KAPITTELlO TREKANTBEREGNING

t54 KAPITTELlO TREKANTBEREGNING PYTHAGORAS' SETNING Pythagoras var født ca. 565BC (før Kristi fødsel) på den greske øya Samos i det østre Egeerhavet. Han var den som først oppfant eller brukte ordet "matemitiker". Den ene vinkelen til en rettvinklet trekant er alltid lik 90" (rett vinkel). Summen av vinklene i en trekant er alltid lik 180". I en rettvinklet trekant vil summen av de to splsse vinklene (de som er mindre enn 90") alltid være 90". Før vi gilr videre, setter vi navn på de ulike sidene i en rettvinklet trekant, sett i forhold til en av de to spisse vinklene. Definisjonen er generell og gjelder for begge de spisse vinklene. Vi skal bruke navnet-hypotenus på den lengste siden og kcrtet som fellesnavn på de to sidene som står vinkelrett på hr,erandre. Pythagoras' setning : I en rettvinklet trekcrrt er kvodrotet ov lengden p& hypotenusen lik summen crv kvodrcrtene ov lengdene p& kqtetene. katet 52 :42 + 32 (2s: 16 + 9)

155 Bevis for Pythagoras' setning (det fins mange utgaver) : Areal av stort kvadrat: side ganger side: (a + b). (a + b) Areal av stort kvadrat: 4 ganger areal pltrekant * areal av lite kvadrat =4.I12.a.b+c2 Disse to uttrykkene for arealene er selvfølgelig lik hverandre : (a + b)' (a + b) : 4.,112. a. b + cr(vi regner ut hver av sidene i likningen) a. a* a' b +b. a+b. b : 2ab * cz a'+ zab * b2: 2ab + c' (flytter Zab over påhøyreside og skifter fortegn) a2 +b2 :2ab t c2-2ab (2ab - 2ab: o) Dette gir deg a2 +b2 = c2, hvor a og b er katetene og c er hypotenusen til de 4 trekantene ovenfor. Dermed har vi bevist pythagoras, setning. I en trekant ABC er vinkelene på 30o, 60o og 90". Lengden på BC er 50m. Finn lengden på de andre sidene ved hjelp av pythagoras' setning.

156 Løsning: I en trekant på 30o, 60" og 90o, er hypotenusen dobbelt så lang som den minste av katetene : Dvs at AC :2x og AE : x Pythagoras' setning : (hypotenus)2: (katet t)2 + (katet 2)2, d,ettegir oss videre at AC2=AB2+BC2 Q\)' : :'+ 5o2 (husk at ACL (2x)z ikke er lik 2x2 : (2x)2 : 2x. 2x: 4x2) 4<: t + 502 (nå flytter vi x2 over til venstre side og'skifter fortegn) 4x2-x2:502 3x2:2500 (nå deler vi med 3 på begge sider) 3*' = zsoo 33 (nå forkorter vi 3 på venstre side) x2 : 833,3 (nåtar vi kvadratroten på begge sider) {*'=t[932,3 (kvadratrot og toeråkspongnt utligner hverandre, slik at rfxr: x) x:.f833,3 (på lommeregneren får viat,[g33,3-:2g,9) x:28,9 Svar : AC : 2x:2. 28,9m: 57,gm AB : x:28,9m

157 FORMLIKE TREKANTER Hvis to vinkler i en trekcrrt er lik to vinkler i en crnnen trekcmt, betegnes trekcmtene som formlike Trekant ABC er formlik med trekant DEF : aabd - adef (-, betyr "lik form" og r, betyr "trekant,,), fordi vinkel A og vinkel D er like, samt at vinkel B og vinkel E er like. Hvorfor er vinkel C og vinkel F like også? Trekant GHJ er formlik med trekant GIH : aghi - agih a.tt r-": r*: tt", Sider som ligger ovenfor like store vinkler i hver sine formlike trekcrnter, kqlles scrmsvcrende sider.

158 EKSEMPEL Sidene AC og DF er samsvarende sider (se figur ovenfor). Sidene GH og GI er samsvarende sider : Ligger ovenfor 90" i henholdsvis aghj og rgih. Vi har at trekant GFII er formlik med trekant GIH (se figuren ovenfor). Legg spesielt merke trl rekkeføtgen på bokstavene vi med hensikt har brukt : De to første bokstavene i betegnelsen for de to trekantene gir oss de samsvarende sidene GH og GI (begge sidene ligger ovenfor en rett vinkel). GJ og GH er også samsvarende (første og siste bokstaver). HJ og IH er det siste par samsvarende sider (to siste boksiaver). Dette leder til selveste "skinkeboksen" når det gjelder formlike trekanter (se under). SKINKEBOKS :Æle pcr sqmsvorende sider hcn scnnme forhold. Dette faktum kan vi bruke til å beregne lengden til en side i en trekant.

159 EKSENÆEL Vi skal beregne siden HJ: x. Løsning. aghj - rgih (samsvarende sider er skrevet med fete typer). Dette gir oss : forholdet mellom de samsvarende sidene GH og GL GH = 3 GI 5 aghj - agii{ (samsvarende sider er skrevet med fete typer). Dette gir oss : forholdet mellom de samsvarende sidene HJ og IH, HJ = * IH4 Siden vi har SKINKEBOKSEN "olle por sqmsvcrende sider hcn scnnme forhold,, kan vi sette forholdene lik hverandre og få en likning som vi kan løse med hensyn på x : siden forholdene er like, far vi.. * = 3 45 vi ganger likningen med 4 på hver side for å forkorte nevneren 4:

