Nasjonal prøve i regning

Nasjonal prøve i regning Veiledning til lærere Oppfølging og videre arbeid med prøven på 8. og 9. trinn + = 2015 Bokmål

Innhold Oppfølging og videre arbeid med prøven...4 Hva måler den nasjonale prøven i regning?...4 Helhetlig problemløsningsprosess...5 Hvordan følge opp resultatene?...7 Mestringsnivå...7 Hvordan bruke mestringsbeskrivelsene?...9 Oppfølging og videre arbeid med prøvene og resultatene...9 Hvordan følge opp resultatene i lærerkollegiet?...9 Samarbeid om resultatene for temaet måling... 10 Oppgave 17... 10 Hvordan følge opp resultatene til elevgruppen?... 12 Hvordan følge opp resultatene til den enkelte elev?... 13 Mer informasjon om årets prøver... 14 Et dypdykk i årets oppgaver... 17 Hvordan kan elevene utvikle sine regnestrategier?... 17 Tall og algebra... 18 Mestringsnivå 1... 18 Oppgave 1... 18 Mestringsnivå 2... 20 Oppgave 4... 20 Oppgave 25... 22 Mestringsnivå 3... 24 Oppgave 26... 24 Mestringsnivå 4... 26 Oppgave 48... 26 Mestringsnivå 5... 28 Oppgave 49... 28 Måling og geometri... 30 Mestringsnivå 1... 30 Oppgave 17... 30 Mestringsnivå 2... 33 Oppgave 7... 33 Mestringsnivå 3... 34 Oppgave 14... 34 2

Mestringsnivå 4... 36 Oppgave 42... 36 Mestringsnivå 5... 38 Oppgave 47... 38 Statistikk og sannsynlighet... 40 Mestringsnivå 1... 40 Oppgave 41... 40 Mestringsnivå 2... 42 Oppgave 33... 42 Mestringsnivå 3... 44 Oppgave 38... 44 Mestringsnivå 4... 46 Oppgave 36... 46 3

Oppfølging og videre arbeid med prøven Formålet med nasjonale prøver er å vurdere og utvikle elevenes ferdigheter i lesing, regning og deler av faget engelsk. Med utgangspunkt i dette kan du planlegge og følge opp arbeidet med prøvene. Det er viktig at du bruker både prøvene og analyserapporten med prøveresultatene aktivt når du gir elevene tilbakemelding og råd for videre oppfølging av prøveresultatet. Måten du veileder elevene på, har stor betydning for elevenes læring. Analyserapporten finner du i PAS. Der finner du også en veiledningsvideo som viser hvordan rapporten kan brukes. Hva måler den nasjonale prøven i regning? Den nasjonale prøven i regning skal kartlegge i hvilken grad elevenes ferdigheter er i samsvar med kompetansemål i Kunnskapsløftet (LK06), der regneferdigheter er integrert. Det innebærer at prøven er en prøve i regning som grunnleggende ferdighet i alle fag. Rammeverk for grunnleggende ferdigheter, som du finner på Utdanningsdirektoratets nettsider, beskriver hva regning er, og hvordan ferdigheten utvikles. Grunnleggende ferdigheter i regning innebærer tallforståelse, måleferdighet og tallbehandling knyttet til et bredt spekter av oppgaver og utfordringer i faglige og dagligdagse sammenhenger. Regneferdigheter handler også om å kunne tolke og lage grafiske og kvantitative framstillinger. Prøven for 8. og 9. trinn tar utgangspunkt i kompetansemål etter 7. trinn. Prøven for 9. trinn er den samme som for 8. trinn. Problembehandling, logisk resonnement, tolking og analysering av diagram og tabeller, er eksempler på sentrale områder i læreplanene for flere fag, der det å kunne regne inngår som en grunnleggende ferdighet. Elevene må forstå oppgaven, beskrive hvordan de best kan løse den, gjennomføre regneoperasjonene og vurdere om resultatet er rimelig. Innholdet er knyttet til områdene tall og algebra, måling og geometri og statistikk og sannsynlighet. Regnesymboler og regneoperasjoner inngår som en del av grunnleggende ferdighet i å kunne regne. Problemstillingene i oppgavene er situasjoner som elevene kan kjenne seg igjen i. Tall og algebra Området tall og algebra handler om tallforståelse og generalisering av tallregning ved at bokstaver eller andre symboler erstatter tall. Det innebærer å kvantifisere mengder og størrelser, utforske og beskrive geometriske mønster og tallmønster, kjenne igjen situasjoner som krever regning og utføre beregninger. Måling og geometri Området måling og geometri handler om å kunne gjøre sammenligninger og utføre beregninger i emnene lengde, areal, volum, vinkel, masse, tid, målestokk, pris og valuta. Det innebærer bruk og omgjøring av måleenheter, og det å kunne tegne, beskrive og bruke geometriske begreper og figurer i ulike sammenhenger. Statistikk og sannsynlighet Området statistikk og sannsynlighet handler om å organisere, analysere, presentere og vurdere data og grafiske framstillinger og å forutse hendelser. Å forutse hendelser handler om å vurdere sjanser i dagligdagse sammenhenger og i ulike spill, beregne sannsynlighet i enkle situasjoner og kunne bruke ulike representasjoner for å uttrykke sannsynlighet. 4

SENTRALT INNHOLD I PRØVEN FOR 8. OG 9. TRINN Gjenkjenne og beskrive konkrete situasjoner fra virkeligheten der matematikk er involvert, både i kontekster som elevene har god erfaring med, og i mer ukjente, sammensatte og kognitivt krevende kontekster. Eksempler på kontekster i årets prøve: kjøp og salg matlaging målinger reise idrett og andre fritidsaktiviteter kart foreta og tolke undersøkelser (statistikk) ulike kontekster knyttet til fag Bruke og bearbeide matematiske begreper, prosedyrer, fakta og verktøy for å finne løsninger på problemer, både der det kan benyttes enkle strategier og der det kreves mer effektive strategier. Problemene kan knyttes til ulike matematiske temaer. Eksempel på matematiske temaer i årets prøve: plassverdisystemet for hele tall og desimaltall de fire regneartene (addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon) begrepene brøk, desimaltall og prosent og sammenhengen mellom dem tolke og bruke algebraiske formler temperatur, tid, masse, vinkler, lengde, areal og volum forhold (blandingsforhold, valuta og målestokk) omgjøring mellom prefikser (for eksempel fra g til kg) lese, tolke og framstille ulike typer tabeller og diagrammer sentralmål (gjennomsnitt, median og typetall) og representasjoner av data Reflektere over rimeligheten av egne svar og svaralternativer i flervalgsoppgaver, og vurdere om dette er gode svar på de problemene elevene skal løse. Helhetlig problemløsningsprosess Å kunne regne består av fire ferdighetsområder 1. De tre ferdighetsområdene, gjenkjenne og beskrive, bruke og bearbeide, og reflektere og vurdere, er prosesser elevene må arbeide seg gjennom når de regner i fagene. Disse ferdighetsområdene utgjør til sammen en helhetlig problemløsningsprosess som vi kaller matematisk modellering. Kommunisere, det fjerde ferdighetsområdet, er et sentralt element i hvert av de andre områdene. Under en nasjonal prøve i regning skal elevene i de fleste tilfellene skrive inn et endelig svar eller velge korrekt svaralternativ. De har derfor svært begrensede muligheter til å kommunisere. Dette ferdighetsområdet vil vi av denne grunn ikke gå nærmere inn på i denne veiledningen. 1 Rammeverk for grunnleggende ferdigheter, Utdanningsdirektoratet 2012, http://www.udir.no/upload/larerplaner/lareplangrupper/rammeverk_grf_2012.pdf?epslanguage=no 5

