Retningsdiagrammer og integralkurver Eksempel 1 Den enkleste av alle differensiallikninger er nok y' = 0. Denne har løsningen y = C fordi den deriverte av en konstant er 0. Løsningen vil altså bli flere parallelle, horisontale linjer, alt etter hvilken verdi konstanten C har. Nedenfor har vi tegnet noen grafer til likningen y = C, der C varierer fra -2 til 3, med en økning på 1. Vi kaller disse grafene for integralkurver fordi vi får y = C ved å regne ut integralet på begge sider av differensiallikningen y' = 0. Alle figurene i dette heftet er laget med programmene Autograph, wxmaxima og GeoGebra. Noen differensiallikninger er så kompliserte at vi ikke kan finne et uttrykk for y ved integrasjon. Da kan vi i stedet få et inntrykk av hvordan integralkurvene går ved å tegne et retningsdiagram for differensiallikningen. Her starter vi med enkle differensiallikninger, der vi både kan finne løsningen ved regning og tegne retningsdiagrammer og integralkurver uten å finne løsningen først. Vi vet at den deriverte av en funksjon i et bestemt punkt er det samme som stigningstallet til tangenten for denne funksjonen i det aktuelle punktet. For differensiallikningen y' = 0, er den deriverte alltid 0. Det betyr at stigningstallet for tangenten blir 0 i alle punkter for denne differensiallikningen. Et retningsdiagram består av mange små rette linjestykker som viser stigningstallet til tangentene (altså den deriverte) for ulike verdier av x og y. Vi kan lett tegne retningsdiagrammet for differensiallikningen y' = 0 uten å finne løsningen y = C, fordi de små linjestykkene (tangentene) alltid har stigningstallet 0.
Oppgave 1 Tegn en integralkurve gjennom punktet (0, 2) i diagrammet ovenfor. Løsningen er den blå linja (med likningen y = 2) i diagrammet på forrige side Eksempel 2 Vi ser nå på den nesten like enkle differensiallikningen y' = 2. I dette tilfellet er stigningstallet til tangentene 2 for alle verdier av x og y. Vi kunne ha tegnet et slikt retningsdiagram for hånd, men viser her retningsdiagrammet tegnet med Autograph. i oppgave 2. Oppgave 2: Tegn en integralkurve gjennom punktet (0,1) i diagrammet nedenfor. Prøv selv før du ser på løsningen på neste side.
Løsningen av differensiallikningen y' = 2 er y = 2x + C. Integralkurvene vil derfor bli parallelle linjer med stigningstall 2 og varierende konstantledd C. I figuren nedenfor har vi tegnet inn flere slike integralkurver for ulike verdier av C. I eksempel 1 var både y' og y uavhengige av x-verdien. I eksempel 2 var y' uavhengig av x ( fordi y' = 2), men y var avhengig av x (fordi y = 2x + C). Vi vil nå se på et eksempel der både y' og y er avhengige av x.
Eksempel 3 Vi vil tegne retningsdiagrammet til differensiallikningen y' = 2x For å gjøre det lettere å tegne retningsdiagrammet, lager vi en tabell med ulike samsvarende verdier for x og y': x -2-1 0 1 2 y' -4-2 0 2 4 Vi ser at for x = -2, er stigningstallet til tangenten 4 for alle y-verdier. Tilsvarende gjelder for de andre x-verdiene. y' = -4 y' = -2 y' = 0 y' = 2 y' = 4 Til tettere vi tegner tangentene, til lettere blir det å tegne integrtalkurver gjennom bestemte punkter. Oppgave 3 Tegn en integralkurve som går gjennom origo i diagrammet nedenfor. (Løsning på neste side.)
Differensiallikningen y' = 2x har løsningen y = x 2 + C. Når integralkurven går gjennom origo, er konstanten C = 0. Programmet wxmaxima har en litt annen måte å tegne retningsdiagrammer. Der brukes vektorer med varierende lengder for å symbolisere den deriverte i ulike punkter: Her har vi latt programmet tegne inn integralkurven gjennom origo. På neste side har Autograph tegnet flere integralkurver til differensiallikningen y' = 2x.
Eksempel 4 La oss til slutt se på et eksempel der y' er avhengig av y: I eksempelet på side 314 i Sinus R2 har vi en bakteriekultur på 10 000 bakterier. Vekstfarten målt i bakterier per time er på ethvert tidspunkt 20 % av bakterieantallet. Dette gir oss differensiallikningen y' = 0,20 y. Vi vil her prøve å tegne et retningsdiagram for differensiallikningen, og lager da en tabell: y 10000 20000 30000 40000 50000 60000 y' 2000 4000 6000 8000 10000 12000 I figuren i oppgave 4 har Autograph tegnet små tangenter for y-verdier mellom 5000 og 100 000, med en økning på 5000. Vi legger merke til at stigningstallet til tangenten er det samme for hver bestemte y-verdi. Dette er i samsvar med differensiallikningen y' = 0,2 y. Vi kunne ha tegnet en skisse av et slikt retningsdiagram for hånd ved å bruke verdiene i tabellen ovenfor. Oppgave 4 Tegn en integralkurve gjennom punktet (0, 10 000) i diagrammet nedenfor. Prøv selv før du ser løsningen på neste side.
Fremgangsmåten for løsningen av differensiallikningen y' = 0,20 y står forklart på side 314 i Sinus R2. Vi får der y = 10 000 e 0,20 t. La oss nå for moro skyld plukke ut noen punkter fra grafen ovenfor og se om vi kan få løsningen ved hjelp av eksponentiell regresjon. Vi leser av noen punkter og skriver disse inn i en tabell: t 0 2 4 6 8 10 y 10000 15000 22000 33000 50000 74000 Vi bruker GeoGebra, og skriver disse punktene inn i regnearket der.
Vi merker cellene, høyreklikker og velger Lag liste med punkter. Vi kan så høyreklikke på grafikkområdet i GeoGebra og velge Vis alle objekter. Alternativt kan vi høyreklikke, velge Egenskaper og stille inn aksene manuelt. VI skriver i inntastingsfeltet: RegEksp[L_1] og trykker Enter. I algebrafeltet får vi da: (I GeoGebra bruker vi variabelen x i stedet for t for slike funksjoner.) Da vi vet at funksjonen f går gjennom punktet (0, 10 000), kan vi justere funksjonsuttrykket og skrive: f(t) = 10 000 e 0,2t eller y = 10 000 e 0,2t Dette stemmer helt med løsningen av differensiallikningen y' = 0,2 y på side 314 i Sinus R2. I delkapittel 8.5 i Sinus R2, er det forklart hvordan en kan tegne retningsdiagrammer for differensiallikninger der y' er avhengig av både x og y.