160 x-' a = 1. + (nå kan vi forkorte 4 på venstre side) 45 ^5 * = -. 4 (4 ganges rett i telleren) 5 l2 f,= =2.4 f Svar : Siden HI :2,4

t6i KAPITTEL 11 NAS.TOilALE - OG IRRASJONALE TALL (REELLE TALL) Til nå har vi jobbet med de hele tallene '.2: {...-3,-2,-1,0,I,2,3...},brøker,kvadratrøtter og tallet x : 3,14 i forbindelse med sirkelberegninger. Et tall kan være enten et rasjonalt tall eller et irrasjonalt tall i kurset vårt. Tilsammen utgjør de rasjonale - og de irrasjonale tallene de såkalte reelle tallene. De reelle tallene, dvs. mengden de rasjonale og de irrasjonale tallene, tilsvarer punktene på den reelle tallinjen. Punktene på tallinjen regnes som dimensjonsløse, dvs. de har ingen utstrekning. Dessuten ligger de "tett i tett", og siden de ikke tar plass finnes det ikke noe "nabopunkt". På grunn av dette er det like mange punkter mellom 0 og 1 som det er på hele den reelle tallinjen (*). Den reelle tallinje 3/4 EKSEMPF,I, Ethvert reelt tall kan uttrykkesi desimal.form, for eks. 19110: 1,9,71100: 0,07, 115 :0,2, 116:0,16666... Når det gjelder et rasjonalt tall vil sifferene enten stoppe, eller at ettall eller en gruppe av tall gjentar seg systematisk i rekkefølge, som for eks. i Il7 : 0,142857 142857 142...For et irrasjonalt tall kan denne type systematiske repetisjoner ikke forekomme (ingen har settdettilnå),foreks.,[2:l,414213562,...ellertallet pi:r:3,14159265358979323 846...(22 siffer av en uendelig følge). Som vi skal se nedenfor, kan ethvert rasjonalt tall skrives som en endelig - eller uendeligperodisk desimalbrøk.for eks. har den periodiske desimalbrøken 13133 :0,393939393939...tal\et39 som periode. Som du ser, går ikke brøken opp, slik at en avbrutt desimalbrøk bare er tilnærmet riktig. (*)I forbindelse med uendelige mengder fins det mange paradokser og såkalt "common sense" råder ikke der. Georg Cantor (1845-1918), grunnleggeren av mengdelæren, opererte med ulike uendelige mengder (han kalte dem "uendelige klasser") : De tellbare og de som ikke er tellbare (de tellbare lar seg nummerere nred de naturlige tallene '. T,2,3,4,5...osv.). Selve definisjonen hanga på "uendelige klasser" er selv et kjempeparadoks : "Det hele er ikke større enn noen av sine deler". Dvs. det fins delkomponenter til en "uendelig klasse" som er akkurat like stor som klassen selv. Det er slett ikke lett å forstå at for eksempel klassen bestående av alle partall {2,4,6,8,10,12...} kan f ernes fra klassen til de hele tallene, uten at det påvirker "antallet" (kardinaliteten) på klassen til de hele tallene.

162 Innføringen av brøker gir oss anledning til å definere de rasjon ale tall ("fornuftige tall"). Definisjon Et rasionalt tall er påformen m/n, hvor m og n er hele tall. n kqn ikke være tik nu7. : Alle hele tall er ifølge denne definisjonen rasjonale tall, men ikke omvendt. For eksempel er -3 3ll ph formen m/n, hvor m: -3 (helt tall) og n: 1 (helt tall) slik definisjonen krever. Il2 er et rasjonalt tall, men ikke et helt tall. ll2kanogså skrives som desimalbrøken 0,5 : - : 0,5=0.1+5 I =0* l0 5 5.t l0 5.2 -=-=_ I 2 Alle rasjonale tall kan som sagt skrives som en periodisk desimalbrøk. Systematikken på siflerrekkefølgen er grunnen til fellesnavnet rasjonale tall (av latinratioiqlis. fornuftigeller logisk). Men til manges ergrelse er ikke alt fornuftig i vår verden, det gjelder også for tall. De irasjonale tallene - de ufornuftige tallene - lar seg ikke uttrykke på foåen m/nl hvor m og n er hele tall. De rasjonale - og irrasjonale tallene har fellesbetegnelsen reelle tall (betegnes rn"å n;. Før vi går videre serverer vi en liten repetisjon som vi får bruk for senere. "Kvadratroten av et tall er det tallet som ganget med seg selv gir tallet". For eksempel er kvadratroten av 4 lik 2, dvs.,[ 4 : 2, fordi 2. 2 : 4 som er det samme rorn.f+. {4: 4. To vanlige eksempler på irrasjonale tall er Wadratroten av 2, rl-2: T,414 23... og tallet pi : I, 159 265 358 979 323 846...(22 siffer av en uendelig følge). La oss ta en gjenno*gung uv tallet pi først. :3,14 Hvis vi tenker oss for enkelthetens skyld, at lengden på diameteren til en sirkel er lik l, så vil forholdet mellom omkretsen til sirkelen og dens diameter (omkretsen delt på diameteren), være liktallet n=3,14... I praktisk måling byr dette på et problem, fordi tallet n er et irrasjonalt tall. Sagt på en annen måte, hvis vi retter ut en sirkel til et rett linjestykke og bruker diameteren til å ååie lengden av linjestykket (som tilsvarer omkretsen til sirkelen. "En gang rundt stadion"), ville det være ideelt at at lengden på diameteren og lengden på denne utbrettede sirkelen hadde et felles måi. Men problemet er, at det ikke fins noen brøkdel av diameteren, for eksemp el Il3 av diameteren, som du kan gange opp med et helt tall, for eksempel 9 ganger 1/3 som er lik 3, slik at resultatet blir dennøyaktige lengden på omkretsen. Vi sier da at diameteren og omkretsen ikke harll3 som felles måi. Det finnes desverre ikke noen andre felles mål heller. Poenget er atbrøken9l3 er et hyggelig rasjonalt tall som ikke fikser den jobben. Ikke noen andre hyggelige rasjonale tall fikser jobben heller, det vil si at det ikke fins tall på formen m. Iln, hvor l/n er.n b.rtd.l av diameteren og m er et helt tall, slik at produktet blir lik omkretsen på sirkelen. Telling er ikke stort verdt her. Det er her historien om Archimedes (ca.287?-2i2 før kristi fødsel) og de gamle grekerene kommer inn i bildet. På den tiden brukte man betegnelsen inkommens:urabie (av latin mensura,

