linje. mth OPTN Du finner to omfattende kapitler om kalkulus i Form og Tall av Gunnar Gjone og Tor Andersen. Boka finnes på en rekke europeiske språk. Dersom du har norsk som fremmedspråk, kan det tenkes at du foretrekker boka på et annet språk. Alle henvendelser angående Form og Tall og andre produkter: 18
Integrasjon i Main Et ubestemt integral kan vi greit løse på ClassPad 300 ved å hente fram 2 å fylle inn grenseverdiene. På neste skjermbilde har vi bestemt x ln xx d. i 2D. Vi lar være 1 1 1 3 3 x 2 3 3 x ln xx d = xln x x dx 1 1 1 1 = 3 = + 3 3 9 3 2 3 3 x ln x x dx x ln x x C Vi må rett og slett innrømme at ClassPad 300 er dyktig til å regne. Du må gjerne hente fra noen intrikate oppgaver som du har slitt med tidligere. Sjekk om ClassPad 300 greier oppgavene. π 2 1 π 1 Vi løser det bestemte integralet cos 2x dx og får at ] 2 cos 2xx d = sin 2x = ( sinπ sin 0) = 0 2 0 2 0 0 På ClassPad 300 finner vi det bestemte integralet enklest ved å bruke tegnet for bestemt integral i 2D. π 2 Vi kan også hente fram et vanlig integraltegn i mth CALC. Da må vi legge inn grenseverdiene til slutt slik skjermbildet til høyre viser Tegnet finner du ved å trykke på. 19
Integrasjon i Main og Graph & Tab 2 2 4x y Ellipsen gitt ved + = 1 beskriver profilen til en rugbyball. 121 12 Nedenfor har vi beregnet volumet av denne rugbyballen både analytisk og i grafapplikasjonen til ClassPad 300. Her finner vi y uttrykt ved x. Her finner vi nullpunktene det vil si grenseverdiene til det bestemte integralet. Define er god å ha. b b 2 2 Volume = π( radius) dx = π ( f ( x)) dx a a Så tar vi med oss f ( x) til 20
Hva med en fotball? Hvis funksjonen f er deriverbar i hele intervallet a x b, er overflatearealet til omdreiningslegemet vi får når kurven y = f( x) roterer rundt x-aksen, gitt ved b dy S = 2π y 1+ dx dx a 2 2 2 Området avgrenset av halvsirkelen y = r x og x-aksen. Vi lar dette området rotere rundt x-aksen. Omdreiningslegemet som da framkommer, er en kule med radius r. La oss finne overflatearealet til denne kula. ClassPad 300 bekrefter den velkjente formelen for overflatearealet til en 2 kule, 4π r. ClassPad 300 kan tegne 3D-grafer. Vi viser til Form og Tall eller User s Guide. 21
Polarkoordinater Vi viser noen spennende grafer tegnet ved hjelp av polarkoordinater. Kardioiden r = a(1 + cos θ ) Lemniskaten r 2 = a 2 cos 2θ Roser r = acos nθ eller r = asin nθ Hvilke funksjoner må vi legge til for at bamsen skal få ører? Du finner mye spennende kalkulus med parameterframstilling i Form og Tall. 22
Lister, sekvenser, statistikk og sannsynlighet Kurvediagram Tabellen nedenfor viser oljeproduksjonen i et OPEC-land i perioden 1990 til 2005. Produksjonen er i 1000 tonn. Årstall 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2203 2004 2005 Produksjon 13412 11760 10550 12300 14360 16200 16300 16100 18200 17250 17300 Årstallene fra 1995 til og med 2005 legger vi inn i list1 ved hjelp av seq. Dette gjøres i Main. Vi sparer svært mye arbeid ved å benytte seq på denne måten. Når vi går inn i Statistics, ser vi at årstallene ligger i rekkefølge i list1. Tallene for produksjon må vi legge inn i list2. Vi trykker på ikonet for valg av graf. Dette ikonet finner vi som nummer fire fra venstre. Da kommer følgende skjerm opp. Se skjermbildet til venstre nedenfor. Vi velger xyline som Type og ldot som Mark. 23
