Kursblogg med stikkord og læringsmål Det er viktig å komme i gang. Fristen for innleveringsoppgavene blir torsdagene kl. 4.00 i uke 36, 37, 39, 40, 4, 43, 44, 46 der 6 av 8 skal bli godkjente for å kunne ta eksamen og de siste må være godkjente. Uke 34 - Kapittel.-0 Stikkord:. Mengder, lukket og åpnet intervall. Tallinjen og de reelle tallene Reelle tall, gjeldende siffer, tall på standardform.3 Regning med reelle tall Regler for potensledd.4 Røtter.5 Relativ økning og vekstfaktor Vekstfaktor og vekstprosent (rentefot).6 Rasjonale og irrasjonale tall.7 Polynomdivisjon.8 Logiske slutninger.9 Løsning av likninger.0 Summetegn og geometriske rekker Dette har vi lært i kapittel Generelt grunnlag Tall og størrelser Tall på standard form: a 0 ±n der a < 0 og n = 0,,,
Noen grunnleggende regneregler a + b = a c c + b c a + b c = a c b c a b c = ac bc a b : c = a b c = a bc a : b c = a c b = ac b a b c d = a b c d = ad bc a b a c = a b c = a bc c b = ac b Potensregler a m a n = a m+n a m a = n am n (ab) n = a n b n n am = a m n a n = a n a n = a n (a n ) m = a nm a 0 = Vekstfaktor En verdi endrer seg fra x 0 til x. ) Absolutt endring: x x 0, ) Relativ endring: x x 0 x 0 3) Vekstfakror: x x 0 En verdi endrer seg med rentefot p prosent pr. tidsenhet (år, mnd, osv. ). Vekstfaktor er da + p 00 Rentefot (p) En verdi vokser med 5 %,5 En verdi synker med 5 %,58 En verdi vokser med 00 % Vekstfaktor
Hvis en verdi K 0 har endret seg med p % i i løpet av en tidsenhet, er verdien etter n tidsenheter gitt ved: K(n) = K 0 ( + p 00 )n Logiske slutninger Et utsagn p kan ha sannhetsveriden (sann) eller 0 (usann). Kunjuksjon p q og disjnuksjon p q p q er sann bare når både p og q er sanne. p q er usann bare når både p og q er usanne. Implikasjon p q p kalles premiss og q for konklusjon. Implikasjonen kan formuleres på mange måter: p impliserer q. p medfører q. p bare hvis q. Hvis p, så q. p er nødvendig betingelse for q og q er tilstrekkelig betingelse for p. En implikasjon er alltid sann unntatt bare når sann premiss (sannhetsverdi ) medfører usann konklusjon (sannhetsverdi 0). Ekvivalens p q Biimplikasjonen p q (leses "hvis og bare hvis") er sann bare hvis begge utsagn p og q er sanne eller begge er usanne. Andre gradsligninger LIgning a 0 ax + bx + c = 0 Løsning x = b ± 3 (b 4ac) a ax + bx = 0 x = 0 b a c ax + c = 0 x = ± a
Uke 35: Kapittel.,.-.4. Plangeometri og koordinatsystem - Rette linjer (parallelle (a = a og lodrette linjer) - Avstander og litt om geometriske figurer - Trekanter og Pytagoras. Funksjoner - Definisjons- og verdimengder - Lineære funksjoner - degradsfunksjoner og parabler - Potensfunksjoner. Invers funksjoner Hvilke funksjoner er inverterbare og hvordan man finner inversfunksjonen? - Monotonitet- strengt voksende/avtagende.3 Lineær programmering.4 Skifte av lineære skala Funksjoner En Funksjon f er en regel som tilordner et hvert element, x, fra en mengde kalt definisjonsmengde, til et entydig bestemt element, y, i en mengde kalt verdimengde: y = f (x) der x D f og y V f Noen spesielle funksjoner Lineære funksjoner: y = ax + b, Andre gradsfunksjoner funksjoner: y = ax + bx + c der a 0, Polynom funksjoner: p(x) = a 0 + a x + a x + + a n x n. Rasjonale funksjoner y = p(x) der q(x) 0, q(x) Eksponentialfunksjoner y = Ce kx, der C 0, Logaritme funksjoner y = log x, y = ln x,. Lineære funksjoner En punktsformel (et punkt (x 0, y 0 ) og stingsstallet, a, er kjent): y = y 0 + a(x x 0 ) To punktsformel((x 0, y 0 ) og (x, y ) er kjente): y = y 0 + a(x x 0 ) der a = y y 0 x x 0