r63 mål : ikke sammenlikbare eller ikke målbare) størrelser på irrasjonale tall. Rasjonale og irrasjonale størrelser har ikke noe felles måi. Man ville den gangenhelst kvitte seg med Oe intommensurable størrelsene (tankegangen er vel ikke helt ukjent). Men Archimedes traåde på følelsen at rdisse størrelsene også fortjente å kalles for tall, dvs. at de hadde en tallverdi Han mente at irrasjonale tall "ligger mellom" de rasjonale tallene (dette gir mening hvis vi tenker på tallinja). Oa han jobbet med problemet "hva diameteren i en sirkel må ganges for å få omkretsen", fant ian at det søkte tallet måtte ligge mellom tallene 3 + IOlTl og 3 + 10170, dvs. mellom 3,140g4507 og 3,L42857l42.Dette stemmer godt med den "virkelige" verdien3,l4 r5g 265... I gamle dager regnet matematikere og andre regnekyndige ut sifferene for hånd. Utregningen av hvert siffer tok grusomt lang tid. En engelsk matematikei, Shanks. regnet ut fantastiske 707 siffer for tallet n i 1873. Kraftige datamaskin er har regnet ut svimlende : O millioner siffer for pi, men et system på sifferrekkefølgen kan man skyte en hvit pil etter. En pekepinn om hvor krevende utregningen av Ic er, får du ved å sufirmere flere og flere ledd i den uendelige rekkennedenfor : TE 4 _r I 3 I 5 I 7 I 9 I ll Legg merke til systematikken på brøkenhetene. Du får neste ledd i rekken ved å øke nevneren med 2 og skifte fortegn. Nevnerene er en følge av oddetall. Jo flere ledd du trekker sammen (og ganger med 4), desto nøyaktigere blir verdien til n. Rekken stammer fra den tyske matematiker og diplomat Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Historien om kvadratroten av 2, r[2, har sine røtter langt tilbake i tiden. De gamle egypterene var dyktige landmålere.tre tusen år gamle egyptiske veggmalerier viser landmålere som strekker et tau med 12 knuter som har samme avstand, rundt to pinner. Resultatet blir en rettvinklet trekant hvor sidene har lengdene3,4 og 5, hvis lengden mellom to knuter tilsvarer lengdeenheten 1. En egvptisk trekant får man ved å strekke en snor med L2 knuter rundt to pinner Pythagoras' (569-500 før kristi fødsel) setning sier at "kvadratet på den lengste siden (hypotenus) i en rettvinklet trekant er lik summen av kvadratene på de andre sidene (katetene)". For trekanten med de TZ knutene som vi nettopp nevnte, ffirvi likningen 5. dvs. kvadrattallet2l (kvadratetav hypotenusen) er lik kvadrattallet 16 (kvadratet på den lengste kateten) pluss tvadr attallet 9 (kvadratet på den minste kateten). 5:4.4+3.3,

r64 Hvis vi nå tenker oss en rettvinklet trekant hvor katetene (sidene som står vinkelrett på hverandre) settes lik 1, så er spørsmålet : Hva blir lengden på den lengste siden? M må finne et tall a som ganget med seg selv er lik summen av kvadratene på katetene, dvs. a. a = I ' 1 + 1 ' 1 : 2. Utfra definsjonen på kvadratrot vet vi at kvadratroten av 2, t[2, er et slikt tall :,[z',[z:2. Men,[2 er ikke et rasjonalt tall. Man kan ikke måle lengden på hypotenusen til denne trekanten i forhold til lengden på en katet (: 1).Pytagoreerne(et selskap dannet av Pythagoras'lærlinger) kjente til eksistensen av dette tallet sammen med andre irrasjonale tall. De (ente også til beviset for at,[2 er irasjonal. For plthagoreerne var matematkk en halvreligiøs kult (fornuften ble opphøyd til religion), og oppdagelsen av de irrasjonale tallene rev grunnen under deres etablerte måte å tenke på. De hadde betraktet de hele tallene som det fundamentale. De avla ed på å holde oppdagelsen hemmelig. Vi skal avslutte tallodyseen vår med å bevise atr[2 er et irrasjonalttall, dvs. at tallet ikke kan skrives på formen m/n, hvor m og n er hele tall (n er ikke lik 0). For det første, kvadratrote n av 2 kan ikke være et helt tall, fordi det ikke fins hele tall som ganget med seg selv er lik 2. Det betyr at n-heller ikke er lik 1, fordi m/n da ville være lik m som er et helt tall. I beviset vårt går viut i fra atr[2 er et rasjonalt tall, og viser at resonnementet ender i en selvmotsigelse. Vi setter,l; = m n,,[2, far vi 'l; l; mm =-.- nn hvor brøken er mest mulig forkortet (teller og nevner har ingen felles faktorer). Hvis vi kvadrerer Siden,f Z'r[Z:2 ogproduktet av to brøker er lik "teller gangetmed teller" og "nevner ganget med nevner", får vi m,m n'n Nevneren kan ikke være lik 1, siden n ikke er lik l(se ovenfor). Hvis brøken skal være lik 2, måt nevneren kunne forkortes (telleren må ha n. n som faktor). fordi2 er et helt tall. Men forutsetningen var nettopp at m og n ikke hadde felles faktorer (de kunne vi jo ha forkortet med en gang), dermed lar brøken seg ikke forkorte og antagels en at r[2 er et rasjon alt tall holder ikke

