11 CAS i GeoGebra Fra og med versjon 4.2 får GeoGebra et eget CAS-vindu. CAS står for Computer Algebra System og er en betegnelse for programvare som kan gjøre symbolske manipuleringer. Eksempler på slike manipuleringer er å løse likninger med rotutdragning (eksakte verdier), faktorisering av polynomer, integrering og derivering, beregning av summer osv. I GeoGebra 4.2 finner du CAS ved å hake av for dette under «Vis» på menylinjen: 11.1 Verktøylinjen i CAS Eksempel 33 Faktoriser polynomet x 4 x 3 5x 2 x 6. Vi skriver polynomet inn i CAS og trykker på Faktoriser-verktøyet får da følgende resultat: på verktøylinjen. Vi Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering. I eksempel 33 brukte vi ett av de åtte CAS-spesifikke verktøyene som vi har. Det første verktøyet er Regn ut. Med dette vertøyet blir uttrykk evaluert og regnet ut eksakt. Skriver du for eksempel inn 1/2+1/3 og klikker så på vil du få 5 6 som svar. Tilsvarende vil du få 0,8333 som svar dersom du klikker på Numerisk. Klikker du på Bruk inntasting vil 82
11.1 Verktøylinjen i CAS det ikke bli gjort noe med uttrykket du har skrevet inn. I eksempelet med 1/2+1/3 vil vi få som svar. 1 2 + 1 3 Figur 63: Du får ulike output alt etter som hvilket verktøy som er valgt. Merk at du kan enten skrive inn uttrykket og så klikke på ett av disse verktøyene beskrevet over eller du kan aktivere verktøyet, skrive inn uttrykket og så trykke <enter>. Har du for eksempel aktivert Numerisk og skriver inn 4/7 vil du få 0,5714 som svar. Neste verktøy på verktøylinjen er Faktoriser. I eksempel 33 brukte vi dette til å faktorisere et polynom. Du kan selvsagt også bruke dette til å faktorisere hele tall. Figur 64: Faktorisering av hele tall i GeoGebra. Går vi ett hakk til høyre på verktøylinja finner vi verktøyet Utvid GeoGebra om å multiplisere ut parenteser etc.. Vi bruker dette til å be Eksempel 34 Gang ut (a + b) 5 Vi skriver inn (a+b)^5 og klikker på : 83
11.1 Verktøylinjen i CAS Figur 65: Det kan ta litt tid å gange ut (a + b) 5 dersom du ikke kan binomialteoremet... Neste verktøy er Sett inn variable eller tall.. Med dette kan du erstatte én eller flere variable med andre Eksempel 35 Skriv inn formelen F = m ċ a i CAS finn a når F = 12 og m = 55. Vi skriver inn F=m*a og klikker på substitusjonene:. Vi får da opp et vindu der vi kan skrive inn de ønskede Figur 66: Vi bytter ut F med 12 og m med 55 ved å bruke Sett inn-verktøyet Klikker vi på får vi svaret 12 = 55a. Vi løser denne likningen ved å bruke verktøyet Løs. For å bruke dette må vi hente opp forrige output og så klikke på. Du kan lett kopiere inn siste output ved å trykke på space-baren på tastaturet. Klikk deretter på (Løs) og får a = 12 55. Dersom vi ønsker desimaltall trykker vi på mellomromstasten en gang til og så på. 84
11.1 Verktøylinjen i CAS Figur 67: Vi har funnet at a 0,22 når F = 12 og m = 55. Helt til høyre på verktøylinja ligger det to verktøy: Derivert og Integral. For å bruke disse er det bare til å skrive inn et uttrykk og klikke på verktøyet. Uttrykket du skriver inn behøver ikke å være et uttrykk i x. Men dersom du skriver inn a 4 b 2, så vil GeoGebra derivere med hensyn på a. Mer generelt, så vil GeoGebra derivere/integrere med hensyn på den første av varbiablene i lista x, y, z, a, b,...v, w som er uttrykket inneholder. Oppgave 55 a) 2 + 13 3 12 ċ 43 b) 122 9 Figur 68: Derivering og integrering i CAS. Bruk CAS til å regne ut c) 2 + 6 2 + 3 Oppgave 56 Gang ut: (a + b + c) 3. Oppgave 57 Finn de eksakte røtten til likningen x 3 + 8x 2 2x 16 = 0 85