Andre gradsfunksjoner For å tegne grafen til f (x) = ax + bx + c, finner man: Grafen smiler når a > 0 og er sur når a < 0., Nullpunkt(ene): x = b ± b 4ac a Symmetri linjen s = b a, For å bestemme bunnpunktet (a > 0 eller topppunktet (a < 0 er da: ( x= b a, y = f ( b a )) Inverse funksjoner Anta f er en kontinuerlig funksjon definert på et intervall. Da har f en invers funksjon hvis og bare hvis den er en-entydig funksjon. En en-entydig funksjon er strengt voksende/avtagende. La f og g være to funksjoner. Vi sier at f og g er inverse funksjoner dersom: f (g(x)) = x for alle x i definisjonsmengden, x D g, g(f (x)) = x for alle x i definisjonsmengden, og x D f. D f = V g, V f = D g. Da er g(x) = f (x) og f (x) = g (x). Skjæringssetningen La f være kontinuerlig i [a, b]. Dersom funksjonsverdiene i endepunktene har forskjellige fortegn, har da ligningen f (x) = 0 minst ett nullpunkt i dette intervallet. Dersom f er i tillegg monoton i intervallet, har f (x) = 0 kun ett nullpunkt i intervallet. Lineær programmering Lineær programmering (lineær optimalisering) er en matematisk metode for å bestemme en måte å oppnå det beste resultatet (for eksempel maksimal profitt eller lavest kostnad) i en gitt matematisk modell for noen liste over krav representert som lineære sammenhenger. Bestem største eller minste verdien til målfunksjonen f (x, y) = c x + c y, under betingelsene: x 0; y 0 a x + b y c a x + b y c a n x + b n y c n
- En ønsker å minimere eller å maksimere et mål. - En kan spesifisere målet som en lineær funksjon av spesifikke variable. - En kan spesifisere de tilgjengelige ressursene som ulikheter eller likheter på disse variablene. Hvis et problem tilfredsstiller de tre punktene over, kan det løses ved hjelp av lineær programmering. Skifte av lineær skala Tenk at vi har to forskjellige linære skalaer og to par samsvarende verdier: u 0 u u u-akse x 0 x x x-akse Omregningsformelen kan skrives som: u u 0 u u 0 = x x 0 x x 0 Lage en felles plattform - Mye er nok kjent for mange fra før. Du må kunne et punktsformel og topunktsformel og tegne en rett linje. Prøv å lage egne notater, og skriv detaljene som du synes det er viktig.
Uke 36: Kapittel 3.-3.5 Kap. 3 Periodiske fenomen - Trigonometriske funksjoner 3. Periodiske funksjoner. Sinus og cosinus Vinkelmål, sin, cosinus, tangens og enhetssirkel, kjente vinkler 3. Trigonometriske funksjoner Å bruke enhetssirkel til å tegne grafen til sin, cos og tan Å forklare sin, cos og tan til vinkelene α, π α, π + α, π α. Fra sin/cos og trekanter til trigonometriske funksjoner- Periodiske funksjoner- Grader og radianer- Enhetssirkelen- Formler for cos/sin- Odde og jamne funksjoner Inverse trigonometriske funksjoner- Trekantsetninger- Formlikhet I hvilke intervaller er sin x, cos x og tan x inverterbare? Trigonometriske formler: enhetsformel, sin, cos og tan til u ± v Bruke u ± v -formler til å sette opp trigonometriske formler for dobbel vinkel (x). Trigonometriske ligninger 3.3 Noen setninger om trekanter Arealsetning, sinussetning, cosinussetning 3.4 Harmoniske svingninger Middelverdi, amplitude, sirkelfrekvens (vinkelfrekvens), akrofase (fasevinkel) t 0 er avstanden fra første nullpunkt til origo. t 0 er avstanden fra første nullpunkt til origo. f (x) = C 0 + C sin(ω(t t 0 )) f (x) = C 0 + C cos(ω(t t 0 )) 5 4 3 y 5 4 3 y 0 x 0 x π 0 π 3π π π 0 π 3π π 3.5 Omskriving av harmoniske svingninger Omskriving av harmoniske funksjoner- Polarkoordinater (neste side) 3.6 Addisjon av harmoniske svingninger
Omregning fra polarkoordinater til punktet P(r, θ) til kartesiske koordinater(a, b): a = r cos θ b = r sin θ () r = a + b θ = tan ( b a ). Trigonometri (trekantm ling)i er læren om forholdet mellom vinkler og sider i en trekant. Trigonometriske funksjoner er nyttige for modellering av periodiske fenomener,. Vinkelmål: To kjente mål for vinkel er grader(d) og Radianerr(R). Forholdet mellom D grader og radiane(absolutt vinkelmål) er: 80 = R o π Trigonometri i grader a 3. Sinussetningen: sin A = b sin B = c sin c 4. Cosinussetningen: a = b + c bc cos A b = a + c ac cos B c = a + b ab cos C 5. Arealsetningen: A = bc sin A = ac sin B = ab sinc Trigonometri i radianer 6. Enhetssirkel :
