TE6146 ignalbehandling 6DPOLQJ DY NRQWLQXHUOLJH VLJQDOHU,QWURGXNVMRQ Mest vanlige måte å oppnå diskrete signaler på er ved sampling av kontinuerlige signaler Under gitte forutsetninger kan kontinuerlige signaler representeres helt nøyaktig i form av diskrete signaler, dvs at all informasjonen i signalet er bevart ved sampling Aliasing er er meget viktig begrep som vil bli studert i det følgende ignalbehandling i kontinuerlig tid kan utføres vha sampling, diskret signalbehandling og rekonstruksjon Betingelser for korrekt sampling og rekonstruksjon diskuteres ampling av kontinuerlige signaler 1
TE6146 ignalbehandling 3HULRGLVN VDPOLQJ,, Følge av samples fra kontinuerlig signal [ Q [ F ŸQ7, " Q 7 samplingsperiode, I V 1/7 [Hz] (( V 2=/7 [rad/s]) er samplingsfrekvens Ideelt sett utføres operasjonen av LGHHOO NRQWLQXHUOLJ-WLO-GLVNUHW-WLG RPIRUPHU I praksis benyttes AD-omsettere med følgende effekter: [ kvantiseringsintervall [ ulineariteter [ holdekretser [ begrenset samplingsrate Praktiske aspekter diskuteres ikke på omfattende måte i dette kurset ampling av kontinuerlige signaler 2
TE6146 ignalbehandling 3HULRGLVN VDPOLQJ,,, amplingsoperasjone er generelt ikke inverterbar, fordi mange kontinuerlige signaler kan gi samme diskrete signal Under gitt omstendigheter kan et signal gjenskapes eksakt Matematisk representeres samplingsprosessen av to trinn (Fig 42 a): [ Impulstogmodulator: [ V ŸW er et kontinuerlig signal, impulstog Arealet av impulsen angir amplitude [ Konvertering til følge: [ Q har endelig verdi og ikke informasjon om samplingsperiode Representasjonen i Fig 42 er strengt matematisk, men nyttig for videre utledninger, og for å få innsikt i samplingsprosessen ampling av kontinuerlige signaler 3
TE6146 ignalbehandling )UHNYHQVUHUHVHQWDVMRQ DY VDPOLQJ,, er på hvordan [ F ŸW konverteres til [ V ŸW gjennom modulasjon med impulstoget VŸW! -ŸW " Q7, -ŸW "Dirac s deltafunksjon Q" Modulasjon med [ F ŸW gir [ V ŸW [ F ŸW VŸW [ F ŸW! -ŸW " Q7 Q" Impulsfunksjonen siler ut verdier av [ F ŸW, slik at [ V ŸW! [ F ŸQ7 -ŸW " Q7 Q" Ønsker å se på Fourier-transformen av [ V ŸW Fourier-transformen av et periodisk impulstog er et nytt periodisk impulstog 6ŸM( 2=! -Ÿ( " N( 7 V, ( V 2=/7 [rad/s] N" ampling av kontinuerlige signaler 4
TE6146 ignalbehandling )UHNYHQVUHUHVHQWDVMRQ DY VDPOLQJ,,, Multiplikasjon av to funksjoner medfører konvolusjon av Fourier-transformer, så ; V ŸM( 1 ; 2= FŸM( ' 6ŸM( Får dermed ; V ŸM( 1! ; 7 F ŸMŸ( " N( V N" Fourier-transformen av det samplede signalet består av periodisk repeterte kopier av Fourier-transformen til det kontinuerlige signalet! e Fig 43 Høyeste frekvens i ; F ŸM( er ( 1 er at dersom ( V " ( 1 ( 1 eller ( V 2( 1, vil det ikke være overlapp mellom de repeterte kopiene! Under forutsetningen ( V 2( 1, vil Fourier-transformen til [ F ŸW være uforandret av samplingen (med unntak av en skalering og repetisjon) ampling av kontinuerlige signaler 5
TE6146 ignalbehandling )UHNYHQVUHUHVHQWDVMRQ DY VDPOLQJ,,,, I det ideelle tilfellet kan signalet [ F ŸW gjenskapes ved å lavpassfiltrere [ V ŸW med et lavpassfilter + U ŸM( som har knekkfrekvens ( 1 ( F Ÿ( V " ( 1 og forsterkning 7 Hva skjer dersom ( V t 2( 1? Kopier av ; F ŸMF overlapper hverandre og blir addert sammen Ikke mulig å gjenfinne ; F ŸM( Dette kalles DOLDVLQJ Eks: e Fig 45 [ F ŸW cos ( 0 W Gjenskapes perfekt når ( V 2( 0 Dersom ( V t 2( 0, blir det gjenskapte signalet lik [ F ŸW cosÿ( V " ( 0 W ignalet med høy frekvens opptrer som et signal med lav frekvens ampling av kontinuerlige signaler 6
TE6146 ignalbehandling 1\TXLVW V VDPOLQJVWHRUHP La [ F ŸW være et signal som ikke inneholder høyere frekvenskomponenter enn ( 1 dvs ; F ŸM( 0 for ( u ( 1 [ F ŸW er unikt bestemt (dvs kan rekonstrueres eksakt) av samplene [ Q [ F ŸQ7, Q o0, o1, o2, T dersom ( V 2= u 2( 7 1 ( 1 er Nyquist-frekvensen 2( 1 er Nyquist-raten ampling av kontinuerlige signaler 7