Deretter trykker vi på Set og kommer tilbake til listene. Etter å ha trykket på ikonet for å tegne graf, får vi dette kurvediagrammet. Tegneikonet ligger øverst, helt til venstre. Årstallene fra 1995 og fram til og med 2005 ligger langs den horisontale aksen. Oljeproduksjonen i 1000 tonn kan vi lese på den vertikale aksen. Form og Tall gir detaljerte beskrivelser av Sortering Histogram Gjennomsnitt Typetall Median Variasjonsbredde Kvartiler Standardavvik Normalfordeling Sannsynlighet i en normalfordeling Myntkast Vi kan la ClassPad 300 kaste mynt for oss 50 ganger. Mynt setter vi til 1 og krone til 2. Resultatet av første runde med 50 kast legger vi inn i list1. Etter en sortering i for eksempel stigende orden, er det lett å få rede på antall mynt og krone. Vi kan ta en ny runde med 50 kast. Denne gangen legger resultatene list2. Slik kan vi fortsette med å legge i list3, list4 osv. 24
I første runde fikk ClassPad 300 mynt 30 ganger, i andre runde mynt 24 ganger og i tredje runde mynt 20 ganger. Slik kan vi eksperimentere med ClassPad 300 for å vekke interessen for spørsmål av typen: 1. Hva er sannsynligheten for at vi får krone akkurat 15 ganger når vi kaster mynten 50 ganger? 2. Eller hva er sannsynligheten for å få krone 20 ganger eller færre? Vi lar X være antall ganger vi får krone. Sannsynlighetsfordelingen til X blir en binomisk fordeling. Sannsynligheten for suksess er nøyaktig p = 0,5. Enten får vi krone eller mynt i et kast. Sannsynligheten for det ene utfallet er like stor som sannsynligheten for det andre utfallet. La oss se på sannsynligheten for få krone x ganger. 50 x 50 x 50 50 Sannsynlighet: PX ( = x) = 0,5 0,5 = 0,5. x x Spørsmål 1. kan vi besvare ved å sette direkte inn i formelen. På ClassPad 300 får vi da Sannsynligheten for å få 15 krone i 50 kast er altså 0,001999 0,2%. Class Pad 300 har en egen kommando for den såkalte punktsannsynligheten i et binomisk forsøk, nemlig BinomialPD. Vi får bekreftet at sannsynligheten for å få 15 krone i 50 kast er altså 0,001999 0,2%. Vi ser på sannsynlighetsfordelingen til X. 25
Her legger vi utfallsrommet inn i list1 og punktsannsynlighetene for å få mynt fra null til 50 ganger inn i list2. På figuren nedenfor har vi framstilt fordelingen i et histogram. Spørsmål 2 kan vi besvare ved å summere punktsannsynlighetene fra null til 20. Da lister vi først ut sannsynlighetene og summerer alle elementene i denne listen. Listen legges enkelt inn bak sum-kommandoen ved hjelp av kopiering og liming. Sannsynligheten for å få krone 20 ganger eller færre er altså 0,101 = 10,1%. Dersom vi ikke er interessert i sannsynlighetsfordelingen, men ønsker kun å få direkte svar på spørsmål av denne kategorien, kan vi enkelt benytte kommandoen BinomialCD. BinomialCD bekrefter at sannsynligheten for å få krone 20 ganger eller færre er 0,101 = 10,1%. Dersom vi ønsker å få svar på spørsmål av typen hva er sannsynligheten for å få mynt flere ganger enn 20, men færre ganger enn 40, er det best å benytte framgangsmåten med å summere punktsannsynligheter. 26