Gjenkjenne og beskrive (GB) Elevene skal kunne gjenkjenne situasjoner fra ulike fag der det er hensiktsmessig å bruke regning. Det kan være situasjoner som involverer for eksempel tallstørrelser, diagrammer, tabeller, geometriske former og måleenheter. Elevene skal også kunne formulere problemstillinger på en hensiktsmessig måte slik at de kan løses ved hjelp av regning. I den nasjonale prøven vil denne prosessen være avgjørende for om elevene klarer å formulere det riktige matematiske problemet ut fra de gitte kontekstene. Bruke og bearbeide (BB) Elevene skal kunne anvende matematisk kompetanse for å løse problemstillinger i ulike faglige kontekster. For å løse problemene må elevene bruke matematiske begreper, fakta og verktøy. Underveis må de resonnere, velge gode strategier og bruke hensiktsmessige verktøy. I den nasjonale prøven vil denne prosessen være avgjørende for de elevene som ut fra de gitte kontekstene har klart å formulere de riktige matematiske problemene. Disse elevene har da kommet fram til de riktige regneoperasjonene, og utfordringen blir dermed å løse regneoperasjonene korrekt. Enkelte oppgaver inneholder sammensatte problemer der en må resonnere underveis i løsningsprosessen. Reflektere og vurdere (RV) Elevene skal kunne reflektere over, tolke og vurdere løsninger. Både løsningen og resonnementet må vurderes. Elevene må kunne avgjøre om resultatene som de har funnet, er fornuftige og logiske ut fra den opprinnelige situasjonen. Vurderingen blir gjort på bakgrunn av den opprinnelige problemstillingen, den faglige konteksten og kunnskapen de har i faget. I de nasjonale prøvene vil denne prosessen i tillegg få en annen dimensjon. Det skyldes at veldig mange av oppgavene er flervalgsoppgaver. Da kan elevene noen ganger finne korrekt svaralternativ, bare ved å reflektere over hva som kan være mulig svar på det gitte problemet. 6

Når elevene anvender den grunnleggende ferdigheten å kunne regne, arbeider de seg gjennom ett eller flere i trinn i modelleringsprosessen, slik den er fremstilt i figuren. I enkelte tilfeller kan en av prosessene være mer krevende enn de andre. Det kan også være at elevene ikke er innom alle prosessene. Hvis de får presentert en ferdig modell, for eksempel en grafisk framstilling av valgresultater, vil det være naturlig at de går direkte til prosessen bruke og bearbeide. Hvordan følge opp resultatene? For at du skal kunne følge opp elevene dine kort tid etter gjennomføringen, kan du hente ut resultater fra Prøveadministrasjonssystemet (PAS). Resultatene ligger i analyserapporten i venstremenyen i PAS. Der finner du også en kort veiledningsvideo som beskriver hvordan analyserapporten skal brukes. Mestringsnivå Elevene blir plassert på mestringsnivå ut fra hvilke oppgaver de har besvart riktig og skalapoengene de har fått på prøven. På 8. og 9. trinn er det fem mestringsnivå, der nivå 1 er det laveste og nivå 5 det høyeste nivået. Til hvert nivå følger en kort tekst som beskriver ferdighetene til den typiske eleven på dette nivået. I beskrivelsen av et nivå gjentas ikke ferdigheter som allerede er beskrevet på et lavere nivå. Progresjonen i nivåene er slik at en antar at elever som skårer til nivå 4, har de ferdighetene som er beskrevet på nivå 1 til og med nivå 4. Kravene til ferdigheter, som evne til refleksjon, analyse og vurdering av egne svar, øker med stigende mestringsnivå. 7

Mestringsbeskrivelser - Nasjonal prøve i regning - 8. og 9. trinn 2015 Mestringsnivå 1 Mestringsnivå 2 Mestringsnivå 3 Mestringsnivå 4 Mestringsnivå 5 Den typiske elev på dette nivået gjenkjenner konkrete situasjoner som kan løses ved å bruke enkle strategier Den typiske elev på dette nivået velger hensiktsmessige regnearter og bruker ulike metoder for å finne svaret i oppgaver som krever ett trinn. Den typiske elev på dette nivået løser enkle sammensatte problemer der tallene er enkle å regne med Den typiske elev på dette nivået ser sammenhenger mellom sammensatte problemstillinger og kjente løsningsmetoder. Eleven foretar i tillegg omgjøringer Den typiske elev på dette nivået bruker et variert utvalg problemløsnings-strategier. Eleven kan begrunne metodevalg og finne løsninger, både når det gjelder kognitivt krevende oppgaver og oppgaver med tall som er utfordrende å regne med Den typiske elev kan utføre addisjon og dobling/ halvering med enkle tall velge passende prefiks i kjente kontekster lese av og lage enkle tabeller og diagrammer vurdere rimeligheten av svar i kjente kontekster med enkle tall Den typiske elev kan anvende addisjon, subtraksjon eller multiplikasjon for å løse enkle problemer bruke kjente brøker (eks: 1 2, 1 3, 1 4 ) og prosent til å gjøre enk le beregninger beregne enkle tidsintervaller analog og digital tid lese av sammensatte tabeller og diagrammer Den typiske elev kan løse oppgaver som krever god kunnskap i plassverdisystemet løse oppgaver som krever divisjon og/eller multiplikasjon regne med prosent og brøk finne prosenttallet i oppgaver der tallene lett kan gjøres om til kjente brøker løse oppgaver som krever enkel algebraisk tenking relatere negative tall til tallinja løse oppgaver som krever omgjøring mellom de mest kjente prefikser løse oppgaver som krever kjennskap til geometriske egenskaper til trekanter, firkanter og sirkel 60-tallssystemet i min og s løse oppgaver som krever forståelse av gjennomsnitt reflektere over og vurdere rimeligheten av egne svar Den typiske elev kan løse oppgaver som krever algebraisk tenking løse oppgaver som krever omgjøring mellom alle prefikser løse oppgaver som krever omgjøring mellom måleenheter regne med areal og volum tolke, bearbeide og analysere diagrammer og tabeller gjøre overslag Den typiske elev kan løse oppgaver som krever regning med forhold vurdere, analysere og sammenligne datamateriale analysere og reflektere over svaralternativer og egne svar 8

