Løsninger Innhold Innhold.... Tallregning... Tall og tallmengder... Regningsarter... 6 Å regne med negative tall... 7 Addisjon og subtraksjon av brøker... 7 Multiplikasjon og divisjon med brøker... Brudden brøk... Regnerekkefølge... 4. Potenser... 7 Regneregler for potenser... 7 Tierpotenser og tall på standardform... 0 Tall på standardform i GeoGebra... Kvadratrøtter... 5 n te-røtter... 8. Algebraiske uttrykk... Bokstavregning... Kvadratsetningene... 5.4 Likninger... 8 Metode for å løse likninger... 8 Formelregning... 47 Likningssett... 5.5 Faktorisering... 6 Uttrykk som består av bare ett ledd... 6 Uttrykk som inneholder flere ledd... 6 Faktorisering av andregradsuttrykk ved å bruke kvadratsetningene... 6 Fullstendige kvadrater... 65 Forenkling av rasjonale uttrykk... 65.6 Andregradslikninger... 70
Når konstantleddet mangler... 70 Når førstegradsleddet mangler... 7 Fullstendige kvadrater... 7 Å løse andregradslikninger med abc - formelen... 74 Likningssett av første og andre grad... 88.7 Faktorisere andregradsuttrykk ved hjelp av nullpunktmetoden... 9 Mer om forenkling av rasjonale uttrykk... 98 Likninger med rasjonale uttrykk... 05.8 Ulikheter... 08 Ulikheter av. grad... 4.9 Eksponential- og logaritmelikninger... 5 Vekstfaktor... 5 Briggske logaritmer... Eksponentiallikninger uten bruk av digitale verktøy... Enkle logaritmelikninger... 6 Bildeliste... 9
. Tallregning Tall og tallmengder.. Avgjør om påstandene nedenfor er riktige a) og 5 er naturlige tall. Riktig b) 4 er et naturlig tall. Galt c) 4 er et heltall. Riktig d) Heltall betegnes med bokstaven. Galt e) og 5 er reelle tall. Riktig f) er et rasjonalt tall. Riktig g) og 5 er rasjonale tall. Riktig h) 0, er et rasjonalt tall. Riktig i) Tallet er et irrasjonalt tall. Riktig j) Alle naturlige tall er heltall. Riktig k) Alle heltall er naturlige tall. Galt l) Alle heltall er rasjonale tall. Riktig m) Alle rasjonale tall er heltall. Galt
.. Utrykk disse intervallene/mengdene med ord a), 0, Tallene, 0 og b) 5, Alle reelle tall større enn 5 og mindre enn eller lik c), 4 Alle reelle tall større enn eller lik og mindre enn eller lik 4 d), Alle reelle tall mindre enn.. Skriv med intervalltegn/mengdetegn a) Heltallene, 0, og 0, 0,, 0 b) Alle reelle tall større enn eller lik og mindre enn eller lik 0, 0 c) Alle reelle tall større enn og mindre enn 0, 0 d) Alle reelle tall større enn 4 4, 4
..4 Skriv med intervalltegn/mengdetegn a) Alle heltall mellom og,0, b) Tre rasjonale tall mellom og 4 For eksempel 5 0,6,,0,7 8 c) Tre irrasjonale tall mellom og For eksempel,, d) Alle naturlige tall mellom og 5 4 e) Tre reelle tall mellom 4 og 5 9 For eksempel 4,,,..5 Hvilke av disse tallene er irrasjonale?,, 6, 4, 4,.4, 5 5
Regningsarter..6 Sett inn riktig betegnelse a) Når vi adderer to tall, får vi en SUM. b) Når vi subtraherer et tall fra et annet tall, får vi en DIFFERANSE. c) Når vi multipliserer to tall, får vi et PRODUKT. d) Når vi dividerer to tall, får vi en KVOTIENT...7 Vis hvor du finner ledd - faktor - teller - nevner i følgende uttrykk a) + 5 ledd ledd ledd faktor faktor b) 4 ledd ledd c) teller nevner ledd ledd teller teller d) nevner nevner faktor faktor 6
Å regne med negative tall..8 Regn ut a) ( 4) + ( 6) 4 6 0 b) 8 ( ) 8 + c) 4 4 d) ( ) ( 5) 5 Addisjon og subtraksjon av brøker Løs først alle oppgavene uten hjelpemidler. Bruk så et digitalt verktøy til å kontrollere svarene. Å utvide og forkorte brøker..9 Utvid brøkene slik at de får like nevnere 5 7 8 5 8 9 6 4 Fellesnevneren er 6. Vi utvider brøkene slik at alle får nevner 6. 5 5 7 84 84 6 6 8 6 94 6 6 78 58 70 9 7 66 6 8 6 49 6 7
..0 Forkort brøkene 6 0 6 84 7 84 8 9 6 40 56 6 6:6 : 6 : 7 : 0 0: 6 5 8 8: 6 6 6: 9 9: 84 84:6 4 6 6:6 7 7: 6: 8: 6 40 40: 0: 05: 5 84 84: 9: 96: 48: 4: 8 56 56: 8: 64: : 6: 8 8
.. Sett inn > eller < eller i hver av rutene nedenfor. Begrunn svarene dine. a) 4 4 5 0,5 4 0,5 0,75 4 0, 5 4 0, 4 0,8 5 b) 8 : 6 8 8: 6 c) 7 8 8 6 6 8 d) 4 0 6 4 4: 4 0 0: 4 5 5 6 9
Å trekke sammen brøker med forskjellige nevnere.. Trekk sammen a) + 4 6 4 6 8 6 + 8 + + 6 4 4 b) 4 + 7 47 8 + 4 67 + 7 7 c) 4 7 + + 9 4 8 6 8 44 9 7 6 8 + 6 7 + 4 : 7 + + 6 8 94 49 8 6 6:.. Trekk sammen a) b) c) d) e) 5 + 4 6 5 0 + + 4 6 4 4 8 5 4 4 4 4 4 4 + 6 + 4 7 + 4 9 6 8 4 8 + 4 + + 6 6 6 6 6 6 6 6 4 4 8 4 + 8 9 5 + + 4 4 6 9 7 4 6 9 8 6 + 9 8 7 + + 6 49 94 6 6 6 6 6 f) 5 5 5 5 0 + 45 0 7 + + 5 5 5 5 5 5 5 5 g) + 5 4 4 0 0 5 4 40 0 5 4 + 40 0 5 9 + + 54 0 0 45 0 0 0 0 0 0 0
Multiplikasjon og divisjon med brøker..4 Regn ut a) b) c) 5 5 5 4 6 4 8 5 8 8 8 5 5 5 5 7 6 : 6 4 7 4 74 6 6 66 9 8 d) 8 5 5 5 : 5 6 8 6 8..5 Regn ut a) 4 4 6 9 4 6 9 b) c) d) : 6 4 :6 6 4 4 4 6 6 4 6 : 6 6 6 6 6 7 77 7 5 4 5 4 0 0
..6 Per har 8 kroner. Ole får av pengene. Hvor mange kroner får Ole? 8 8 Ole får kroner. 6..7 a) Hvor mye er halvparten av 9? 9 8 b) Hvor mye er av 5? 5 5 c) Vi har L maling. Malingen skal fylles i små glass. I hvert glass er det plass til 5 0 L. Hvor mange glass trenger vi? 0 : 4 5 0 5 Vi trenger 4 glass.