7. Enhetsformel sin x + cos x = 8. Kjente vinkler: 9. Tangens: tan x = sin x cos x 0. Kvadranter. kv.. kv. 3.kv. 4.kv. sin + + cos + + tan + +. Komplementære- og supplementvinkler For en vinkel 0 θ π gjelder det: sin( θ) = sin(θ) sin(π θ) = sin(θ) cos( θ) = cos(θ) cos(π θ) = cos(θ). Formler for summen og differansen mellom to vinkler: sin(α ± β) = sin(α) cos(β) ± cos(α) sin(β) cos(α ± β) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) tan(α) ± tan(β) tan(α ± β) = tan(α) tan(β) 3. Dobbelt vinkelformler: sin(α) = sin(α) cos(α) cos(α) = cos (α) = sin α 4. Kjente vinkler π 0 6 sin α 0 3 cos α 3 tan α 0 3 π 4 π π 3π π π 3 3 0 0 0 0 3 0 0
5. Trigonometriske funksjoner er ikke injektiv(en-entydig) i intervallet [0, π]. For å kunne definere inverse funksjoner må vi definere en del av definisjonsmengden slik at funksjonen er injektiv(en-entydig). Her er det et oversikt over intervallet der funksjoner er injektive: Injektivitet f (x) sin(x) D f [ π, π ] cos(x) [0, π] tan(x) ( π, π ) cot(x) (0, π) 6. Her er det grafen til: y = sin (x), y = cos (x), y = tan (x) og y = cot (x), der cot x = tan x
7. Omregning fra polarkoordinater til punktet P(r, θ) til kartesiske koordinater(a, b): a = r cos θ b = r sin θ r = a + b θ = tan ( b a ) 8. Omregning fra kartesiske koordinater (a, b) til polarkoordinater(r, θ): r = a + b og θ = tan ( b a ). 9. omskriving av a cos(ωt) + bsin(ωt) på formen: C cos ω(t t 0 ) der 0 t 0 < π C = a + b og tan ωt 0 = b a a = 0, b > 0 t 0 = ω (π ) a = 0, b < 0 t 0 = ω (3π ) a > 0, b > 0 t 0 = ω tan ( b a ) a < 0, b > 0 t 0 = ω (π tan ( b a ) a > 0, b = 0 t 0 = 0 a < 0, b = 0 t 0 = ω π a < 0, b < 0 t 0 = ω (π + tan ( b a ) a > 0, b < 0 t 0 = ω (π tan ( b a ) 0. Grafen til funksjonen y = C +Asin ω(t t 0 ) kan tegnes ved hjelp av C (likevektslinjen: y = C) A(amplitude), ω (vinkelfrekvens, sirkelfrekvens) og t 0 (akrofase). Perioden T er T = π ω. Bemerk at : Akrofasen t 0 er avstanden fra: i) første nullpunkt til y-aksen for: y = c + a sin ω(t t 0 ) ii) første topppunkt til y-aksen for: y = c + a cos ω(t t 0 )
Her ser vi grafen til: y(x) = 6 + sin π(x 0, 5) = 6 sin(πx) eller: y(x) = 6 + cos π(x ) Akrofasen til y = C + Asin(ωt t ) er t 0 = t ω.. Gitt to harmoniske funksjoner:f (t) = C cos(ωt φ ) og g(t) = C cos(ωt φ ), der C 0 og C 0. Funksjonen f (t) + g(t) amplituden: C = C + C + C C cos(φ φ ) Test deg selv: Sjekk at du klarer å tegne grafene til sin x, cos x, tan x, sin x, cos x, tan x på egen hand ut å sjekke boken. Hvordan kan man omgjøre (a, b) til (r, θ) polar når a, b eller begge er negative.
Uke 37 4. Kontinuitet og grenser 4. Begrepene kontinuitet og grense Ensidige grenser Kontinuitet 4. Beregning av grenser 0 0 (faktorisering eller L Hopitals regel) (del telleren og nevneren med dominerende ledd) 4.3 Nullpunkter og ekstremalpunkter Skjæringssetningen (kan brukes til å undersøke om en ligning har minst en løsning på et intervall: dersom f (a) f (b) < 0, har ligningen f (x) = 0 minst en løsning i intervallet [a, b]) Ekstremalverdisetningen 4.4 Følger Konvergens av tallfølger 4.5 Rekker Geometiske rekker og summen Manipulasjon av rekker Grenseverdi og kontinuitet Grenseverdi beskriver en verdi funksjonærmer seg når x-verdi nærmer seg mot punktet x = a og betegnes ved lim f (x). Dersom denne verdien er et entydig bestemt tall når x x a nærmer seg mot x = a fra begge sider, eksisterer grenseverdien. lim f (x) = lim f (x) x a + x a Dersom denne grenseverdien er uendelig eller ikke et bestemt tall, har funksjonen ingen grenseverdi i dette punktet. Når man skal bestemme hvordan en funksjon oppfører seg når x går mot uendelig (horisonatal asymptote), regner man: lim x a f (x) g(x) = 0 0 lim f (x) x f (x) Dersom lim x a g(x) = 0 0 og f (x) og g(x) er polynom funksjoner, er det vanligvis telleren faktoriserbar med (x a), (x a) og i noen tilfeller med ( x a). Eksempel: x 9 lim x +3 lim x 5 x 3 = 0 0 = lim x +3 x 5 x + 5 = 0 0 = lim x +3 x 9 x 3 = 0. x 9 x 3 = 0.