KAPITTEL 12 TRIGONOMETRI (trekantberegning ved hjelp av cos, sin og tan) 165 Trigonometri betyr trekantmåling eller trekantberegning. Trekantmåling er å måle sidene og vinklene i en trekant. Lengden på sidene i en trekant på et stykke papir kan måles med en linjal, mens størrelsen på en vinkel kan måles med en gradskive. Trekantberegninger foretas blant annet ved hjelp av Pytogoros' setning, rr\ \\' /-------r )\ r \ Da er det vel bare å måld i \,/ *', F-;: Vel!!,-/ -!--, lrekanmalms,,-/ /----\ 1 \ --,---/,/\er Landmåler T. Rekant en praktisk mann. ensformede trekanterog de trigonometriske funksjonene cosinus, sinus og tcmgens til en vinkel. Det er de trigonometriske funksjonene vi skal lære om i dette kapittelet. Innenfor landmåling brukes en teknikk som kalles triangulering. Her bygges det opp et såkalt triangelnett som er linjer mellom terrengpunkter : I forhold trl ennøyaktigfastlagt grunnlinje kan et tredje punkts nøyaktige beliggenhet beregnes ved å måle horisontal- og vertikalvinklene til punktet. Vinklene og avstandene måles effektivt med teodolitten og tachymeteret. I åpen sjø er det mulig å bestemme posisjonen til et skip ved hjelp av en sekstand som er et instrument til å måle høydevinkelen mellom horisonten og sola. Ved å foreta flere slike beregninger er det mulig å beregne skipets posisjon. Kunsten å bestemme et skips posisjon og kurs kalles for navigasjon (fra det latinske ordet navigare som betyr å seile). De trigonometriske funksjonene som vi skal introdusere, brukes til å beregne størrelsen på vinkler og lengden på sidene til rettvinklete trekanter. NA'\TNSETTING PÅ SIDENE I EN RETTVINKLET TREKANT Den ene vinkelen til en rettvinklet trekant er alltid lik 90" (rett vinkel). Summen av vinklene i en trekant er alltid lik 180". I en rettvinklet trekant vil summen av de to spisse vinklene (de som er mindre enn 90") alltid være 90". Før vi går videre, setter vi navn på de ulike sidene i en rettvinklet trekant, sett i forhold til en av de to spisse vinklene. Definisjonen er generell og gjelder for begge de spisse vinklene.vi velger en gammel kjenning som utgangspunkt, nemlig en trekant på 30o, 60" og 90". Vi skal bruke navnet hypotenus på den lengste siden og kotet som fellesnavnpå de to sidene som står vinkelrett på hverandre. Navnene hosliggende kcrtet og motstående kotet refererer

166 alltid til en spesiell vinkel : Hypotenu Hosliggende katet til 30 grad. Hypotenus Motstående katet til 60 grad. Motstående katet til 30 grad. Her refererer katetene seg til vinkelen på 30 grad. Hosliggende katet til60 grad. Her refererer katetene seg til vinkelen pl 60 grad. Husk at navnsettingen gjelder for alle mulige spisse vinkler v i en rettvinklet trekant, ikke bare for vinkler på 30"og 60". Betegnelsen rabc betyr at vi har en trekant med tre hjørner A, B og C. En vinkel som for eksempel betegnes I BAC, er en vinkel med vinkelbeinene AB og AC som stråler ut fra toppunktet ihjørnet A. I trekanten nedenfor er I BAC : 60o. Dersom det ikke er fare for misforståelse, skriver vi kort og godt ta: 60,. En viktig egenskap for rettvinklete trekanter er at størrelsen til de to spisse vinklene bestemmes helt av lengden på sidene i trekanten. Dette kan illustreres ved å se på trekanten nedenfor : I en trekqnt med vinklene 30o, 60o og 90o, er olltid lengden p& den lengste siden (hypotenusen) dei dobbelte ov lengden på den minste koteten. Kort skriver vi at AC :2AB Ved hjelp av likningen kan vi regne utforholdstallet AB/AC på en enkel måte. Dette tallet skal vi bruke nedenfor. Først setter vi AB : x, slik at AC = 2x. Dette gir oss A AB= AC x =l.x 2x 2.x = l =0,5 2

t67 Forholdstallet AB/AC kan vi knytte til hver av de spisse vinklene. Hvis vi for eksempel knytter det til la: 60o (se siste figur), vil forholdstallet AB/AC være det samme som "lengden til hosliggende katet til vinkel A delt på lengden til hypotenusen" (AB er den hosliggende kateten til vinkel A og AC er hypotenusen). Dette leder oss følgende definisjon, som skal være foreløpig smakebit : Lengden til den hosiiggende koteten til en spiss vinkel v delt på lengden til hypotenusen kalles for cosinus til vinkelen v og skrives cos v. (de trigonometriske funksjonene sin, cos og tan skal vi komme tilbake til) Dette kan vi bruke til å finne en ukjent vinkel v hvis vi vet cosinus til vinkelen. I vårt tilfelle har vi altså cos 6o' = AB = 0.5 AC Hvis vi ikke hadde kjent vinkelen, kunne vi ha kalt den for v og skrevet cos v: 0,5. Lommeregneren vår kan automatisk gi oss at vinkelen v da er lik 60". Lommeregner Casio CFX-9850GB PLUS : Start lommeregneren ved å trykke på AC/ON. Velg RUN på menyen ved hjelp av piltastene og trykk EXE. Trykk på SHIFT og cos (dette aktiviserer den omvendte funkslonen til cosinus, cos-t. Mer om det senere) og tast inn 0,5 og trykk EXE, slik at 60 vises på displayen (Rekkefølgen på inntastningen kan også være omvendt, avhengig av lommeregneren : Tast inn 0,5 og trykk på SHIFT og cos tasten. 60 vises på displayen. Husk at lommeregneren må være innstilt på grader (GRAD) NB! Før du går videre må du sjekke at lommeregneren er innstilt på grader (ikke radianer, som er et annet vinkelmål). Nedenfor viser vi hvordan du gsør dette. Lommeregner: SI{IFT MENU Bruk så piltast nedover til du kommer til linja Angle : Rad (eller Deg som det skal stå i vårt tilfelle) Nederst på skjermen ser du tre innstillinger som du kan velge mellom Deg Rad Gra Du velger Deg (ikke velg Gra som er noe annet) ved å trykke Fl. Nå skal det stå. Angle : Deg (trykk på EXE for å komme ut av menyen) Nå vil lommeregneren fortsette å bruke grader, selv om den har vært avslått.