11.2 CAS-kommandoer Oppgave 58 Oppgave 59 Deriver funksjonen f(x) = x 4 ln(x). Finn integralet x 4 ċ sin(2x) dx 11.2 CAS-kommandoer Vi har så langt sett hvordan vi kan bruke CAS-verktøyene til å utføre ulike operasjoner på uttrykk. Dersom vi kikker godt etter, ser vi at til de fleste verktøyene har en tilhørende kommando. Når vi utvidet (a+b) 5 ved å bruke Utvid ser vi at dette verktøyet kjører kommandoen RegnUt. Figur 69: Verktøyet Utvid kjører kommandoen RegnUt I stedet for å bruke verktøyet Utvid kunne vi med andre ord kjørt kommandoen RegnUt direkte: Figur 70: Du kan utvide parenteser ved å direkte bruke kommandoen RegnUt Det fins godt over 100 slike kommandoer i GeoGebra og du finner dem alle på nettsiden http://wiki.geogebra.org/nb/cas_spesielle_kommandoer. Vi har listet opp et utvalg kommandoer i tabell 2 på neste side. 86
11.2 CAS-kommandoer Kommando Binomialkoeffisient[a, b] Delbrøkoppspalting[<Funksjon>] Derivert[<Uttrykk>] Derivert[<Uttrykk>, <Variabel>] Derivert[<Uttrykk>, <Variabel>,n] Faktoriser[<Uttrykk>] Kryssprodukt[{a,b,c},{d,e,f}] Løsninger[likninger, <Variable>] Nevner[<Uttrykk>] NLøs[<Likning>] NLøs[<Likning>, <Variabel>] Nløsninger[<Likninger>, <Variable>] Nullpunkt[ <Polynom> Prikkprodukt[ <Vektor>, <Vektor>] Sum[<Uttrykk>, <Variabel>, a, b] Forklaring Regner ut a b Gir delbrøksoppspaltningen (om mulig) til funksjonen. Gir den deriverte til uttrykket. Gir den deriverte til uttrykket med hensyn på variabelen. Gir den n-te deriverte til uttrykket med hensyn på variabelen. Faktoriserer uttrykket. Regner ut vektorproduktet [a, b, c] [d, e, f]. Løser likningssystemet i de oppgitte variablene. Gir nevneren eller fellesnevneren til uttrykket. Finner en numerisk løsning til likningen. Finner en numerisk løsning til likningen med hensyn på variabelen. Finner en numerisk løsning av likningssystemet i de oppgitte variablene. Finne nullpunktene til polynomet. Gir prikkproduktet mellom vektorene. Regner ut b a (uttrykk) Tabell 2: Et utvalg av kommandoer du kan bruke i CAS Eksempel 36 Faktoriser polynomet 2x 3 + 3x 2 32x + 15. 87
11.2 CAS-kommandoer Vi skriver inn Faktoriser[2x^3+3x^2-32x+15] og trykker enter. Vi får at 2x 3 + 3x 2 32x + 15 = (2x 1)(x + 5)(x 3) Eksempel 37 Løs likningen sin(x) + cos(x) = 1. Vi skriver inn kommandoen Løs[sin(x)+cos(x)=1] og får: Merk at GeoGebra bruker radianer som vinkelmål i CAS. Ønsker du å løse likningen med grader som vinkelmål må du skrive x som vist på figuren over. Vi ser at x = 2π ċ n + π 2 eller x = 2nπ. Eksempel 38 Finn eventuelle topp- eller bunnpunkter til grafen til f(x) = xe x. Vi kan definere en funksjon i CAS ved å skrive inn f(x):=x*e^x Vi bruker kolon foran likhetstegnet når vi definerer en funksjon i CAS. Du kan selvsagt også definere funksjonen på vanlig måte i inntastingsfeltet før du jobber videre med den i CAS. I så tilfelle skriver du kun inn f(x)=x*e^x i inntastingsfeltet. Når funksjonen er definert kan vi skrive inn Løs[f (x)=0] og får x = 1 som svar. Det neste vi vil gjøre er å finne punktet på grafen. Siden vi allerede har definert f(x) kan vi nå skrive inn f( 1) og få at bunnpunktet er ( 1, 1 e). 88
