Side av 5 Oppgavesettet består av 5 (fem) sider. EKSAMEN RF500, Lineær algebra Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator og utdelt formelark Varighet: 3 timer Dato: 4. oktober 04 Emneansvarlig: Lars Sydnes sydlar@nith.no 930 35 685 Oppgavesettet består av 5 oppgaver. Husk å lese oppgavene nøye. Alle svar skal begrunnes, med mindre annet er oppgitt. Oppgave a) Bruk Gauss-Jordan-eliminasjon til å løse ligningssystemet x + y + z = x y + z = 0 x + y 3z =. b) En sirkel S er definert ved ligningen (x + y ) + ax + by + c = 0. Det opplyses at sirkelen går gjennom punktene. P = (0, ), P = (, 0) og P 3 = (, ). Bestem a, b og c. c) Bestem radius og sentrum i denne sirkelen. Postboks 95 Grønland, 034 Oslo
Side av 5 Oppgave I hele denne oppgaven forholder vi oss til matrisene 0 A = 0 B = 3 0 a) Regn ut matriseproduktene AB og BA, hvis mulig. b) Begrunn at matrisen A er inverterbar, uten å gjøre radoperasjoner. c) Finn A ved hjelp av radoperasjoner. d) Finn en matrise X slik at AX = B Oppgave 3 Her skal vi se på følgende 3d-vektorer: u = [ ] v = [ ] a) Finn projeksjonen av u på v. b) Bestem vinkelen v mellom u og v. c) Anta at v står vinkelrett på et plant speil, og at u er parallell med en lysstråle som faller inn mot speilet og reflekteres. Finn en vektor w som er parallell med den utgående lysstrålen. Postboks 95 Grønland, 034 Oslo
Side 3 av 5 Oppgave 4 Her skal vi forholde oss til vektorene / / / q = / / q = / / q 3 = / / / / / og systemet Q = (q, q, q 3 ). a) Begrunn at Q er et ortonormalt system. b) Finn projeksjonen Proj Q v av vektoren v = [ 0 ] T ned på systemet Q = (q, q, q 3 ). c) Her skal vi se på følgende datasett: x i y i z i 0 Dette datasettet kan vi se på som fire punkter P = (,, 0), P = (,, ), P 3 = (,, ), P 4 = (,, ), eller om vi vil, som tre vektorer x = y = z = Vi ønsker å beskrive det planet som passer best mulig til de fire punktene punktene P, P, P 3, P 4 ved en ligning z = ax + by + c. Det at planet passer best mulig kan uttrykkes slik: Vi ønsker å finne tall a, b, c slik at avviket z ax by c er så lite som mulig. (Her er = [,,, ] T ) Bruk resultatet i punkt b) til å finne parametrene a, b, c som beskriver dette planet. 0. Postboks 95 Grønland, 034 Oslo
Side 4 av 5 Oppgave 5 I denne oppgaven opererer vi med følgende objekter: Verdenskoordinater: (Standard x, y, z-koordinater, med origo O). Modellkoordinater: Disse er knyttet til hodet til en kyklop, altså en enøyd kjempe. Koordinatene er definert ved hjelp av en basis B = {b, b, b 3 }. Modellkoordinatenes origo: O h Sentrum i øyet: E Odyssevs: En person som befinner seg i punktet P Vi betrakter scenen på et tidspunkt der 0 OO h = 0, og OP = 5 B = [ ] 0.98 0 0.7 b b b 3 0.7 0.7 0.97. 0.03 0.98 0.7 Her refererer alle uttrykk til verdenskoordinatene. Du trygt forutsette at B er en ortogonal matrise (når vi ser bort fra avrundingsfeil). Spørsmålene kommer på neste side Postboks 95 Grønland, 034 Oslo
Side 5 av 5 a) Modellkoordinatene til øyet E er (, 0, ) lokal. Bestem øyets koordinater i det globale koordinatsystemet (verdenskoordinatene). b) Uttrykk posisjonen P til Odyssevs i forhold til kyklopens hode. Uttrykk svaret i modellkoordinatene. c) Kyklopens synsfelt er definert på følgende måte: (i) Midtpunktet i synsfeltet er representert ved retningsvektoren û, som har følgende lokale uttrykk: [û] hode = [0, 0.0998, 0.995] (fordi kykloper vanligvis ser ned på folk). Du kan regne med at û har lengde. (ii) Synsvidden er på 90. D.v.s at kyklopen kan se et punkt X dersom vinkelen mellom EX og û ikke er større enn 45. Avgjør om kyklopen ser Odyssevs. Hvor mange grader må eventuelt kyklopen dreie hodet sitt for å få øye på Odyssevs? Kort fortalt ender historen slik: Odyssevs forteller kyklopen at han heter ingen. Når Odyssevs og mennene hans stikker ut kyklopens eneste øye, kommer kyklopens naboer for å høre hva som står på. Kyklopen svarer at ingen plager ham, og naboene rusler hjem. Slutt på oppgavesettet Postboks 95 Grønland, 034 Oslo