Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 4.11.010 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere gitte eksamener. Dessverre er disse ofte bare åpne for betalende medlemmer. Videre vil dette løsningsforslaget legge seg på en litt annen kurs enn andre løsningsforslag. I første del vil fasitsvaret til alle regneoppgaver bli oppgitt. Dette gjøres slik at om ønsket kan raskt se om en har regnet riktig eller ei. Har en regnet feil, kan en selv regne på nytt uten å få fremgangsmåten spolert. Deretter vil vi ta for oss oppgavene i tur og orden gjerne litt nøyere en hva som kreves under eksamen. Vi vil også skrive små kommentarer om vanlige feil elever gjør til en del oppgaver, og også hva som bør nevnes til hver oppgave. Til tider vil vi også vise alternative måter å løse oppgavene på. Og et fåtall ganger vil vi streife utenfor pensum og vise alternative metoder. Dette er et annerledes løsningsforslag, men vi håper den som leser dette vil få glede av det. Det viktigste å huske på før en eksamen er å opparbeide seg en god forståelse, og en bred faglig kompetanse. Dokumentet her er ment å hjelpe leser et lite steg i den retningen.
Innhold Karaktergrenser og Vurderingsskjema Fasitsvar til regneoppgaver IV V Del 1 Oppgave 1 1 a)............................................ 1 b)............................................ 1 c)............................................ d)............................................ e)............................................ 3 f)............................................ 3 g)............................................ 3 Oppgave 5 a)............................................ 5 b)............................................ 5 c)............................................ 6 Del Oppgave 3 8 a)............................................ 8 b)............................................ 8 c)............................................ 9 Oppgave 4 9 a)............................................ 9 b)............................................ 10 c)............................................ 10 Oppgave 5 1 a)............................................ 1 b)............................................ 13 c)............................................ 13 d)............................................ 13 Oppgave 6 14 a)............................................ 14 b)............................................ 14 c)............................................ 15 II
Oppgave 7 15 a)............................................ 15 b)............................................ 15 Oppgave 8 15 Alternativ I........................................ 15 a)............................................ 15 b)............................................ 16 c)............................................ 16 Alternativ II....................................... 16 a)............................................ 16 b)............................................ 16 c)............................................ 16 III
Karaktergrenser og Vurderingsskjema Gjeldende poengfordeling Del Del 1 Oppgave 1a 1b1 1b 1c 1d 1e 1f 1g1 1g a b c Poeng 4 Oppgave 3a 3b 3c 4a 4b 4c 5a 5b 5c 5d 6a 6b 6c 7a 7b Poeng 36 8Ia 8Ib 8Ic 8IIa 8IIb 8IIc Sum Total antall poeng 60 Karakterfordelingen, basert på 180 besvarelser: Karakter 1 3 4 5 6 Prosent 5.6% 6.1% 5.0% 1.7% 17.% 4.4% Gjennomsnittet besvarelsene er 3.3. Karaktergrenser Karakter 1 3 4 5 6 I Poeng 15 3 4 34 35 44 45 56 I prosent 4 41 41 59 60 77 78 93 Nebuchadnezzars synspunkter om årets eksamen Forhåndssensur Forhåndssensur blir ikke lagt ut for høst-eksamener. IV
