Defiisjo av derivert Vi har stor ytte av å vite hvor raskt e fuksjo vokser eller avtar Mer presist: Vi øsker å bestemme stigigstallet til tagete til fuksjosgrafe P Q Figure til vestre viser hvorda vi ka gå fram for å bestemme stigigstallet til dee tagete i et pukt P Vi velger et aet pukt Q et lite stykke fra P, trekker ei rett lije gjeom P og Q, og bestemmer stigigstallet for dee rette lija Så lar vi Q gå mot P lags fuksjosgrafe Idet Q faller samme med P blir lija PQ taget til grafe Greseverdie for stigigstallet til lija PQ blir da stigigstallet til tagete i P Dee framgagsmåte forutsetter at grafe til fuksjoe er glatt i området rudt P Mer presist formulert: Vi forutsetter at greseverdie for stigigstallet til lija PQ eksisterer år Q går mot P Nå er tide ie til å uttrykke seg mer matematisk Figure til vestre illustrerer hva vi meer med stigigstallet til lija PQ Vi har at:, f ( 0 0 y = f( Q + + f( 0 + Stigigstallet til lija PQ blir da y P y f ( 0 + f ( 0 f( 0 = 0 slik at stigigstallet til tagete i P blir y f ( 0 + f ( 0 lim = lim 0 0 df ( Dee greseverdie kaller vi de deriverte av f i 0, og skriver de som 0 eller eklere f ' Vi oppsummerer: som 0 Puktet P har koordiatee 0 ( 0 Puktet Q har koordiatee, f ( La f være e fuksjo som er defiert i et område rudt = 0 Hvis greseverdie f ( 0 + f ( 0 lim 0 eksisterer, sier vi at f er deriverbar i 0 og skriver f ' ( 0 ( + df f f = = lim 0 0 0 0 Bjør Davidse, Uiversitetet i Tromsø
Valigvis fier vi e formel for de deriverte som er uavhegig av puktet 0 Da skriver vi bare f ' eller df ( Litt formalisme om termiologie: Vi skriver gjere y = f ( Da ka de deriverte skrives dy Her er egetlig kombiasjoe d et derivasjossymbol som forteller at y skal deriveres med hesy på Me det ka være hesiktsmessig å oppfatte dy som e brøk med e lite størrelse dy som teller og e lite størrelse som ever Formelt er dette helt feil, me det fugerer bra i praksis Slik uformell igeiør-matematikk vil du støte på mage gager i dette kurset I praksis er det sjelde at vi fier de deriverte direkte ut fra defiisjoe Vi bruker heller et sett geerelle derivasjosregler kombiert med derivasjosformler for spesielle fuksjostyper Dessute har vi et kippe derivasjostekikker som er helt uuværlige år vi skal derivere mer kompliserte fuksjoer Gruleggede derivasjosregler Vi skal å se på de gruleggede derivasjosreglee For oversiktes skyld vil jeg kosetrere meg om selve reglee med oe eksempler, og ta lett på utledigee av reglee Jeg skal ta utgagspukt i skrivemåte y = f (, og skal beytte y ' og f ' som symbol for de deriverte istedefor de mer kompliserte (me mer korrekte skrivemåte dy og df ( Geerelle derivasjosregler På grulag av defiisjoe av derivasjo ka vi utlede reglee edefor: La u og v være to fuksjoer som er deriverbare i La c være e kostat Da gjelder: y = c u( y' = c u' ( y = u( + v( y' = u' ( + v' ( y = u v y' = u' v + u v' 4 u ' ' ' u v u y = y = v v( v 3 ( Utledigee fier du helt til slutt i dette kapitlet Derivasjo av spesielle fuksjoer Reglee fora er geerelle regler som alltid gjelder Me vi treger også formler for derivasjo av spesielle fuksjostyper Vi skal ta disse fuksjostypee etter tur Bjør Davidse, Uiversitetet i Tromsø
Potesfuksjoer E potesfuksjo er e fuksjo av type y = f ( = c der c er e kostat De ekleste potesfuksjoe får vi ved å sette = 0 Da blir y = f ( = c = kostat E kostat fuksjo har pr defiisjo stigigstall lik ull Da er også de deriverte lik ull Altså: y = f ( = c = kostat y' = 0 Så setter vi = og lar c =, slik at vi ser på fuksjoe y = f ( = Dette er ei rett lije med stigigstall lik Da er også de deriverte lik Dette ka vi også se av defiisjoe på derivasjo: df f + f + y ' = = lim = lim = lim = 0 0 0 Vi har altså overbevist oss om at: y = f ( = y' = Disse reglee er spesialtilfeller av e geerell regel, som er vist i slutte av kapitlet: ' y = f = y = for = 0,,, Samme med de geerelle regereglee er vi å i stad til å derivere både polyomfuksjoer og rasjoale fuksjoer Eksempel : Deriver disse fuksjoee: y = f = + 3 a 3 b y = f ( = ( 3 ( + 4 = = c y f ( 3+ + Løsig: a y' = 3 + 0= 6 Bjør Davidse, Uiversitetet i Tromsø