Terningkast Vi kaster en terning 72 ganger og lar X være antall seksere. Terningen er ikke trikset med og vi kan anta at sannsynligheten for å få seks i et kast er 1. Nå lurer vi på 6 hvor stor sannsynlighet det er for å få seks mellom 10 og 14 ganger. Altså er vi ute etter P(10 X 14). Vi ser av resultatet på ClassPad 300 at P(10 X 14) = 0,57 = 57% Høyden til rekrutter Et typisk eksempel på en normalfordeling er høyden til rekrutter. Blant norske rekrutter er forventningsverdien µ = 180cm og standardavviket σ = 7cm. Hvordan kan vi ved hjelp av ClassPad 300 finne hvor stor del av norske rekrutter som er lavere enn 190 cm? Vi leser av skjermen at 92,3 % av norske rekrutter er lavere enn 190 cm. Men hvordan kan vi finne ut hvor stor del av rekruttene som er høyere enn 170 cm? Når vi ved hjelp av NormCD har funnet hvor mange rekrutter som er lavere enn 170 cm, kan vi finne hvor stor del av rekruttene som er høyere enn 170 cm ved å regne ut 1 PX ( < 170). I stedet for ved hjelp av DispStat henter vi nå fram sannsynligheten ved hjelp av prob. Da får vi: Vi ser at omtrent 92,4 % av norske rekrutter er høyere enn 170 cm. 27
Det kan være av interesse å finne ut hvor stor del av rekruttene som befinner seg innenfor intervallet [ µ σ, µ + σ], altså innenfor ett standardavvik til høyre og venstre for forventningsverdien på 180 cm. Vi ser at omtrent 68,3 % av rekruttene ligger innenfor ett standardavvik på begge sider av forventningsverdien. Det betyr at 68.3 % av rekruttene har en høyde mellom 173 cm og 187 cm. 2 ( x x) 2 2σ 1 Vi kan også benytte normalfordelingsfunksjonen f gitt ved f( x) = e til å finne 2 2πσ sannsynligheter. La oss se hvordan vi finner sannsynligheten for at en tilfeldig valgt rekrutt har en høyde som avviker ett standardavvik fra forventningsverdien. Vi integrerer normalfordelingsfunksjonen fra 173 til 187 og ser at vi får samme svar som ovenfor. Vektorregning På en ClassPad 300 kan vi kose oss med vektorregning. Vektorer ble benyttet allerede av Aristoteles (384fKr 322fKr) for blant annet å beskrive krefter i fysikken. Moderne vektoralgebra ble imidlertid introdusert langt senere. Først i begynnelsen av det 19. århundre ble vektorer benyttet til å gi en geometrisk tolkning av komplekse tall. Caspar Wessel (1745 1818), Jean Robert Argand (1768 1822), Carl Friedrich Gauss (1777 1855) betraktet komplekse tall som punkter i et todimensjonalt plan, det vil si som todimensjonale vektorer. I 1837 viste William R. Hamilton (1805 1865) at komplekse tall kan betraktes som et ordnet tallpar (a, b) der a og b begge er reelle tall. Utviklingen av vektoralgebraen og vektoranalysen slik vi kjenner disse matematiske emneområdene i dag, startet i 1870-årene da matematikeren J. Willard Gibbs (1839 1903) utarbeidet skriftlige kompendier til sine studenter ved Yale Universitet. Gibbs konkluderte blant annet med at vektorer kom til å bli et effektivt og uunnværlig redskap for hans og andres arbeid med fysikk. Ettertiden har vist at Gibbs fikk rett i sine antagelser. Den første boken om moderne vektoranalyse var den engelske Vector Analysis som ble publisert i 1901. 28
Addisjon av vektorer La oss summere de to vektorene a = [ 3,1] og b = [5, 2]. Vi summerer da x-komponentene til begge vektorene og y- komponentene til begge vektorene og får den såkalte resultantvektoren c = [2,3]. Figuren til høyre viser hvordan addisjon av vektorer kan utføres på ClassPad 300. Studer summen av tre eller flere vektorer på koordinatform. Vektorer i rommet En vektor i rommet kan uttrykkes ved hjelp av komponentene til vektoren i et tredimensjonalt koordinatsystem. Vi kan skrive A= [ Ax, Ay, Az]. Vektoren fra punktet Px ( 1, y1, z 1) til Qx ( 2, y2, z 2) er PQ = [ x2 x1, y2 y2, z2 z1]. Her har vi brukt tilordningspilen for å gi vektorene Hvordan kan resultatet på ClassPad 300 i dette tilfellet bli brukt til å forklare at vektoren fra punktet Px ( 1, y1, z 1) til punktet Qx ( 2, y2, z 2) er gitt ved PQ = [ x2 x1, y2 y2, z2 z1]? Lengden av en vektor På ClassPad 300 kan vi enkelt bruke funksjonen norm for å bestemme lengden til en vektor. ClassPad 300 kan bestemme lengden av vektoren [ 4,5] både i Main og i Geometriapplikasjonen. Figuren ovenfor viser såkalt split-screen. 29