Fasitsvar til regneoppgaver Oppgave 1 a) x = 3, y = 1 b) (, 3/) c) 6.0 10 4 d) 3/(x 4) e) x (, 4] [, ) f) Tegning g) I) /5 = 40 % II) 1/5 = 48 % Oppgave a) f (1) = v(1) = 1 b) δv = 0 Ja c) (0, 7) og (, 17/3) Oppgave 3 a) Graf b) 5730 år c) 1198.9 år Oppgave 4 a) h 1.5 b) AB 150 m c) ABC = 15 87 140 m Oppgave 5 a) P (M) = 13/4 54 % b) P (M B) = 63/13 48 % c) 00 medlemmmer Oppgave 6 a) Månedspris 87.5, minuttpris = 50øre b) Graf c) A når 0 < x 68, B når 68 < x 78, C når x > 78 Oppgave 7 a) 0.77 39 8 % b) 0.99 84 99 % Oppgave 8 I a) (1/, 9/) b) a = 4 c) a = 0, topp (0, 4) Oppgave 8 II a) Nei b) Hypotenus.5 og Katet 1.5 c) a = 8/10 =.8 og b = 6/5 = 1. V
Del 1 Uten hjelpemider Oppgave 1 (18 poeng) a) Løs likningssystemet x + y = 4 3x y = 8 Enklest blir nok å legge sammen likningene. Da får vi 4x = 1 som har løsningen x = 3. Innsatt i første likning får vi da 3 + y = 4 slik at y = 4. Løsningene blir dermed x = 3 og y = 4. Et annet alternativ er å isolere eksempelvis y i den øverste likningen. Her får vi y = 4 x, som vi kan sette inn andre likningen. Altså 3x (4 x) = 8 4x = 1 som før.en siste mulighet er og se at likningssystemet beskriver skjæringspunktet mellom to linjer. En grafisk løsning gir like mye utteling som med regning. b) Løs likningen 1) grafisk 1 4 x + = x 5 Grafisk represeterer likningen skjæringspunktene mellom linjene y = x/4+ og y = x 5/. For å tegne en rett linje kreves to punkter. Velger her (4, 1) og (0, ) for første line og (0.5, 1.5),(.5,.5) for andre linje. Ut i fra figur ser vi at x-verdien til skjæringspunktet er 4 3.5 3.5 1.5 1 0.5 y x/4 + x 5/ 0 x 0 0.5 1 1.5.5 3 3.5 4 x =, som blir løsningen til likningen vår. ) ved regning 1 4 x + = x 5 1
Brøker er kjedelige dyr å hanskes med, ganger derfor likheten med 4 for å fjerne disse. x + 8 = 8x 10 Sammler de ukjente på høyre side og konstantene på venstre Deler likningen på 9 for å isolere x 18 = 9x x = som var det samme vi fikk grafisk. Løsningen av en likning kan og bli sett på som den verdien som balanserer sidene slik at høyre side veier like mye som venstre side. Dette er en enkel måte å teste om svaret er riktig på. Innsettning av x = i likningen gir oss 1 4 () + = () 5 1 + = 4 5 1 + 4 + = 8 5 Siden høyre side er lik venstre side så stemmer løsningen vår. c) Regn ut og skriv svaret på standardform 4.7 10 4 + 3.0 10 3 Legg merke til at 10 4 = 10 10 3 slik at 4.7 10 4 + 3.0 10 3 = 47 10 3 + 3.0 10 3 = (47 + 3.0) 10 3 = 50 10 4 = 5.0 10 3 d) Trekk sammen og skriv så enkelt som mulig 3 x + 4 + 4 x 16 Konjugatsetningen sier at a b = (a b)(a + b) slik at x 16 = (x 4)(x + 4) en frekk faktorisering gir oss da at 3 x + 4 + 4 x 16 = 3 x + 4 + 3 8 (x + 4)(x 4) ( 1 = 3 x + 4 x 4 ) x 4 + 8 (x + 4)(x 4) ( x + = 3 ) 4 (x 4) (x + 4) = 3 x + 4