..8 av elevene i en klasse kjører moped til skolen. Resten av elevene tar bussen. Hvor mange elever er det i klassen dersom seks elever tar bussen? De 6 elevene som tar buss er av elevene i klassen. 6 8 Det er 8 elever i klassen. Brudden brøk..9 Regn ut a) b) 7 5 7 7 5 6 5 + + 4 4 9 + 6 45 5 5 60 8 5 c) 7 + 8 6 7 9 4 76 6 6 6 + 8 6 4 6 6 + 9 9 9 76 6 8 7 89 89 9 4
..0 Regn ut a) + 0 5 7 6 5 0 0 0 0 0 5 7 0 0 6 5 0 + 5 6 0 0 + 4 4 5 8 7 b) + 4 7 6 7 4 4 4 + 4 7 6 7 4 4 6 7 4 + 4 4 49 8 Regnerekkefølge.. Regn ut a) 5+ 4 7 b) ( 5+ 4) 7 c) 0 + 8: 4 4 8 d) ( 9 + 6) 0 e) f) + 4 6 4 + 4 8 6 6 4
g) Kontroller svarene dine ved CAS i GeoGebra... Regn ut 00 00 00 a) 00 5 0 b) 9 c) 4 6 4 9 d) 4 4 4 0 0 4 4 4 e) Kontroller svarene dine ved CAS i GeoGebra. «Alt+R» gir kvadratrottegnet. 5
.. Regn ut + + 9 + + 8 + a) ( ) 4 4 4 4 8 4 8 b) ( ) ( ) c) + ( ) ( ) 9 + 9+ 8 d) 4: 4 ( ) 5 ( ) 4: 6 4 5 4: 8 5 5..4 Regn ut a) ( ) ( ) 9 6 8 ( ) 8 4 4 9 6 7 b) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 c) 4 ( ) ( ) ( ) d) 4 ( 4) + ( 4) + 4 4 + 4 4 + 4 0 4 6 8 4 8 6 8 4..5 Regn ut + 4 4 4 + 4 0 a) ( ) ( ) ( ) 4 b) ( ) ( ) 9 5 c) ( 8 7) + 5 ( ) ( ) + 5 d) ( 5 6) ( 6 5) ( ) ( ) 9 + 5 ( ) 9 6 0 6
. Potenser Regneregler for potenser.. Bruk potensreglene og regn ut a) 5 4 4 + 5 7 4 4 b) 4 4+ 5 c) 6 6 d) 9 4 6 e) 4 6 f) ( ) 4 g) 4 4 56 9 h) 4 4 6 9 7
.. Bruk potensreglene og regn ut a) + 5 b) 4 4 c) b b 4 b + b 5 4 b b b 4 b d) y y y y + 6 y y y y + 4 y y 6 4 ab a e) ( ) + 4 a b a a b a b f) ( y) 4 y 4 4 y 4 4 4 4 y y y y g) ( ab ) 5 8 ab 6 9 a b a b 6 5 9 8 a b ab 5 8 5 8 a b a b h) ( y ) ( y) 4 6 4+ 6+ 7 9 y y 4 y 8 y 4 8 y y.. Bruk potensreglene og regn ut a) ( ) a a 4a b) ( ab) a b 7a b c) ( ) 8 0 d) ( y) y y 94 y 6y y 8
..4 Bruk potensreglene og regn ut a) ( ) 4 4 4 4 b) ( ab) ab b + 0 5 5 5 a b a b b b a a b c) a b a a ab + 4 b 4 a b a b a d) ( ) ( ) ( ) 4 8 e) Kontroller svarene dine ved CAS i GeoGebra...5 Regn ut og skriv svaret med positiv eksponent a) 4 b) ( ) 64 6 6 c) 4 5 4 5 d) y y 5 y y 5 y 9
..6 Bruk potensreglene og regn ut a) ( ) ( ) ( ) 6 6 a ( ) a a a a b) y ( y ) y 4 0 4 + 8 5 y y y y c) ( b ) a b( b ) b a a bb b 6 6 4 a b a b 4 d) y z ( y z) 0 4 y z y z 4 y z z y z y Tierpotenser og tall på standardform..7 Skriv disse tallene som tierpotenser a) 000 000 b) 0, 0 6 0 c) 0,00000000 d) 000 0 0 9..8 Skriv disse tallene på standardform a) 000 000 6 6 0 b) 00 000,0 c) 4000 4 8,4 0 d) 400 000,4 0 0
..9 Skriv disse tallene på standardform a) 0,00 0 b) 0,000 0,0 5 c) 0,046 4,6 0 d) 0,000 000 678 6,78 0 7..0 Regn ut og skriv svaret på standardform a) 5,50 6,00,56,0 0 5,0 0,5 0 + 5 8 9 b) 5 + 9,0 000 9,0 0 9, 0 8,4 0,84 0 5 5 8 9 c) 5 7,50,00 5 0,5 0 5 7 d) 5 50 0,50 5 50 ( ) 5 0 50 4 50 5 4 9.. Regn ut og skriv svaret på standardform a) 5,50 6,00 7 0,50,5 5 5 0 6,00 5+ 7 0 0,00 7 0,5 0 b) 5 50,0 60 + 5 60 ( ) 0 0 0 6 0 c) 5000 0,0006 50000 5 4 0 60 0 0,0 5,5 0 4 5 6 5 d) 5 50 0,0007 70 5000 5 4 50 70 5 4 ( ) 0 0 0 70 50
Tall på standardform i GeoGebra I GeoGebra bruker vi kommandoen «Standardform[ <Tall> ]» eller «Standardform[ <Tall>, <Gjeldende siffer> ]» for å skrive et tall eller regneuttrykk på standardform. I GeoGebra benyttes også bokstaven «E» for tierpotens.. Når vi snakker om avstander i universet, bruker vi ofte betegnelsen lysår. Et lysår er den avstanden lyset tilbakelegger i løpet av ett år. Lyset har en fart på 00 000 km/s. a) Hvor mange kilometer er et lysår? lysår 9,5 0 km Lyset bruker 4 timer og 5 minutter mellom jorda og dvergplaneten Pluto. b) Hva er avstanden mellom jorda og Pluto? Avstand 00 000 km/s 4 60 + 5 60 s 9 4,80 km ( ) Solsystemet. Nærmest sola finner vi først Merkur og så Venus, Jorda og Mars. Lenger ute har vi Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun og Pluto. Mellom Mars og Jupiter ser du et belte av små planeter (asteroider). Her kan du finne mer om avstanden til Pluto.
.. I oktober 008 produserte Norge, millioner fat råolje daglig. Vi regner med en pris på råolje på 400 kroner/fat. a) Hvor mange milliarder kroner var verdien av oljeproduksjonen på denne måneden? Verdien av oljeproduksjonen var 400 kroner/fat, 0 fat 0 9,7 0 kroner 70 kroner 7 milliarder kroner 6 Oseberg, Nordsjøen I internasjonal oljeomsetning svarer et fat til 4 US Gallons eller 58,987 L. b) Hvor mange liter råolje produserte Norge denne måneden? Gi svaret på standardform. Produksjonen var på 6 0 58,987L/fat,0 fat,08 0 L Det blir hevdet at råoljereservene på norsk sokkel i 008 var på 99 millioner kubikkmeter råolje. c) Hvor mange fat olje svarer dette til? Det svarer til 9 5,8 0 fat 4
Regn med samme oljeproduksjon som i oktober 008. d) Hvor lenge vil oljereservene vare? 9,90 L De vil vare i 7,06 år 0,084 0 L/måned måned/år Kvadratrøtter..4 Bruk regneregler for kvadratrøtter til å vise at a) 8 8 4 4 b) 8 8 9 9 c) 8a a 8a 9 a a d) 8 4 8 6 4 5
..5 Regn ut a) 8 8 6 4 b) 6 6 c) 6 4..6 Skriv uten kvadratrot i nevner a) b) 9 6 9 6 c) a a a a a a a a a a d) 6
..7 Skriv enklest mulig a) 8 9 9 b) + 4 + 4 + + c) 98 7 49 6 49 6 7 6 d) 75 5 5 5 5 5 5 5 0..8 Regn ut a) 6 4 b) 54 6 54 9 6 c) 8 6 4 d) 8 9 7
n te-røtter..9 Regn ut a) 8 8 8 8 ( ) b) 7 7 7 ( ) 7 c) 4 8 4 8 4 4 4 4 4 ( ) 4 8 8..0 Regn ut a) 5 5,5,7 b) 8 00,78 c) 9,5,09 8
.. Regn ut a) 9 9 b) 7 7 c) 5 d) 564 4 56 4.. Regn ut a) 5 5 b) 9 9 7 c) 54 54 7 9
.. Vis at a) 8 4 ( ) 8 4 8 8 64 4 b) 6 6 6 6 6..4 Vis at a) 4 8 4 4 4 4 4 8 b) 9 7 9 9 9 9 9 7 c) 4 4 + d) 5 5 5 5 5 + 5 5 5 5 5 5 5 5 e) 7 4 7 + 4 0
..5 Regn ut a) 7 7 7 b) + c) 5 4 4 5 4 4 4 d) 5 4 ( ) 5 5 6 e) ( ) 4 4 4 4 4 4 f) g) 4 4 4 4 + 4 6 + + 9 8 8 +
..6 Overflaten til en kule er gitt ved formelen O 4 r. a) Regn ut radien i en kule med en overflate lik 7 cm. 4 r 7 7 r 4 7 r r0 4 r,6 Radien er,6 cm. 4 r Volumet til en kule er gitt ved formelen V. b) Regn ut radien i en kule med et volum på 9,5 cm. 4 r 9,5 9,5 r 4 8,05 r 4 r, Radien er, cm.