Enhetsvektor Lengden til en enhetsvektor er e = 1. En vektor kan transformeres om til en enhetsvektor ved å dividere vektoren med sin egen lengde. Enhetsvektoren må ha samme retning som vektoren. På skjermbildet ser vi hvordan vi ved hjelp av ClassPad 300 kan transformere v = [ 4,5, 2] om til en enhetsvektor. Samtidig kontrollerer vi ved hjelp av norm at lengden av enhetsvektoren faktisk blir 1. Velg forskjellig vektorer og transformer disse om til enhetsvektorer. Kontroller resultatet både på lommeregneren og ved å regne for hånd. unitv( norm( dotp( angle( crossp( finner vi enkelt og greit i katalogen Skalarprodukt Skalarproduktet av to vektorer a og b er definert ved a b = a b cosθ hvor θ er vinkelen mellom de to vektorene. I enkelte lærebøker blir skalarproduktet omtalt som prikkproduktet. Vi kan oversette prikk med dot til engelsk. La oss finne skalarproduktet til de to vektorene a = [ 3,2,5] og b = [3, 2,1]. Bestem også vinkelen mellom disse to vektorene. Vi finner skalarproduktet ved a b = [ 3,2,5] [3, 2,1] = 3 3+ 2 ( 2) + 5 1= 9 4+ 5= 8 Vinkelen mellom de to vektorene blir derfor a b 8 8 8 4 133 cosθ = = = = = 2 2 2 2 2 2 a b ( 3) + 2 + 5 3 + ( 2) + 1 38 14 2 133 133 1 4 133 o Altså er θ cos = = 110,3 133. Vi kontrollerer svarene ovenfor ved å utføre operasjonene dotp og angle på ClassPad 300. 30
Verifiser på ClassPad 300 at skalarproduktet er kommutativt, det vil si a b = b a. Verifiser at skalarproduktet er distributivt, det vil si a ( b + c) = a b + a c Trekanten ABC har hjørnene A(2,1, 1), B( 1,0,2) og C(1, 2, 2). Bruk ClassPad 300 til å beregne vinklene i trekanten. Gransk følgende påstand: Skalarproduktet av a og a gir 2 a. Kryssproduktet I noen lærebøker omtales kryssprodukt som vektorprodukt. Vi velger her begrepet kryssprodukt siden ClassPad 300 bruker crossp. Kryssproduktet blir brukt svært mye i fysikk særlig i mekanikk og elektromagnetisme. I mekanikk anvendes kryssproduktet i forbindelse med blant annet ulike former for dreining. I elektromagnetisme spiller kryssproduktet en svært viktig rolle særlig i forbindelse med krefter mellom ladde partikler i bevegelse. Definisjon: Gitt vektorene a = [ a1, a2, a3] og b = [ b1, b2, b3]. Kryssproduktet a b er definert som vektoren [ ab 2 3 ab 3 2, ab 3 1 ab 1 3, ab 1 2 ab 2 1]. Vi finner retningen til kryssproduktet a b ved hjelp av den såkalte høyrehåndsregelen. Hvis fingrene på høyre hånd krummer seg fra a til b o mindre enn 180, vil tommelen peke i retningen til a b. Vi kan også finne kryssproduktet ved hjelp av determinanter. Hvis a = [ a1, a2, a3] og b = [ b, b, b ] så er 1 2 3 i j k a a a a a a = = + = 2 3 1 3 1 2 a b a1 a2 a3 i j k b2 b3 b1 b3 b1 b2 b1 b2 b3 ( ab ab) i+ ( ab ab) j + ( ab ab) k = [ ab ab, ab ab, ab ab] 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 31