TE6146 ignalbehandling 6DPPHQKHQJ PHOORP ; F ŸMF RJ ;ŸH MF,, kal se på sammenhengen mellom den Fourier-transformerte av det kontinuerlige signalet [ F ŸW, og den Fourier-transformerte av den diskrete følgen [ Q Fourier-transformen i kontinuerlig tid av [ V ŸW! [ F ŸQ7 -ŸW " Q7 Q" er gitt som ; V ŸM(! [ F ŸQ7 H "M(7Q Q" Nå er [ Q [ F ŸQ7 og ;ŸH MF! [ Q H "MFQ så Q" ; V ŸM( ;ŸH MF F(7 ;ŸH M(7 ampling av kontinuerlige signaler 8
TE6146 ignalbehandling 6DPPHQKHQJ PHOORP ; F ŸMF RJ ;ŸH MF,,, Det følger at ;ŸH M(7 1! ; 7 F ŸMŸ( " N( V Q" eller ekvivalent ;ŸH MF 1! ; 7 F ŸMŸ F " 2=N 7 7 Q" ;ŸH MF er en frekvensskalert versjon av ; V ŸM( med skalering gitt av F (7 Frekvensskaleringen kan tolkes som en normalisering, slik at (( V i ; V ŸM( er normalisert til F 2= for ;ŸH MF Frekvensskaleringene har direkte sammenheng med tidsnormaliseringen mellom [ V ŸW og [ Q Avstanden 7 mellom to samples blir normalisert til 1 Frekvensaksen blir skalert med I V 1/7, slik at ( V 2=/7 normaliseres til 2= ampling av kontinuerlige signaler 9
TE6146 ignalbehandling 5HNRQVWUXNVMRQ DY HW EnQGEHJUHQVHW VLJQDO,, Et båndbegrenset signal er begrenset oppad og nedad i frekvens amplingsteoremet sier at dersom signalet samples ofte nok, kan det originale signalet rekonstrueres eksakt fra samplene Ønsker å se nøyere på rekonstruksjon av signalet Modulasjon med impulstog er en fremgangsmåte som gir innsikt i rekonstruksjonen La [ V ŸW! [ Q -ŸW " Q7 Q" Anta at [ V ŸW er inngangssignalet til et ideelt kontinuerlig lavpassfilter med frekvensrespons + U ŸM( (forsterkning lik 7) og impulsrespons K U ŸW ampling av kontinuerlige signaler 10
TE6146 ignalbehandling 5HNRQVWUXNVMRQ DY HW EnQGEHJUHQVHW VLJQDO,,, Utgangen fra filteret blir (konvolusjon) [ U ŸW! [ Q K U ŸW " Q7 (423) Q" Knekkfrekvensen for det ideell filteret må være mellom ( 1 og ( V " ( 1 Velger ( F ( V /2 =/7 Passende så lenge ( V 2( 1 Impulsresponsen til filteret er gitt av K U ŸW sinÿ=w/7 =W/7 Følger at [ U ŸW! Q" [ Q sinÿ=ÿw"q7 /7 =ŸW"Q7 /7 (425) Ikke åpenbart fra (425) at det rekonstruerte signalet er eksakt lik det originale signalet ampling av kontinuerlige signaler 11
TE6146 ignalbehandling 5HNRQVWUXNVMRQ DY HW EnQGEHJUHQVHW VLJQDO,,,, Fra l Hôpital s regel følger det at K U Ÿ0 1 Dessuten er K U ŸQ7 0, Q o1,o2,o3 Dersom [ Q [ F ŸQ7, såvil[ U ŸP7 [ F ŸP7 for P heltall Det rekonstruerte signalet har samme verdi i samplingstidspunktene som det originale signalet, uavhengig av samplingsperioden 7 Det ideelle lavpassfilteret interpolerer mellom impulsene til [ V ŸW slik at et kontinuerlig signal fremkommer, se Fig 49 Dersom det ikke er aliasing, følger det av tidligere frekvensanalyse at filteret gir den korrekte interpolasjonen mellom samplene ampling av kontinuerlige signaler 12
TE6146 ignalbehandling 5HNRQVWUXNVMRQ DY HW EnQGEHJUHQVHW VLJQDO,,9 Formaliserer forutgående diskusjon ved å definere et ideelt system for rekonstruksjon av et båndbegrenset signal fra en følge av samples Den ideelle omformer fra diskret tid til kontinuerlig tid består av en konvertering av følgen til et impulstog, etterfulgt av en ideell filtrering med et lavpassfilter, se Fig 410 Trinnet som inneholder konverteringen til impulstog er gjort av matematiske hensyn Egenskapene til den ideelle omformeren studeres best i frekvensplanet Fourier-transformen av (423) eller (425) er gitt av ; U ŸM(! Q" som også kan skrives ; U ŸM( + U ŸM( ;ŸH M(7 [ Q + U ŸM( H "M(7Q + U ŸM(! Q" [ Q H "M(7Q ampling av kontinuerlige signaler 13
TE6146 ignalbehandling 5HNRQVWUXNVMRQ DY HW EnQGEHJUHQVHW VLJQDO, 9 er at ;ŸH MF er skalert slik at F (7 + U ŸM( tar ut baseperioden til den periodiske Fourier-transformen ;ŸH M(7,og kompenserer for skaleringen 1/7som skjer ved sampling Dersom [ Q har fremkommet ved å sample et båndbegrenset signal med frekvens høyere enn Nyquist-frekvensen, vil det rekonstruerte signalet være lik det originale signalet [ U ŸW ampling av kontinuerlige signaler 14