e) Løs ulikheten x + x 8 0 Høyresiden er et andregradspolynom med to nullpunkter. ulikheten spørr oss når dette polynomet er over x-aksen. Den enkleste måten er antakeligvis å fullføre kvadratet, legg merke til at x + x 8 0 x + x + 1 9 0 (x + 1) 9 0 Herfra ser vi at høyre side er større eller lik null når x eller x 4. Vi kan og faktorisere høyre siden slik at vi får x + x 8 = (x )(x + 4) og en fortegnslinje forteller når denne funskjonen er positiv. Faktoriseringen av funksjonen kan bli gjort på en rekke måter. 6 4 0 4 f (x) = x + x 8 0 0 x + 4 0 x 0 x x + x 8 = x + 4x x 8 = x(x + 4) (x + 4) = (x )(x + 4) Eller ved hjelp av den noe tregere andregradsformelen x = b ± b 4ac a = ± 4(1)( 8) (1) = 1 ± 1 (1 + 8) = 1 ± 3 f) Tegn en rettvinklet trekant der tan C = 5 1 Tangens til en vinkel er definert som motsatt/hosliggende så en mulig trekant er følgende B 5 C 1 A Her blir punktene A, B, C strategisk valgt for å gjøre tegningen lettere. g) I en twistpose er det 5 twistbiter. Per liker 16 av disse. Vi trekker tilfeldig to twistbiter fra posen. Her kan et trediagram være nyttig, i følgende diagram benyttes L for å betgne at Per trekker et drops han liker L betegner at han trekker et drops han ikke liker. Tallene langs grenene viser sannsynligheten for at disse tilfellene inntreffer. 3
Trekk 1 16L, 9L L 9/5 L 16/5 Trekk 16L, 8L Trekk 15L, 9L L 8/4 L 16/4 L 15/4 L 9/4 P (L L) = 9 5 8 5 = 7 65 P (L L) = 9 5 16 4 = 6 5 P (L L) = 16 5 15 4 = 5 P (L L) = 16 5 9 4 = 6 5 Figur 1: Tre-diagram over mulige utfall av to trekk. 1) Finn sannsynligheten for at Per liker begge twistbitene vi trekker. Dette kan leses direkte av diagramet men for kompletthet regner vi det ut atter en gang. Er og lurt å bli godt kjent med notasjonen. Betegner P (L) som sannsynligheten for at kresne Per trekker en twistbit han liker. Så P (L) = ønskelige mulige = 16 5 Neste gang Per trekker en bit så er det 4 biter å velge mellom, og han liker 15 av disse. (Siden han allerede har trukket en han liker). Altså er sannsynligheten for å trekke en twist han liker, gitt at han allerede har trukket et drops han liker P (L L) = ønskelige mulige = 15 4 Sannsynligheten for at begge disse tilfellene inntreffer blir dermed P (L L) = P (L) P (L L) = 16 5 15 4 = 4 5 5 3 3 3 = 5 som ønsket. Vi kan og benytte oss av den hypergeometriske fordelingen men dette er noe en lærer mer om i R1 ( ) ( ) 16 9 0 (16 15)/ 1 P (L L) = ( ) = = 3 3 5 5 (5 4)/ 5 3 = 5 ) Finn sannsynligheten for at Per liker èn av twistbitene vi trekker. Sannsynligheten for at Per liker èn av twistbitene er det samme som at han enten liker første og ikke andre, eller at han ikke liker første men liker andre. Ut i fra trediagramet ser vi at gren 1 og gren 3 fra toppen dekker dette. I kryptisk notasjon kan dette bli skrevet som P (L L) = P (L L) + P (L L) = P (L) P (L L) + P (L) P (L L) = 9 5 16 4 + 16 5 9 4 = 3 5 4 3 3 = 1 5 = 48 100 = 48% 4
Dette kan også bli funnet via hypergeometrisk fordeling som følger ( ) ( ) 16 9 1 1 P (L L) = ( ) = 16 9 5 (5 4)/ = 3 3 5 3 = 1 5 Oppgave (6 poeng) En funksjon f er gitt ved f(x) = 1 3 x3 x + 7 a) Finn den momentane vekstfarten når x = 1 Den momentane vekstfartener bare en fancy måte å spørre om stigningstallet på, eller hvor stor den deriverte er i punktet. Siden den deriverte forteller oss hvor raskt funksjonen stiger eller synker. Den deriverte fil funksjonen vår blir Innsetning gir da at f(x) = 1 3 x3 x + 7 f (x) = 1 3 3 x3 1 x 1 + 0 = x x f (1) = 1 1 = 1 Altså er den momentane vekstfarten til funksjonen når x = 1 lik 1 b) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten fra x = 0 til x = 3. Kan du ut fra dette avgjøre om grafen til f har ekstremalpunkt i intervalet [0, 3]? Begrunn svaret. En figur hjelper mye her, spørsmålet blir hvor mye funksjonen stiger