Hvordan bruke mestringsbeskrivelsene? Det er viktig å være klar over at elevene innenfor hvert nivå har fått ulike skalapoeng på prøven, og at enkelte kan ha fått skalapoeng som ligger nær en grenseverdi mellom to nivåer. Mestringsbeskrivelsene må derfor tolkes som generelle beskrivelser av ferdigheter som er nødvendige for å kunne løse oppgaver på et bestemt mestringsnivå. Mestringsnivå 1 omfatter også elever som har fått ingen riktige svar på prøven (ca. 20 skalapoeng). Det betyr at noen elever får en beskrivelse som er mer positiv enn det prøveresultatet til eleven viser. Beskrivelsen av mestringsnivå 1 kan likevel være til hjelp for hvordan eleven kan utvikle ferdighetene sine. Når resultatene skal brukes til å følge opp elevene, er det naturlig å se resultatene på den nasjonale prøven i sammenheng med annen informasjon du har om eleven. Etter gjennomføringen er det viktig at resultatene og råd om veien videre kommuniseres med foreldrene, slik at de kan følge med på og støtte opp om barnets utvikling. Oppfølging og videre arbeid med prøvene og resultatene Her får du noen forslag til hvordan resultatene kan følges opp. Det er naturlig at dette arbeidet starter i lærerkollegiet, før resultatene presenteres i klassen og brukes til å følge opp enkeltelever. Hvordan følge opp resultatene i lærerkollegiet? Når skolen analyserer prøveresultatene, er det viktig å ta hensyn til lokale forhold, blant annet lokalt læreplanarbeid, satsingsområder eller kjennetegn ved årskullet eller elevgruppen. Spesielt i små skoler og kommuner kan noen få elever som presterer veldig svakt eller veldig sterkt, gi store utslag på resultatene. Resultatene må også vurderes ut fra det generelle inntrykket av elevenes ferdigheter, motivasjon og arbeidsinnsats. Spørsmål til refleksjon og diskusjon Ser vi mønstre eller tendenser i resultatene for vår skole eller i våre klasser? Har vi annen informasjon som bekrefter eller avkrefter resultatene fra nasjonale prøver? Indikerer resultatene fra nasjonale prøver at det er behov for ytterligere kartlegging? Hvilke konsekvenser får resultatene for skolens videre praksis? Hva kan vi gjøre for å forbedre de resultatene vi ikke er fornøyd med? Denne delen av veiledningen inneholder konkrete tips til hvordan lærerkollegiet kan samarbeide om oppfølging av resultatene. Vi har valgt å bruke temaet måling som eksempel. 9

Samarbeid om resultatene for temaet måling Elevene ved «Bymyra skole» har gjennomført den nasjonale prøven i regning. Lærerne har studert analyserapporten og sett at elevene har skåret lavt innenfor området måling. I stor grad gjelder det oppgaver der omgjøring mellom prefikser er hovedfokuset. Spesielt legger lærerne merke til resultatet for oppgave 17. Analyserapporten viser at på landsbasis har omtrent 80 % av elevene løst oppgaven riktig, men ved «Bymyra skole» er løsningsprosenten bare 48. Ved oppfølging av resultater er det hensiktsmessig å ta utgangspunkt i oppgaver med lav løsningsprosent i elevgruppen. I årets prøve er det generelt omgjøring mellom prefikser som har gitt elevene store utfordringer. Nedenfor skisserer vi en modell som kan brukes i lærerkollegiet til å følge opp elevenes resultater. Den er generell og kan benyttes uavhengig av resultatet på ens egen skole. Eksemplet som følger tar utgangspunkt i oppgave 17, som også omtales senere i veiledningen. Oppgave 17 IGP kan være en modell å arbeide etter i lærerkollegiet. Da arbeider en først individuelt (I), deretter i gruppe (G), før gruppene til slutt oppsummerer i plenum (P). Individuelt Alle i kollegiet arbeider med oppgaven hver for seg. Nøkkelspørsmål til arbeid på individuelt nivå kan være: Hvordan tenker du når du løser denne oppgaven? På hvilken måte er oppgaven relevant for faget du underviser i? I hvilke emner i ditt eget fag har det betydning om eleven behersker prefikser? Hva kan årsaken være til at elever presterer lavt på denne typen oppgaver? Hvordan arbeider du med omgjøring mellom prefikser i ditt eget fag? 10

Gruppe Kollegiet sitter sammen i mindre grupper og ser på utfordringene med og i selve oppgaven. En samtaler om løsningsstrategier og løsningsmetoder og diskuterer problemstillinger knyttet til oppgaven og utregningen. Nøkkelspørsmål til arbeid i grupper kan være: Tenker læreren i samfunnsfag annerledes enn læreren i for eksempel mat og helse? Hvor relevante er oppgavene for de ulike fagene? Hvordan kan du arbeide med omgjøring mellom prefikser i ditt eget fag for å øke elevenes kompetanse og regneferdighet i faget? Hva er de beste og mest effektive løsningsstrategiene? Kan kollegiet finne en felles strategi for hvordan vi kan tilnærme oss utfordringer av denne typen? Hva kan elevene gjøre i de ulike fagene for å ha fokus på omgjøring mellom prefikser? Sett i gang idémyldring om hvordan en kan arbeide videre med slike utfordringer i de ulike fagene. Plenum Hver gruppe presenterer en løsningsstrategi. Deretter kan en i plenum diskutere ulike problemstillinger: Hva er utfordrende med oppgaven? Er det begreper som kan være vanskelige? Er det lik forståelse av begrepene i lærerkollegiet? Hva slags kunnskaper og ferdigheter må en elev ha for å kunne løse oppgaven? Kan vi komme fram til en felles forståelse uansett fag, for hvordan det er ønskelig å arbeide med denne typen oppgaver? Hvordan gruppene settes sammen, avhenger av hva en ønsker å oppnå med et gruppearbeid. Nedenfor er det skissert noen alternativer. Ved å blande kollegiet fra 1. til 10. trinn tilfeldig kan en oppnå bevissthet rundt læreplankunnskap, horisontkunnskap der progresjon i fag og regneferdigheter kommer tydelig fram. Ulikheten i utfordringer på barnetrinnet sammenlignet med ungdomstrinnet kan bli synliggjort med en gruppesammensetning på tvers av trinn. Det vil også kunne være lettere å sammenligne resultater. Hva er vi dyktige eller mindre dyktig til når det gjelder undervisning i ulike fag på ulike trinn? Hvis en satser på rene faggrupper, kan en oppnå mer konsentrert horisontkunnskap, evne til å se dybden i sitt eget fag, og dessuten felles forståelse av hva som er regning i faget. Ved å sette sammen grupper etter trinnteam vil en få mulighet til å identifisere knutepunkter mellom fagene. På trinnteam kan en samkjøre innholdet, se mulighetene og åpne opp for samarbeid mellom de ulike fagene i forhold til innholdet. Ved å velge en miks av faglærere på tvers av fag kan en oppnå bevisstgjøring blant lærere som ikke ser regning i faget sitt. Det kan kanskje også virke betryggende for gruppen at det er en matematikklærer der, en som kan regning. I tillegg kan det være enklere å se sammenhenger mellom fagene når en bevisst setter sammen grupper på tvers av fag. I etterkant bør en sette av tid til videre oppfølging av arbeidet. Da kan kollegiet gjøre evalueringer ved hjelp av IGP-modellen, med den samme gruppesammensetningen som ved første gjennomgang. En bør vurdere om måten en har arbeidet på har hatt effekt. Ved for eksempel å teste elevene i et utvalg av oppgaver fra den nasjonale prøven i regning, kan en se om det har skjedd endring og utvikling. Å ta seg tid til å sitte sammen med elevene en og en og se på prøven eller oppgavene, er også verdifullt for læringseffekten av etterarbeidet. 11