TE6146 ignalbehandling 3URVHVVHULQJ DY NRQWLQXHUOLJH VLJQDOHU L GLVNUHW WLG,, En mye benyttet anvendelse av diskret signalbehandling, er behandling av kontinuerlige signaler Benytter system som i Fig 411: [ C/D omformer (se Fig 42) [ Diskret system [ D/C omformer (se Fig 410) Totalsystemet er ekvivalent til et kontinuerlig system, som omformer [ F ŸW til \ U ŸW Egenskaper avhengig av samplingsperiode og diskret system Antar videre at C/D og D/C omformerne har samme samplingsperiode (kan utvides uten problemer) ampling av kontinuerlige signaler 15
TE6146 ignalbehandling 3URVHVVHULQJ DY NRQWLQXHUOLJH VLJQDOHU L GLVNUHW WLG,,, Har tidligere studert egenskapene til C/D og D/C konverterne Disse operasjonene har følgende egenskaper: [ C/D omformeren gir diskret signal [ Q [ F ŸQ7 [ ;ŸH MF 1! ; 7 F ŸMŸ F " 2=N (430) 7 7 Q" [ D/C omformeren gir diskret signal av typen sinÿ=ÿw"q7 /7 \ U ŸW! \ Q =ŸW"Q7 /7 Q" \ Q er utgangen fra det diskrete systemet når inngangen er [ Q < U ŸM( + U ŸM( <ŸH M(7 [ 7<ŸH M(7, ( =/7 0, ellers ammenhengen mellom <ŸH MF og ;ŸH MF er avhengig av det diskrete systemet Komplisert med mindre systemet har gitte egenskaper ampling av kontinuerlige signaler 16
TE6146 ignalbehandling /LQH UH WLGVLQYDULDQWH GLVNUHWH V\VWHPHU,, Analyse utføres oftest i frekvensplanet dersom systemet mellom [ Q og \ Q er lineært og tidsinvariant ammenhengen blir da <ŸH MF +ŸH MF ;ŸH MF, +ŸH MF er Fourier-transformen av impulsresponsen, dvs frekvensresponsen til systemet Kombinasjon gir nå < U ŸM( + U ŸM( +ŸH M(7 ;ŸH M(7 Ved bruk av (430) med F (7 gir < U ŸM( + U ŸM( +ŸH M(7 1 7! Q" ; F ŸMŸ( " 2=N 7 (435) Dersom ; F ŸM( 0 for ( u =/7 kansellerer lavpassfilteret faktoren 1/7 og velger ut leddet tilsvarende N 0 i (435), dvs: < U ŸM( +ŸH M(7 ; F ŸM(, ( =/7 0, ( u =/7 ampling av kontinuerlige signaler 17
TE6146 ignalbehandling /LQH UH WLGVLQYDULDQWH GLVNUHWH V\VWHPHU,,, Dersom ; F ŸM( er båndbegrenset og samplingsraten over Nyquist-raten, får en < U ŸM( + HII ŸM( ; F ŸM( hvor + HII ŸM( +ŸH M(7, ( =/7 0, ( u =/7 Det totale kontinuerlige systemet er ekvivalent med et lineært tidsinvariant system med frekvensrespons som gitt over Linearitet og tidsinvariant av totalsystemet avhenger av to faktorer: Det diskrete systemet må være lineært og tidinvariant Ingangssignalet må være båndbegrenset, og samplingsfrekvensen høy nok til, slik at alias-komponenter fjernes av det diskrete systemet ampling av kontinuerlige signaler 18
TE6146 ignalbehandling /LQH UH WLGVLQYDULDQWH GLVNUHWH V\VWHPHU,,,, Merk at det kan forekomme alias-komponenter i C/D-omformeren, men det diskrete systemet må fjerne disse, slik at de ikke kommer frem til utgangen e Eks 44 ampling av kontinuerlige signaler 19
TE6146 ignalbehandling (NVHPHO,, er på ideelt diskret lavpassfilter med knekkfrekvens F F = Effektiv frekvensrespons gitt av + HII ŸM( 1, (7 F F eller ( F F /7 0, (7 F F eller ( F F /7 (438) Det ideelle lavpassfilteret med knekkfrekvens F F har samme effekt som et kontinuerlig lavpassfilter med knekkfrekvens ( F F F /7 når det benyttes i totalsystemet med sampling og rekonstruksjon Knekkfrekvensen er avhenger av både F F og 7 Kan altså implementere kontinuerlig lavpassfilter med variabel frekvens ved å endre samplingsfrekvensen ampling av kontinuerlige signaler 20
TE6146 ignalbehandling (NVHPHO,,, Merk at lign (438) er gyldig selv om det oppstår litt aliasing ved sampling, så lenge lavpassfilteret tar bort den delen som overlapper, se Fig 413 Kravet for at det ikke skal være aliasing i utgangen, blir nå Ÿ2= " ( 1 7 F F mens Nyquist-kravet gir Ÿ2= " ( 1 7 ( 1 7 ampling av kontinuerlige signaler 21
TE6146 ignalbehandling,pxovlqyduldqv,, ystemet i Fig 411 ekvivalent til et lineært tidsinvariant system for båndbegrensede signaler Anta at vi har gitt et system i kontinuerlig tid som vi ønsker å implementere som i Fig 411 Med + F ŸM( båndbegrenset, er det gitt fra (438) hvordan +ŸH MF skal velges, slik at + HII ŸM( + F ŸM( : +ŸH MF + F ŸMF/7, F = (449) med 7 slik at + F ŸM( 0, ( u =/7 (450) Under betingelsene (449) og (450) er det en nyttig sammenheng mellom impulsresponsen K F ŸW,ogK Q : K Q 7K F ŸQ7 Det diskrete systemet er en impulsvariant versjon av det kontinuerlige systemet ampling av kontinuerlige signaler 22