168 COSINUS, SINUS OG TANGENS Nå er vi klare for definisjonene på cos, sin og tan til en vinkel (hold øye med figur på side 166). I en rettvinklet trekcrnt er cos, sin og tcm til en spiss vinkel, I v, definert ved: cos v SlnY= tanv = lengden av hosliggende katet til vinkel v lengden av hypotenasen lengden av motstående katet til vinkel v lengden øv hypotenusen lengden av motstående katet til vinkel v lengden av hosliggende katet til vinkel v Kommentar; Vinkelen v kan ikke være lik 0" eller 90" ved bruk av disse definisjonene. Definisjonene kan utvides til å gjelde vinkler som er srørre eller lik 90" og mindre eller lik 0". På lommeregneren kan du for eksempel regne ut tan(-45") : -1. EKSEIVTPEL Vi har en trekant på 30", 60" og 90" (gammel kjenning) AC : 6 cm, BC : 3 cm' 1) Finn lengden av AB vecl hjelp av pytcrgoros' setning (gammel plageånd fra ungdomsskolen). 2) Finn cos, sin og tan til I A og I C ved hjelp av sidene i trekanten. 3) Finn til slutt cos, sin og tan til 30" og 60" direkte ved hjelp av lommeregneren uten å bruke definisjonene.

r69 Løsning på 1): Pytagoras' setning sier: (lengden p& hypotenusen)z : (lengden p& kotet)2 + (lengden p& kotet)2 Hypotenus : AC : 6 cm, katet AB : x og katetbc : 3 cm. Vi setfer verdiene inn t setntn AC2:AB2+BC2 Erstatter AC med 6, AB med x og BC med 3 62:x2+32 62: 6. 6:36 og32 :3.3 :9 36:v2+9 36-9:x2 36-9:21 Vi flytter 9 over på venstre side og bytter fortegn 2'7 : x2 Anvender kvadratroten på begge sider,[27 : rfxt Regel : "Toer-eksponent spiser opp kvadratroten". Dette gir atrfxz : x På høyre siden Venstre side gir al't[27 : 5,2 \) X Svar : Lengden på siden AB er altså 5,2 cm. Løsning pe4'.. hosliggende katet = AB = 5,2 = 0,g6g7 cosl =--ffi"*n^ = AC 6 sinr4 - motståendekatet = BC = 3 =! = 0,5 hypotenus AC 6 2. motstående katet BC? tan A - :::::"*:-- = - - -:- = 0.5769 hosliggende katet AB 5,2

t70 BC cosl=-= AC AB slnl=-= AC -AB tanc=_= BC 3 = 1=0,5 62 5,2 = 6 <) -= J 0,8687 1,7333 Den siste oppgaven (oppgave 3), kan du gsøre selv og sammenlikne. Kommentar : I eksempelet ovenfor var det strengt tatt ikke nødvendig å bruke pytagoras' setning for å beregne lengden av AB. Vi kunne ha brukt hvilken som helst av de trigonometriske likningene i eksempelet som inneholder AB : For eks. tanc: ABÆC : 1,7333 <+AR : 1,7333. 8C : 1,7333 '3 : 5.2 (etter forhøying). Legg merke til at tan C : tan 60o: I,7333 får vi rett ut av lommeregneren. I neste avsnitt skal vi vise hvordan sidene i en rettvinklet trekant kan beregnes på den måfien. BEREGNING AV SIDER Når vi beregner sider ved hjelp av de trigonometriske funksjonene cos, sin, og tan til en vinkel, må vi kjenne minst en spiss vinkel (mindre enn 90") og en side i en rettvinklet trekant. F,KSF,MPtr,T, Vi skal måle bredden av en elv. Strekningen AB er nøyaktig målt til 100m. Vinkel A er 90". Vinkel B kan vi måle ved hjelp av en transportør og en dreibar siktepinne. Vinkel B måles til 40". Nå kan vi beregne lengden AC som er bredden på elva (ikke bry deg om målestokken). IanB = bredden på elva 100 Vi erstatter tan B med tan 40o. tan 40o : 0,8391, finner vi på lommeregneren. Siktcpinnb tan 40, _ bredden på elva 100 blir til bredden 0-g-1gl - på elva ' 100 Vi ganger med 100 på begge sider for å bli kvitt nevneren. Dette gir 0,8391 ' 100 : bredden på elva, dvs. 83,91 : bredden på elva. Svar : Bredden på elva er ca. 8m.

t71 EKSEMPEL Hvor lang skygge kaster en bygning som er 45mhøy, når sola stårr 23,1o over horisonten? Løsning. Lengden av skyggen er lik AB : x. Tangens til en vinkel er definert som lengden av motstående katet delt på lengden av hosliggende katet. Det er derfor naturlig å beregne tan 23,1' i dette tilfellet. tan 23,1o = BC = 45 ABx tan23,l' :0,4265 finner vi ved hjelp av lommeregneren. 0,4265 = 45 x Vi multipliserer med x på begge sider av likningen 0,4265'*=45 * )c Nå kan vi forkorte x i teller og nevner på høyre side 0,4265 'x:45 Deler med 0,4565 på begge sider 0,4265 x = 45 0,4265 0,4265 Etter å ha forkortet 0,4265 i teller og nevner på venstre side får vi x x: 105,5 Skyggen: AR : x Svar : Skyggen er altså 105,5m lang.

172 EKSE]\æEL Nedenfor har vi tegnet en rettvinklet trekant med AB : 4 cm og I C: 55o. Finn lengden på AC. Løsning. Sinus til en vinkel er lik lengden av motstående katet delt på lengden av hypotenusen. AC : x. sin 55o = sin 55":0,8192 beregner vi ved hjelp av lommeregneren Dette gir oss en likning som vi løser mhp. x. 0,8192 4 x Vi multipliserer med x på begge sider av likhetstegnet L 0,8192'x=.r x 0,8192'x: 4 Vi forkorter x i teller og nevner påhøyre side av likhetstegnet Og så er det bare L dele med Q,8I92 Påt begge sider av likhetstegnet 0,8192. x 0,8192 0,8792 x: 4,8828 AC=x Svar : Lengden av siden AC er lik 4,9 cm (etter forhøying). Forkorter felles faktor på venstre side av likhetstegnet. På høyre siden får vi 410,8192: 4,8828

t73 FKSF,MPtr-T, En stige står stilt opp 40 cm fra en vegg. Helningen med bakken er 75o Finn lengden av stigen. Løsning : Lengden av stigen er lik AC: x cm. Cosinus til en vinkel er lik lengden av hosliggende katet delt på lengden av hypotenusen. C I "ll Å A40B cos 75o = AB = 40 ACx cos 75o : 0,2588 beregner vi ved hjelp av lommeregneren og får en likning som vi løser mhp. X. 0,2588 = 40 x 0,2588'x=40'* x Vi ganger med x på begge sider av likhetstegnet Forkorter felles faktor x på høyre side av likhetstegnet 0,2588x : 40 Deler med 0,2588 på begge sider av likhetstegnet 0,2588. x 40 =- 0,2588 0,2588 Forkorter felles faktor 0,2588 på venstre side. På høyre side : 40/0,2588 : 154,5595 x: 154,5595 Lengden av stigen: AC : x Svar : Stigen er 154,6 cm lang. I neste avsnitt skal vi beregne vinkler ved hjelp av de omvendte funksjonene til cos, sin og tan til en vinkel v. De betegnes cos-t, sin -log tcrn-i.