eller synker fra x = 0 til x = 3. Stigningstallet er gitt som forandring i y, delt på forandring i x a = y f(3) f(0) = x 3 0 velger å regne ut f(3) og f(0) seperat. Ser raskt at f(0) = 7 og Slik at f(3) = 1 3 33 3 + 7 = 3 3 + 7 = 7 a = δy f(3) f(0) = = 7 7 = 0 x 3 0 3 Det logiske her er å anta at funksjonen har et ekstremalpunkt på intervallet, men uten å studere funksjonens deriverte kan vi ikke fastslå dette. Ut i fra opplysningene så langt kan funksjonen vår for eksempel se ut som funksjonene i (figur 3). Alle funksjonene har 0 som gjennomsnittlig vekstfart mellom 0 og 3, men bare en av funksjonene har et ekstremalpunkt på intervalet. Nå kan det strengt talt argumenteres for at den røde grafen ikke er myk og vanskelig å beskrive med et enkelt funksjonsuttrykk, men det får så være. Et mulig funksjonsuttrykk er eksempelvis g(x) = 7 ( x + 3 x 7) 4 5
10 y 9 8 7 6 5 4 3 1 0 x 1 0 1 3 4 5 6 Figur : Funksjoner som har stigningstall 0 mellom x = 0 og x = 3 om vi legger til opplysningen fra a) om at f (1) = 1 så betyr det fortsatt ikke at funksjonen har et ekstremalpunkt på intervalet. Da funksjonen kan være diskontinuerlig (den har en eller flere asymptoter på intervalet) som vist i den blå kurven i (figur 3). g(x) = x /3 + 8x 14 x Denne har heller ikke noe ekstremalpunkt, men g (1) = 1. Nå skal vi vel bare slutte å være vanskelige,og konkludere med at de gitte opplysningene kan vi ikke fastslå at funksjonen har etekstremalpunkt på intervalet. For å vite at en funksjon har et ekstremalpunkt på et intervall I kreves det at funksjonen er kontinuerlig, og at f (x) 0 for en eller annen x I. c) Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f ved regning. Eventuelle topp og bunnpunkter finnes i enden av hvor funksjonen er definert, og hvor stigningstallet til funksjonen er null. Førstnevnte er ikke viktig her, siden funksjonen er definert på hele tallinjen og dermed ikke har noen endepunkter. For å finnne ut når stigningstallet er null ser vi på funksjonens deriverte f(x) = 1 3 x3 x + 7 f (x) = 1 3 3 x3 1 x 1 + 7 = x x = x(x ) Slik at f (x) = 0 når x = 0 eller når x = 0. Videre så er f(0) = 7 og f() = 5 + /3 Et fortegnsskjema avgjør om disse punktene er toppunkt eller bunnpunkt. Altså så er (0, 7) 1 0 1 3 f (x) = x x 0 0 x 0 x 0 x ett toppunkt og (, 17/3) ett bunnpunkt. Alternativt kan vi og bruke andrederivert testen. Dersom f (c) = 0 og f (c) > 0 så er x = c ett bunnpunkt, dersom f (c) < 0 er x = c ett toppunkt. Om mot formodling f (c) = 0 og f (c) = 0 så er punktet ett saddelpunkt/ terrasepunkt. (Titt på x 3 hvor c = 0.) I vårt tilfelle er f (x) = x 6
Slik at f(0) = og f() = som stemmer overens med fortegnsskjemaet 7
Del Med hjelpemider Oppgave 3 (6 poeng) Funksjonen T gitt ved ( x ) T (x) = 100 0.5 5730 viser hvor mange prosent opprinnelig mengde C-14 det er igjen i en plante x år etter at planten er død. a) Tegn grafen til T for x [0, 1 000]. Bruker som kjent PGFplots, men de fleste grafiske verktøy fungerer. Syntaksen er noe allà function[100*0.5ˆ(x/5730),0,1000] I de fleste programmer. 100 90 80 70 60 50 40 30 0 10 y 0 x 0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1. 10 4 Figur 3: Funksjoner som har stigningstall 0 mellom x = 0 og x = 3 b) Hvor lang tid tar det før opprinnelig mengde C-14 i en plante er halvert? Ut i fra figur ser det ut som mengden C-14 er halvert etter ca 5500 år. (Eller vi kan vite at halveringstiden til C-14 er 5730 år.) Titter vi nærmere på funksjonsuttrykket ( x ) T (x) = 100 0.5 5730 Ser vi at T (0) = 100 slik at den halverte mengden er 50, legg og merke til at 100 0.5 1 = 50 Slik at vi ønsker x/5730 = 1 som selvsagt skjer når x = 5730. En tilsvarende utregning gjøres 8