TE6146 ignalbehandling,pxovlqyduldqv,,, Impulsvarians er en direkte følge av tidligere diskusjoner angående frekvensrepresentasjonen av samplede signaler Med K Q K F ŸQ7 får en +ŸH MF 1! + 7 F ŸMŸ F " 2=N 7 7 N" Under forutsetningen (450) resulterer dette i +ŸH MF 1 + 7 FŸM F, F = 7 Med K Q 7K F ŸQ7 fårendirekte +ŸH MF + F ŸM F, F = 7 Impulsinvarians er en metode for å syntetisere diskrete filtre utfra tilsvarende analoge filtre Merk at anvendelse av denne metoden kan gi aliasing, dersom det kontinuerlige systemet er streng begrenset i frekvens Dette begrenser anvendelsen av metoden e også Eks 48 ampling av kontinuerlige signaler 23
TE6146 ignalbehandling (QGULQJ DY VDPOLQJVUDWH YKD URVHVVHULQJ L GLVNUHW WLG Kontinuerlig signal [ F ŸW kan representeres vha diskret følge slik at [ Q [ F ŸQ7 elv om ikke x[n] har fremkommet ved sampling, kan en ved interpolasjon komme frem til en båndbegrenset signal med samples [ Q Ofte er det nødvendig å endre samplingsraten til det diskrete systemet, slik at [ U Q [ F ŸQ7 U, 7 U p 7 En metode er å rekonstruere [ F ŸW fra [ Q og sample på nytt med annen samplingsrate Tungvint og upraktisk Vil se på metoder for å endre samplingsraten ved diskret signalbehandling ampling av kontinuerlige signaler 24
TE6146 ignalbehandling 5HGXNVMRQ DY VDPOLQJVUDWHQ PHG IDNWRU OLN KHOWDOO,, Ønsker ny følge slik at [ G Q [ Q0 [ F ŸQ07 Et diskret system som utfører denne operasjonen kalles en NRPUHVVRU, se Fig 420 [ G Q er identisk til følgen som vil oppstå ved sampling av [ F ŸW med periode 7 U 07 Dersom ; F ŸM( 0 for ( u ( 1,såer[ G Q en eksakt representasjon av [ F ŸW dersom =/7 U =/Ÿ07 u ( 1 amplingsraten kan reduseres med en faktor 0 uten aliasing dersom den originale samplingsraten var minst 0 ganger Nyquist-raten, eller dersom båndbredden til følgen først reduseres med en faktor 0 vha diskret filtrering Operasjonen som går ut på å redusere samplingsraten (inkludert evt filtrering), kalles QHGVDPOLQJ ( downsampling ) ampling av kontinuerlige signaler 25
TE6146 ignalbehandling 5HGXNVMRQ DY VDPOLQJVUDWHQ PHG IDNWRU OLN KHOWDOO,,, Nyttig med frekvensanalyse av det som skjer ved nedsampling, dvs av sammenhengen mellom inngangen og utgangen til kompressoren Den diskrete Fourier-transformen av [ Q [ F ŸQ7 er N ;ŸH MF 1! ; 7 F ŸMŸ F " 2=N (472) 7 7 N" Tilsvarende for [ G Q [ Q0 [ F ŸQ7 U med 7 U 07 ; G ŸH MF 1 U! 07 U" ; F ŸMŸ F 07 " 2=U 07 Merk at U L N0, " N, 0t L t 0 " 1 dvs " U Kan skrive 0"1 ; G ŸH MF 1 0! L0 1 7! N" ; F ŸMŸ F 07 " 2=N 7 " 2=L 07 (476) ampling av kontinuerlige signaler 26
TE6146 ignalbehandling 5HGXNVMRQ DY VDPOLQJVUDWHQ PHG IDNWRU OLN KHOWDOO,,,, Vha (472) ser vi at ;ŸH MŸF"2=L /0 1! ; 7 F ŸMŸ F"2=L " 2=N 07 7 N" Ved bruk av dette i (476), får vi 0"1 ; G ŸH MF 1 0! L0 ;ŸH MŸF/0"2=L/0 (478) Lign (472) uttrykker Fourier-transformen av [ Q vha Fourier-transformen til det kontinuerlige signalet [ F ŸW Lign (478) uttrykker Fourier-transformen til det komprimerte signalet [ G Q vha Fourier-transformen til [ Q ampling av kontinuerlige signaler 27
TE6146 ignalbehandling 5HGXNVMRQ DY VDPOLQJVUDWHQ PHG IDNWRU OLN KHOWDOO,,9 ; G ŸH MF kan tolkes som: En uendelig mengde med kopier av ;ŸM( F, skalert i frekvens med F 7 U ( og forskjøvet med hele multiplum av 2=/7 U 0 kopier av ;ŸH MF skalert i frekvens med M og forskjøvet med hele multiplum av 2= Begge tolkninger gjør det klart at ; G ŸH MF er periodisk med periode 2= Aliasing kan unngås ved å sikre at ;ŸH MF er båndbegrenset, slik at ;ŸH MF 0, F 1 t F t = og at 2=/0 u 2F 1 e Fig 421 for eksempel ampling av kontinuerlige signaler 28
TE6146 ignalbehandling 'HVLPDWRUHU Nedsampling uten aliasing kan også oppnås ved å redusere båndbredden av signalet før nedsampling ystemer med prefiltering og nedsampling kalles GHVLPDWRUHU Dersom [ Q prefiltreres med et ideelt lavpassfilter med knekkfrekvens =/0, så kan utgangen [ Q nedsamples uten aliasing, se Fig 422d-f Følgen [ G Q [ Q0 representerer ikke lenger det originale kontinuerlige signalet [ F ŸW Har nå [ G Q [ F ŸQ7 U med 7 U 07, og[ F ŸW fremkommer ved lavpassfiltrering av [ F ŸW med knekkfrekvens ( F =/7 U =/Ÿ07 ampling av kontinuerlige signaler 29