lim x f (x) g(x) = Kontinuitet a m x m + a m x m + a x + a 0 lim x b n x n + b n x n + b x + b 0 a m = lim x m n = x + b n Eksempel: lim x + lim x + lim x + 0 hvis m < n, a m hvis m = n, b n (ingen grense) hvis m > n 6x + 7 x 3 + 5x = 0 6x + 7 x + 5x = 3 6x 3 + 7 = (ingen grense) x + 5x Hvis en funksjon f (x) er kontinuerlig i x = a, er grafen til funksjonen sammenhengende(glatt) i dette punktet. Dette innebærer at funksjonsverdi er like grenseverdien i dette punktet: f (a) = lim f (x) = lim f (x) x a + x a Hvis funksjonen er kontinuerlig i alle punkt i et intervall I, er funksjonen kontinuerlig i intervallet. Sammensetningen av kontinuerlige funksjoner er kontinuerlige. For å undersøke om en oppdelt funksjon er kontinuerlig i et intervall, er det viktig å sjekke om funksjonen er kontinuerlig i endepunktene i intervalllene der funksjon er definert. Asymptoter En funksjon f (x) har en vertikal asymptote x = a når: lim f (x) = ± x a ± En rasjonalfunksjon kan ha vertikale asymptoter der nevneren har nullpunkt. En funksjon f (x) har en horisontal asymptote y = b når: lim f (x) = b x ± Test deg selv: Definer grenseverdi- og kontinuitets-begrepet Hva handler ensidige grenser om? Kan du regne videre oppgaver med [ 0 0 ] [ ] Formuler Skjæringssetningen (mellomverdi-setningen) og ekstremalverdisetningen.
Uke 38 - Eksponential og logaritme funksjoner ) a n a x = a x+ y ) (a x ) y = a x y 3) (ab) x = a x b x 4) a n = /a n 5) a /n = n a, n am = ( n a) m Vi så på grenseverdier lim x + ax = og lim x ax = 0 der a > lim x ax = 0 der a > og lim x ax = der a < Potensfunksjoner Potensfunksjoner kan skrives på formen f (x) = C x n der C, n er reelle tall og a > 0. Eksponentialfunksjoner Eksponential funksjoner kan skrives på formen f (x) = Ca x der grunntallet a > 0, eller på formen f (x) = Ce kx. Funksjonen f (x) = Ca x er stigende når: C > 0 og a > eller når C < 0 og 0 < a <. Funksjonen f (x) = Ca x er synkende når: C < 0 og a > eller når C > 0 og 0 < a <. Funksjonen f (x) = Ce kx er: stigende når C og k har samme fortegn, det vil si enten k > 0 og C > 0 elller k < 0 og C < 0. synkende når C og k har motsatt fortegn, det vil si enten k < 0 og C > 0 elller k > 0 og C < 0. Logaritmer og logaritmiske funksjoner Logaritmen av et tall er den eksponenten der annen fast verdi, den basen, må heves for å produsere det tallet. For eksempel er logaritmen 000 med basisen (grunntallet) 0 er 3, fordi 000 er 0 opphøyd 3: 0 3 = 000. Mer generelt: y = a x x = log a x, der a > 0.