I lenkene under er det flere tips til hvordan en kan arbeide i ettertid med oppgaver fra nasjonale prøver i regning. http://www.udir.no/utvikling/ungdomstrinnet/regning/oppfolging-av-nasjonale-prover/rangering-avoppgaver/ http://www.udir.no/utvikling/ungdomstrinnet/regning/oppfolging-av-nasjonale-prover/forklarelosningsstrategier/ http://www.udir.no/utvikling/ungdomstrinnet/regning/oppfolging-av-nasjonale-prover/regning-i- Nasjonale-prover/ Hvordan følge opp resultatene til elevgruppen? For å forstå hva som skjuler seg bak elevenes resultater, kan det være hensiktsmessig å bruke informasjonen du får fra analyserapporten og fanen om hver enkelt oppgave i prøven. Oppgavefanen i analyserapporten kan være til hjelp for å se hvilke områder, emner og oppgaveformater din elevgruppe mestrer godt eller trenger å arbeide mer med (for eksempel omgjøring av enheter i måling). Samlet kan denne informasjonen bidra til å forstå elevenes resultater mer inngående enn mestringsbeskrivelsene. Område Prøven består av oppgaver innenfor områdene tall og algebra, måling og geometri og statistikk og sannsynlighet. Elevene utfordres til å modellere regneuttrykk (gjenkjenne og beskrive), gjennomføre regneoperasjoner (bruke og bearbeide) og reflektere og vurdere over svaralternativer, kontekster og egne svar. Oppgaveformat Arbeid med flervalgsoppgaver er nyttig i flere sammenhenger. Ved å relatere svaralternativene til problemstillingen i oppgaven får elevene øvelse i å vurdere om svarene er rimelige. Svaralternativene kan også være grunnlag for diskusjon om ulike løsningsstrategier. En del typiske feilsvar går ofte igjen i svarene på flervalgsoppgavene. Disse feilsvarene kan tyde på faglige misoppfatninger. Læreren kan bruke oppgavene i siste del av denne veiledningen og diskutere svaralternativene muntlig med elevene. Hvis en elev har tydelige misoppfatninger, må læreren ta tak i de aktuelle fagområdene. Fagtilknytning Prøven har oppgaver som er relevante for de fleste fag i LK06. Hver oppgave er ofte aktuell for mer enn ett fag. 12

Spørsmål til elevgruppen Hva prøver oppgaven å finne ut om dere kan? Er det vanskelige ord og uttrykk dere ikke forstår? Hva får dere vite i oppgaven, og hva må dere finne ut selv for å løse den? Hvilke løsningsstrategier kan dere bruke? Er det forskjell på hvordan dere tenker når dere skriver svaret selv (åpen oppgave), og når dere velger svar (flervalgsoppgave)? Hva slags emner, områder, oppgaver og oppgavetyper mestrer klassen? Hva slags emner, områder, oppgaver og oppgavetyper bør klassen arbeide mer med? Hvordan følge opp resultatene til den enkelte elev? Beskrivelsen av mestringsnivået kan brukes som utgangspunkt for samtale med eleven og i planleggingen av det videre arbeidet. Du kan sette opp læringsmål for elevens videre arbeid med regning i dine fag, og snakke med eleven om hvordan hun eller han kan nå målene. Det er viktig å fokusere på noen få, realistiske mål om gangen. Fokuser på det som er neste steg i elevens utvikling. Alle faglærere har ansvar for at elevene arbeider med grunnleggende ferdigheter i regning. I alle fag, uansett hvilket tema som behandles, har elevene nytte av å arbeide med logiske resonnement og problemløsning. Det innebærer å kunne oppfatte innholdet i en oppgave, å arbeide med å forstå begrepene som brukes, og å få mulighet til å resonnere, forklare og argumentere for egne løsninger. I tillegg er det viktig at elevene øver seg i å vurdere om svarene er rimelige. For å kunne utvikle seg må elevene bli fortrolige med ulike representasjoner av tall og størrelser og venne seg til å velge de mest hensiktsmessige løsningsstrategiene. Spørsmål til refleksjon og diskusjon Hvordan skal jeg informere elevene om hensikten med prøven? Hvordan skal jeg bruke resultatene for å kunne gi faglig relevante tilbakemeldinger som fremmer videre læring? Hvordan skal jeg involvere elevene i det videre arbeidet med resultatene? Hvordan kan elevene være med og vurdere sitt eget arbeid? 13

Mer informasjon om årets prøver Tabell 1 viser en oversikt over oppgavene og innholdet i årets prøve. Oppgavene er sortert etter de tre områdene i regning som prøven handler om: tall og algebra, måling og geometri, og statistikk og sannsynlighet. Kolonnen Innhold beskriver hva hver enkelt oppgave handler om. I tillegg er oppgavene innenfor hvert område sortert etter vanskelighetsgrad. Sorteringen er basert på resultater fra den siste utprøvingen, og oppgaven med lavest vanskelighetsgrad står først i hvert område. Oversikten viser også hvilke fag hver oppgave kan knyttes til. Det betyr at oppgaven kan relateres til et kompetansemål i dette faget etter 7. trinn, hvor den grunnleggende ferdigheten å kunne regne er integrert. En lignende oversikt over oppgavene ligger i analyserapporten i PAS. Den nasjonale prøven i regning er i tre versjoner (V1, V2 og V4). Alle versjonene inneholder de samme oppgavene, men noen av oppgavene kommer i ulik rekkefølge. I tabell 1 ser du hvilke oppgaver det gjelder. En pdf av V1 er publisert i PAS. For å måle utviklingen over tid har 6 % av elevene på landsbasis gjennomført en annen prøve enn den ordinære prøven, men med oppgaver av tilsvarende vanskelighetsgrad. Disse elevbesvarelsene er ikke tilgjengelige i elevmonitoren. Du finner resultatene i grupperapporten i PAS ved å velge Oppgavesett 3. Grupperapporten i PAS sorterer resultatene etter V1. I elevmonitoren i PGS har du tilgang til hele besvarelsen til hver elev. Hvis du bruker elevmonitoren til å gjennomgå prøven, ser du oppgavene i den rekkefølgen eleven har fått dem, alt etter om eleven har gjennomført V1, V2 eller V4. 14