TE6146 ignalbehandling NQLQJ DY VDPOLQJVUDWHQ PHG IDNWRU OLN KHOWDOO,, Reduksjon av samplingsraten involverer sampling av følgen på en måte analog til sampling av kontinuerlige signaler Økning av samplingsraten involverer operasjoner lignende D/C konvertering Ønsker å øke samplingsraten med en faktor /, dvs slik at [ L Q [ F ŸQ7 U med 7 U 7// fra [ Q [ F ŸQ7 Operasjon kalles RVDPOLQJ ( upsampling ) Følger at [ L Q [ Q// [ F ŸQ7//, Q 0, o1, o2, o3,t ampling av kontinuerlige signaler 30
TE6146 ignalbehandling NQLQJ DY VDPOLQJVUDWHQ PHG IDNWRU OLN KHOWDOO,,, Fig 424 viser system for å beregne [ L Q fra [ Q Første del av systemet kalles en VDPOLQJV NHU ( sampling rate expander ) Utgangen er gitt av: [ Q//, Q 0, o/,o2/,o3/,t [ H Q 0, ellers eller ekvivalent [ H Q! [ N - Q " N/ N" Andre del av systemet er et diskret lavpassfilter med knekkfrekvens =// og forsterkning / ystemet utgjør tilsvarende funskjoner som en ideell D/C omformer (se Fig 410b) Først beregner en [ H Q, og så lavpassfiltreres følgen i diskret tid for rekonstruksjon ampling av kontinuerlige signaler 31
TE6146 ignalbehandling NQLQJ DY VDPOLQJVUDWHQ PHG IDNWRU OLN KHOWDOO,,,, Ønsker å studere oppsampling vha frekvensanalyse Fourier-transformen til [ H Q finnes utfra ; H ŸH MF! Q"! N"! [ N H "MF/N ;ŸH MF/ N" [ N - Q " N/ H "MFQ ; H ŸH MF er en frekvensskalert versjon av Fourier-transformen til inngangen, med F erstattet av F/ slik at F er normalisert med F (7 U e Fig 425 for eksempel ystemet i Fig 424 gir riktig utgangsfølge dersom inngangsfølgen [ Q [ F ŸQ7 ble konstruert ved sampling uten aliasing ystemet er en interpolator, siden det fremstiller manglende samples ampling av kontinuerlige signaler 32
TE6146 ignalbehandling NQLQJ DY VDPOLQJVUDWHQ PHG IDNWRU OLN KHOWDOO,,9 Kan finne eksplisitt formel for interpolering av [ Q Impulsresponsen til lavpassfilteret i Fig 424 er gitt som: K L Q sinÿ=q// =Q// Dette gir sinÿ=ÿq"n/ // [ L Q! [ N =ŸQ"N/ // N" Impulsresponsen har egenskapene K L 0 1, K L Q 0, Q o/,o2/,t Med ideell interpolasjon vha lavpassfilter fårenaltså [ L Q [ Q// [ F ŸQ7// [ F ŸQ7 U, Q 0,o/,o2/ Det følger at [ L Q [ F ŸQ7 U for alle Q utfra frekvensanalyse ampling av kontinuerlige signaler 33
TE6146 ignalbehandling NQLQJ DY VDPOLQJVUDWHQ PHG IDNWRU OLN KHOWDOO, 9 Vanskelig å implementere lavpassfiltre eksakt I noen tilfeller er det kun nødvendig med svært enkle interpolasjonsmetoder er spesielt på lineær interpolasjon: 1 " Q //, Q t / K OLQ Q 0, ellers e eksempel i Fig 426 for / 5 Det interpolerte utgangssignalet vil være [ OLQ Q! N" [ H N K OLQ Q " N! N" [ H N K OLQ Q " N/ [ OLQ Q er identisk lik følgen som oppnås ved lineær interpolasjon mellom samplene ampling av kontinuerlige signaler 34
TE6146 ignalbehandling NQLQJ DY VDPOLQJVUDWHQ PHG IDNWRU OLN KHOWDOO, 9, Merk at K OLQ 0 1 K OLQ Q 0, Q o/,o2/,o3/ Vi kan finne uttrykk for forvrengningen mellom samplene ved å sammenligne frekvensresponsen for lineær og ideell interpolasjon Kan vise at + OLQ ŸH MF 1 sinÿf//2 2 / sinÿf/2 Approksimasjonen er god dersom signalet samples med en rate mye høyere enn Nyquist-raten, se Fig 427 ampling av kontinuerlige signaler 35
TE6146 ignalbehandling NQLQJ DY VDPOLQJVUDWHQ PHG IDNWRU OLN KHOWDOO, 9,, Lineær interpolasjon inneholder frekvenser i området =// F = Ved lav samplingsrate vil ikke filteret fjerne kopier av ; F ŸM( som ligger rundt 2=// Ved høy samplingsrate skyves kopiene fra hverandre inn i områder hvor + OLQ ŸH MF har små verdier Intuitivt enkelt å forstå siden samplene kommer nærmere hverandre ampling av kontinuerlige signaler 36