11.3 Litt mer om input og output Figur 71: Vi har funnet eksakte verdier med CAS. Oppgave 60 Løs likningssystemet 2y x 2 + 2x = a y 2x = 3 For hvilke verdier har systemet én løsning to løsninger ingen løsninger Oppgave 61 Vi har en stige som er 10 meter lang. Denne skal plasseres opp mot en vegg. Problemet er at inntil veggen står en kasse som er 1 meter høy og 1 meter bred og som vi ikke kan ta vekk. Hva er det høyeste punktet over bakken at stigen kan nå på veggen? Se figur 72. 10 m x m 1 m Figur 72: Stigeproblemet i oppgave 61 11.3 Litt mer om input og output Når vi skal løse litt større oppgaver, slik som den i eksempel 39 er det viktig å få en god arbeidsflyt. Vi har tidligere nevnt at det er unødvendig å skrive opp uttrykk manuelt dersom vi allerede har regnet dem ut i CAS. Her er noen nyttige tips: 89
11.3 Litt mer om input og output Likhetstegn (=) vil skrive inn forrige input Mellomromstast vil skrive inn forrige output Høyreparentes ) vil skrive inn forrige output med parenteser rundt. Du kan referere til forrige output ved å skrive enten $ (for dynamisk output) eller # (for statisk output). Tilsvarende kan du referere til output på rad n ved å skrive $n (for dynamisk output) og #n (for dynamisk output. Forskjellen på disse to er dersom du går inn og endrer på en verdi slik at output på rad n endres, så vil du også få endring i raden du skrev $n i mens du vil beholde den gamle verdien fra rad n dersom du skrev #n. Eksempel 39 La f være en tredjegradsfunksjon som har tre nullpunkt a, b og c. La T være tangenten til f i d = a + b. Hva kan du si om denne tangenten? 2 Før vi går i gang med selve løsningen i CAS kan det være en ide å utforske problemet litt. Vi kan for eksempel se på funksjonen f(x) = (x 1)(x 3)(x 4). I dette tilfellet blir d = 2 og vi kan tegne og finne tangenten ved å skrive inn kommandoen Tangent[2,f] i inntastingsfeltet. y 3 T f 2 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 x Ut fra denne figuren får vi en mistanke om at tangenten vil gå gjennom det tredje nullpunktet. Vi ønsker derfor å bevise dette ved å bruke et CAS! Det første vi gjør er å definere funksjonen ved å skrive inn 90
11.3 Litt mer om input og output f(x):=(x-a)(x-b)(x-c) Vi kan finne tangenten i a+b 2, f a+b 2 ved å bruke ettpunktsformelen. Til det trenger vi f a+b 2 og stigningstallet f a+b. 2 Sistnevnte får vi ved å bruke verktøyet Sett inn. Ettpunktsrmelen gir oss at tangenten har likningen y = a3 + a 2 (b + 2c) + a(b 2 4ac) b 3 + 2b 2 c 8 + a2 + 2ab b 2 4 x a + b 2 På linje 5 på figur 73 har vi definert denne som en egen funksjon g(x). Merk hvordan vi refererer til outputene $3 og $4 i definisjonen av g. Dette gir oss mulighet til finne g(c). Vi ser at svaret blir 0 som forventet! Figur 73: Tangenten til f i middelverdien til to av nullpunktene går alltid gjennom det tredje nullpunktet! Nå finnes det finnes en enklere måte å løse dette problemet på i GeoGebra. Vi kan rett og slett bruke kommandoen Tangent[<punkt>,<funksjon>] som vist på figur 74. Merk at tangenten ikke er en funksjon, men en linje. For å kunne finne y-verdien til denne tangenten når x = c bruker vi derfor verktøyet Bytt ut. 91