. Algebraiske uttrykk Bokstavregning.. Regn ut a) a b + 5a a + 7b 4a+ 4b b) a + 4y 6 + 4a + 4 4 + 4y 7a + 7 c) ab d 5ba + 4d d ab d) 4 + 8+ 7 5 + + 4 e) a + 4a a a f) 5 ab bc + ab cb 4 5 ab bc + ab 4bc ab 7bc + 5.. Regn ut a) b+ ( b 4) b+ b 5b b) 7( 4) + ( + ) ( 7 8) + ( + 6) 7 8 + + 6 9 c) 5a ( a 6) + 5( a ) 5a ( 6a ) + ( 5a 5) 5a + 6a + + 5a 5 6a + 7
d) b( a + b) 4a( a ) ( b a) ( 6ab + b ) ( 4a 4a) ( b a) 6ab + b 4a + 4a b + a 4a + 6a + 6ab + b e) 5 ( + ) ( + )( 5 ) ( ) 5 ( + ) 5 + 0 5 5 + 0 + f) ( a + )( b) a( b) ( a ab + 6 b) ( a ab) a ab + 6 b a + ab b + 6.. Regn ut verdiene av følgende uttrykk når og y a) y ( y) ( ) ( ) 9 4 + + 0 b) y + y ( ) ( ) ( ) + 9 + 9 + 8 + 47 c) + y ( ) ( ) + 9 9 4 4
Kvadratsetningene..4 Bruk kvadratsetningene og regn ut a) (+ ) + + + 6 + 9 b) (a 5) a 5 a+ 5 a 0a + 5 c) (+ )( ) 9 d) ( + 4) ( + 4 + 4 ) ( + 8 + 6) + 6 + e) + + 9..5 Regn ut a) ( + ) + ( ) + ( + )( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 4) ( 6 9) ( 4) + + + + + + + + + + + 4 + 4 + 6 + 9 + 4 + 9 b) ( 4 a)( 4 + a) ( a+ ) + ( a ) ( 6 a ) ( a 4a 4) ( a 4a 4) + + + + 6 a a 4a 4 + a 4a + 4 a 8a+ 6 5
5 4 + c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 4 ) 5( 9 4 6) ( ) ( ) + 5 4 + 4 + + + + + 45 0 + 80 + + 45 + 0 80 + 46 + 9 + ( ) (( ) ( ) ) ( 6 ) ( 4 0 + 5) + 9 6 + 4 + 0 5 + 9 69 0 59 + 4 + + 9 9 9 44 0 5 + 4 + + 9 9 9 6 70 4 + 9 d) ( 4 )( 4 ) ( 5) 4 5+ 5 +..6 Regn ut a + a a + 9 a 4 a ( a + a + ) 9a a + 9 9 9 4 a a 4a 9a + a 9 4 a a 4a 9a + 6a a) ( )( ) ( ) a + a+ a a + a 4 a + ( 4a ) ( a 4a + 4) 4a + a + 4 b) ( )( ) ( ) 8a a + 4a 4 4a 4a a 7 6
4 a a + + 4a + 4a + 4a 4 4 a a + + a + a + a + 4 4 c) a + ( a + ) ( a )( a + ) d) ( )( + ) ( ) ( ) ( ) e) ( 5 )( 5 + ) ( ) 5 5 4..7 Regn ut ved hjelp av konjugatsetningen a) 9 0 0 + 0 900 899 ( )( ) b) 8 0 0 + 0 400 4 96 ( )( ) c) 5 5 0 + 5 0 5 0 5 400 5 75 ( )( ) d) 0 97 00 + 00 00 0000 9 999 ( )( ) 7
.4 Likninger Metode for å løse likninger.4. Løs likningene. Sjekk om du har regnet riktig ved å se om venstre side er lik høyre side når du setter løsningen din inn i den opprinnelige likningen. a) 5 5+ 6 6 b) 5+ 5 4 4 c) 5+ 5 + 5+ 5 6 6 6 6 d) 4 4 4 + 4 4 0 0 0 4 e) 4+ 4+ 0 6 Ingen løsning f) ( ) 4+ 8 4 4+ 8 4 8 + 4 6 8
.4. Løs likningene a),5 +,5,5,5 +,5 4,5 4,5,0,5 b) 0,,4,8+,58 0,+,8,58 +,4,50,00,00,00,50 c) 0,5( ) 0,+ 0, 0,5,5 0,+ 0, 0,5 0, 0,+,5 0,4,6,6 4,0 0,4 d) ( t) t+ 6 + t t+ t+ t + 6 t 8 t 8 s s + s e) ( ) ( ) s + s s s s + s + s s 9
.4. Løs likningene a) 6 6 6 6 6 6 b) 6 6 6 6 6 6 + ( ) c) ( ) 4 0 0 0 4 d) ( ) ( ) 6 6 ( ) ( ) 6 4 5 0 40
e) + ( ) ( ) + 6 6 4 + ( ) ( ) 6 6 6 8 + 54 54.4.4 Løs likningene a) 4 4 6 6 4 6 9 4 9 b) s s 4 0 5 s s 4 0 5 5s 6 40s 8 5s 5 t 0 4 t + t 0 t + t 0 t + 4t 0 c) ( t ) 7t 4 4 t 7 4
6 9 y y + y + 6 9 9 8 y 8 y + 8 8 8 y + 8 6 9 9 6y 54y + 54 y + d) y ( y ) ( y ) 46y 49 49 y 46 49 y 46.4.5 Stian, Erik og Øyvind delte en pizza. Stian spiste en tredel, Erik spiste to femtedeler, og Øyvind spiste resten. Sett opp en likning og finn ut hvor stor del av pizzaen Øyvind spiste. Vi setter Øyvinds del lik, og vi kan sette opp og løse likningen Øyvind spiste 4 5 av pizzaen. Et pizzastykke fra Braz Pizzeria i Sao Paulo. I Brasils største by selger over 6000 pizzarestauranter til sammen nesten én million pizzastykker hver dag! 4
.4.6 Kristin, Anette og Ellen har til sammen 00 kroner. Ellen har dobbelt så mange penger som Anette, og Kristin har 00 kroner mindre enn Ellen. Sett opp en likning og finn ut hvor mange penger hver av de tre jentene har. Vi setter Anettes beløp lik. Ellens blir da og Kristins beløp blir 00. Anette har 40 kroner, Ellen har 480 kroner og Kristin har 80 kroner..4.7 På en aktivitetsdag ved skolen valgte 60 % av elevene fotball. En tredel valgte volleyball. De siste elevene hadde fått fritak. Sett opp en likning og finn ut hvor mange elever det er ved skolen. La være antall elever ved skolen Det er 80 elever ved skolen. Aktivitetsdag ved Natur videregående skole i Oslo. NM i støvelkasting! 4
.4.8 Per, Pål og Espen er til sammen 66 år. Per er dobbelt så gammel som Espen, og Pål er 6 år eldre enn Espen. Sett opp en likning og finn ut hvor gamle de tre guttene er. Vi setter Espens alder lik. Påls alder blir da + 6 og Pers alder blir. + ( + 6) + 66 4 60 5 Espen er 5 år, Pål er år og Per er 0 år..4.9 Ari, Anette og far er til sammen 54 år. Anette er dobbelt så gammel som Ari og far er tre ganger så gammel som Anette. Sett opp en likning og finn ut hvor gamle Ari, Anette og far er. La være alderen til Ari. Da er Anettes alder og fars alder 6. + + 6 54 9 54 6 Ari er 6 år, Anette år og far 6 år. 44
.4.0 Far er tre ganger så gammel som Per og bestefar er dobbelt så gammel som far. Til sammen er de 0 år. Sett opp en likning og finn ut hvor gamle Per, far og bestefar er. La være alderen til Per. Da er fars alder og bestefars alder 6. + + 6 0 0 0 Per er år, far er 6 år og bestefar er 7 år..4. Mormor var år da mor ble født. I dag er hun dobbelt så gammel som mor. Sett opp en likning og finn ut hvor gamle mor og mormor er. La være alderen til mor. Da er mormors alder. + Mor er år og mormor 44 år. Det hadde vi kanskje ikke trengt likning for å finne ut! 45
.4. Far er tre ganger så gammel som Camilla. Far er seks år eldre enn onkel Kåre. Til sammen er de tre 9 år. Sett opp en likning og finn ut hvor gamle Camilla, far og onkel Kåre er. La være alderen til Camilla. Da er fars alder og onkel Kåres 6. Camilla er 4 år, far er 4 år og onkel Kåre er 6 år..4. Mor er år eldre enn Maja. Bestefar er tre ganger så gammel som mor. Om to år er de til sammen 00 år. Sett opp en likning og finn ut hvor gamle Maja, mor og bestefar er. La være alderen til Maja. Da er mors alder + og bestefars alder ( + ). I dag er de til sammen 00år år 94år. Hvor gamle er Maja og bestefar? + 69 Maja er år, mor er år og bestefar er 69 år. 46
Formelregning.4.4 Gitt formelen s v t der s står for strekning, v for fart og t for tid. Løs formelen med hensyn på a) farten, v s v t v t s s v t b) tiden, t s v t v t s s t v.4.5 a) Arealet av en sirkel er gitt ved formelen Løs formelen med hensyn på r. A r r A A r A r A r. b) Løs formelen med hensyn på s. V s s V s s s V V V 47
48 c) Volumet av en sylinder er gitt ved V r h. ) Løs formelen med hensyn på h. V r h r h V V h r ) Løs formelen med hensyn på r. V r h r h V V r h V r h d) Volumet av en kjegle er gitt ved V rh. ) Løs formelen med hensyn på h. rh V rh V r h V V h r ) Løs formelen med hensyn på r. rh V rh V r h V V r h V r h
4 r e) Volumet av en kule er gitt ved V. Løs formelen med hensyn på r. 4 r V 4 r V 4 r V V r 4 V r 4.4.6 Fra fysikken har vi disse formlene. Løs formlene med hensyn på t. a) s at at s at s s t a s t a På vei sørover med farten v. b) v v0 + at v + at v 0 at v v 0 v v t a 0 c) ( ) v0 + v t s ( v0 + v) t s v + v t s ( ) 0 t s ( v + v) 0 49
.4.7 For å si noe om en person er undervektig, har normal vekt eller er overvektig, kan vi regne ut personens Body Mass Inde, BMI. (Merk at BMI ikke forteller noe om fordelingen mellom fett og muskler. En veltrent muskuløs person vil derfor ha en høy BMI. ) v BMI-verdien er gitt ved formelen b der v kilogram h er vekten til personen og h meter er høyden. BMI kategorier, 8,5 8,5, 5 5, 0 0, Undervektig Normal kroppsvekt Overvektig Fedme a) Løs formelen med hensyn på vekten v. b) Bruk formelen til å finne vekten til en person som er 80 cm høy og har en BMI-verdi på 4. Personen veier ca. 78 kg. c) Løs formelen med hensyn på h og bruk formelen til å finne høyden til en person som har en BMIverdi på 0 og veier 60,0 kg. Personen er ca. 7 cm. 50