TE6146 ignalbehandling (QGULQJ DY VDPOLQJVUDWHQ PHG IDNWRU XOLN KHOWDOO,, Ved kombinasjon av desimasjon og interpolasjon er det mulig å endre samplingsraten med en faktor som ikke er et heltall En interpolator kan minske samplingsperioden fra 7 til 7//, mensen etterfølgende desimator øker samplingsperioden med fra 7 til 07 Resultatet blir en følge [ G Q med effektiv samplingsperiode 7 U 70// Ved passende valg av 0 og / kan en vilkårlig samplingsperiode realiseres 0 / gir økning i samplingsperioden Motsatt for 0 / ampling av kontinuerlige signaler 37
TE6146 ignalbehandling (QGULQJ DY VDPOLQJVUDWHQ PHG IDNWRU XOLN KHOWDOO,,, Filtrene kan kombineres med knekkfrekvens lik minÿ=//,=/0 Dersom 0 / vil =/0 være den gjeldende knekkfrekvensen Dersom [ Q fremkom ved sampling med Nyquist-raten, vil [ G Q måtte være en lavpassfiltrert versjon av det originale signalet dersom aliasing skal unngås Dersom 0 / vil =// være den dominerende knekkfrekvensen, og det originale signalet må ikke båndbegrenses under den originale Nyquist-frekvensen ampling av kontinuerlige signaler 38
TE6146 ignalbehandling 0XOWLUDWH VLJQDOEHKDQGOLQJ Kan realisere vilkårlig samplingsrate ved kombinasjon av interpolasjon og desimasjon I enkelte tilfeller vil den midlertidige samplingsraten være nokså høy, og filtrering ved denne samplingsrate vil medføre omfattende beregningsbehov Arbeidet kan reduseres vha teknikker fra multirate signalbehandling Multirate signalbehandling går ut på å bruk oppsampling, nedsampling, kompressorer og utvidere for å øke effektiviteten ved diskret signalbehandling Andre anvendelser er A/D og D/A konvertering og realisering av filterbanker for analyse og/eller prosessering av signaler er på to fundamentale resultater fra multirate signalbehandling: Ombytting av filtrering og ned-/oppsampling Polyfase dekomposisjoner ampling av kontinuerlige signaler 39
TE6146 ignalbehandling 2PE\WWLQJ DY ILOWUHULQJ RJ QHG-/RVDPOLQJ,, kal vise at systemene i Fig 430 er ekvivalente Fra Fig 430b følger det at ; E ŸH MF +ŸH MF0 ;ŸH MF (497) ammen med (478) gir dette 0"1 <ŸH MF 1 0! L0 0"1 <ŸH MF 1 0! L0 ; E ŸH MŸF/0"2=L/0 (498) ;ŸH MŸF/0"2=L/0 +ŸH MŸF"2=L Vet at +ŸH MŸF"2=L +ŸH MF,så <ŸH MF +ŸH MF 1 0 0"1! L0 ;ŸH MŸF/0"2=L/0 +ŸH MF ; D ŸH MF ampling av kontinuerlige signaler 40
TE6146 ignalbehandling 2PE\WWLQJ DY ILOWUHULQJ RJ QHG-/RVDPOLQJ,,, Tilsvarende for oppsampling, hvor (se Avsnitt 462): ; H ŸH MF ;ŸH MF/ (486) Får vha (486) og Fig 431a <ŸH MF ; D ŸH MF/ ;ŸH MF/ +ŸH MF/ Det følger også fra (486) at ; E ŸH MF ;ŸH MF/,så <ŸH MF +ŸH MF/ ; E ŸH MF som tilsvarer Fig 431b Har vist at lineær filtrering og opp-/nedsampling kan byttes om dersom vi modifiserer det lineære filteret ampling av kontinuerlige signaler 41
TE6146 ignalbehandling 3RO\IDVH GHNRPRVLVMRQHU,, En polyfase dekomposisjon av en følge oppnås ved å representere den som en superposisjon av 0 delfølger, hvor hver enkelt følge består av hver 0 te verdi av suksessivt førskjøvede versjoner av følgen En impulsrespons K Q kan dekpomponeres i 0K N Q underfølger ved å definere K N Q K Q N, Q heltallsmultiplum av 0 0, ellers ampling av kontinuerlige signaler 42
TE6146 ignalbehandling 3RO\IDVH GHNRPRVLVMRQHU,,, Ved suksessiv forsinkelse av disse underfølgene, kan den originale impulsresponsen rekonstrueres: 0"1 K Q! K N Q " N N0 e blokkdiagrammet i Fig 432 Ved å sette inn forsinkelseselementer ved utgangen og fremskyndelseselementer ved inngangen, får en et blokkdiagram vist i Fig 433, som er ekvivalent med Fig 432 ampling av kontinuerlige signaler 43
TE6146 ignalbehandling 3RO\IDVH GHNRPRVLVMRQHU,,,, I fig 432 og Fig 433 har en H N Q K Q0 N K N Q0 (4104) Disse underfølgene kalles polyfase dekomposisjoner av K Q Det finne flere måter å utlede dekomposisjonene på, og andre måter å indeksere dem på Fig 432 og Fig 433 viser ikke realisasjoner av filteret, men viser hvordan filteret kan dekomponeres i 0 realisasjoner Vha Z-transformen tilsvarer polyfase-dekomposisjonen 0"1 +Ÿ]! ( N Ÿ] 0 ] "N (4105) N0 En filterrealisering er vist i Fig 434 ampling av kontinuerlige signaler 44