med logaritmer 50 = T (x) 50 = 100 0.5 (x/5730) 0.5 = 0.5 (x/5730) log(0.5) = log (0.5 (x/5730)) log(0.5) = x 5730 log(0.5) 1 = x 5730 x = 5730 På bildet ser du rester av en gammel trebrønn som ble funnet under utgravninger i Vestfold. Målinger viste at treverket inneholdt 86.5% av opprinnelig mengde C 14. c) Omtrent hvor gammel var brønnen da målingene ble gjort? Oppgave 4 (6 poeng) Anders, Hilde og Petter har valgt 1T. De har et prosjekt der de skal bruke trigonometri til å løse praktiske problemstillinger. 51.3 10.0 m Anders vil finne ut hvor høy flaggstanga på skoleplassen er. Han måler avstand og vinkel som vist på figuren ovenfor. a) Bruk opplysningene på figuren og regn ut hvor høy flaggstanga er. Det mest logiske her blir å bruke tangens til å finne ut høyden av flaggstangen siden tan(θ) = motsatt hosliggende tan(51.3) = h 10 h = 10 tan(51.3) 1.48 Altså er høyden til flaggstangen ca 1.5 m, her er det viktig å stille inn kalkulatoren på grader og ikke radianer. 9
C 40.0 m A 94.9 69.7 B Figur 4 Hilde er på tur og kommer til en innsjø. Hun står i punkt A og vil finne ut hvor langt det er til punkt B på den andre siden av innsjøen. Hun måler avstanden AC, A og C. Se (figur 4). b) Bruk opplysningene på figuren og regn ut hvor langt det er fra A til B. Vi velger først å finne vinkel B, siden vinkelsummen i en trekant alltid er 180 så A + B + C = 180 B = 180 94.9 69.7 = 15.4 Da trekanten er ikke rettvinklet kan vi ikke benytte oss av definisjonen av sinus ol. Vi drar frem tyngre skytts og benytter oss av sinussetningen. Denne sier at i enhver trekant så er a sin(a) = b sin(b) = c sin(b) Hvor a, b og c er sidene i trekanten. Med verdiene oppgitt får vi da at AB sin(c) = AC sin(b) AB = AC sin(c) sin(b) = 40 sin(94.9) sin(15.4) 150.077 Altså er avstanden fra A til B ca 150.0 meter. På en skoleplass står det trær. Trærne danner hjørnene i en trekant. Petter måler avstanden mellom trærne til å være henholdsvis 0, 4 og 14 m. c) Regn ut arealet av trekanten som trærne danner Her er det flere måter å gå frem på, det enkleste er nok å først å lage en grov skisse. Siden trekanten ikke er rettvinklet (0 + 14 4) så må vi benytte arealsetningen for å bestemme arealet av trekanten. Denne sier at arealet av en trekant er gitt som A = 1 bc sin(a) 10
C 14 m 4 m A 0 m B Legg merke til at når A = 90 så er a = bc/. For å finne vinkel A må vi benytte oss av cosinussetningen. Så a = b + c bc cos(a) cos(a) = 1 b + c a bc cos(a) = 1 14 + 0 4 ( 14 0 ) 1 A = arccos 8 Nå som vi har et uttrykk for A, kan vi endelig benytte arealsetningen A = 1 bc sin(a) A = 1 14 8 sin ((arccos 139.91 ( )) 1 8 Slik at arealet av trekanten som trærne danner er ca 140 m. Videre lesning Nå har vi oppnådd en ca verdi for arealet av huset. Men er det mulig å oppnå et eksakt uttrykk for arealet av trekantent? Fra enhetssirkelen vet vi at 1 sin(x) + cos(x) = 1. Setter vi x = arccos(θ) fås sin(x) + cos(x) = 1 sin(arccos(θ)) + cos(arccos(θ)) = 1 sin(arccos(θ)) + θ = 1 sin(arccos(θ)) = 1 θ Dette kan vi bruke til å beregne arealet nøyaktig. Innsatt i arealsetningen fås A = 1 bc sin(a) = 1 bc sin(arccos(1/8)) = 1 ( ) 1 1 14 0 8 = 15 87 Siden ( ) ( 1 8 1 = 8 8 1 ) ( 8 8 8 + 1 ) ( ) = 33 9 3 8 8 = 87 8 1 Se her for ulike bevis og en grundigere forklaring http://en.wikipedia.org/wiki/pythagorean_ trigonometric_identity 11