174 BEREGNING AV VINKLER De omvendte funksjonene til cos, sin og tan til en vinkel v, cos-10 sin -1 og tan-l, kan vi bruke til å finne en ukjent vinkel v, ved å anvende de på verdien til cos v, sin v eller tan v. cos -l cosv -0 rof. Tallmøl's omvendte EKSEl\æEL La oss anta vi skal finne en ukjent vinkel v. Det eneste vi vet er at cosinus til denne ukjente vinkelen v er lik 0,5, dvs. cos v: 0,5 Oppgaven blir nå å finne vinkel v. Løsning : Vi anvender den omvendte funksjonen til cos v (som er lik cos-l) på 0,5 ' cos-t 0,5 : 60o (utregnet på lommeregneren, se under) Dette gsør du slik på lommeregneren(casio) : Du aktiviserer funksjonen cos-t ved å trykke ørst på SI{IFT og så på cos (cos-t-tegnet står som regel over cos-knappen). Til slutt taster du inn 0,5 (cos v: 0,5) og trykker På EXE. Svar : Vinkelen hvis cosinus er lik 0,5 er v: 60o. EKSEI\æEL Hvis vi anvender funksjonen cos v på vinkelen v: 60o fra forrige eksempel, {år vi ved hjelp av lommeregneren :

175 cos 60o = 0,5 Dette svaret bekrefter at cos og cos-t er omvendte funksjoner av hverandre. Casio lommeregner : cos 60 EXE (skjermen viser 0,5). Oppskriften for Lfinne en vinkel v er klar '. "Kost cos v opp i den omvendte fi.rnksjonsmoskinen (se tobellen nedenfor) og ut skvetter vinkelen v igjen". Enkelt? Formelt kan vi skrive resultatene fra ovenfor slik cos v sln v tan v cos-l(cosv) : v sin-l(sinv) : v tan-l(tanv) : v HUSK : Vær oppmerksomph at -1 ikke er en eksponent slik som i potensen 2-r : ll2. For eks. er cos-t ihke lik cos-t : l/cos, men er en egen funksjon. Vi repeterer at lommeregneren må være innstilt på gradet (GRAD). EKSEVFEL I den rettvinklete trekanten nedenfor er AB :7 cm og BC :2 cm. Finn vinkel v. Løsning : Tangens til en vinkel er lik lengden av motstående katet delt på lengden av hosliggende katet. Derfor er det naturlig å anvende tanpl vinkel v (finne tan til v). BC2-- tanv=";=a=0,2857 /'.' 7cm B -.::1) tt --,1 A C ) I 2 cm Den omvendte tangensfunksjonen anvendt phtanv (dvs. anvendt ph0,2857) gir oss vinkelen v som vi ønsker å finne. Bruk tan-l funksjonen på lommekalkissen til dette. Løsning : Still lommeregneren på GRAD (se side 167)' v: tan-l(tan v) : tan'r 0,2857 : 15'

T76 Svar : vnkelen v i trekanten ABC er lik 15" (det står l5 på displayen). Kommentar. Legg merke tit at tanv er det safilme som stigningstallet trl den rette linja gjennom AogC. vi prøver oss med en liten oversikt igjen (det safilme som er sagt ovenfor) Vnkel v med benevningen grader slenges ned i for eks. cosinus-maskinen og ut kommer cosinus til vinkelen som er et ubenevnt tall. Det ubenevnte tallet cos v fortsetter inn i den omvendte cosinus-maskinen og ut kommer vinkelen igjen...,v (tall med benevningen grader), cos v (ubenevnt tall) (tall med benevningen grader) AREALSETNINGEN Grunnlinjen t entrekant kan velges fritt som en av sidene i trekanten. Høyden i trekanten står alltid vinkelrett på grunnlinjen. g : grunnlinjen B h : høyden

t77 I den rettvinklete trekanten til venstre på forrige side er den ene av katetene grunnlinjen og den andre er høyden. I trekanten tilhøyre hvor alle vinklene er spisse har vi valgt AB som grunnlinje. Norm alenfra hjørnet C nedfelt på AB blir den tilsvarende høyden. Arealet av et rektangel (firkant med fire rette vinkler) er lik lengden av den ene siden ganget med lengden av den andre siden For rektangelet (halvparten av rektangelt er stiplet) til venstre ovenfor tilsvarer det grunnlinjen ganget med høyden i trekanten. Diagonalen i et rektangel deler rektangelet i to like trekanter. Dette gir oss følgende resultat : Areolei, F, crv en trekont er lik holvporten ov grunnlinjen gonget med høyden: p=!sh 2 Setningen gjelder for alle typer trekanter. La oss finne et uttrykk for grunnlinjen g og høyden h. Høyden h i trekant ABC (se figur på forrige side) inngår i uttrykket for sinus til vinkelen v i samme trekant..h AC Vi ganger med AC på begge sider (sinv).ac=l.ec AC AC'sinv:h Forkorter felles faktor AC på høyre side. Snur rekkefølgen på faktorene på venstre side h: høyden i trekant ABC Grunnlinjen g i formelen for arealet F et stykke ovenfor tilsvarer siden AB i trekanten ABC (se figur på forrige side). Samlet har vi derfor at g: AB Grunnlinjen i trekant ABC h:ac'sinv Høyden i trekant ABC