Hvilket betyr logaritmiske funksjoner og eksponentialfunksjoner er inversfunksjoner. Som et resultat av f (f (x)) = x får vi: e ln x = x ln(e x ) = x Briggiske og naturlige logaritmer Inverse funksjonen til 0 x er log 0 x som kalles Briggske logaritmisk funksjonen og skrives som log x eller lg x. Inverse funksjonen til e x er log e x som kalles den naturlige logaritmisk funksjonen og skrives som ln x. Euler-tallet e kan defineres slikt: Regneregler for logaritmer e = lim n ( + n )n log A + log B = log AB log A log B = log A B log A n = n log A log A = log A ln A + ln B = ln AB ln A ln B = ln A B ln e A = A ln A = ln A log = 0, log 0 = ln = 0, ln e = Vekstfaktor og modellering. Hvis en verdi endrer seg med rentefot p prosent pr. tidsenhet (år, mnd, osv.), er vekstfaktoren da + p 00 Hvis en verdi K 0 har endret seg med p % i i løpet av en tidsenhet, er verdien etter n tidsenheter gitt ved: K(n) = K 0 ( + p 00 )n. Hvis en verdi y endrer seg med vekstfaktor b i løpet av tiden T, kan man sette opp funksjonen: t y(t) = y 0 b T 3. Hvis en verdi er b-doblet i løpet av T tidsenheter (T år, T mnd., ), kan man sette opp funksjonen for y(t) ved tiden t. t y(t) = y 0 b T
Fordoblingstid og halveringstid 4. Gitt funksjonen y(t) = y 0 a t. Fordoblingstiden er da T = ln ln a. Halveringstiden er da T (/) = ln ln a. b-doblingstiden er T (b) = ln b ln a 5. Gitt funksjonen y(t) = y 0 e λt. Fordoblingstiden er da T = ln λ. Halveringstiden er da T (/) = ln λ. b-doblingstiden er T (b) = ln b λ 6. En eksponential funksjon med grunntall a kan skrives som en eksponentialfunksjon med grunntall e: y(t) = y 0 a t = y 0 e (ln a)t. Nyttig å huske 7. Ved t = 0, har y verdien y 0. Verdien er halvert i løpet av T tidsenheter Man kan sette opp en funksjon ved tiden t: t y = y T 0 8. Ved t = 0, har y verdien y 0. Verdien er fordoblet i løpet av år. Man kan sette opp en funksjon ved tiden t: t y = y 0 T 9. Vekstfaktor (b) for en verdi som vokser eksponentielt med rentefot p% pr. tidsenhet er; b = ( + p 00 ) og dermed rentefoten uttrykt ved vekstfaktor b er p = (b ) 00). 0. En verdi y vokser eksponentielt med p% pr. år. Hvor mange prosent vokser den med: i) pr. mnd? ii) pr. 0 år? iii) pr. dag? i) ( + p 00 ) angir vekstfaktor pr. mnd og verdien vokser da med: [( + p 00 ) ] 00.
ii) ( + p 00 )0 angir vekstfaktor pr. 0 år og verdien vokser da med: [( + p 00 )0 ] 00. iii) ( + p 00 ) 365 angir vekstfaktor pr. dag og verdien vokser da med: [( + p 00 ) 365 ] 00. Aktuell for kapittel 9.4 Vi så nærmerer på grafen til y = Ce kx og nevnte at: Hvis C k > 0, er funksjonen stigende Hvis C k < 0, er funksjonen stigende Her er det tegnet 4 3 y a) y = e x og y = e x b) y = e x og y = e x 0 x -4-3 - - 0 3 4 3 Aktuell for kapittel 9.5 Her er det tegnet a) y = + e x og y = + e x b) y = e x og y = e x
4 3 y 0 x -4-3 - - 0 3 4 3 Grafen til eksponential funksjoner Grafen til funksjoner med negative eksponenter er tegnet stiplede. a) y = 3e x og y = 3e x b) y = 3e x og y = 3e x c) y = 4 3e x og y = 4 3e x c) y = 3 4e x og y = 3 4e x 3 y 3 y 0 x -4-3 - - 0 3 4 0 x -4-3 - - 0 3 4 3 3
4 3 y 4 3 y 0 x -4-3 - - 0 3 4 0 x -4-3 - - 0 3 4 3 3 Aktuell for kapittel 9.6 3 a) f (x) = + e x 3 b) f (x) = + e x Bemek at begge har skjæringspunkt med y-aksen i f (0) = : I del a) er nevneren synkende (negativ eksponent og positiv koeffisient()) dermed funksjonen stiger. I del b) er nevneren stigende (positiv eksponent og og positiv koeffisient()) dermed funksjonen synker. 3 y 0 x -4-3 - - 0 3 4
Uke 39/40 Det har vi lært i kapittel 6 Derivasjon og anvendelser 6. Introduksjon 6. Infinitesimal-notasjon 6.3 Betydningen av den deriverte 6.4 Høyere ordens deriverte 6.5 Derivasjon av inverse funksjoner 6.6 Funksjonsdrøfting 6.7 Fysisk tolkning av derivasjon 6.8 L Hopitals regel 6.9 Taylorpolynomer og Taylorrekker Definisjon og formler Derivasjon kan fortelle oss hvor raskt en størrelse er i ferd med å endre seg ved et bestemt punkt: d f d x = f f (x + h) f (x) (x) = lim h 0 h Ved å finne den deriverte til en funksjon i et punkt på en kurve, finner man stigningstallet akkurat der, og denne kan kalles vekstraten for dette punktet eller momentan hastighet. En kontinuerlig funksjon er deriverbar i et punkt dersom man kan tegne bare og bare en tangent i dette punktet. En funksjon er ikke deriverbar der den er diskontinuerlig. Den er heller ikke deriverbar i et knekkpunkt eller i endepunkt. Regler. Linearitet regelen: (au + bv) = au + bv, der a, b er konstanter, u og v er funksjoner.. Produktregelen: (u v) = u v + uv 3. Kvotientregelen: ( u v ) = u v uv v 4. Kjerneregelen: f (u(x)) = d f du u eller d d x f (u(x)) = d f du du d x For eksempel endringshastigheten til volumet til en kule kan uttrykkes ved endringshastigheten til radien til kulen: d d t V (r(t)) = dv dr dr d t = d dr (4π 3 r3 ) dr d t = 4πr dr d t
Formler f (x) f (x) Kjerneregelen k 0 x n nx n (u n ) = nu n u e x e x (e u ) = e u u (e kx ) = ke kx a x a x ln a (a u ) = a u ln a u sin x cos x (sin u) = cos u u (sin kx) = k cos kx cos x sin x (cos u) = sin u u (cos kx) = k sin kx tan x + tan x (tan u) = ( + tan u) u = cos x (tan kx) = k( + tan kx) ln x sin x cos x tan x x x x Anvendelser (ln u) = u u (sin u) = u u (cos u) = u u (tan u) = + x + u u 5. Vekstraten til funksjonen y = f (x) i punktet x = x 0 : f (x 0 ). 6. Ligningen til tangentlinjen i et punkt x = a er da: y = f (a) + f (a)(x a) 7. Lineær approksimasjon f (x) f (a) + f (a)(x a) Denne formelen gir en god tilnærming for f (x) hvis x er nær nok til a.
