for fakultet E og F varen 998 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Lsningsforslag eksamen varen 998 Eksamen SIF5, mai 98 a) y, y +5y sin x P (r) r, r +5; r i Som gir y h e x ( cos x ++ sin x): Partikulrlsningen bestemmes vha ubestemte koesienters metode: y p (x) cos x + sin x: Dette gir y p, y p +5y (5,, ) cos x +(5 +, ) sin x sin x; dvs. 4, 4 + ; med lsning 5;. Generell lsning blir da y gen e x ( cos x + sin x)+ cos x + 5 sin x b) Her ma r vre dobbeltrot og r 4 enkelrot. Dermed (D, ) (D, )y (D, D + )(D, )y (D, 4D +5D, )y Ligningen blir flgelig y, 4y +5y, y a) For senere bruk i d) bringer vi den koesientmatrisen over pa echelonform (trappeform):,,5 5, 5 8, 8, lfeks98 5. juni 998 Side
Dermed leser vi ut en basis for Row ():, 5, 5 8, 8,,,5,,,,,,,,,5,,,, ;,5,, ; Vi ser at kolonnene, og 5 svarer til basiskolonner i den opprinnelige matrisen slik at en basis for ol () blir, ;,5,, b) Fra echelonformen i a) ser vi ogsa at x og x 4 er frie variable, og dermed far vi Null() bestemt avat x x x x 4 x 5 Null(), x 5 ; ; 8 8 : x 5x + x 4 x,x,x, x 4 x ;x 4 frie variable: x 5 x 4 t x s x 5s + t x,x,s, t lfeks98 5. juni 998 Side
Null() bestar flgelig av alle vektorer pa formen x x x x 4 x 5,s, t 5s + t s t s, 5 + t, ;s;t R: Dette betyr at er basisvektorer for Null()., 5 ; c) Det ortogonale komplementet til Null(), Null()?, er identisk med Row(), og basisen er flgelig allerede bestemt under sprsmal a). d) Fra echelonformen i a) ser vi at skal x b ha lsninger for b vre lik. a) Vi bestemmer egenverdiene: P () ji, j som gir ; ; 4.,,,,,,,,,,,,ma, +9 +4(, ) (, 4) Egenvektorer for : (, I) ; Dvs. x y er en egenvektor hvis x + y +. Her blir egenrommet E todimeansjonalt og en mulig basis for E blir Egenvektorer for 4: (, 4I) v,,,, ; v,,,,,, lfeks98 5. juni 998 Side ;
og egenrommet utspennes av b) Et mulig valg for S blir flgelig S,, S, S D ; 4 og da blir c) Fra teorien vet vi (og ser!) at egenvektorene tilhrende og 4 er ortogonale, mens v og v slik vi valgte dem ovenfor ikke er det. Vi lager en ny basis for E ved a beholde v ; u v, og nner en ny basisvektor u som er ortogonal pa u. Her kan u ha formen u v, u der vi krever at u u u (v, u ), dvs. u v u u. u v, u v u u u,,,,, (Dette er starten pa Gram-Schmidt's ortogonaliseringsprosess). Til sammen kan vi na nne en ortogonal basis for hele R basert pa u ; u og v 4 : Om vi setter p, S ; p,, p p p p, p har vi en ortogonal matrise med egenskapen i b). ; p d) Siden vi kjenner egenverdier og egenvektorer til koesientmatrisen, og siden egenvektorene utspenner hele R,kan vi sette opp lsningen umiddelbart: x(t) y(t) (t), p p p et +, ; et + e 4t e) (P ji), lfeks98 5. juni 998 Side 4
,,,,,, : P,,,,,,,,,,,, (lternativ lsning vha. adjungert matrise gir naturligvis samme svar). f) Vi observerer at systemet kan skrives som P med P, far vi x y P, x y x y x y x y, som er systemet i d). Vi far altsa samme generelle lsning og ingen ytterligere regning..ved a multiplisere 4 La G n og U n betegne antallet gifte og ugifte kvinner etter n ar. Vi har oppgitt at G G n + U n og at. U Utfra opplysningene i oppgaven kan vi sette opp G n+ G n, :G n +:U n :7G n +:U n U n+ U n, :U n +:G n :G n +:8U n Dette kan vi skrive som Gn+ U n+ :7 : : :8 Gn U n Dermed far vi G U G U G U :7 : : :8 :7 : : :8 :7 : : :8 4 5 5 4 5 5 45 55 lfeks98 5. juni 998 Side 5