.4.8 Sammenhengen mellom fahrenheitgrader og celsiusgrader er gitt ved formelen 9 F C+ 5 Her står C for temperaturen målt i celsiusgrader og F for temperaturen målt i fahrenheitgrader. a) Gradestokken viser en dag 0 C. Hvor mange grader fahrenheit tilsvarer dette? 9 9 F C+ 0+ 5 5 En temperatur på 0 C tilsvarer F. Hvor mange grader Fahrenheit? b) Løs formelen med hensyn på C. c) Gradestokken viser 65 F. Hvor mange grader celsius tilsvarer dette? En temperatur på 65 F tilsvarer ca. 8, C. 5
.4.9 Et telefonabonnement koster 49 kroner i fast månedspris og 0,85 kroner per minutt for samtaler. Et annet abonnement koster 99 kroner i fast månedspris og 0,59 kroner per minutt for samtaler. Ved hvor mange minutter ringetid er de to abonnementene likeverdige i pris? Vi finner et uttrykk for prisen for hvert av abonnementene og setter disse lik hverandre. Ved en ringetid på 9 minutter er abonnementene likeverdige i pris..4.0 Utfordring! Vinkelsummen i en trekant er 80, i en firkant 60, og i en femkant 540. a) Lag en formel som viser vinkelsummen V i en mangekant med n sider. Vinkelsummen V i en n-kant kan skrives som V n 80 ( ) I en regulær mangekant er vinklene like store, for eksempel er vinklene i en regulær trekant 60, i en regulær firkant 90 og i en regulær femkant 08. b) Finn en formel som viser vinkelen i en regulær n-kant. Vinkelen v i en regulær n-kant kan skrives som V ( n ) 80 n80 60 60 v 80 n n n n 5
Likningssett.4. Løs likningssettene a) + y y 6 + y y ( y) y 6 4 y y 6 5y 0 y ( ) + 0 b) 6+ y 8 y 6 y 6 y 6 ( 6) 6 + 8 6+ 4 8 0 0 y 6 5
c) 5 y 4 y 6 6 + y + y 5 + y 4 y 5 5 y y 4 9 y 9 y + ( ) 0 d) 4 y y 4 8 y 4 8 y 4 ( 4) 4 4 6 0 4 4 7 0 5 7 4 6 y 4 4 5 5 5 e) y 6 4y+ 4 y 6 y 6 ( ) 4 6 + 4 4 4+ 4 0 6 Ingen løsning 54
.4. Løs likningssettene a) y y y + y ( + ) y y + y y y 4 y 4 + 4 5 b) 5 + y y y y y 6 + 4 5 + ( 6 + 4) + 4 + 6 5 9 9 y 6 4 55
c) 60+ 80y 40 y 60+ 80y 40 :0 + 4y 4y 4y y 8y 4 9y 6 y y 4 d) y 6 5 y 4 40 y 6 5 y 4 40 : y 0 ( 0) 6 5 6 60 6 5 5 0 00 0 0 0 y 0 0 y 0 56
e) y 4y 5 y 4y 5 5 0y 55 0y 55 y 0y 55 y 66 y 0 55 5.4. kg torskefilet og,5 kg ulkefilet koster til sammen 85 kroner. kg torskefilet og 0,5 kg ulkefilet koster 5 kroner. Hva er kiloprisen for torske- og ulkefileten? Vi setter prisen for torskefilet lik kroner og prisen for ulikefilet lik y kroner, og får +,5y 85 + 0,5y 5 0,5y 5 y 60 6 Stekt torsk med olivenpotetpurre og sopp. ( 60 6) +,5 85 + 945 9 85 7 560 80 y 60 6 80 50 Torskefileten koster 80 kroner per kg og ulkefileten koster 50 kroner per kg. 57
.4.4 kroner per stk. 4 kroner per stk. Lærer Hansen kjøpte en dag til sammen 5 epler og pærer. Han betalte 45 kroner. Hvor mange epler og hvor mange pærer kjøpte han? Hvis lærer Hansen kjøpte epler og y pærer, får vi følgende likninger + y 5 + 4y 45 5 y ( 5 ) y + 4y 45 45 y+ 4y 45 y 70 5 70 45 Lærer Hansen kjøpte 45 epler og 70 pærer. 58
.4.5 Løs likningssettene ved hjelp av et digitalt verktøy. a) y 6 + y 4 Løsning i GeoGebra Vi får løsningen 9 y 4 8 b) 0,s+ t,4 0,4t,6s,8 Løsning i GeoGebra Vi får løsningen, y,8 59
.4.6 Utfordring! Per har kjøpt ny påhengsmotor. Oljeblandingen til motoren skal være dl olje til 0 L bensin. Per har stående 0 L oljeblanding til sin gamle påhengsmotor. Der er blandingsforholdet dl olje til 0 L bensin. Han har også en kanne med 0 L ren bensin. Hvordan kan han blande for å få 5 L riktig blanding på den nye motoren sin? Vi setter mengden oljeblanding lik liter og mengden ren bensin lik y liter. + y 5 0, 50, + 0 0, 0, Dette likningssettet løser vi i GeoGebra Per må blande,5 L oljeblanding og,48 L ren bensin. 60
.4.7 Utfordring! Karis moped har gått tom for bensin. Mopeden skal ha en oljeblanding med dl olje til 0 L bensin. Far til Kari har stående 0 L oljeblanding med dl olje til 0 L bensin. Han har også en kanne med olje. Hvordan kan Kari blande for å få 8 L riktig blanding på mopeden? Vi setter mengden oljeblanding lik liter og mengden ren olje lik y liter. Vi setter opp to likninger der mengden oljeblanding settes som liter og mengden olje som y liter. + y 8 0, 80, + y 0, 0, Vi løser likningen i GeoGebra Kari må ha 7,9 L oljeblanding og 0,08 L olje. 6
.5 Faktorisering Uttrykk som består av bare ett ledd.5. Faktoriser uttrykkene a) 6 b) 8a b aabbb c) 4 d) 49ab 77a b b Uttrykk som inneholder flere ledd.5. Faktoriser uttrykkene a) 8 9 + 9 + + ( ) b) c) d) 4a a aa a a a ( ) a 6a a( + a) + ( ) b 6b 8 b b+ 6 6
Faktorisering av andregradsuttrykk ved å bruke kvadratsetningene.5. Faktoriser uttrykkene a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) ( + )( ) 4 ( + )( ) 9 ( + )( ) 6 ( + 4)( 4) 5 ( + 5)( 5) 6 ( + 6)( 6) 49 ( + 7)( 7) 64 ( + 8)( 8) 8 ( + 9)( 9) 00 ( + 0)( 0) ( + )( ) 44 ( + )( ) 6
.5.4 Faktoriser uttrykkene a) ( + 5)( 5) 4 5 b) 8 ( 9) ( + )( ) c) 48 ( 6) d) e) f) 8 ( 9 ) ( + )( ) 5 ( + 5)( 5) 7( ) 7( + )( ) 7.5.5 Faktoriser uttrykkene a) + + ( ) b) 4+ 49 7+ 7 ( 7) c) 6+ 9 + ( ) d) + b+ b 4( 9 + 6b + b ) 4( + b+ b ) 4( + b) 6 4 4 e) ( ) 6 ( ) 6 (( ) + 6) ( ( ) 6) ( + 4)( 8) 64
Fullstendige kvadrater.5.6 Faktoriser uttrykkene a) ( ) (( ) )(( ) ) ( )( ) + + + + 4 b) 6+ 5 ( ) (( ) )(( ) ) ( )( ) + + + + 6 5 6 4 5 c) 4+ 48 ( ) (( ) )(( ) ) ( )( ) + + + + 4 7 48 7 4 7 7 7 7 8 6 d) 8 9 ( ) (( ) )(( ) ) ( )( ) + + + + 8 4 9 4 8 4 5 4 5 4 5 4 5 9 Forenkling av rasjonale uttrykk.5.7 Forkort brøkene a) 5 + 5 ( + 5) ( 5) ( + 5) 5 b) 8 + 7 ( + 9) ( + 9) ( 9) 9 c) 6 64 4 + 8 ( ) 6 4 4 4 4 4 ( + ) ( + ) ( ) ( +) 4 8 d) 00 0 ( 0+ ) ( 0 ) ( 0 ) 0 + 65
e) a 50 8a 90 ( a ) ( a ) ( a ) 5 5 a + 5 8 5 9 5 9 a 5 ( a ) ( a 5) ( ) ( ) a + 5 9 f) 8 ( ) ( ) ( ) + + 4.5.8 Forkort brøkene a) 4 + + + 4 b) 4+ 4 ( ) ( ) ( ) c) 8+ 7 6 ( ) 6+ 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d) + 4 4 4 e) 9 6 + + + + 9 9 66
.5.9 Forkort brøkene a) ( ) + b) ( + ) c) ( + ) ( ) ( + ) + d) ( ) ( ) + ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ).5.0 Trekk sammen a) + ( + ) ( ) + + ( )( ) ( )( ) + ( ) ( )( + ) + + ( )( + ) + ( )( + ) 67
4 8 b) 4 4( + ) 8 + 4 ( )( ) 8 + 4 8 ( )( + ) 8 4 ( )( + ) 4 ( ) ( ) ( + ) 4 +.5. Trekk sammen 4 + 0 a) 4 4( + ) + 0 ( ) + ( ) + ( ) ( ) 4+ 8 0 ( ) + ( ) ( ) ( + ) + 5 + 4 b) 0 5 5 + 4 ( 5) 5 + 5 ( )( ) 4 ( + 5) ( 5) 5 + 5 4 ( 5) ( 5) ( ) ( ) 68
.5. Løs.5. digitalt Trekk sammen 4 + 0 a) 4 5 + 4 b) 0 5 69
.6 Andregradslikninger Når konstantleddet mangler.6. Løs likningene a) 0 ( ) 0 0 eller 0 0 eller b) 0 ( ) 4 0 0 eller 4 0 0 eller 4 0 eller 4 c) 5 5 5 5 0 ( ) 5 5 0 5 0 eller 5 0 0 eller 5 70
Når førstegradsleddet mangler.6. Løs likningene ved regning a) 4 0 4 4 eller 4 eller b) eller eller c) + 8 0 8 4 Ingen løsning 7
Fullstendige kvadrater.6. Løs likningene ved å bruke fullstendige kvadrater a) ( 5) 6 5 4 eller 5 4 9 eller b) + 6 7 0 + + 7+ 9 + 6+ 9 6 ( ) + 4 + 4 eller + 4 eller 7 c) + 4 4 + 4 + + 5 ( ) 5 5 eller 5 6 eller 4 d) + 4+ 6 0 + 4+ 6 0 : 8 0 + 8+ ( ) ( ) eller 4 eller 7
.6.4 Løs likningene ved å bruke fullstendige kvadrater a) 0, + 0,4 0,6 0, + 0,4 0,6 : 0, + + + ( ) + + eller + eller b) 0, + 0, 0,8 0, + 0, 0,8 : 0, + + 8+ ( ) + + eller + eller 4 7
Å løse andregradslikninger med abc - formelen.6.5 Løs likningene ved å bruke abc - formelen. a) + 7 6 + 7+ 6 0 7 7 46 7 49 4 7 5 7+ 5 7 5 eller 6 b) + 5 6 + 5+ 6 0 5 5 46 5 5 4 5 5+ 5 eller c) + 4 4 0 ( ) ( ) 4 ( 4) 4 + 96 00 + 0 0 6 eller 4 74