TE6146 ignalbehandling 3RO\IDVH LPOHPHQWDVMRQ DY GHVLPDVMRQVILOWUH,, En viktig anvendelse av polyfase-dekomposisjon er for implementasjon av filtre med utgang som blir nedsamplet, se Fig 435 En rett frem implementasjon av systemet er slik at filteret beregner en utgang for hver verdi av Q, men kun hver 0 te utgang beholdes Burde intiutivt være mulig å komme frem til en mere effektiv implementasjon Anta at vi uttrykker K Q på polyfase form, med komponenter H N Q K Q0 N Følger fra (4105) 0"1 +Ÿ]! ( N Ÿ] 0 ] "N (4107) N0 I tillegg har vi at nedsampling kommuterer med addisjon, slik at systemet i Fig 435 kan tegnes på nytt som i Fig 436 Ved å benytte resultatet i Fig 430 på systemet i Fig 436, får vi systemet i Fig 437 ampling av kontinuerlige signaler 45
TE6146 ignalbehandling 3RO\IDVH LPOHPHQWDVMRQ DY GHVLPDVMRQVILOWUH,,, Fordelen med systemet i Fig 437 sammenlignet med Fig 435 ses på følgende måte: [ Anta at inngangen [ Q klokkes med et sample pr enhet tid, og at +Ÿ] er et 1-punkts FIR-filter [ I en rett frem implementasjon som i Fig 435, behøves 1 multiplikasjoner, og Ÿ1 " 1 addisjoner pr tidsenhet [ I Fig 437 er hver av filtrene av lengde 1/0, og inngangen klokkes en gang pr 0 tidsenheter [ Hvert filter trenger 1 Ÿ 1 multiplikasjoner og 1 Ÿ 1 " 1 0 0 0 0 addisjoner pr tidsenhet [ Totalt Ÿ 1 " 1 Ÿ0 " 1 addisjoner og Ÿ1/0 multiplikasjoner 0 [ For enkelte verdier av 1 og 0 oppnås vesentlige besparelser ampling av kontinuerlige signaler 46
TE6146 ignalbehandling 3RO\IDVH LPOHPHQWDVMRQ DY LQWHURODVMRQVILOWUH,, Kan også oppnå besparelser ved implemnetasjon av systemer med oppsampler og filter, se Fig 438 iden bare hvert / te sampel av Z Q er ulik null, vil det være mange multiplikasjoner med null Benytter polyfase dekomposisjon av +Ÿ] 0"1 +Ÿ]! ( N Ÿ] 0 ] "N N0 Filteret kan nå implementeres som i Fig 439 Vha resultatet i Fig 431 kan systemet omformes som vist i Fig 440 Filteret i Fig 438 krever 1/ multiplikasjoner og Ÿ1/ " 1 addisjoner Filteret i Fig 440 krever /Ÿ1// multiplikasjoner og /Ÿ1// " 1 addisjoner, samt Ÿ/ " 1 addisjoner for å oppnå \ Q Mulige besvarelser for noen verdier av / og 1 Vesentlige forbedringer mhp beregningsbehov ved å bytte om rekkefølgen på operasjonene ampling av kontinuerlige signaler 47
TE6146 ignalbehandling 'LJLWDO URVHVVHULQJ DY DQDORJH VLJQDOHU Har hittil sett på ideelle elementer for C/D-, D/C-omforming Mulig å konsentrere seg om essensielle matematiske detaljer i sammenhengen mellom et båndbegrenset signal og samplene I det praktiske tilfellet er ikke signaler presist båndbegrenset, ideelle filtre kan ikke realiseres, og C/D-, D/C-omformere kan bare approksimeres med A/D- og D/A-omformere Fig 441 viser sammenhengen mellom det ideelle og det realistiske systemet ampling av kontinuerlige signaler 48
TE6146 ignalbehandling 3UHILOWUHULQJ IRU n XQQJn DOLDVLQJ For å unngå aliasing benyttes prefiltrering, slik at signalet er båndbegrenset før det samples ignalet må ikke inneholde frekvenser høyere enn halve samplingsfrekvensen Ideelt sett kutter filteret alle frekvenser over grensefrekvensen I det virkelig tilfellet kan ikke signalet frekvensbegrenses perfekt, men komponenter over samplingsfrekvensen kan gjøres små Analoge filtre med skarp cut off er dyre og kompliserte Ønskelig å gjøre det analoge filteret enkelt Kan kombinere slakt analogt filter med påfølgende sampling med høy frekvens ( oversampling ) og skarpt diskret filter, se Fig 443-444 ampling av kontinuerlige signaler 49
TE6146 ignalbehandling $'-NRQYHUWHULQJ,, En approksimasjon av en C/D-omformer er vist i Fig 445 Det analoge signalet blir omformet til et digitalt signal, dvs en følge av kvantiserte samples A/D-omformere kan startes ved gitte tidspunkter, gjerne styrt av en ekstern klokke Omformingen er ikke instantan, og det benyttes derfor ofte et holdelement, se Fig 445 Et ideelle holdesystem er gitt av [ Q [ D ŸQ7 og 1, 0 W 7 [ 0 ŸW! [ Q K 0 ŸW " Q7, K 0 ŸW Q" 0, ellers Ekvivalent form [ 0 ŸW K 0 ŸW '! [ D ŸQ7 -ŸW " Q7 Q" Utgangen er et trappetrinnssignal, se Fig 446b ampling av kontinuerlige signaler 50