Tabell 1 Oversikt over oppgavene i den nasjonale prøven i regning 2015 for 8. og 9. trinn Oppgave NP8 Innhold Område Format Fagtilknytning* Fasit V1 V2 V4 1 5 2 Dobling-/gjentatt addisjon desimaltall Tall og algebra Åpen ma 62 27 27 27 Tolke og bearbeide informasjon Tall og algebra Flervalg nat, sf, no 25,8 (addisjon desimaltall) i tabell 4 4 4 Brøk som del av en hel Tall og algebra Åpen m&h, ma, mu 0,25 25 25 25 Subtraksjon desimaltall Tall og algebra Åpen ma, nat 3,9 9 9 9 Dobling/gjentatt addisjon/ Tall og algebra Flervalg m&h, ma 6 multiplikasjon og halvering/gjentatt subtraksjon/divisjon desimaltall 18 18 18 Regne med prosent Tall og algebra Flervalg sf, eng 550 50 50 50 Brøk som del av en mengde Tall og algebra Flervalg m&h, ma, mu 2,5 22 22 22 Uekte brøk til blandet tall Tall og algebra Flervalg mu, ma 1,75 19 19 19 Addisjon, subtraksjon hele tall i Tall og algebra Flervalg eng, ma 2 1 1 sammensatt kontekst 28 28 28 Finne prosenttall Tall og algebra Flervalg m&h, mu, ma 60 26 26 26 Forståelse av likhetstegn Tall og algebra Flervalg ma 8 34 34 34 Forståelse av posisjonssystemet, Tall og algebra Flervalg eng, nat 3200 divisjon hele tall 37 37 37 Dobling/gjentatt addisjon/ Tall og algebra Flervalg ma, eng 200 multiplikasjon og halvering/gjentatt subtraksjon/divisjon hele tall 5 3 1 Brøk som del av en mengde Tall og algebra Åpen m&h, ma 12 23 23 23 Mønster (algebraisk tenking) Tall og algebra Flervalg mu, ma, krle 55 44 44 44 Finne prosenttall Tall og algebra Flervalg ma, nat, eng, 45 m&h 45 45 45 Subtraksjon, divisjon hele tall Tall og algebra Flervalg ma, k&h 375 30 30 30 Forståelse av posisjonssystemet, Tall og algebra Åpen eng, ma 91,44 multiplikasjon desimaltall 48 48 48 Tolke og anvende formel, Tall og algebra Flervalg ma, nat, no 206 multiplikasjon desimaltall 49 49 49 Tolke og anvende formel, Tall og algebra Åpen ma, eng, nat, sf 15 multiplikasjon brøk 3 2 6 Relatere negative tall til tallinja (temperatur), addisjon Måling og geometri Åpen ma, krle, sf 39,7 6 1 3 Multiplikasjon av hele tall, sammenhengen måned og år 7 7 7 Beregne tidsintervall, analog og digital tid Måling og geometri Måling og geometri 8 8 8 Geometriske egenskaper til kvadrat Måling og geometri 10 10 10 Sammenligne størrelser Måling og geometri 12 12 12 Forhold (målestokk) Måling og geometri 14 14 14 Beregne tidsintervall, 60-tallssystemet i min og s Måling og geometri Åpen Sf, ma 7200 Åpen ma, krø, m&h 17.30 Åpen ma, k&h 75 Flervalg k&h, ma 1,6 Åpen ma, k&h 5,84 Åpen ma, krø, nat 10 min og 13 s 15

Oppgave NP8 Innhold Område Format Fagtilknytning* Fasit V1 V2 V4 16 16 16 Vei, fart, tid Måling og geometri 17 17 17 Velge egnet prefiks til lengder Måling og geometri 21 21 21 Omgjøring mellom prefikser (cl til ml) 24 24 24 Rotasjon, geometriske egenskaper til sirkel 31 31 31 Omgjøring mellom enheter (tommer til cm) Måling og geometri Måling og geometri Måling og geometri 35 35 35 Volum (desimaltall) Måling og geometri 40 40 40 Forhold (valuta) Måling og geometri 42 42 42 Forståelse av areal Måling og geometri 43 43 43 Forhold (valuta) Måling og geometri 46 46 46 Omgjøring mellom prefikser (lengde) Måling og geometri 47 47 47 Forhold (blandingsforhold) Måling og geometri 29 29 29 Lage diagram ut fra tabell Statistikk og sannsynlighet 39 39 39 Tolke og bearbeide informasjon (addisjon hele tall) fra diagram Statistikk og sannsynlighet 13 13 13 Tolke informasjon i tabell Statistikk og sannsynlighet 41 41 41 Tolke tabell, sammenligne desimaltall Statistikk og sannsynlighet 33 33 33 Tolke diagram Statistikk og sannsynlighet 2 6 5 Tolke informasjon i tabell Statistikk og sannsynlighet 20 20 20 Prosent som del av en hel Statistikk og sannsynlighet 38 38 38 Forståelse av gjennomsnitt Statistikk og sannsynlighet 11 11 11 Lage diagram Statistikk og sannsynlighet 15 15 15 Tolke og bearbeide informasjon (subtraksjon, multiplikasjon) i tabell Statistikk og sannsynlighet 36 36 36 Gjennomsnitt ut fra frekvenstabell Statistikk og sannsynlighet 32 32 32 Tolke sammensatt tabell Statistikk og sannsynlighet Åpen eng, ma, nat 60 Flervalg k&h, ma, nat, sf, krø km mm m cm Flervalg eng, m&h 5 Flervalg ma, k&h, krø 540 Flervalg eng, ma 10 Åpen ma 38,4 Åpen ma, eng 8,20 Flervalg ma, sf, k&h 2520 Åpen ma, eng 203 Flervalg eng, ma 750 90 1 23 Åpen ma, eng, m&h, 2,8 nat, k&h Åpen nat, sf, no, ma 9 og 2 Åpen no, eng, ma, sf 8 Flervalg no, eng Middels Flervalg ma, no, sf, nat, eng Basketball Flervalg nat, sf, no, ma, 1 2 4 eng, krle, m&h Flervalg no, ma 31 32 Flervalg sf, no, nat, eng 30 Flervalg ma, sf, nat, krle B Åpen sf, nat 7 5 3 2 0 1 Flervalg sf, no 50 Flervalg nat, sf, no, ma, 2 eng, krle, m&h Flervalg ma,k rle, sf 18 * Matematikk (ma), norsk (no), engelsk (eng), naturfag (na), samfunnsfag (sf), kristendom, religion, livssyn og etikk (krle), mat og helse (m&h), kunst og håndverk (k&h), kroppsøving (krø), musikk (mu) 16

Et dypdykk i årets oppgaver Hvordan kan elevene utvikle sine regnestrategier? Denne delen inneholder eksempler på oppgaver fra områdene tall og algebra, måling og geometri og statistikk og sannsynlighet i årets prøve. Eksemplene viser riktige svar, typiske feilsvar som kom fram under utprøvingen av oppgaver, og tips til hvordan elever som svarer feil på slike oppgaver, kan tenke for å utvikle og forbedre sine egne regnestrategier. Tallene er hentet fra resultatene fra utprøvingen av oppgavene. Det var ca. 1500 elever som deltok, og hver oppgave ble prøvd ut på ca. 500 elever. Oppgavenumrene er fra versjon 1 (V1) av prøven. I eksemplene er det påpekt noen mulige årsaker til feilsvarene. Det er viktig å finne ut hva som er årsaken til at elevene svarer feil. Det kan gjøres ved å undersøke svarene deres på lignende oppgaver, eller ved å diskutere oppgaver muntlig med elevene. Til oppgavene har vi foreslått strategier som elevene kan bruke for å komme fram til riktig løsning. I oppgaver hvor elevene ikke har eller kan ta i bruk noen standardisert regnemåte for å finne svaret, kan de prøve å finne løsninger ved å gjenkjenne problemet og anvende ferdigheter som de har fra andre områder i regning. Til alle oppgaveeksemplene har vi tatt med både undervisningstips og kompetansemål som vi mener er relevante for oppgaven. Hvis en elev har tydelige misoppfatninger, må læreren ta tak i de aktuelle emnene. I så fall er det lurt at de andre faglærerne samarbeider med matematikklæreren om det. Oppgaver fra den nasjonale prøven kan være et godt utgangspunkt for diskusjoner om videre arbeid med regning som grunnleggende ferdighet i alle fag. Årets oppgavesett (V1) legges ut på www.udir.no etter gjennomføringsperioden. Spørsmål til diskusjon med elevgruppen På hvilken måte er regning relevant i dette faget? Hvilke emner og områder bør vi fokusere på for å utvikle gode regneferdigheter i dette faget? Er det forskjell på strategiene elevene bruker når de fyller inn svaret selv (åpen oppgave) eller får oppgitt alternativene (flervalgsoppgave) og velger riktig svar? Har elevene gode løsningsstrategier? 17