8. L Hopitals regel: La f (x) og g(x) være to deriverbare funksjoner i x = a. Dersom gjelder det: lim f (x) = 0 og lim g(x) = 0, x a x a f (x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x) 9. Test for lokale ekstremalpunkter: Anta at D f er et åpent intervall, og at f er deriverbar i a. Hvis x = a er et lokalt ekstremalpunkt for f, så er f (a) = 0. (legg merke til at det gjelder ikke omvendt at hvis f (a) = 0, så x = a er en ekstremalpunkt, for eksempel f (x) = x 3 ). 0. Å bestemme største eller minste verdien til y = f (x) begrenset i intervallet [a, b] : ) Finn funksjonsverdiene for indre punktene i I der f (x) = 0 og der f (x) ikke eksisterer. ) Finn funksjonsverdiene i endepunktene. 3) Sammenlign disse og besteme Globale/Lokale maksimums- og minimumspunkt.. Optimeringsproblemer: I slike oppgaver skal man sette opp en funksjon f (x) og bestemme hvor f (x) = 0.. Hastighetskoblede oppgaver: Kjerneregelen kan ofte anvendes i slike oppgaver. For eksempel endringshastigheten til volumet til en kule kan uttrykkes ved endringshastigheten til radien til kulen. V (r(t)) = d dv dr d t dr d t Nyttig å huske og d representerer Lagrange og Leibniz notasjonen henholdsvis. d x er en infinitesimal d x endring for x. Det er ikke alle funksjoner som er deriverbare. Dersom funksjonen er diskontinuerlig eller har et loddrett tangent i et punkt, er funksjonen ikke deriverbar. Et kritisk punkt er der f (x) = 0. Lokalt maks/min punkt: et eller flere kritiske punkt som har de høyeste eller laveste verdiene innenfor et avgrenset definisjonsområde. Globalt maks/min punkt: et eller flere kritiske punkt som har de høyeste eller laveste verdiene, for alle definerbare verdier. Globale maks/min punkt kan i mange tilfeller ikke eksistere i det hele tatt. Rolles teorem nta at f er kontinuerlig på [a, b] og deriverbar på a, b. Hvis f (a) = f (b), så fins minst ett punkt c a, b slik at f (c) = 0 (det vil si funksjonen kan ha minst et ekstremalpunkt).
Middelverditeoremet La f være kontinuerlig på [a, b] deriverbar på a, b. Da fins c a, b slik at f (b) f (a) = f (c). b a Uke 40/4 Det har vi lært i kapittel 7 Integrasjon og anvendelser Oversikt: 7. Ubestemte integraler 7. Bestemte integraler 7.3 Anvendelser av det bestemte integralet 7.4 Integrasjon ved substitusjon 7.5 Delvis integrasjon 7.6 Alternativ teori for eksponensialfunksjoner og logaritmer Integrasjon og formler Det å integrere handler om å finne anti-deriverte til funksjoenen. En anti-derivert til en funksjon f (x) er en deriverbar funksjon F(x) slik at F (x) = f (x). f (x)d x = F(x) + C, der F (x) = f (x) f (x) kalles integrand. F(x) er antideriverte til f (x), d x er infinitesimalt lengde element og x er integrasjonsvariabel. Alle kontinuerlige funksjoner er integrerbare. Hvis f er begrenset i [a, b] og har et endelig antall diskontinuiteter i intervallet, så er f integrerbar i intervallet.