11.3 Litt mer om input og output Figur 74: Tangent-kommandoen fungerer i CAS også! For den interesserte leser kan vi også nevne en tredje løsning som like lett lar seg gjøre med papir og blyant. Ved et eventuelt koordinatskifte kan vi anta at nullpunktene er x = ±1 og x = c. Middelverdien mellom de to første nullpunktene er da 0. Vi har altså at f(x) = (x 2 1)(x c). Den deriverte er f (x) = 2x(x c) + (x 2 1). Videre er f (0) = 1 og f(0) = c. Ettpunktsformelen gir oss derfor at tangenten er grafen til g(x) = c (x 0) = c x Vi ser da at g(c) = 0. Smart ikke sant?! Eksempel 40 La f være en tredjegradsfunksjon som har et topp- og et bunnpunkt. La l være linja som går gjennom topp- og bunnpunktet og t være linja som tangerer grafen til f i punktet (m, f(m) der m er gjennomsnittet av x-koordinatene til topp- og bunnpunktet. Vis at forholdet mellom stigningstallene til l og t er 2 3 Vi vet at slike funksjoner generelt kan skrives som f(x) = k(x a)(x b)(x c) + d. Uten å miste generalitet kan vi anta at k = 1 og d = 0 (Hvorfor?). Vi definerer f(x): Skriver inn f(x) og klikker deretter på verkøtøyet Derivert for å finne f (x): 92
11.3 Litt mer om input og output Trykker på mellomromstasten og bruker verktøyet Løs null: for å finne når den deriverte er Output er en liste på formen x =..., x =.... Vi ønsker å regne ut middelverdien til de to uttrykkene på høyresiden av elementene i listen over. For å gjøre dette kan vi først lage en liste som består av høyresiden til de to elementene i output på rad 3: Det neste vi vil gjøre er å finne middelverdien til disse to tallene. Vi gjør dette ved å bruke kommandoen Middelverdi: Bruker kommandoen ByttUt for å bytte ut x med (a + b + c) 3 (det vil si output på rad 5). Vi finner da stigningstallet til tangenten t: Regner ut stigningstallet til linja l gjennom topp-og bunnpunktet: Til slutt regner vi ut forholdet mellom stigningstallene. Disse står nå som output i rad 6 og 7. Skriver derfor inn $7/$6: Vi ser at forholdet mellom stigningstallet til t og l alltid er 2 3. 93
11.4 Oppgaver 11.4 Oppgaver Oppgave 62 Bruk CAS til å forenkle uttrykkene: a) x 12 1 x 4 x 2 + 1 b) (x + 1) 3 x x + 1 Oppgave 63 Løs likningene a) x 2 + 2x 3 = 0 b) e 2x e + 1 = 10 c) x + 18 + x + 3 x + 14 x + 5 = 0 Oppgave 64 Løs likningssystemet x + y + 3 x + y = 18 x y 2 x y = 15 Oppgave 65 Bruk CAS til å faktorisere polynomene: a) P(x) = 2x 4 7x 3 + x 2 + 14x 10 b) Q(x) = x 12 1 c) h(x) = x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 Følgende tre oppgaver er hentet fra utdanningsdirektoratets forslag til ny eksamensordning for videregående skole. Oppgave 66 (1T) En funksjon f er gitt ved f(x) = 2 x(x 1) 3x x + 1 x 2 x Skriv funksjonsuttrykket så enkelt spm mulig, og bestem eventuelle vertikale og horisontale asymptoter for grafen til f. Oppgave 67 (S2) I denne oppgaven skal du finne mønstre og sammenhenger. a) Det minste tallet som kan skrives som summen av to kubikktall på to måter er 1729: 1729 = 1 3 + n 3 1729 = m 3 + (m + 1) 3 Bestem n og m. b) Det eneste kubikktallet som skrives som summen av tre påfølgende kubikktall, er 6 3. Bestem de tre kubikktallene ved å løse en likning. 94
11.4 Oppgaver Oppgave 68 (R1) 12 y S x Et rektangel er innskrevet i en sirkel med sentrum i S og med radius 12. a) Forklar at arealet av rektangelet er gitt ved A(x) = 4x 144 x 2, x 0, 12 b) Bestem det største arealet rektangelet har. Kommenter formen på rektangelet. Oppgave 69 Fermatprimtall er primtall på formen F n = 2 2n + 1. a) Vis at F n er primtall når n er 1, 2, 3 og 4. b) Vis at F n ikke er primtall når n er 5, 6, 7, 8, 9 og 10. I denne oppgaven kan du bruke kommandoen ErPrimtall[<tall>]. Oppgave 70 I denne oppgaven skal vi studere polynomet P(x) = x 2 x + 41. a) Undersøk om P(n) er primtall for n 1, 2, 3,..., 10. b) Finn minste naturlige tall n slik at P(n) ikke er et primtall. Oppgave 71 Finn likningen til vendetangenten til funksjonen f(x) = x 3 ax + b. 95