.6.6 Løs likningene ved å bruke abc - formelen a) 70 + 0 540 40 Her er det lurt å dividere alle ledd med 70 før vi setter inn i abc - formelen. Vi får da Det er alltid lurt å sjekke om du kan forkorte før du setter inn i abc- formelen. 70 + 70 540 0 :70 + 0 ( ) 4 + eller b) 60 60 90 Her er det lurt å dividere alle ledd med 90 før vi setter inn i abc - formelen. Vi får da 60 60+ 90 0 : 90 4 4+ 0 ( ) 4 4 44 4 4 + 0 4 0 eller 8 8 75
.6.7 Løs likningene ved å bruke abc - formelen a) 6 0 Her er det lurt å dividere alle ledd med før vi setter inn i abc - formelen. Vi får da 0 ( ) ( ) 4 ( ) + 8 9 + eller b) + + 4 0 Her er det lurt å dividere alle ledd med før vi setter inn i abc - formelen. Vi får da 0 ( ) ( ) 4 ( ) + 8 9 + eller c) 5 + 6 5 6 0 ( 5) ( 5) 4 ( ) ( 6) ( ) 5 5 4 5 5+ 5 eller 76
.6.8 Løs likningene ved å bruke abc - formelen a) b) 8+ 6 6 8 0 ( 6) ( 6) 4 ( ) ( 8) ( ) 6 6 6 4 6 + 6 4 eller + Her er det lurt å dividere alle ledd med før vi setter inn i abc - formelen. Vi får da + 4+ 4 0 4 4 44 4 6 6 4 0 4 c) + + 0 ( ) ( ) 4 4 4 6 0 6 Ingen løsning (Negativt tall under rottegnet.) 77
.6.9 Løs likningene ved å bruke abc - formelen. a) 0, + 0, 0, Her er det lurt å multiplisere alle ledd med 0 før vi setter inn i abc - formelen. Vi får da 0, 0,+ 0, 0 0 + 0 ( ) 4 4 4 6 0 6 Ingen løsning (Negativt tall under rottegnet.) b) 0,00 + 0,00 0,00 Her er det lurt å multiplisere alle ledd med 000 før vi setter inn i abc - formelen. Vi får da 0,00 0,00+ 0,00 0 000 + 0 ( ) 4 4 4 6 0 6 Ingen løsning (Negativt tall under rottegnet.) 78
.6.0 Løs likningene a) + 4 4+ 0 ( ) ( ) 4 4 4 4 8 4 + 4 eller ( + ) ( ) eller + eller b) 0 0+ 4 Her er det lurt å dividere alle ledd med før vi setter inn i abc - formelen. Vi får da 5 5 0 ( 5) ( 5) 4 5 ( ) 5 5 65 0 5+ 65 5 65 eller 0 0 c) ( ) + 4 4 + 4 + 4 0 + 0 ( ) 4 ( + ) ( ) eller eller 79
d) ( ) ( ) 4 + 4 + + + 4 + 0 5+ 7 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 4 7 5 5+ 8 5 5 5+ 5 5 5 eller e) ( ) ( ) 4 + + 4 6 + + + 4 + + 6 + 0 8 + 0 ( ) 48 8 00 8 0 8 eller 4 80
.6. Grunnflaten til et hus er et rektangel med mål som vist på figuren nedenfor. Sett opp en andregradslikning og regn ut hvor langt og hvor bredt huset er. Vi setter opp en likning ( ) + 4 96 + 4 96 0 ( ) 4 4 4 96 4 400 4 0 8 eller Her bruker vi bare den positive løsningen. 8+ 4 Huset er m langt og 8 m bredt. 8
.6. Grunnflaten til et hus er et rektangel med mål som vist på figuren nedenfor. Sett opp en andregradslikning og regn ut hvor langt og hvor bredt huset er. Vi setter opp en likning ( ) 5 6 5 6 0 ( ) 5 5 4 6 5 59 5 4 eller 9 Her bruker vi bare den positive løsningen. 4 5 9 Huset er 4 m langt og 9 m bredt. 8
.6. Grunnflaten til en garasje er et rektangel med mål som vist på figuren nedenfor. Sett opp en andregradslikning og regn ut hvor lang og hvor bred garasjen er. Vi setter opp en likning ( ) + + 0 + + 4 + 4 00 0 + 4 96 0 Her er det lurt å dividere alle ledd med for å få lettere tall å sette inn i abc - formelen. Vi får da + 48 0 ( ) 4 48 96 4 6 eller 8 Her bruker vi bare den positive løsningen. 6+ 8 Garasjen er 8 m lang og 6 m bred. 8
.6.4 En tomt er et rektangel med mål som vist på figuren nedenfor. Finn arealet av tomta. Vi må først finne lengden av sidene. Vi setter opp en likning + ( + 0) 50 + + 0 + 00 500 0 + 0 400 0 Her er det lurt å dividere alle ledd med for å få lettere tall å sette inn i abc - formelen. Vi får da + 0 00 0 ( ) 0 0 4 00 0 4900 0 70 0 eller 40 Her bruker vi bare den positive løsningen. 0 + 0 40 Sidelengdene blir 0 m og 40 m. Arealet blir da 0m 40m 00m 84
.6.5 a) Gitt andregradslikningen a 4 + 4 0. Bruk abc - formelen og finn ut hvilke verdier av a som gir to løsninger, én løsning og ingen løsning. ( ) ( ) 4 4 4a4 a 4 6 6a a Vi ser på uttrykket under rottegnet, 6 6a. Dersom a vil uttrykket under rottegnet bli negativt, og vi har ingen løsning. 4 Dersom a vil uttrykket under rottegnet bli lik 0, og vi får én løsning,. Dersom a vil uttrykket under rottegnet bli positivt, og vi har to løsninger. b) Gitt andregradslikningen b + 4 0 Bruk abc - formelen og finn ut hvilke verdier av b som gir to løsninger, én løsning og ingen løsning. ( b) ( b) 44 b b 6 Vi ser på uttrykket under rottegnet, b 6. Dersom b 6 vil uttrykket under rottegnet bli negativt, og vi har ingen løsning. Dette vil skje når b ligger mellom 4 og 4. Dersom løsning, b 6, dvs. når b 4 eller b 4vil uttrykket under rottegnet bli lik 0, og vi får én 4 4 eller. Dersom b løsninger. 6, dvs når b 4 eller b 4, vil uttrykket under rottegnet bli positivt, og vi har to 85
.6.6 Camilla kaster en ball rett opp i lufta. Etter t sekunder er høyden h meter over bakken gitt ved andregradsuttrykket h 4,5t 4,9t +,8. a) Når er ballen 0 m over bakken? Vi setter inn 0 m for høyden h og får: 0 4,5t 4,9t +,8 Vi løser likningen i GeoGebra t 0,76 eller t, Ballen er 0 m over bakken etter 0,76 s (på vei opp) og etter, s (på vei ned). b) Når treffer ballen bakken? Når ballen treffer bakken, er høyden over bakken 0 m. Vi setter inn 0 m for høyden h og får 0 4,5t 4,9t +,8 Vi løser likningen i GeoGebra t 0, eller t,08 Vi kan bare bruke den positive løsningen. Ballen treffer bakken etter,08 s. c) Når er ballen 5 m over bakken? Hva betyr svaret du får? Vi setter inn 5 m for høyden h og får 5 4,5t 4,9t +,8 Vi løser likningen i GeoGebra Ingen løsning. Ballen når aldri en høyde på 5 m over bakken. 86
.6.7 Overflaten til en brusboks med topp og bunn er gitt ved O r + rh. Hva er radius til en brusboks med overflate50 cm og høyde 5 cm? Vi setter inn i formelen og får 50 r + r 5 50 r + 0r Vi løser likningen i GeoGebra Kamp om markedet. r 4,9 eller r 9,9 Vi kan bare bruke den positive løsningen. Brusboksen har en radius på 4,9 cm. 87
Likningssett av første og andre grad.6.8 Løs likningssettene a) + y 4 y 6 4 y ( 4 y) y 6 6 8y + y y 6 0 y 9y 0 ( ) y y 9 0 y 0 eller y 9 0 y 0 eller y 9 y 0 gir 4 0 4 y 9 gir 4 8 5 Likningssettet har to løsninger 4 y 0 5 y 9 88
b) + y + y y y + y y y 0 ( ) ( ) 4 ( ) y 9 y + y eller y y eller y y gir ( ) y gir Likningssettet har to løsninger y y c) + y 4 + y y ( y) + y 4 4 + 4y + y + y 4 y + 4y 0 ( ) y y+ 0 y 0 eller y+ 0 y 0 eller y y 0 gir 0 ( ) y gir 0 Likningssettet har to løsninger y 0 0 y 89
.6.9 a) To kvadrater har en omkrets på til sammen 56 cm. Samlet areal av kvadratene er 00 cm. Sett opp to likninger og finn sidene i kvadratene. Vi kaller sidelengdene i de to kvadratene for henholdsvis og y. Vi setter opp to likninger. 4+ 4y 56 + y 00 Løser likningssettet ved hjelp av GeoGebra. Det ene kvadratet har sidelengde 6 cm og det andre 8 cm, eller motsatt. b) To tall er til sammen 69. Kvadrerer du tallene og legger de sammen er summen 4 89 Sett opp to likninger og finn hvilke to tall er dette? Vi kaller de to tallene henholdsvis og y. Vi setter opp to likninger. + y 69 + y 4 89 Løser likningssettet i GeoGebra Det ene tallet er 0 og det andre 67. 90
.6.0 Løs likningssettene a) Differensen mellom to tall er. Differensen mellom kvadratene til tallene er 57. Hvilke to tall er dette? Vi kaller de to tallene henholdsvis og y. Vi setter opp to likninger. y y 57 + y ( + ) y y 57 9 + 6y + y y 57 6y 57 9 6y 48 y 8 + 8 Det ene tallet er 8 og det andre. b) Kvotienten mellom to tall er. Produktet av de to tallene er 7. Hvilke to tall er dette? Vi kaller de to tallene henholdsvis og y. Vi setter opp to likninger. y y 7 y y y 7 y 9 y eller y 9 eller y ( ) 9 De to tallene er enten og 9 eller og 9. 9