Formler f (x)d x = F(x) + C f (x) F(x) + C k kx + C x n n + x n+ + C x der n ln x + C e x e x + C a x ln a ax + C sin x cos x tan x x x cos x + C sin x + C ln cos x + C sin x + C cos x + C + x tan x + C Det kan lett vises ved help av substitusjon : e kx d x = k ekx + C a kx d x = k ln a akx + C cos(kx)d x = k sin(kx) + C sin(kx)d x = k cos(kx) + C Regler og integrasjonsmetoder ) Linearitet regelen: (a f (x) + bg(x))d x = a f (x)d x + b g(x)d x der a, b er konstanter, f og g er to funksjoner. ) Substitusjon metoden bygger på kjerneregelen: h(u(x))u (x)d x
Denne metoden benyttes når begge u og u dukker opp i integralet. Her velger man en hjelpevariabel u = u(x), som kan hjelpe oss å få forenkle integralet og husk å erstatte d x = u du. Her er det noen eksempler som kan vise hvordan man velger u: Integral u d x = u du x cos(x )d x u = x d x = x du xe x d x u = x d x = x du (ln x) n d x u = ln x d x = xdu x der n =., 3, 3) Delvis integrasjon: uv d x = uv u vd x Delvis integrasjon benyttes blant anne når: Integral u v (ax + b) sin(kx)d x ax + b sin(kx) (ax + b) cos(kx)d x ax + b cos(kx) (ax + b)e kx d x ax + b e kx (ax + b) ln xd x ln x ax + b x n ln xd x ln x x n x n e kx d x x n e kx e kx cos(αx)d x x n e kx Her kreves n ganger delvis integrasjon. Her kreves ganger delvis integrasjon. Regler for bestemt integral Anvendelser ) ) b b a a f (x)d x = f (x)d x = c a a b f (x)d x f (x)d x + b c f (x)d x, der a < c < b. Arealregning: Arealet avgrenset av kurven til y = f (x), x-aksen i intervallet a x b kan bestemmes ved:
A = b a f (x)d x. Arealet mellom to grafene til y = f (x) og y = g(x) kan regnes ved: A = x x [ f (x) g(x)]d x der x og x er skjæringspunktene mellom to grafene. 3. Volumregning: Når arealet avgrenset av kurven til y = f (x), x-aksen i intervallet a x b roterer en gang om x-aksen, er voulmet til omdreiningslegemet gitt ved V = π b a [ f (x)] d x 4. Samlet verdi La en funksjon l y = f (x) værre definert i intervallet a x b. Samletverdi til funksjonen i intervallet kan beregnes ved: S = b a f (x)d x 5. Middelverdi: La en funksjon y = f (x) være definert i intervallet a x b. Middelverdien til funksjonen i intervallet kan beregnes ved: f (x) = b f (x)d x b a a 6. En tank fylles med vann med en netto tilstrømningshastighet på v = v(t) volum enhet/tidsenhet. Endringen i vannvolumet i tanken i løpet av tidsintervallet [t 0, t ] kan bestemmes slik: V = t t 0 v(t)d t Hvis vannmengden i tanken ved t 0 er V (t 0 ), er vannvolumet ved tiden t (tidsenheter) gitt ved: V (t) = V (t 0 ) + t t 0 v(τ)dτ
Nytt å huske For en kontinuerlig funksjon y = f (t) gjelder det: F(t) = F(0) + t 0 f (τ)dτ der F er anti-deriverte til f. Uke 4/4 Det har vi lært i kapittel 9 Differensialligninger og anvendelser Differensiallikninger 9. Hva er en differensiallikning? 9. Differensiallikningsmodeller for populasjoner 9.3 Retningsdiagrammer og integralkurver 9.4 Differensiallikningen y =ay 9.5 Lineære første ordens likninger y 9.6 Differensiallikningen y = a y + b y + c 9.7 Separable differensiallikninger En differensialligning beskriver en sammenheng mellom en funksjon og dens deriverte. Klassifisering(type) En differensialligning er lineær dersom ligningen er lineær med hensyn til den ukjente funksjonen og dens deriverte. Lineær y + y cos x = e x y + x y = ln x Ikke lineær y + x cos y = e x y + y x = ln x Har differensialligningen minst et ledd uten den avhengige variabelen, er differensialligningen inhomogen ellers den er homogen. Homogen y + y cos x = 0 y + x y = ln x Ikke homogen y + x cos y = e x y + y x = ln y I læreboken vektlegges følgende differensialligninger:
) Separable differensialligninger ) Første orden av typen: 3) Første orden av typen: y = f (x)g(y) y = a y + b y = a y + b y + c der a y + b y + c har to ulike reelle løsninger. (se oppgave 9.7. for dobbelløsning) Separable diff. ligninger på formen: d y d x = f (x)g(y) Ligningen kan løses ved separasjon: Løs integralet og bestem y = y(x). g(y)d y = f (x)d x Første orden differensialligninger, y = a y, y = a y + b og y = a y + b y + c Hvis vekstraten d y d y er proporsjonal med y, kan man få differensialligningen: d x d x er det løsning til noen differensialligninger av første orden: = a y. Her Differensialligning y = a y Løsning y = Ce at y = a y + b y = Ce at b a y = a y + b y + c B A y = A + + Ce a(b A)t Denne formelen kan brukes når a y + b y + c = a(y A)(y B), det vil si andregradsligningen har distinkte røtter. Start betingelser (initial krav) Som oftest studeres differensialligninger der det er gitt initial- eller randbetingelser. Intialbetingelser(startkrav) gir informasjon om den avhengige variabelen ved start: y(x 0 ) = y 0. For. orden differensialligning kan startkravet hjelper å bestemme konstanten C eller k.
