Løsigsfoslag, eksae 8. desebe 998 Oppgave a) I det geeelle tilfelle ka a ta utgagspukt i uttykket D ( ) d k ( ( k) ) ( π) δ Me ut fa geoetiske betaktige av atall tilstade ello og + d se vi at di: πk D( ) d dk ( π) Fa ( k) ( + α( k) ) få vi d ( + α ( k) ) dk k ( + α ( k) ) d dk π D( ) ( + ) α 4π ( + α) π ( ± k) di: (Tilstade ved ±k; fakto ) D( ) ( + α) π d dk π ( + α ) k ( + α) + α + α D( ) π π ( + α) ( + α ) b) Fo stoe vedie av få vi følgede gese di D( ) α π di D( ) π α kostat Guppeastigete e gitt av v g k & di: v k g k ( + α ) + α + α Fo stoe gå v g ot e kostat α
c) α β k π/a lektoee a øyest eegi i jøee av BZ. De e eegie π a + a π π a a Tilstadstettete fo så eegie e so i e fi elektogass π Fo eegie støe e eegie på idte av e sidekat av BZ, f.eks. puktet (π/a,), vil vi få ide faseo tilgjegelig, ide atall tilstade iefo et eegi-itevall d. Vi få skalet esultatet ed vikele α. π π a π a α 9 β, cosβ k ( π a) siα cosβ cos β π a acsi α D( ) π π π π Vi se at D() fo π/a, dvs. i jøet av BZ. Oppgave ikρ ε εa + γ e γ a) He skal vi ta ed både æeste og est æeste abo. Næeste aboe ligge i posisjoee (±,,)a, (,±,)a og (,,±)a. Nest æeste aboe ligge i avstade a og a koodiate (±,±,)a, (±,,±)a og (,±,±)a. Dette gi: [ ik a ε ε + γ + ik a ik a + + ik a y y ika + + ika a e e e e e e ] γ i( k ± k y ) a i( k ± k y ) a i( k ± k a i k ± k a i k ± k a i k ± k a ) ( ) ( y ) ( y ) [ e + e + e + e + e + e ] [ ] [ ε + γ γ cosk a + cosk a + cosk a γ cos( k + k ) a + cos( k k ) a a y y y Dette ka også skives på foe + cos( k + k ) a + cos( k k ) a + cos( k + k ) a + cos( k k ) a y y γ ]
[ k a k a k a] [ k a kya ka k a kya ka] ε ε + γ γ cos + cos + cos a y 4γ cos cos + cos cos + cos cos b) Koodiatee til de æeste aboee e (±,)a, (±,± 3 )a Dette gi fo eegiee k a k 3a k a k 3a y + y i i + ε ε + γ γ ik a ik a e + e + e + e k a k a k a k a y 3 y 3 i i + e + e k a k k a k y y ε + γ γ coska + cos + 3a + cos k a k 3a y ε + γ γ coska + cos cos 3a Oppgave 3 a) Bevegelsesligige i et pla B feltet e gitt av v& e( v B) Videe e v k k & e( v B) dk e d dt dt B Dee itegees og gi k ( t) e ( t) B ( ) Dette vise at bae i k-oet e likefoet ed bae i -oet og skalet ed faktoe eb. b) Vi sette pøveløsige i i Scødige ligige: ieb + + ( ) ( ) + + + e i λ y k f e i y k f y λ ( ) ( )
Utføe vi deivasjo..p. y og få vi ieb + iλ + k f ( ) f ( ) d f e B + + d λ k f ( ) eb f ( ) d f e B + + d λ f ( ) f ( ) eb Dette siste e ligige fo e aoisk oscillato ( + ) og totaleegie e da gitt so ( + ) + eb c c) Aealet i k-oet e å gitt av følgede: Vi se bae på ekstealbaee de k. c( + ) c eb S k πeb π π ( + ) π ( + ) ( + ) Oppgave 4 a) Fa φ få vi at φ k ( A coske ) A k si k ( ) ( A coske + ) Asik ; tag kotiuelig. D ε D ( ) (, ) ka k cos φ ε ε D ( ) (, ) ka k cos φ ε ε Deed gi kotiuitetsteste fo D ε ε b) Med Dude fås: p p p + p [ ] ( + ) p p
Oppgave 5 Vi dele Josepso-kotakte i i så sløyfe T SL y SL B Flukse gjeo dee tekte sløyfa e φ( y) ytb og støe e poposjoal ed dy. eytb dy dj J cos c Dette itegees fa / til +/ J eytb J dy cos c J eytb etb si c c sietb c J etb c