Tall og algebra I prøven for 2015 er 20 av oppgavene fra området tall og algebra. Regneferdigheten til elevene blir prøvd i de matematiske emnene brøk, prosent og desimaltall, de fire regneartene (addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon) og regning med parenteser. Vanskeligheten på oppgavene varierer, både ut i fra hvor vanskelig det er å gjenkjenne og beskrive det matematiske problemet, og hvilke regneoperasjoner og tall elevene skal bruke og bearbeide. I de enkleste oppgavene kan elevene bruke enkle strategier, som addisjon eller dobling i kjente kontekster. I de mer krevende oppgavene må elevene ha større forståelse og dypere innsikt for å kunne gjenkjenne og beskrive det matematiske problemet. I tillegg må de blant annet utføre divisjon eller multiplikasjon med mer krevende tall (f.eks. desimaltall og brøk) når de skal bruke og bearbeide. Oppgavene om tall i årets prøve, er basert på kompetansemål i læreplanen for fagene engelsk, kunst og håndverk, naturfag, norsk, mat og helse, matematikk, musikk, samfunnsfag, og kristendom, religion, livssyn og etikk. I denne veiledningen har vi analysert fem oppgaver fra området tall og algebra, én fra hvert mestringsnivå. Mestringsnivå 1 Oppgave 1 Oppgaven er åpen og fra mestringsnivå 1. Elevene skal utføre beregninger med desimaltall. Imidlertid er det viktig å se på hvilke desimaltall elevene møter i oppgaven, nemlig kroner og øre. Det er trolig de desimaltallene elevene kjenner best, og oppgaven kan løses uten at de har forstått posisjonssystemet for desimaltall. Selve beregningen går ut på å finne ut hvor mye fire sjokolader koster. Det vil si at gjentatt addisjon eller dobling er effektive strategier i denne oppgaven. En velkjent kontekst kan også hjelpe elevene til å gjenkjenne det matematiske problemet i oppgaven og reflektere og vurdere over svaret sitt. 18

Elevsvar Prosentandel Kommentar Prosess* 62,00 78 Riktig svar. Gjentatt addisjon, dobling og multiplikasjon eller andre gode strategier til å løse oppgaven. 64,00 6 Betaler i praksis for fire enkeltsjokolader. Kan være i en RV misoppfatning om at «øre finnes ikke lenger». 46,50 1 Betaler for tre sjokolader. GB 60,00 1 15 4. Har trolig problemer med å multiplisere desimaldelen og BB velger å overse den. 60,20 1 Ser på desimaltallet 15,50 som to separate tall (15 og 50). BB Disse elevene får da 15 4 = 60 og 50 4 = 20(0). Svaret blir dermed 60,20 kr. Ubesvart 0 * Helhetlig problemløsningsprosess: GB betyr gjenkjenne og beskrive, BB betyr bruke og bearbeide og RV betyr reflektere og vurdere. Etterarbeid Til læreren: Det er viktig at læreren legger til rette for at elevene møter desimaltall både med og uten benevning. Når vi arbeider med måling, omtaler vi desimaltall (15,5 m) ofte som for eksempel 15 m og 5 dm eller som 15 m og 50 cm. Da opererer vi med to hele tall, meter og desimeter. For at elevene skal forstå posisjonssystemet er det lurt at vi også her snakker om 15 m og 5 tidels meter. Da gir prefiksene vi bruker i måling (desi, centi, milli), en dypere mening, og det blir lettere å se sammenhengen mellom desimaltall med og uten benevning. Elevaktivitet: Oppgaven kan brukes til å diskutere ulike løsningsstrategier. Siden den har høy løsningsprosent, har mange elever en strategi som har gitt riktig svar. Trolig vil noen oppdage at andre har en mer effektiv strategi enn den de selv har brukt. I denne oppgaven vil kanskje både de som har valgt gjentatt addisjon, og de som har valgt oppstilt multiplikasjon, se at dobling er en mer effektiv strategi. Neste steg er å undersøke hvordan løsningsstrategiene virker dersom tallene i oppgaven hadde vært annerledes. Hvordan virker de forskjellige strategiene dersom Samuel hadde kjøpt tre sjokolader? Hva med ti sjokolader? Hva om prisen hadde vært 15,99 kr? Hvordan ville strategiene virket dersom det hadde vært snakk om 3,5 15,50 i en annen sammenheng? Elevene kan løse eksemplene med alle strategiene som er blitt presentert i klassen. På slutten av økta er det viktig at de får tid til å reflektere over hvilken strategi de opplever som mest effektiv. Var det samme strategi som fungerte best i alle eksemplene, eller var strategien avhengig av tallene? Ville noen elever ha valgt en annen strategi nå, enn de gjorde på prøven? Kompetansemål Matematikk, LK06, 7. trinn: beskrive og bruke plassverdisystemet for desimaltal, rekne med positive og negative heile tal, desimaltal, brøkar og prosent og plassere dei ulike storleikane på tallina 19

Mestringsnivå 2 Oppgave 4 Denne oppgaven er med i prøven for 5. og 8.trinn, og er i tillegg prøvd ut på elever fra Vg1. Oppgaven er på mestringsnivå 2 (av 3) på 5. trinn, 2 (av 5) på 8. trinn og 1 (av 5) på Vg1. Hensikten med oppgaven er å teste brøkforståelsen til elevene når det gjelder brøk som del av en hel. Elevsvar Prosentandel 5. trinn 8. trinn Vg1 Kommentar Prosess 1 39 71 87 4 Riktig svar. Alle likeverdige brøker til 1 4 er godkjent. 1 24 16 6 Flagget består av tre farger. Én av dem er blå. Elever som BB 3 gir dette svaret, har trolig en sterk følelse av at de har svart riktig på oppgaven. 1 5 1? Flagget består av tre farger. Én farge er blå, og to er ikke blå. BB 2 2 4 1 3? Svarer andelen som er gul. GB Ubesvart 5 2 1 Etterarbeid Til læreren: Det er viktig at elevene møter brøk på varierte måter, for å få utviklet god forståelse av brøk som begrep. Det gjelder både brøk som del av en hel og brøk som del av en mengde. I tillegg må elevene møte konkretiseringsmateriell som bygger opp den delen av brøkforståelsen som læreren ønsker å arbeide med. Elever som ikke løser denne oppgaven riktig, har små forutsetninger for å forstå regning med brøk på dette stadiet. Elevaktivitet: Å visualisere fargefordelingen i flagget med brøksirkler kan for eksempel være en nyttig aktivitet etter at elevene har gjennomført prøven. Formen blir da ikke rektangulær, men brøksirklene egner seg godt til å visualisere brøk som del av en hel. Elever som har gitt feil svar, vil trolig komme i en kognitiv konflikt når de oppdager at svaret deres ikke stemmer likevel. 20