178 Sett gi hilnnlu kket for arealet F til en treka far VI p=!.g"h Erstatter g med AB og h med AC. sin v I =-r'ab-ac.sinv 2 Arealet F i en trekant ABC. v er mellomliggende vinkel til sidene AB og AC På grunnlag av dette kan vi formulere oreqlsetningen : Areolet F ov en trekcmt ABC er tik holvpcrrten ov produktet ov to sider og sinus til mellomliggende vinkel : 1 F = i-. AB. AC' sinv 2 Kommentar : Husk regelen er generell og gjelder for qlle par av sider i en fritt valgt trekant. For eksempel får vi det samme arealetf. hvis vi bruker vinkel ABC (l ABC) istedenfor vinkel v : F : Il2' AB.BC. sin (l ABC) Se figur ovenfor et sted. EKSEMPEL Vi har en trekant ABC hvor AB : 7,8 cm, BC : 5 cm og AC : 4 cm. Vinkel C (lc) er lik 1200. Oppgave : Finn høyden h i trekanten. Løsning ' 4 cm,, Her har vi to sider, AC og BC, og deres.,a mellomliggende vinkel, I C: 120". Disse A opplysningene tilsier at vi kan bruke arealstningen. Dessuten vet vi at arealet av en trekant er lik grunnlinjen ganget med høyden delt på z \Å setter de to uttrykkene for å beregne arealettil en trekant lik hverandre og løser likningen mhp. h

179!sh= 2 ) n, BC (sin t2u) Erstatter g: AB med 7,8, AC med 4,BC med 5 og sin 120" med 0,8660 (sin 120" er funnet med lommeregner)!.r,t = 1.4.5.0,8660 )1 -- lr 2 :-. 7,8-2. -. 4. 5. 0.8660 22 Vi multipliserer med 2 påbegge sider av likningen Forkorter felles faktor 2 i teller og nevner på begge sider 7.8.h:4.5.0,9660 Høyre siden : 4' 5 '0,8660 : I7,32 7,8 h:17,32 Deler med 7,8 på begge sider av likhetstegnet 7,8.h _17,32 7,8 7,8 h:2,2205 Gjett hva som kan forkortes? Høyre siden er dessuten lik I7,32 I 7,8 : 2,2205 Høyden i trekanten ABC Svar : Høyden i trekanten ABC er 2,2 cm LØ S TE EKSAMENS OPPGA\ER Eksamen våren 1993 (emneområde 2) Oooqave 6 Avstanden mellom to fyrtårn A og B er 30,0 km. Siktelinja gjennom A og B danner 48,0o med nordlig retning. Ved et bestemt tidspunkt er et skip i posisjonen P slik at PB danner 73,0o med nordlig retning. PA danner 138,0" med nordlig retning. Se figuren. a) Vis at I PAB :90" Løsning : Tegn beregningene inn i figuren etter hvert! Vet du hvor stor en vinkel på 180" er? Se tegningen. IAPC: 180"- I38':42'. Summen av vinklene i en trekant er lik 180". Anvender vi dette på trekani APC (AAPC) får vi Nord B (fyrtårn)

180 IPAC: 180o - 42o - 48o: 90o Svar : IPAB: 180'- 90o:4o (se tegningen). b) Regn ut avstanden til hvert av de to fyra. LØSNING : Vi skal altså finne lengden av PB og PA. IAPB : 138o- '73o: 65" Tangens til en vinkel er lik motstående katet delt på hosliggende katet. I trekant ABp er tangens til vinkel APB det samme som AB ÆA. tantapb=tan65o=ab = 30 PA PA tan 65":2,1445 finner vi på lommeregneren.vi setter dette inn og ffir en likning som vi kan løse mhp. PA 2,1445 30 =_ PA Vi ganger med PA på begge sider av likhetstegnet 2,1445.PA=3o.p.l PA 2"1445.PA:30 2,1445. PA = 30 2,1445 2,1445 Vi forkorter felles faktor PA på høyre siden \å er desverre nødt til å dele begge sider av likhetstegnet med 2,1445 Forkorter felles faktor 2,1445 på venstre siden. Høyre siden : 30 I 2,1445:13,9893 PA: 13,9893 Avstanden til fyrtårn A Svar : Nå gjenstår det å finne avstanden fra skipet til fyrtårnet B, dvs. finne lengden på PB. Sinus til en vinkel er lik mot.rtående katet delt på hypotenusen. På figuren tilsvarer dette

181 sin65o =AB PB sin 65o: 0,9063 (funnet på lommeregneren) 0,9063 =AB PB 0,9063 PB = AB.pa PB Ganger med PB på begge sider av Forkorter felles faktor PB på høyre side 0,9063 'PB : AB Erstatter AB med 30 (gitt i oppgaven) 0,9063.PB :30 Deler med 0,9063 på begge sider 0,9063. PB = 30 0,9063 0,9063 PB : 33,1016 Vi kan atter en gang forkorte felles faktor på venstre side. Høyre side er lik 33,1016 Avstanden til fyrtårn B Svar : Avstanaen na stioet En liten øy H ligger 18,0 km fra A og 12,0 km fra B. Nord c) Regn ut vinkelen som linja PH danner med nordlig retning. LØSNING : Vi finner først zaph : v Siden trekant AHP er rettvinklet kan vi benytte oss av tangens-definisjonen til en spiss vinkel (mindre enn 90"). ens til tll en vinkel vmkel er definert detmert som lengden av motstående katet delt på hoslieeende katet : tan v =AH PA Erstatter AH med 18 og PA med 14 l8 =- l8li4: tan v I,2857 14

T82 tan v = 1,2857 Hvis vi anvender den mystiske motsatte funksjonen tanl på 1,2857, år vi vinkelen v. La lommeregneren stå på GRAD! Lommeregneren gir oss Svar:Vntetenmettomnor v: tan-l(1,2857): 52,Io (displayen viser ingen benevning).t3o + 65o- v: 138o - 52,I":85.9o Eksamen våren 1992 (emneområde 2) I skjøtet på en hyttetomt står det blant annet : "Tomta danner en rettvinklet trekant ABC der AB er 85m og vinkel A er 35". Det er satt ned merker i alle hjørnene',. Etter mange år var merkene blitt borte, og det oppsto tvil hos en ny eier om hvilken vinkel som var lik 90". a) Regn ut AC, BC og arealet av tomta hvis lc: 90o. LØSNING: Utregning av AC : For å finne lengden på siden AC : x anvender vi cosinus-funksjonen på vinkel IBAC:35o. Cosinus til en spiss vinkel (mindre enn 90") i en rettvinklet trekant er definert som lengden av hosliggende katet delt på lengden av hypotenusen. (Katetene er de sidene som står vinkelrett på hverandre). Det lønner seg å ta med minst fire siffer etter kommaet i utregningen for h øke nøyaktigheten. I selve svaret forhøyer vi eventuelt første siffer etter kommaet..)' C /-<\ cos35'=ac = x AB 85 cos 35o :0,8192 finner vi ved hjelp av lommeregneren.

