RF5100 Lineær algebra Leksjon 12

RF5100 Lineær algebra Leksjon 12 Lars Sydnes, NITH 26. november 2013

I. GAUSS-ELIMINASJON

2x + 3y + z = 1 2x + 5y z = 1 4x + 7y + 4z = 3 x + 3/2 y + 1/2 z = 1/2 x + 2z = 2 y z = 1 3z = 2 x + 2z = 2 y z = 1 3z = 2 GAUSS-ELIMINASJON 2y 2z = 2 y + 2z = 1 2 3 1 1 2 5 1 1 Utgangspunkt 4 7 4 3 1 3/2 1/2 1/2 0 2 2 2 Eliminerer x 0 1 2 1 1 0 2 2 0 1 1 1 Eliminerer y 0 0 3 2 1 0 0 2/3 0 1 0 1/3 Eliminerer z 0 0 1 2/3 Løsning: x = 2/3, y = 2/3, z = 2/3

EKSEMPLER Per, Ola og Kari har til sammen 10 epler. Per og Kari har til sammen dobbelt så mange epler som Ola. Hvis Per gir ett eple til Kari, så har Per og Kari like mange epler. Grafen til polynomet p(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 går gjennom punktene (0, 0), (0, 1), (2, 1). Bestem a 0, a 1, a 2. Bestem b 1, b 2, b 3 -koordinatene til punktet (1, 1, 3) når 2 b 1 = 2, 3 b 2 = 5, 1 b 3 = 1 4 7 4

II. HOMOGENE KOORDINATER

HOMOGENE KOORDINATER Punkter 4-vektoren [x, y, z, w] som representant for punktet (x/w, y/w, z/w) Vanlig representasjon: (x, y, z) [x, y, z, 1]. Vektorer 4-vektoren [x, y, z, 0] som representant for vektoren [x, y, z]. Vanlig representasjon: [x, y, z] [x, y, z, 0].

4 4-MATRISER I Affine transformasjoner: x xa + b Kan formuleres slik: [ ] A 0 [x, y, z, 1] [x, y, z, 1] b 1 Affine transformasjoner og vektorer: [ ] A 0 [x, 0] = [x, y, z, 0] [x, 0] b 1 = [xa, 0] Dette svarer til den lineære transformasjonen x aa. Den lineære delen av den affine transformasjonen.

AFFINE OG LINEÆRE TRANSFORMASJONER Punkter og affine transformasjoner hører sammen. Punktenes plassering i forhold til origo er avgjørende. Vektorer og lineære transformasjone hører sammen. Vektorer bryr seg ikke om hvor origo ligger. 4 4-matriser transformerer punkter/vektorer på riktig måte: Vektorer berøres kun av den lineære delen.

SENTRALPROJEKSJON View Frustrum (x, y, z) [x, y, z, 1] Clip-matrise Clip koordinater (C x, C y, C z ) [x, y, z, w ] N x = Zx x z et.c N x = C x et.c Normaliserte skjerm-koordinater (N x, N y ) dev x = wc x + wresx 2 N x et.c. Fysiske skjerm-koordinater (phys x, phys y )

PROJEKSJONSMATRISEN zoom x zoom y f+n f n 1 2n f n 0 (x, y, z) CC [x, y, z, 1] zoom x x zoom y y f+n f n z 2n z f n w ( zoomx x, zoom ) y y z z NS CC: Camera Coordinates, NS: Normalized screen coordinates. Praktisk fortolkning av w: Variabelen w lagrer et tall som vi skal dividere med.

III. LITT OM PROJEKSJONER

ORNORMALITET PROJEKSJONER B = (b 1,..., b k ) er et ortonormalt system dersom { 1 i = j b i b j = 0 i j proj B x = (b 1 x)b 1 + (b 2 x)b 2 + + (b k x)b k proj B x b i for i = 1, 2,..., k proj B x x v x for alle v = Σ i α i b i. Denne ulikheten er en likhet hvis og bare hvis v = proj B x.

UTNYTTELSE Projeksjon i geometri Analyse av data Komprimering av data. Billdekomprimering: Bilde deles opp i biter på 8 8 piksler. Disse delene analyseres ved hjelp av et ortonormalt system.

IV. STIKKORD TIL PENSUM:

VEKTORREGNING Vektorroperasjoner: Addisjon, subtraksjon, skalarmultiplikasjon Skalarprodukt: Norm, vinkler, avstand, projeksjoner Kryssprodukt: Areal, vinkler, normalvektorer

MATRISEREGNING Matriseprodukt: Matrise-matrise, radvektor-matrise, kolonnevektormatrise Ortogonale matriser: Inversjon = Transponering, Sammenheng med ortogonale basiser Projeksjonsmatriser: Nyttig bruk av homogene koordinater Homogene matriser: Affine transformasjoner Determinant: Er matrisen inverterbar?

PROJEKSJONER Projeksjon på vektor: proj u v = u v u u u Projeksjon på ortonormalt system B = (b 1, b 2,..., b k ): proj B v = k i=1 (b i v)b i Spørsmål: Hva er b 1, b 2, b 3 -koordinatene til x? Svar: (b 1 x, b 2 x, b 3 x) x = (b 1 x)b 1 + (b 2 x)b 2 + (b 3 x)b 3

ROTASJON OG ORIENTERING Konkrete vektorberegninger: Matriser Beskrivelse for mennekser: Eulervinkler Rotasjonskinematikk: Rotasjonsvektorer. Interpolasjon, rotasjonsberegninger: Kvaternioner

V. PRAKTISK BRUK

SJONGLERING MELLOM ULIKE KOORDINATER Sjonglering mellom ulike valg av origo: Slagord 1: Posisjonsvektor = forflytningsvektor i forhold til origo O. Slagord 2: Koordinater = Vektorenes komponenter i forhold til orientering b 1, b 2, b 3. Modellkoordinater Globale koordinater Kamerakoordinater Clip-koordinater Normaliserte skjermkoordinater Vinduskoordinater.

INTERPOLASJON Slerp: Sfærisk lineær interpolasjon. Polynominterpolasjon: Polynom av grad n som interpolerer n + 1 datapunkter. Splines: Stykkevis polynominterpolasjon. Interpolasjon i trekanter: Barysentriske koordinater. Interpolasjon av farger. Interpolasjon av normalvektorer. Interpolasjon av teksturkoordinater. Objekter som støtter vektoroperasjoner støtter interpolasjon.

LYSBEREGNINGER Normalvektorer Innfallsretning Refleksjonsretning Siktvinkel Phong-refleksjon: Ambient, Diffuse, Specular. Interpolasjon av lysegenskaper (Gouraud-shading) Interpolasjon av normalvektorer (Phong-shading)

VI. EKSAMENSPRAKSIS

EKSAMENSPRAKSIS I Matematiske tekster skal være like sammenhengende som andre tekster. Forklar hva som skjer. Hvis du bare skriver opp resultatet, finnes det to utfall: true/false Hvis du i tillegg forklarer hva du gjør, kan også selve tankegangen bedømmes. Matematikk spill med symboler. Matematiske symboler = forkortelser for ordinære setningselementer.

EKSAMENSPRAKSIS II Kalkulator med trigonometriske funksjoner Formelark (vedlagt) La oss se over prøveeksamen: http://home.nith.no/~sydlar/rf5100/regning/testeksamen pdf