Å tegne flagget på et linjert ark kan også være en egnet aktivitet. Læreren kan bestemme lengden til flagget, mens linjene på arket kan skille de ulike delene av flagget. Trolig vil de to flaggene som er tegnet nedenfor, være godt representert i klasserommet. Etter at flagget er fargelagt, kan elevene klippe ut «radene» og sammenligne resultatene sine. Er alle flaggene like? Hvor mange deler har hver elev? Hvor stor brøkdel er gul? Hvor stor brøkdel er blå? Kompetansemål Mat og helse, LK06, 4.trinn: bruke mål og vekt i samband med oppskrifter og matlaging Mat og helse, LK06, 7. trinn: bruke rekning for å auke eller redusere mengda i oppskrifter følgje oppskrifter Matematikk, LK06, 4.trinn: beskrive og bruke plassverdisystemet for dei heile tala, bruke positive og negative heile tal, enkle brøkar og desimaltal i praktiske samanhengar og uttrykkje talstorleikar på varierte måtar Matematikk, LK06, 7. trinn: beskrive og bruke plassverdisystemet for desimaltal, rekne med positive og negative heile tal, desimaltal, brøkar og prosent og plassere dei ulike storleikane på tallina Musikk, LK06, 7. trinn: oppfatte og anvende puls, rytme, form, melodi, klang, dynamikk, tempo og enkel harmonikk i lytting og musisering. Samfunnsfag, LK06, 4. trinn (Utforskeren): bruke metodar for oppteljing og klassifisering i enkle samfunnsfaglege undersøkingar og presentere enkle uttrykk for mengd og storleik i diagram og tabellar 21

Oppgave 25 Denne oppgaven er også med i prøven for både 5.og 8. trinn, og er i tillegg prøvd ut på elever i Vg1. Oppgaven er på mestringsnivå 3 (av 3) på 5. trinn, 2 (av 5) på 8. trinn og 1 (av 5) på Vg1. For å løse oppgaven må elevene orientere seg i en sammensatt tekst og deretter utføre beregninger med desimaltall. Hovedutfordringen viser seg imidlertid å være innen bruke og bearbeide, det vil si å regne ut 6,8 km 2,9 km. Prosentandel Elevsvar 5. trinn 8. trinn Vg1 Kommentar Prosess 3,9 27 64 76 Riktig svar. Telling eller subtraksjon med veksling er effektive strategier. 4,1 12 8 3 Største siffer minste siffer (6 2 og 9 8). Disse elevene BB vil trolig velge samme framgangsmåte i andre oppgaver, og det er derfor viktig at de blir identifisert og får hjelp til å komme seg videre. 3,1 3 1 1 Største siffer minste siffer, men roter i tillegg med BB minnetall. 4,9 2 2 1 Feil i veksling, veksler én ener til ti tideler, men glemmer så BB dette i neste steg. 39 eller 1 2 0 Overser komma. Reflekterer i svært liten grad. BB 390 2,6 6 5 5 Lengste løype (6,8 km) øverste løype (4,2 km). GB 1,3 1 1 1 Øverste løype (4,2 km) korteste løype (2,9 km). GB 4,0 4 1 0 Kommer av avrunding, enten av tallene som elevene regner GB med (6,8 7 og 2,9 3), eller i svaret (3,9 4). Feilen er synlig nesten bare på 5. trinn, der desimaltall er relativt nytt for elevene. Ubesvart 5 1 2 22

Etterarbeid Til læreren: Det er viktig at elevene møter subtraksjon på en variert og gjennomtenkt måte. Dette gjelder både gjennom ulike kontekster og hvilke tall elevene møter i problemene. Dersom elevene møter mange oppgaver der største minus minste siffer gir riktig svar (f.eks. 596 382), kan det føre til en misoppfatning i subtraksjon der, 6,8 2,9 vil gi svaret 4,1. Ved å bruke tallinja og se på subtraksjon som forskjellen mellom tall, kan elevene oppdage at subtraksjon kan løses på flere måter og med ulike strategier. Når det gjelder 21 19, vil det være mer hensiktsmessig å finne svaret som en forskjell mellom tallene på tallinja enn å stille opp en utregning med tallene under hverandre med veksling eller med en misoppfatning som gir svaret 18. Elevaktivitet: Oppgaven egner seg godt til å diskutere i klasserommet. Elevene kan presentere strategien sin i elevgruppen, på samme måte som i oppgave 1 som er beskrevet tidligere i veiledningen. Finnes det bedre løsningsstrategier blant andre elever i klassen enn den de selv har valgt? De gode regnerne er ikke låst til én strategi for hver regneart, men vil velge egnet strategi ut fra hvilke tall de møter i oppgaven. Det er derfor viktig at ulike løsningsstrategier blir løftet fram i klasserommet, og at det blir satt av tid til å diskutere og vurdere hvilke tall de ulike strategiene egner seg for. Kompetansemål Matematikk, LK06, 4. trinn: beskrive og bruke plassverdisystemet for dei heile tala, bruke positive og negative heile tal, enkle brøkar og desimaltal i praktiske samanhengar og uttrykkje talstorleikar på varierte måtar Matematikk, LK06, 7. trinn: beskrive og bruke plassverdisystemet for desimaltal, rekne med positive og negative heile tal, desimaltal, brøkar og prosent og plassere dei ulike storleikane på tallina Naturfag, LK06, 4.trinn: bruke måleinstrumenter, systematisere data, vurdere om resultatene er rimelige, og presentere dem med eller uten digitale hjelpemidler Naturfag, LK06, 7. trinn: trekke ut og bearbeide naturfaglig informasjon fra tekster i ulike medier og lage en presentasjon 23

Mestringsnivå 3 Oppgave 26 Også i år har vi med en oppgave som tester om elevene forstår hva likhetstegnet betyr. Dette er grunnleggende for å beherske regneartene og se sammenhengen mellom dem. Tallene i oppgaven er valgt med tanke på at det ikke er de som skal være utfordringen. Oppgaven skal teste om elevene forstår at likhetstegnet betyr at verdien på venstre side er lik verdien på høyre side. Elevsvar Prosentandel Kommentar Prosess 6 4 Usikker på multiplikasjonstabellen? Kan også være det som GB/BB ligner mest på 63 for elever som prøver å skape symmetri. 7 17 7 9 = 63. GB 8 48 Riktig svar. 72 24 Er vant med å skrive svar på oppgaver etter likhetstegnet GB (63 + 9). Ubesvart 7 24