Da 87 = 9 3. En tilsvarende metode er å bruke Heron s formel som en kan lese mer om her. Som sier at arealet av en vilkårlig trekant er A = S(S a)(s b)(s c) der S = a + b + c Her er selvsagt a, b og c sidene i trekanten og S er halve omkretsen. Oppgave 5 (6 poeng) Fotballgruppa i et idrettslag ønsker seg en ny ballbinge. De gjennomfører en spørreundersøkelse for å finne ut hva medlemmene i idrettslaget mener om dette. Alle de 40 medlemmene i idrettslaget ble spurt. 45% av medlemene er kvinner. 63 av mennene ønsker ballbinge. Til sammen ønsker 110 av medlemene ikke ballbinge. a) Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din. Bruk opplysningene ovenfor og fyll inn tallene som skal stå i de hvite feltene. Mann Kvinne Totalt Ønsker Ballbinge Ønsker ikke Ballbinge Totalt Det første en kan legge merke til er at det ble totalt spurt 40 medlemmer. Av disse er 45% kvinner og 55% er menn. Andelen kvinner blir dermed Kvinner = 45 40 = 108 100 De som ikke er kvinner er da selvsagt menn, slik at antall menn blir 40 108 = 13. Videre så er det 63 menn som ønsker ballbinge. Da er det 13 63 = 69 menn som ikke ønsker ballbinge. Siden 110 medlemmer ikke ønsker ballbinge, og 69 av disse er menn. Så er det 110 69 = 41 kvinner som ikke ønsker ballbinge. Siden 41 kvinner av 108 ikke ønsker ballbinge er det 67 kvinner som ønsker ballbinge. Det utfyllte vil da se slik ut Tabell 1: Ferdig uttfyllt tabell, som viser hvem som ønsker Ballbinge. Mann Kvinne Totalt Ønsker Ballbinge Ønsker ikke Ballbinge 63 67 130 69 41 110 Totalt 13 108 40 1
b) Finn sannsynligheten for at et tilfeldig valgt medlem i idrettslaget ønsker ballbinge. La P(M) betegne sannsynligheten for at et medlem ønsker ballbinge. Sannsynligheten her kan bli sett på som mulige utfall over ønskelige utfall. Så P (medlem) = Ønskelige Mulige = 130 40 = 13 4 54% Altså er sannsynligheten for at et tilfeldig valgt medlem ønsker ballbinge ca 54 prosent. Da det er totalt 40 medlemmer og 130 av disse ønsker ballbinge. Et medlem blir valgt tilfeldig. Det viser seg at medlemmet ønsker ballbinge. c) Finn sannsynligheten for at dette medlemmet er en mann. Igjen benytter vi oss av ønskelige over mulige over ønskelige. P (mann medlem) = Ønskelige Mulige = 63 130 48 % Siden det er totalt er 130 medlemmer som ønsker ballbinge og 63 av disse ønsker er menn. Styret i idrettslaget setter som krav at minst 75 % av medlemmene må ønske ballbinge dersom de skal godkjenne planene. Fotballgruppa prøver å verve nye medlemmer som ønsker ballbinge. d) Hvor mange slike medlemmer må fotballgruppa minst verve for at kravet fra styret skal innfris? Vi værver X nye medlemmer som ønsker ballbinge. Da er det totalt X + 40 medlemmer i gruppen, og X + 130 av disse ønsker ballbinge. Så da ønsker vi at P (M) 75, dette gir oss følgende likning P (M) 75 100 X + 130 X + 40 3 4 4(X + 130) 3(X + 40) X 00 Altså må gruppen få 00 nye medlemmer som ønsker ballbinge for at minst 75 % av medlemmene ønsker ballbinge. 13