Vis deretter at Parallellogram Ta utgangspunkt i resultatet på skjermbildet og gransk om vi kan påstå at a b = 0 hvis de to vektorene a og b er parallelle. Ved hjelp av ClassPad 300 kan vi vise at kryssproduktet er såkalt antikommutativt siden b a = ( a b). Vi har også anvendt ClassPad 300 til å vise at kryssproduktet er såkalt selvannihilerende siden a a = [0,0,0]. Vis på ClassPad 300 at a ( b c) = ( a b) + ( a c) Det betyr at kryssproduktet følger den distributive lov. a b = a b ( a b) 2 2 2 Arealet A av et parallellogram utspent av vektorene a og b, er gitt ved A= a b sinθ, hvor θ er vinkelen mellom a og b ( 0 θ π ). I samsvar med definisjonen av kryssproduktet kan vi også bestemme arealet av parallellogrammet ved A= a b. La oss studere et parallellogram med hjørnene P(1, 0, 1), Q (0, 4, 5) og R(3, 1, 7). La a = PQ = [ 1,4,6] og b = PR = [2,1,8]. Vi finner arealet av parallellogrammet ved hjelp av ClassPad 300. Parallellepiped Produktet ( a b) c kaller vi trippelskalarproduktet til a, b og c. Vi ser av formelen ( a b) c = a b c cosθ at trippelskalarproduktet representerer volumet av parallellepipedet utspent av a, b og c. Verdien av a b representerer i dette tilfellet arealet av grunnflaten i parallellogrammet. Videre forteller c cosθ hvor høyt pilspissen til c befinner seg over planet utspent av a og b o. Hvisθ er større enn 90, blir cosθ negativ. Da er det nødvendig å ta absoluttverdien til ( a b) c for å oppgi volumet av parallellepipedet. Volum er en positiv størrelse. Vi ser hvordan vi ved hjelp av ClassPad 300 kan finne volumet av parallellepipedet som er utspent av a = i + 2 j k, b = 2i + 3k og c = 7 j 4k. Bruk ClassPad 300 til å bestemme volumet av parallellepipedet med sidekanter i + j, 2i k og 3 j + k. 32
eaktivitet Systemet eaktivitet er lagt inn i ClassPad 300 for å gjøre det mulig å utveksle informasjon og transportere aktiviteter mellom forskjellige lommeregnere. En såkalt eaktivitet kan oppfattes som en læresekvens hvor brukeren kan arbeide seg gjennom en serie skjermbilder som inneholder alt fra tekst, formler, utregninger til geometriske konstruksjoner. Læreren kan bruke eaktivitet-applikasjonen på ClassPad 300 slik at elevene opplever verktøyet som et interaktivt læreverktøy der eleven kan arbeide med stoffet i sitt eget tempo. En eaktivitet er også velegnet som presentasjonsverktøy. eaktivitet på hovedmenyen Å arbeide med eaktivitet betyr å arbeide med filer. En fil kan lastes ned fra Internett, åpnes, editeres og for eksempel lagres under et nytt navn i en egen mappe. I User s Guide finner vi detaljerte beskrivelser om hvordan eaktivitet skal håndteres på riktig måte. I eaktivitet-applikasjonen har vi adgang til de samme fasiliteter som finnes på alle andre applikasjoner på ClassPad 300. En eaktivitet er ment å skulle fungere som en interaktiv lærebok. Matematiske uttrykk fra en side i en eaktivitet kan transporteres til andre applikasjoner samtidig med at informasjon fra andre applikasjoner kan inngå i den aktuelle eaktiviteten. 33
På http://classpad.net er det lagt ut noen eaktiviteter. Disse kan du downloade ned hvis du ønsker det. Vi kan for eksempel lage vår egen elektroniske formelsamling i eaktivitet. For å skrive tekst i eaktivitet velger vi modus for tekstbehandling mode (A). Dersom vi velger mode ( ), fungerer ClassPad 300 som i Main. [EXE] fungerer som enter (CR). Vi viser til User s Guide og Form og Tall når det gjelder Sequence Spreadsheet Conics 3D Graphs Geometry NumSolve Presentation Program Communication System Lykke til med å utforske ClassPad 300. På trøndersk heter det: Æ må lær mæ. 34