Etterarbeid Til læreren: Det er viktig at elevene fra starten av møter likhetstegnet med ulike plasseringer i oppgavene. Hvis de bare møter oppgaver der de kan lese fra venstre mot høyre, og der svaret skal stå etter likhetstegnet, blir likhetstegnet fort et symbol som assosieres med «her kommer svaret» eller «en prosess som går fra venstre mot høyre». Det er viktig å være klar over at lommeregneren faktisk støtter opp under denne misoppfatningen. Oppgaver av samme slag som på bildene er aktuelle fra 1. trinn og oppover. Spesielt de to siste oppgavene avdekker om elevene forstår hva likhetstegnet betyr. Det er viktig å identifisere de som ikke løser denne typen oppgaver riktig, og arbeide med å utvikle forståelsen deres. Disse elevene vil ha små forutsetninger for å kunne forstå sammenhengen mellom regnearter. Det blir veldig synlig når de skal lære algebra. Hvordan skal de forstå hvorfor de må gjøre det samme på begge sider av likhetstegnet i en ligning, hvis de ikke forstår hva likhetstegnet betyr? Elevaktivitet: Ei skålvekt egner seg godt til å illustrere hva likhetstegnet betyr, og lodd med påskrevet masse fra naturfagavdelingen egner seg godt som konkreter. Elevene ser at de får svaret når vekta er i likevekt, ved at massen på høyre side er lik massen på venstre side. Læreren kan begynne med å legge på lodd på begge sider når vekta ikke er i likevekt. Elevene kan formulere regnestykket som skålvekta illustrerer og prøve å løse det. Svaret kan kontrolleres ved at en av dem tester svaret sitt med skålvekta. Denne aktiviteten er også aktuell når elevene skal arbeide videre med algebra og løse ligninger. Det er imidlertid viktig at læreren er bevisst på at skålvekta egner seg som konkretiseringsmateriell bare når vi snakker om masse. Er eksemplet at tre epler koster 15 kr blir det misvisende for elevene å bruke denne typen konkretisering. Dersom tre epler og 15 kr er i likevekt, betyr det at tre epler har samme masse som for eksempel femten kronestykker. Kompetansemål Matematikk, LK06, 7. trinn: beskrive og bruke plassverdisystemet for desimaltal, rekne med positive og negative heile tal, desimaltal, brøkar og prosent og plassere dei ulike storleikane på tallina stille opp og løyse enkle likngar, løyse opp og rekne med parentesar i addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av tal 25

Mestringsnivå 4 Oppgave 48 I denne oppgaven må elevene lese en sammensatt tekst og utføre beregninger med hele tall og desimaltall. De må kunne forstå og kunne bruke en enkel formel. Formelen står forklart med ord i oppgaven, så det stilles ikke krav til at elevene må kunne prioritere regnearter. Elever som har denne kunnskapen, har en fordel. Elevsvar Prosentandel Kommentar Prosess 14 9 Riktig mellomsvar: 20 0,7. GB 80 23 Elevene har matematisert oppgaven riktig, men bommer på BB utregningen av 20 7. De finner riktig svar på 220 20 7. 140 23 Elevene gjør feil i matematiseringen, og regner ut GB (220 20) 0,7. 206 24 Riktig svar. Overslag er en effektiv metode. Ubesvart 20 Etterarbeid Til læreren: Ut fra resultatene på oppgaven over ser vi at mange elever omdefinerer oppgaven og regner ut (220 20) 0,7 i stedet for 220 (20 0,7). Det er derfor viktig at før elevene arbeider videre med oppgaven, eller med andre formler, må de forstå forskjellen mellom disse to regnestykkene. Nedenfor er det beskrevet et undervisningsopplegg som er ment å belyse behovet for å kunne prioritere regnearter. Opplegget virker spesielt godt dersom temaet er forholdsvis nytt for elevene. 26

Økta begynner med tre regneuttrykk der elevene i par eller grupper skal diskutere «Hvem skal ut?», det vil si hvilket av disse tre uttrykkene som ikke passer sammen med de to andre. Her er det viktig at elevene får forklare valget sitt, uten at noen kommenterer om måten de har tenkt på er riktig eller gal. Bildene nedenfor visualiserer de tre uttrykkene med brusflasker. Dette kan også godt visualiseres med helkonkreter i klasserommet. Etter at uttrykkene er blitt visualisert, kan læreren gå tilbake til starten og spørre om det er noen elever som har ombestemt seg. Hvem skal ut? I det videre arbeidet må elevene få mulighet til å automatisere temaet. Ta for eksempel utgangspunkt i et bilde av ulike prismerkede varer. La elevene bruke det til å lage regneuttrykk. Eksempel: «Jonas kjøper tre sjokolader og ei flaske brus. Skriv et regneuttrykk som viser hvor mye Jonas må betale.» Her kan elevene arbeide i par og lage lignende oppgaver til hverandre. Elevaktivitet: Oppgaven om makspuls kan brukes på mange måter i klasserommet. Elevene kan regne ut Malins makspuls, eller sin egen makspuls, eller kanskje lage en graf som viser hvilken makspuls en person har ut fra alderen. I tillegg er oppgaven velegnet til å diskutere rimeligheten av egne svar. Resultatene viser at over 30 % av elevene mener makspulsen til Malin er 14 eller 80. Elever som svarer det regner trolig uten først å tenke igjennom hva som kan være fornuftig svar på oppgaven. Oppgaven er en flervalgsoppgave og kan enkelt løses ved hjelp av overslag. Elever som regner med 0,5 og/eller 1,0 i stedet for 0,7 vil se at 206 er det eneste mulige svaret. Det er viktig at elevene blir bevisst muligheten og får øvelse i overslagsregning som strategi. Kompetansemål Matematikk, LK06, 7. trinn: stille opp og løyse enkle likningar, løyse opp og rekne med parentesar i addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av tal Naturfag, LK06, 7. trinn: beskrive i hovedtrekk hjerte- og lungesystemet og hvilken funksjon det har i kroppen samtale om hvorfor det i naturvitenskapen er viktig å lage og teste hypoteser ved systematiske observasjoner og forsøk, og hvorfor det er viktig å sammenligne resultater Norsk, LK06, 7. trinn forstå og tolke opplysninger fra flere uttrykksformer i en sammensatt tekst 27

Mestringsnivå 5 Oppgave 49 I likhet med talloppgaven på mestringsnivå 4 inneholder oppgave 49 en formel som elevene skal anvende. I oppgave 49 er formelen kortere beskrevet enn i oppgaven på mestringsnivå 4. Dette setter større krav til at elevene klarer å tolke formelen, og det er å tolke og anvende formelen som er utfordringen i oppgaven. Tallene er valgt slik at de er enkle å regne med. At oppgave 49 inneholder multiplikasjon med brøk, skiller den også fra oppgaven på nivå 4. Elevsvar Prosentandel Kommentar Prosess 15,0 C 4 Riktig svar. 27,0 C 9 Regner ut første del riktig (59 32) og gir det som svar. GB/BB Om utfordringen består i å forstå hele formelen (GB) eller å multiplisere med brøk (BB), er vanskelig å avgjøre. 32,0 C 5 Bruker et tall fra oppgaven. GB 45,0 C 2 Tolker brøken 5 9 som 5 9. GB Ubesvart 43 Etterarbeid Til læreren: Vi så i oppgave 4 (mestringsnivå 2) at mange elever ikke forstår begrepet brøk. Det må være på plass før de begynner å regne med brøk. Da vil de lettere kunne forstå hva det betyr for eksempel å multiplisere med brøk. Det er ikke å jakte på en bestemt metode eller å være låst til én bestemt strategi. Elevene må bli i stand til å se på hvilke tall de møter i oppgaven, og så velge egnet strategi ut fra dem. Elevsvarene viser at en del dyktige elever ikke har en effektiv strategi for å multiplisere heltall med brøk. De velger å gjøre om brøken til desimaltall. Svar som 13,5 C eller 14,85 C tyder på det ( 5 9 0,5 eller 5 9 0,55). 28