Abonnement Fast månedspris Pris per minutt du ringer A 0 kroner 1.59kr per minutt B 100 kroner De første 100 minuttene er gratis, deretter 1.19 kroner per minutt C 50 kroner 0.49 kroner per minutt Oppgave 6 (6 poeng) a) Grafen under viser kostnader per måned med et gitt telefonabonnement. Bruk grafen og finn den faste månedsprisen og prisen for hvert minutt du ringer 350 300 y Kostnader per måned (kroner) 50 00 150 100 50 0 0 Ringetid (minutter) x 50 100 150 00 50 300 350 400 450 500 Tabellen nedenfor viser kostnader per måned med tre ulike telefonabonnementer, A, B og C b) Tegn grafer som viser de månedlige kostnadene med hvert av de tre telefonabonnementene i ett nytt koordinatsystem. Velg x-verdier fra og med 0 minutter til og med 500 minutter De fleste grafiske kalkulatorer kan fint tegne slike grafer. Det samme med de aller fleste kraftigere matematikkprogrammer på nett. Følgende figur er tegnet som vanlig med pgfplots.videre betegner A(x) funksjonen som beskriver abonnent A, B(x) abonnent B osv. Så A(x) = 1.53x { 100 når x 100 B(x) = 1.19(x 100) + 100 når x > 100 C(x) = 0.49x + 50 14
550 500 450 400 350 y Kostnader per måned (kroner) 300 50 00 Abonnent A Abonnent B Abonnent C 150 100 50 0 0 Ringetid (minutter) x 50 100 150 00 50 300 350 400 450 500 c) Hvor mye må du ringe for at det skal lønne seg å bruke hvert av de tre abonnementene A, B og C? Oppgave 7 (4 poeng) En undersøkelse viser at 95 % av elevene ved de videregående skolene et fylke har profil på Facebook. Vi velger tilfeldig 5 elever fra disse skolene. a) Finn sannsynligheten for at alle de 5 elevene har profil på Facebook b) Finn sannsynligheten for at flere enn 0 av de 5 elevene har profil på Facebook Oppgave 8 (6 poeng) Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen. (Dersom besvarelsen din inneholder begge alternativene, vil bare det du har skrevet på alternativ I, bli vurdert) Alternativ I En funksjon f er gitt ved f(x) = x + ax + 4 a) Finn f (x). Bruk den deriverte til å finne toppunktet til f når a =. 15
b) Bestem verdien a slik at x-koordinaten til toppunktet er 1 c) For hvilken verdi av a har y-koordinaten til toppunktet lavest verdi? Alternativ II a) Siden i en trekant er 7 m, 0 m og 1 m lange. Er trekanten rettvinklet? Om trekanten er rettvinklet må den lengste siden være hypotenusen. Bruker vi pytagoras ser vi at trekanten er rettvinklet hvis og bare hvis 7 = 0 + 1, noe som ikke stemmer da 7 = (30 3) = 900 180 + 9 = 900 00 + 0 + 9 = 79 mens 0 + 1 = 400 + 144 = 544. Slik at trekanten ikke er rettvinklet. Det holder ikke å tegne trekanten, en må føre et argument for hvorfor trekanten ikke er rettvinklet. Rolf har en 6.0 m lang jernstang. Han vil bruke stangen til å lage en rettvinklet trekant. Den ene kateten skal være.0 m lang. b) Regn ut lengden av de to andre sidene i trekanten Kall sidene i trekanten for a,b og c. Der c er hypotenusen Siden jernstangen er 6.0 m lang, vet vi at a + + c = 6 (1) a + = c () Hvor den nederste likningen kommer fra pytagoras. Fra øverste likning vet vi at a = 4 c, innsatt i (likning ) (4 c) + 4 = c (4 8c + c ) + 4 = c 8c = 0 c = 5 Og siden hele stangen er 6.0 m lang så får vi a = 6 c = 3/. Altså er hypotenusen i trekanten.5 m og den andre kateten 1.5 m. For å teste at svaret er riktig kan det være lurt å se om a + b + c = 6 og at a + b = c. Rolf finner en ny stang som er 6.0 m, lang. Av denne stangen vil han lage en trekant der en vinkel er 10 og en av de tilhørende sidene er.0 m, lang. c) Regn ut lengden av de to andre sidene i denne trekanten. 16