.7 Faktorisere andregradsuttrykk ved hjelp av nullpunktmetoden.7. Faktoriser utrykkene ved hjelp av nullpunktmetoden a) + Vi setter uttrykket lik 0 og får en andregradslikning. Vi løser likningen ved å bruke abc - formelen. + 0 Da er ( ) ( ) 4 + 4 eller ( )( ) ( )( ) + b) 4 Vi setter uttrykket lik 0 og får en andregradslikning. Vi løser likningen ved å bruke abc - formelen. 4 0 Da er ( ) ( ) 4 ( 4) 5 + 5 5 4 eller ( )( ( )) ( )( ) 4 4 4 + 9
c) + 4 Vi setter uttrykket lik 0 og får en andregradslikning. Vi finner løsningene til likningen ved å bruke abc - formelen. + 4 0 Da er ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 5 + 5 5 4 eller ( ( ))( ) ( )( ) + 4 4 + 4 d) + 9 6 Vi setter uttrykket lik 0 og får en andregradslikning. Vi finner løsningene til likningen ved å bruke abc - formelen. + 9 6 0 Her er det lurt å dividere alle ledd med - for å få lettere tall å sette inn i abc - formelen. Vi får da + 0 Da er ( ) ( ) 4 + eller ( )( ) + 9 6 9
e) 4a 6a+ 4 Vi setter uttrykket lik 0 og får en andregradslikning. Vi finner løsningene til likningen ved å bruke abc - formelen. 4a 6a+ 4 0 Her er det lurt å dividere alle ledd med for å få lettere tall å sette inn i abc - formelen. Vi får da a + a 0 Da er ( ) 4 a 5 a 4 + 5 5 a eller a 4 4 ( ( )) 4a 6a 4 4 a a 4( a ) a + +.7. Faktoriser uttrykkene a) 6+ 9 Dette er et fullstendig kvadrat. Bruker andre kvadratsetning. Dermed er 6 + 9 ( )( ) 94
b) 6 Vi finner løsningen ved å bruke konjugatsetningen. 6 4 + 4 4 ( )( ) c) 8 Vi finner løsningen ved å bruke konjugatsetningen. ( ) ( )( ) 8 9 + d) 4+ 8 Vi setter uttrykket lik 0 og får en andregradslikning. Vi finner løsningene til likningen ved å bruke abc - formelen. ( ) ( ) 4 4 48 4 6 Likningen har ingen løsning. Uttrykket kan ikke faktoriseres. e) ( + ) Vi setter uttrykket i parentesen lik 0 og får en andregradslikning. Vi finner løsningene til likningen ved å bruke abc - formelen. + 0 ( ) ( ) 4 + 4 eller Faktoriseringsformelen gir + ( )( ) Dette betyr videre at ( + ) ( )( ) 95
.7. Faktoriser uttrykkene ved hjelp av et digitalt verktøy. a) + 0,6,6 Vi bruker GeoGebra b),5 + 0,5 7,64 Vi bruker GeoGebra c) 6+ 9 Vi bruker GeoGebra d) t + 6t 7 Vi bruker GeoGebra 96
e) + Vi bruker GeoGebra 97
Mer om forenkling av rasjonale uttrykk.7.4 Forkort brøkene. Sjekk løsningen med CAS i GeoGebra. a) + Først faktoriserer vi telleren ved hjelp av nullpunktmetoden. Telleren + har nullpunktene og. Da er ( )( ) +. + ( ) ( ) ( ) b) + + 6 4 Først faktoriserer vi telleren ved hjelp av nullpunktmetoden. Telleren + + 6 har nullpunktene og. Da er 6 ( )( ) + + +. 6 ( ) ( ) 4 ( + ) + + + 98
c) 8 6+ 8 8 8 Først faktoriserer vi telleren ved hjelp av andre kvadratsetning. Telleren 8 6+ 8 har nullpunkt. Da er 8 6 8 8( )( ) +. 8 8 6+ 8 8 8 ( ) ( ) 8 ( ) d) + + Først faktoriserer vi telleren ved hjelp av nullpunktmetoden. Telleren + har nullpunktene og. Da er + + ( ). Deretter faktoriserer vi nevneren ved hjelp av andre kvadratsetning. Nevneren + har nullpunkt. +. Dermed er ( )( ) + + + ( ) ( ) ( ) + + 99
e) + 5+ 4 Først faktoriserer vi telleren ved hjelp av nullpunktmetoden. Telleren + 5+ har nullpunktene og. Da er + 5 + + ( ). + + 5+ 4 ( ) + ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) + + + + 00
.7.5 Finn fellesnevner og trekk sammen a) Fellesnevneren er ( ). Vi får ( ) ( ) ( ) ( ) + + b) + + Først faktoriserer vi nevnerne. Nevneren Dermed er ( )( ) Fellesnevneren blir da ( )( ). +. + har nullpunktene og. Vi får ( ) 4+ + ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 ( )( ) 0
c) + + + Først faktoriserer vi nevnerne. Nevneren Dermed er ( )( ) Fellesnevneren blir da ( + )( ). + +. + har nullpunktene og. Vi får ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( + )( ) ( ) + + + + + + + + + + ( )( ) + + + + 5 ( + )( ) d) + + Først faktoriserer vi nevnerne. Nevneren Dermed er ( )( ) Fellesnevneren blir da ( )( ) +.. + har nullpunktene og. Vi får ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ( )) + + 6 + ( )( ) 4 + + 4 + 6 ( )( ) 4 + 7+ ( )( ) 4+ 4 ( ) 4 + ( ) ( ) ( ) 0
.7.6 Finn fellesnevner og trekk sammen + 4 a) + + 4 6 Først faktoriserer vi nevnerne. Nevneren Dermed er 6 ( )( ) +. 6 har nullpunktene og. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 4 ( + ) ( + ) + + + 4 6 ( + ) ( + )( ) ( + ) ( + ) + 4 4 + b) 4 + 4 Først faktoriserer vi nevnerne. Nevneren Dermed er 4 ( 4)( ) +. 4 har nullpunktene og 4. 4 4 + ( + ) + 4 4 + 4 4 + ( + ) 4 ( 4) + ( )( ) 9 + 4 + 4 6 6 4 ( )( + ) + 4 ( )( + ) ( + ) 4 + ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
.7.7 a) Bestem a slik at brøken kan forkortes Først faktoriserer vi nevneren. Nevneren a 6+ 8 6+ 8 har nullpunktene og 4. Dermed er 6 8 ( )( 4) +. Skal brøken kunne forkortes, må a enten være eller 4. b) Bestem t slik at brøken kan forkortes t + Først faktoriserer vi nevneren. Nevneren + har nullpunktet. Dermed er ( )( ) +. Skal brøken kunne forkortes, må t være. 04
Likninger med rasjonale uttrykk.7.8 a) Gitt likningen 4 0 ) Hvilke verdier av må eventuelt forkastes som løsninger av likningen? 0 gir 0 i nevner og kan ikke godtas som en løsning av likningen. ) Løs likningen 4 0 4 0 4 4 Denne løsningen skal ikke forkastes. b) Gitt likningen ) Hvilke verdier av må eventuelt forkastes som løsninger av likningen? 0 gir 0 i nevner og kan ikke godtas som en løsning av likningen. ) Løs likningen Denne løsningen skal ikke forkastes. 05
c) Gitt likningen + + ) Hvilke verdier av må eventuelt forkastes som løsninger av likningen? + har nullpunktene og. Disse løsningene gir 0 i nevner og kan ikke godtas som løsning av likningen. ) Løs likningen ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + 4 + + 4 + 5 5 Denne løsningen skal ikke forkastes. ( )( ) ( )( ) ( )( ) d) Gitt likningen + + ) Hvilke verdier av må eventuelt forkastes som løsninger av likningen? Vi har fra oppgave c) at + har nullpunktene og. Disse løsningene gir 0 i nevner og kan ikke godtas som en løsning av likningen. ) Løs likningen ( ) ( ) ( ) + ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) + ( ) ( ) + 4 + 6 Denne løsningen skal ikke forkastes. + 4 + 6 0 0 06
e) Gitt likningen + ) Hvilke verdier av må eventuelt forkastes som løsninger av likningen? Vi har fra oppgave c) at + har nullpunktene og. Disse løsningene gir 0 i nevner og kan ikke godtas som en løsning av likningen. ) Løs likningen. Sjekk løsningen med CAS i GeoGebra. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 6 + 6 6 6 Likningen har ingen løsning fordi en eller flere av brøkene ikke er definert for. Likningen har ingen løsning. Løsning med CAS: Merk hvordan GeoGebra markerer at likningen ikke har løsning. Vi har her prøvd både eksakt og tilnærma løsning. 07
.8 Ulikheter.8. Løs ulikhetene a) 5 5 5+ 8 b) + + c) 4 4 4 4 4 + 4 0.8. Løs ulikhetene a) 5 5 55 0 0 b) 5 6 5 6 5 6 + 08
c) 6 5 6( ) 6 5 6( ) 5+ 6 6 6 0 d) ( + 6) ( + 6) + 5 Dividerer på og snur ulikhetstegnet 5.8. Løs ulikhetene a) ( 5) 5( ) ( 5) 5( ) 5 5 0 5 0 + 5 5 Dividerer på - og snur ulikhetstegnet 5 b) 5 6 5 6 5 6 + c) + + 0 Dividerer på - og snur ulikhetstegnet 0 09
d) ( ) ( ) 6 9 6 9 6 9 6 9 6 6 9 + 9 0 0 0 kan aldri bli mindre enn 0. Det betyr at ulikheten ikke har løsning..8.4 Løs ulikhetene a) 6 9 b) 6 6 6 6 6 6 0
c) 5 7 + 4 6 5 7 + 4 6 5 7 + 4 6 0 + 4 6 6 57 57 6 9 9 + d) ( ) ( ) 9 + 6 9 9 9 + 9 9 + 0 9 0 er alltid mindre enn 9. Det betyr at ulikheten er gyldig for alle mulige.