183 O,8lgZ = x 85 0,8192 85=4.85 85 Vi ganger med 85 på begge sider av likhetstegnet På venstre siden får vi 0,8192. 85 : 69,6320 og på høyre siden forkorter vi felles åktor 85 69"6320: x x: AC Svar : Lensden av siden AC : 69 6m Utregning av BC : Lengden av siden BC : y finner vi ved å anvende sinus-funksjonen på IBAC: 35" Sinus til en vinkel er lik lengden av motstående katet delt på hypotenusen. sln J;- = BC - Y AB 85 SM : 0.5736 finner vi ommekalkulatoren. 0,5736 - y 85 0,5736.85=-.,L.85 85 48,7560: y Ganger med 85 på begge sider av likhetstegnet Forkorter felles faktor 85 på høyre side Y: BC. Andre siffer til høyre for kommaet i tallet 48,7560 er større eller lik 5, slik at tallet 7 kan lorhøyes til 8 Svar : Lensden oå siden BC er lik 48 8 m Arealutregning : Arealet av en trekant kan beregnes på to måter. Den ene måten sier oss at arealet av en trekant er lik det halve produktet av grunnlinjen og høyden. Arealet er også lik det halve produktet av to sider og sinus til deres mellomliggende vinkel. 1. måte : Areal av trekant ABC : ll2 gh: ll2 AC.BC :0,5 ' 69,6320'48,7560 : L697,4889

184 2. måne: Areal av trekant ABC : Il2 AC. AB sin 35" : 0,5' 69,6320. 85. 0,5736 : 1697,4889 Svar : Arcalel3lllada (dersom tc: 90') er ca. 1200-m3 Kommentar : Benevningen kvadratmeter, m2, fremkommer når to lengder målt i meter ganges sammen (for eksempel lm. lm: 1m2). b) Regn ut arealet av tomta hvis lb : 90o. LØSNING. Vi kan regne ut arealet på trekant ABC enten ved å finne lengden på siden AC : x eller lengden på BC. Vi kan bruke tan 35o: BC/AB for å beregne BC og så regne ut uttrykket Il2 AB. BC. For treningens skyld regner vi ut uttrykket Tl2 AC. AB sin 35" for å finne arealet på trekant ABC. Vi bruker cos 35o for å finne AC : x. 85m cos 35o = AB = 85 ACx cos 35" :0,8192 finner vi på kalkulatoren. O,8lg2 = 85 x 0,8192'r=85., )c 0,8192' x : 85 0,8192,x = 85 0,8192 0,glg2 x : 103,7598 Ganger med x på begge sider På høyre side forkorter vi felles faktor x Deler med 0,8192 på begge sider Vi forkorter felles faktor 0,8T92 på venstre side og regner ut brøken påhøyre. 8510,8192 : 103,7598 x: AC Arealet av trekant ABC : Tl2' AC' AB ' sin 35" Erstatter AC med I03,7598, AB med 85 og sin 35o med 0,5736 (regnet ut med lommeregneren)

185 :0,5. 103,7598. 85. 0,5736 :2529,4564 fuealet av trekant ABC Svar : Arcalctgylolq1A (dersom lb : 90") er ca. 2500m3 Ved en ny oppmåling ble za beholdt lik 35". Hjørnene B og C ble plassert slik at ABC danner en likebeint trekant med BC som grunnlinje, og slik at arealet av tomta er 2000 m2. Areal: 2000 np c) Regn ut lengden av BC nå. LØSNING: AC:AI}:X BF: CF IFAC: IBAF:17"5o Likebeint trekant (oppgitt i oppgaven) Fotpunktet F for normalen fra A ned på grunnlinja BC deler linja i to like deler Fordi linja AF halveringslinja for IBAC Siden arealet AV t AjJU ABC er gltt. Kan u sette rmelen fo t'or areal-setru lik 2000 Il2' AC' AB ' sin 35o : 2000 Il2 erstattes med 0,5, AC med x, AB med x, 0,5 'x'x' 0,5636:2000 x ' x er som kjent lik x2. Ved å dele med produktet 0,5. 0,5636 på begge sider av likhetstegnet får vi x2. Husk også at faktorenes rekkefølge er likegyldig x2 0,5, 0,5736 2000 Forkorter felles faktorer på venstre side. 0,5. 0,5736 0,5. Høyre side er lik 6973,5007 0,5736 x2:6973,5007 Yr tar kvadratroten på begge sider av likhetstegnet

186 l* 6973,5007 x: 83,5075 AC:AF-X Kvadratroten av et tall er det tallet som ganget med seg selv gir tallet (det er ikke lett å se skogen for bare trær). Dvs. rfx' : x.,[agls,soot :83,5075 Kommentar. x: - 83,5075 er også en løsning, fordi (- 83,5075)2: (- 83,5075). (- 83,5075) : + (83,5075. 83,5075): 83,50752: xt 1like fortegn gir pluss). Men lengder regnes som positive, slik at løsningen x: - 83,5075 utelukkes. Nå har vi funnet AB : x: 83,5075. Trekant ABF er på 90", derfor kan vi anvende sinus- funks noåzbaf:175 sin 17,5o BF AB Erstatter sin 17,5o med 0,3007 (lommeregner) og AB med 83,5075 g3,5075.0,3007 = 0,3007 = BF 83,5075 BF.83,5075 83,5075 Ganger med 83,5075 på begge sider Forkorter med felles faktor på høyre side 0,3007'83,5075:BF 0,3007. 83,5075 :25,1107 25,T107:BF BF: CF BC : BF + CF :25,II07 + 25,1107 : 50,22T4 Svar : Lenqden av siden BC er lik 50.2m Tllil END