TE6146 ignalbehandling $'-NRQYHUWHULQJ,,, Kvantisereren er et ulineært system [ Q 4Ÿ[ Q Kan ha uniformt eller ikke-uniformt kvantiseringsintervall Utgangen fra kvantisereren kodes Vha % bit kan 2 %1 nivåer kodes Kan feks velge D 0 D 1 D 2 TD % "D 0 2 0 D 1 2 "1 D 2 2 "2 TD % 2 "% Dersom inngangsspennet til A/D-omformeren er ; P, bli trinnhøyden gitt av 2; P ; P 2 %1 2 % ammenhengen mellom kodeordet og numerisk verdi er [ Q ; P [ % Q, "1 t [ % t 1 (2 s komplement) Normaliserer vanligvis signalet ampling av kontinuerlige signaler 51
TE6146 ignalbehandling $QDO\VH DY NYDQWLVHULQJVIHLO Får vanligvis ved å benytte Ÿ% 1 nivåer " /2 H Q /2 når Ÿ"; P " /2 [ Q Ÿ; P " /2 Kan forekomme klipping av signaler utenfor området til omformeren Feilen har følgende egenskaper: H Q er en stasjonær stokastisk prosess H Q er ukorrelert med [ Q De stokastiske variable er ukorrelerte, dvs hvit støy annsynlighetsfor er uniform over området til kvantiseringsfeilen Middelverdien er null, variansen @ H 2 2 12 og NR 602% 108 " 20 log 10 Ÿ ; P @ [ @ [ -variansen til signalet @ [ ; P /4 NRX 6% " 125 db ampling av kontinuerlige signaler 52
TE6146 ignalbehandling '/$ RPIRUPLQJ,, Et båndbegrenset signal kan rekonstrueres fra følgen med samplene vha lavpassfiltrering: ; U ŸM( ;ŸH M(7 + U ŸM( Ideelt rekonstruksjonsfilter er gitt av + U ŸM( 7, ( =/7 0, ( =/7 Rekonstruert signal gitt av [ U ŸW! Q" [ Q sin =ŸW"Q7 /7 =ŸW"Q7 /7 Dette kalles den ideelle omformer Fysisk realiseres den vha en D/A-omformer ampling av kontinuerlige signaler 53
TE6146 ignalbehandling '/$ RPIRUPLQJ,,, For en D/A omformer gjelder [ '$ ŸW! ; P [ E Q K 0 ŸW " Q7! [ Q K 0 ŸW " Q7 Q" Q" K 0 ŸW -impulsresponsen til holdelelementet Benytter additiv støymodell [ '$ ŸW! [ Q K 0 ŸW " Q7! H Q K 0 ŸW " Q7 Q" Q" Definerer [ 0 ŸW og H 0 ŸW slik at [ '$ ŸW [ 0 ŸW H 0 ŸW [ Q har sammenheng med [ D ŸW, [ Q [ D ŸQ7 tøysignalet H 0 ŸW avhenger av kvantiseringsstøyen H Q Fourier-transformasjon gir ; 0 ŸM(! Q" [ Q + 0 ŸM( H "M(Q7 Ÿ! Q" [ Q H "M(Q7 + 0 ŸM( ;ŸH M(7 + ampling av kontinuerlige signaler 54
TE6146 ignalbehandling '/$ RPIRUPLQJ,,,, Har videre at ;ŸH M(7 1! ; 7 D ŸMŸ( " 2=N 7 N" Får nå ; 0 ŸM( 1! ; 7 D ŸMŸ( " 2=N + 7 0 ŸM( N" Dersom ; D ŸM( er båndbegrenset til frekvenser under =/7, overlapper ikke skiftede kopier av ; D ŸM( Definerer kompensert rekonstruksjonsfilter + UŸM( + UŸM( + 0 ŸM( ampling av kontinuerlige signaler 55
TE6146 ignalbehandling '/$ RPIRUPLQJ,,9 Utgang fra filteret blir [ D ŸW dersom inngangen er [ 0 ŸW Vet at + 0 ŸM( 2sinŸ(7/2 H "M(7/2 (ZOH) ( så (7/2 + 0 ŸM( sinÿ(7/2 HM(7/2, ( =/7 e Fig 454 for frekvensresponser ampling av kontinuerlige signaler 56
TE6146 ignalbehandling '/$ RPIRUPLQJ, 9 Rekonstruert utgangssignal [ U ŸW! [ Q Q"! [ Q Q" Utgangen gitt som sin =ŸW"Q7 /7 =ŸW"Q7 /7 sin =ŸW"Q7 /7 =ŸW"Q7 /7! H Q Q" sin =ŸW"Q7 /7 =ŸW"Q7 /7 [ U ŸW [ D ŸW H D ŸW er på totalsystemet for digital signalbehandling av analoge signaler: UŸW \ D ŸW H D ŸW Har < D ŸM( + UŸM( + 0 ŸM( +ŸH M(7 + DD ŸM( ; F ŸM( ampling av kontinuerlige signaler 57
TE6146 ignalbehandling '/$ RPIRUPLQJ, 9, Antar at kvantiseringstøyen er hvit med varians @ 2 H 2 /12 Får effektspekteret til utgangsstøyen 3 HD ŸM( + UŸM( + 0 ŸM( +ŸH M(7 2 2 @ H dvs at støyen endres av etterfølgende trinn Har også + HII ŸM( + UŸM( + 0 ŸM( +ŸH M(7 + DD ŸM( Korreksjoner for tidligere eller senere trinn (anti-aliasing filter, holdeelement, rekonstruksjonsfilter etc) kan inkluderes i det diskrete systemet Utgangen påvirkes av den filtrerte kvantiseringstøyen Det genereres også støy internt i det diskrete systemet Denne filtreres av senere trinn ampling av kontinuerlige signaler 58
TE6146 ignalbehandling 2VXPPHULQJ Har sett hvordan diskrete signaler fremkommer ved sampling av kontinuerlige signaler Vet at frekvensspekteret repeteres Nyquist-kriteriet Diskret prosessering av kontinuerlige signaler Rekonstruksjon Impulsinvarians Endring av samplingsraten Multirate signalbehandling Prefiltrering A/D og D/A konvertering ampling av kontinuerlige signaler 59