.8.5 Per skal ha sommerjobb som jordbærplukker. Han har valget mellom to ulike lønnsavtaler. ) Han kan få en fast timelønn på 50 kroner per time og i tillegg kroner for hver kurv han plukker. ) Han kan få 5 kroner for hver kurv han plukker, men da får han ikke noen fast timelønn. Still opp en ulikhet og finn ut hvor mange kurver Per må plukke i timen for at avtale ) skal lønne seg. Vi lar være antall kurver Per plukker og setter opp uttrykk for hver av de to lønnsavtalene. ) 50 + ) 5 Vi får ulikheten 5 50 + 50 6,7 Per må plukke minst 7 kurver i timen for at avtale ) skal lønne seg.
.8.6 Kari og familien skal på tur. De vil leie bil i fem døgn. Kari har undersøkt ulike leiebiltilbud og funnet fram til to aktuelle. ) 700 kroner per døgn, fri kjørelengde opp til 500 km. Over det betales det 5 kroner per kilometer. ) 500 kroner per døgn. Fri kjørelengde. Avis bilutleie, Kreta Still opp en ulikhet og finn ut hvor mange kilometer de må kjøre for at avtale ) skal lønne seg. Det er klart at hvis kjørelengden er mindre enn eller lik 500 kilometer så lønner ) seg (lavere døgnpris). Kjørelengden må altså være høyere enn 500 kilometer for at ) skal lønne seg. Vi lar være antall kilometer de kjører over 500 kilometer og setter opp uttrykk for de to tilbudene. ) 700 5+ 5 ) 500 5 Atale ) skal lønne seg. (Det betyr her at ) skal gi lavest kostnad.) Vi får 500 5 700 5+ 5 5 500 7500 5 4000 800 Det betyr at de må kjøre mer enn 800 km+ 500 km 00 km for at tilbud ) skal lønne seg.
Ulikheter av. grad Oppgavene skal løses uten bruk av hjelpemidler. Du kan også prøve å løse oppgavene med CAS..8.7 Løs ulikhetene a) 4 0 Vi finner først nullpunktene. 4 0 ( 4) ( 4) 4 ( ) 4 64 4 8 6 Vi vet nå at uttrykket 4 er lik 0 når og når 6. Det er bare for disse verdiene av at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for -verdier i intervallene,,,6 og 6,. Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene. ( )( ) 4 + 6 får vi ( + )( 6) ( ) ( 9) For får vi ( )( 0 6) ( 6) For 0 får vi ( )( ) For 7 Vi kan da sette opp fortegnslinjen. Uttrykket er positivt. 0 + Uttrykket er negativt. 7+ 7 6 9 Uttrykket er positivt. Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av det stemte at 4 0. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen, 6. Løsning med CAS: 4
b) 4 0 Vi finner først nullpunktene. Vi vet nå at uttrykket 4 0 ( ) 4 0 0 4 0 0 4 4 er lik 0 når 0 og når. Det er bare for disse verdiene av 4 at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for -verdier i intervallene,0, 0, 4 og,. Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene. 4 ( ) 4 4 får vi ( ( ) ) ( ) For 4 5 Uttrykket er negativt. For får vi 8 4 8 8 8 Uttrykket er positivt. får vi ( 4 ) ( 4) For Vi kan da sette opp fortegnslinjen. Uttrykket er negativt. 4 Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av det stemte at 4 0. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen Løsning med CAS: 0,. 4 5
6
c) + 5 0 Vi finner først nullpunktene. + 5 0 ( ) 5 5 4 57 4 Vi vet nå at uttrykket + 5 er lik 0 når og når. Det er bare for disse verdiene av at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for -verdier i intervallene,,, og,. Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene. + 5 ( + ) får vi ( 4 ) 4 ( ) For 4 9 + Uttrykket er positivt. får vi ( 0 ) For 0 får vi ( ) For + 0 + Uttrykket er negativt. Uttrykket er positivt. Vi kan da sette opp fortegnslinjen. Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av det stemte at + 5 0. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen Løsning med CAS:,,. 7
d) + 6 0 Vi finner først nullpunktene til uttrykket. + 6 0 ( ) ( ) ( ) 4 6 5 eller Vi vet nå at uttrykket + 6 er lik 0 når og når. Det er bare for disse verdiene av at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for -verdier i intervallene,,, og,. Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene. ( )( ) + 6 + får vi ( 4+ )( 4 ) ( ) ( ) ( 6) For 4 For 0 Uttrykket er negativt. får vi ( 0 )( 0 ) ( ) ( ) For + Uttrykket er positivt. får vi ( )( ) ( ) Vi kan da sette opp fortegnslinjen. + 6 Uttrykket er negativt. Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av det stemte at + 6 0. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen Løsning med CAS:,,. 8
e) + 7 0 Vi faktoriserer først uttrykket. ( ) ( )( ) + 7 9 + Vi vet nå at uttrykket + 7 er lik 0 når og når. Det er bare for disse verdiene av at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for -verdier i intervallene,,, og,. Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene. får vi ( 4 )( 4+ ) ( ) ( 7) ( ) For 4 får vi ( 0 )( 0 ) ( ) ( ) For 0 får vi ( )( ) ( ) For 4 Vi kan da sette opp fortegnslinjen. Uttrykket er negativt. + Uttrykket er positivt. 4+ 4 7 Uttrykket er negativt. Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av det stemte at + 7 0. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen,. Løsning med CAS: 9
.8.8 Løs ulikhetene. Sjekk løsningene med CAS i GeoGebra. a) 8+ 5 0 Vi finner først nullpunktene til uttrykket på venstre side. 8+ 5 0 8 64 45 8 5 Vi vet nå at uttrykket 8+ 5 er lik 0 når og når 5. Det er bare for disse verdiene av at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for -verdier i intervallene,,,5 og 5,. Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene. ( )( ) 8 + 5 5 For 0 For 4 For 6 får vi ( )( 5 ) ( ) ( 5 ) får vi ( )( 5 ) ( ) får vi ( )( 5 ) Uttrykket er positivt. 4 Uttrykket er negativt. 6 Uttrykket er positivt. Vi kan da sette opp fortegnslinjen. Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av det stemte at 8+ 5 0. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen, 5. Løsning med CAS: 0
b) Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side. + 0 Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side. + 0 Vi vet nå at uttrykket + er lik 0 når og når. Det er bare for disse verdiene av at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for -verdier i intervallene,,, og,. Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene. ( )( ) + + får vi ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) får vi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) får vi ( ) ( ) ( ) ( ) For For 0 For Vi kan da sette opp fortegnslinjen. Uttrykket er negativt. + Uttrykket er positivt. + Uttrykket er negativt. Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av det stemte at. Det er det samme som å finne ut når + 0. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen,. Løsning med CAS:
c) + 6 Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side. + 6 6 0 Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side. 6 0 + 4 Vi vet nå at uttrykket 6 er lik 0 når og når. Det er bare for disse verdiene av at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for -verdier i intervallene,,, og,. Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene. ( )( ) 6 + For For 0 For 4 får vi ( )( ) ( ) ( ) får vi ( )( ) ( ) får vi ( )( ) 6 Vi kan da sette opp fortegnslinjen. Uttrykket er positivt. 0 + Uttrykket er negativt. 4 + Uttrykket er positivt. Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av det stemte at + 6. Det er det samme som å finne ut når 6 0. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen,. Løsning med CAS:
d) Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side. + 0 Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side. + 0 4 4 Vi vet nå at uttrykket + er lik 0 når. Det er bare for denne verdien av at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for -verdier i intervallene, og,. Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene. ( )( ) + får vi ( 0 )( 0 ) ( ) ( ) får vi ( )( ) For 0 For Vi kan da sette opp fortegnslinjen. Uttrykket er positivt. Uttrykket er positivt. Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av det stemte at. Det er det samme som å finne ut når + 0. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten er oppfylt for alle verdier av. Vi kunne også sett dette direkte da ( ) Løsning. + og dette uttrykket kan aldri bli negativt. Løsning med CAS: Merk måten GeoGebra skriver løsningen på her.