Noen Eksempler (Startverdi problem) Løs følgende initalverdi problem:.. 3. 4. dy d t = y, gitt y(0) = 3 gir løsningen: y = y 0e at = 3e t dy d t = y, gitt y(0) = 3 gir løsningen: y = b a + C = + Ce t, og y(0) = 3 gir y = + e t. dy = y(3 y), gitt y(0) = d t dy B A = y(y 3) = a(y A)(y B) gir løsningen: y = A+ d t + Ce = 3 a(b A)t + Ce, 3t 3 og y(0) = gir y(t) = + e. 3t dy d t = (5 y), gitt y(0) = gir løsningen: y = b a + C = 5 + Ce t, og y(0) = 3 gir y = 5 3e t. 5. dy = y(5 y), gitt y(0) = d t dy B A = y(y 5) = a(y A)(y B) gir løsningen: y = A+ d t + Ce = 5 a(b A)t + Ce, 0t 5 og y(0) = gir y(t) = + 4e. 0t Gitt differensiallignignene d y a) d t = 3(0 y) b) d y = 0.05 (0 y) y d t Gitt y(0) = 5. Løs differensialligningene og skisser integralkurvene (tegn en grov skisse av grafen til løsningskurvene). d y = 3(0 y) = 30 3y d t d y d t = a y + b gir y = Ceat b a. Dermed: y(t) = Ce 3t 30 3 = Ce 3t + 0. S(0) = 5 gir C = 5 og dermed: y(t) = 5e 3t + 0. b) d y = 0.05 y(0 y) d t d y B A = a(y A)(y B). Løsning: y(t) = A + d t + Ce a(b A)t
S = 0 + Ce 0.5t. S(0) = 5 gir C = og dermed y = 0 8 6 4 y 0 + e 0.5t. 0 8 6 4 S 0 t - - 0 0 t -5 -.5 0.5 5
Noen anvendelser (Startverdi problem) Hvis vi i tillegg til en likning F(x, y, y ) = 0 har gitt at y 0 = y(x 0 ), så sier vi at vi har gitt et startverdi problem. Når vi løser likningen, vil det dukke opp en konstant C eller k (den kommer fra integrasjonen). Ved å bruke y 0 = y(x 0 ), finner en verdi for C eller k. Differensialligning Radioaktiv stråling N = λn Løsning N(t) = N 0 e λt (gitt N(0) = N 0 ) (gir C = N 0 ) Sykdomsspredning N = λ(b N) N = e λt + B (gitt N(0) = N 0 ) (gir C = N 0 B) Logistisk vekst N B = λn(b N) N(t) = + Ce λbt (gitt N(0) = N 0 ) (gir C = B ) N 0
Noen anvendelser (modellering) - Radioaktivstråling - Vekstmodeller - Newtonsavkjølingslov dy dt = k y dn = k(b N) dt dn = kn(b N) dt dt dt = k(t T 0) Flere Anvendelser differensiallikning Grafen til løsningskurve T 0 T 0 > T T T 0 < T Temperaturendring dt dt = k(t T ), k > 0 gitt T(0) = T 0 T 0 0-0 3 t Løsning T(t) = T + (T 0 T )e kt
Anvendelser differensiallikning Grafen til løsningskurve y y 0 Radioaktiv stråling dy dt = k y gitt y(0) = y 0 Løsning y(t) = y 0 e kt Løsningskurven til dy = 3 y, dt gitty(0) = er tegnet her y(t) = e 3t 0-0 3 t y y 0 Sykdomsspredning (vekstmodell) dy = k(b y), k > 0 dt gitt y(0) = y 0 Løsning y(t) = B + (y 0 B)e kt Løsningskurven til dy dt = y, gitty(0) = er tegnet her Grafen viser y(t) = + e t y 0 > B B y 0 < B y 0 0-0 3 t B Sykdomsspredning (vekstmodell) dy = k y(b y), k > 0 dt gitt y(0) = y 0 y 0 0-3 - - 0 3 B Løsning y(t) = + Ce kt 3 Grafen viser y(t) = + e 3t