e) + + 5 Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side. + 0 Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side. + 0 4 8 Ingen reelle løsninger. Ulikheten har ingen løsning, dvs. at + aldri vil bli 0 eller større enn 0 for noen verdier av. Med andre ord, uttrykket + vil være negativt for alle verdier av. Løsning med CAS:.8.9 Løs ulikhetene i oppgaven ovenfor ved hjelp av et digitalt verktøy..8.0 Forklar hvorfor ulikhetene ikke har noen løsning a) kan aldri bli negativ. Uttrykket blir dermed aldri større enn. b) ( + ) + ( ) 0 Hverken ( + ) eller ( ) kan bli mindre enn 0. 4
.9 Eksponential- og logaritmelikninger Vekstfaktor.9. Bestem vekstfaktoren når a) Prisen på en vare øker med 5 %. 5 + + 0,5,5 00 b) Rentefoten i banken er,5 %.,5 + + 0,05,05 00 c) Folketallet i en kommune øker med 0,5 % per år. 0,5 + + 0,005,005 00 d) Antall lemen fordobles hver måned. Når antall lemen fordobles hver måned vil det si at antallet øker med 00 % i måneden. 00 + +,0,0 00.9. Bestem vekstfaktoren når a) Prisen på en vare reduseres med 5 %. 5 0,5 0,85 00 b) Verdien på en bil synker med 0 %. 0 0,0 0,80 00 c) Folketallet i en kommune går ned med 0,5 % per år. 0,5 0,005 0,995 00 5
.9. Martin kjøpte en scooter for 0 000 kroner i begynnelsen av 0. Vi regner med at verdien synker med 5 % per år. a) Hva vil scooterens verdi være når den er tre år gammel? Vi finner først vekstfaktoren 5 0,85 00 Vi får 0 000 0,85 6 4 Verdien etter tre år er ca. 6 40 kroner. b) Finn ved regning når scooterens verdi er 000 kroner. Vi setter opp likningen 0 000 0,85 000, der er antall år. Løser i GeoGebra: Etter nesten syv og et halvt år er scooterens verdi redusert til 000 kroner. 6
.9.4 Temperaturen T C i et kjøleskap de første timene etter et strømbrudd er gitt ved T +,5. a) Hva var temperaturen i kjøleskapet ved strømbruddet? Når strømbruddet skjer, er 0. Vi setter inn i uttrykket og får T 0 +,5 + 4 Temperaturen i kjøleskapet ved strømbruddet er 4 C. b) Hvor lang tid går det før temperaturen er 0 C i kjøleskapet? Vi setter T 0C og får likningen Løser i GeoGebra: +,5 0 Hva er temperaturen i kjøleskapet? Det går nesten 4 timer før temperaturen har steget til 0 C. c) Er det realistisk å bruke denne modellen dersom strømmen er borte over en lengre periode (mer enn døgn)? Begrunn svaret ditt. Vi setter 0 timer og finner temperaturen i kjøleskapet. T 0 +,5 69 Temperaturen i kjøleskapet vil nærme seg romtemperaturen på kjøkkenet dersom strømmen er borte over en lengre periode. Det er ikke realistisk at romtemperaturen er så høy som 69C. Modellen er ikke realistisk å bruke dersom strømbruddet er over en lengre periode. 7
.9.5 Vi antar at hummerbestanden øker med,5 % i året. Hvor mange år tar det før bestanden er doblet? Vi setter hummerbestanden lik H.,5 Vekstfaktoren blir +,05. 00 For å bygge opp bestanden av hummer langs norskekysten har fiskerimyndighetene vedtatt regler for fisket etter hummer. H,05 H Vi stryker H på begge sider, og får:,05 På kyststrekningen fra svenskegrensen til og med Sogn og Fjordane fylke er det tillatt å fange hummer i perioden fra. oktober klokken 08:00 til og med 0. november klokken 08:00, mens fisketiden for resten av landet er. oktober 08:00 til og med. desember. Det er bare tillatt å fiske med hummerteiner Løser i GeoGebra: Det vil ta 8 år før bestanden er dobbelt så stor med denne økningen. 8
.9.6 I 75 var Norges befolkning på 66 09 personer. I 005 var befolkningen på 4 606 6 personer. a) Hvor stor var økningen i prosent i denne perioden? Økning i antall personer 4 606 6 66 09 990 54 Økning i prosent 990 54 00 648% 66 09 b) Hvor stor var den prosentvise økningen per år fra 75 til 005? Vi får likningen: ( 005 75 ) 66 09 4 606 6 70 66 09 4 606 6 Løser i GeoGebra: Bruker kun den positive løsningen. Vi finner altså en vekstfaktor på,0075. Den årlige prosentvise veksten blir da p +,0075 00 00 + p 00,75 p 00,75 00 p 0,75 9
.9.7 Verdien av en bolig var 950 000 kroner i begynnelsen av 00. I begynnelsen 00 var verdien 500 000 kroner. a) Hvor stor var den prosentvise veksten per år fra 00 til 00? Vi setter først opp en likning og finner vekstfaktoren Løser i GeoGebra: 8 950 000 500 000 Bruker kun den positive løsningen. Vi finner en vekstfaktor på,0588. Den prosentvise veksten per år blir da p +,0588 00 00 + p 05,88 p 05,88 00 p 5,88 b) Hva vil verdien av boligen være i begynnelsen av 04 dersom verdistigningen er den samme de neste årene? Vi tar utgangspunkt i verdien i 00 og finner 4 500 000,0588 885 55 Verdien i begynnelsen av 04 blir da ca. 890 000 kroner. c) Hvor lang tid tar det før verdien av boligen har økt til 000 000 kroner. (Bruk samme vekstfaktor som ovenfor.) Vi tar utgangspunkt i verdien i 00 og finner 500 000,0588 000 000 Løser i GeoGebra: Omtrent år fra 00 dvs. i år 0 har verdien av boligen økt til 000 000 kroner. 0
Briggske logaritmer.9.8 Bestem a) lg000 b) lg000000 c) lg d) lg0,0 lg000 fordi 0 000 6 lg000000 6 fordi 0 000000 0 lg 0 fordi 0 lg0,0 fordi 0 0,0.9.9 Bestem a når a) lga b) lga c) lga d) lga 0 a 00 fordi 0 00 a 0 fordi 0 0 a 0, fordi 0 0, 0 a fordi 0
Eksponentiallikninger uten bruk av digitale verktøy.9.0 Løs likningene a) 4 6 4 6 lg4 6 lg4 lg4 lg4 lg4 b) 9 9 lg lg9 lg lg lg lg c) + 4 + 4 ( ) + lg lg 4 lg + lg lg + lg +
.9. Løs likningene a) + 70 70 + 8 7 b) ( ) 5 + 5 + 5 4.9. Løs likningene når du får oppgitt at lg 0,6 lg a) 4 4 ( ) lg lg 4 lg4 lg lg lg lg lg 0,6 0,6 + ( + ) 0,6,6
b) ( ) ( ) ( ) 4 8 4 8 4 8 4 4 8 lg8 lg lg lg lg lg lg lg 0,6.9. Løs likningene når du får oppgitt at a) 5 4 5 4 5 + 4 5 5 lg 5 lg5 lg5 lg5 lg5 lg5 lg5 lg5,5 lg,6 lg 4
b) ( ) 79 79 79 + 8 lg lg7 lg lg lg lg,6 c) 9 9 lg lg7 lg lg,6 4,8 5
Enkle logaritmelikninger.9.4 Løs likningene a) lg 5 5 0 00 000 b) lg lg lg lg 0 0 c) ( ) lg + 4 + 0 4 9998.9.5 Løs likningene a) lg lg lg lg 0 lg 0 00 b) lg 8 4 lg8 6
c) lg 7 4 lg7 Lydstyrke måles i desibel, db..9.6 Lydintensitet måles i watt per kvadratmeter ( W m ). Laveste lydintensitet som øret kan oppfatte er I I W m. min 0 0 Høyeste lydintensitet som øret kan oppfatte er I W m (smertegrense). ma, Det er altså et stort sprang mellom I min og I ma, og tallene er ubehagelige å regne med. Vi ønsker oss en mer hensiktsmessig skala. Dette får vi til med et såkalt intensitetsnivå eller desibelskala. En lydstyrke i nærheten av smertegrensen? For en gitt intensitet I W m defineres lydstyrken L db ved L 0lg I+ 0 For vårt høreområde (fra0 W m til, W m ) får vi da en skala som går fra 0 db til 0 db. a) Sett I min og I ma inn i formelen ovenfor og vis at vi får en skala som går fra 0 db til 0 db. L L min ma ( ) 0 lg 0 + 0 0 ( ) 0 lg. + 0 0 0,04 + 0 0,4 0 Et rop kan ha en lydintensitet på 0 W/ m. b) Hvor mange desibel svarer det til? 4 ( ) L 0 lg 0 + 0 80 Et rop kan ha en lydstyrke på 80 db. 4 7