b Dette problemet ka agripes på to måter: Jeg ka multiplisere ut og derivere etterpå Da får jeg: 3 5 3 y = f = + 4 = + 4 4 = + = + 4 4 y' 5 4 3 0 5 Jeg ka bruke regele for derivasjo av et produkt Da får jeg: 3 4 4 y' = 3 0 + 4 + + 0 = 3 + + 4 = 5 + c y ' = ( 3+ 0( + ( 3+ ( + 0 ( + 4 3 6 3 4 7 + + + = = ( + ( + Oppgave Vi har hittil forutsatt at er et helt, positivt tall Me vi ka vise at formele gjelder for alle Dette er e svært yttig utvidelse av bruksområdet for formele Vi summerer opp: ' y = f = y = for alle Eksempel : Deriver disse fuksjoee: a y = f ( = b y = f ( = Løsig: a y = f ( = = y' = = = = b Jeg ka bruke regele for derivasjo av e brøk Det er imidlertid lettere å gjøre slik: 3 y = f ( = = y' = ( = = 3 Oppgave Bjør Davidse, Uiversitetet i Tromsø
Trigoometriske fuksjoer Ramma edefor oppsummerer derivasjosreglee for de trigoometriske fuksjoee: y = f ( = si y' = cos y = f ( = cos y' = si y = f ( = ta y' = cos Vi skal ikke bevise de to første reglee De siste er vist i eksemplet edefor: Eksempel 3: Utled derivasjosregele for ta på grulag av derivasjosreglee for si og cos si u Løsig: y = ta = cos = v u' v u v' cos cos ( si si cos + si y ' = = = = u cos cos cos Oppgave 3 3 Ekspoetial- og logaritmefuksjoer Grutallet e i ekspoetialfuksjoe y = f ( = e er valgt spesielt slik at stigigstallet til tagete skal være lik fuksjosverdie i tagerigspuktet Dette gir e svært ekel derivasjosregel: ' y = f = e y = e De tilsvarede derivasjosregele for aturlige logaritmer er også ekel: y = f ( = l y' = Vi skal ikke bevise dee regele Eksempel 4: Deriver disse fuksjoee: Bjør Davidse, Uiversitetet i Tromsø
a y = f ( = l l b y = f ( = Løsig: a y' = l + = l + b l l l l ' y = = = = 4 3 3 Oppgave 4 3 Kjereregele Mage fuksjoer er sammesatte, slik at de ka oppfattes som y f u( eksempler: y = f = e = e der u = u y = f = + = u der u = + y = f = l = lu der u = Nå kommer vi til hovedpoeget: = Et par Ata at e fuksjo ka skrives på forme y f ( g u( g og u er deriverbare fuksjoer Da er dg ( u du( y ' = du = = der både f, Regele ovefor kalles kjereregele, og er kaskje de derivasjostekikke du oftest beytter Regele formuleres ofte (litt slurvet slik: dy dy du y ' = = du Dee formulerige gjør at regele blir lett å huske Du skal bare skyte i du i teller og ever Regele blir også lett å utvide, som vi sart skal se Eksempel 3: Deriver disse fuksjoee: y = f = e a y = f = + b c y = f ( = l ( Bjør Davidse, Uiversitetet i Tromsø
Løsig: a y e e u = = der u( = Da blir dy du u y' = = e ( = e du b y u u u = = = der = + Da blir dy du y' = = u + 0 = u = = = du u u + c y = l ( = lu der u( = Da blir dy du y ' = = ( 0 = du u Oppgave 3 Noe slike sammesatte fuksjoer forekommer så ofte at du like godt ka lære deg de derivasjosreglee som kjereregele gir: Dersom a er e kostat, får vi: a a y f ( e = = y' = a e y = f ( = l ( a y' = y = f = si a y' = a cos a cos ' si y = f = a y = a a a y = f ( = ta ( a y' = cos a ( ' ( du y = f = u y = u du y = f ( = u( y' = u (som egetlig er et spesialtilfelle av formele ovefor med = Det er fi treig å utlede derivasjosreglee ovefor: Eksempel 3: Utled reglee i ramma ovefor Bjør Davidse, Uiversitetet i Tromsø
Løsig: I de 5 første tilfellee ifører vi e kjere u = a du = a Da får vi: a u du du u a y = e = e y' = = e a = a e du dy du y = l ( a = l u y' = = a = a = du u a dy du y = si( a = si u y' = = cosu a = a cos( a du ta a utledes på helt tilsvarede måte Reglee for cos( a og De to siste reglee er bare kjereregele brukt direkte Oppgave 3 4 Utledig av oe derivasjosregler 4 De geerelle derivasjosreglee Foreløpig har vi bare satt opp de geerelle derivasjosreglee Nå skal jeg bevise dem ut fra defiisjoe på derivert, som er slik: Når y = f (, er ( + df f f y' = f '( = = lim 0 Regel : y = f ( = c u( Da er f f c u c u y ' = lim = lim 0 0 u( + u( du( = c lim = c = c u' ( 0 ( + ( + Regel : y = f ( = u( + v( Da er Bjør Davidse, Uiversitetet i Tromsø
( u + + v + ( u( + v( ( + f f y ' = lim = lim 0 0 ( u( + u( + v( + v( = lim 0 u( + u( v( + v( du( dv( = lim + lim = + = u' + v' 0 0 Regel 3: y = f ( = u( v( Da er y ' = lim f f = lim ( ( + ( u( + v( + ( u( v( 0 0 ( u( + v( + ( u( + v( ( u( + v( ( u( v( = lim + lim 0 0 ( v( + v( u( + u( = lim u( + + lim v( 0 0 ( 3 v( + v( u( + u( = lim u( + lim + lim v 0 0 0 dv( du( = u( + v( = u( v' ( + u' ( v( Forklariger: I overgag ( trekker jeg fra og legger til u( + v( samtidig som jeg splitter de lage brøke opp i to brøker, og tar greseverdie for hver av brøkee for seg I overgag ( setter jeg felles faktor utefor paretes i begge brøkee I overgag (3 beytter regele om at greseverdie for et produkt er lik produktet av greseverdiee For øvrig bruker jeg defiisjoe av derivert flere steder Regel 4: y f ( Da er u = = v Bjør Davidse, Uiversitetet i Tromsø
u( + u( f ( + f ( v( + v( v( + v( 0 0 v( + v( u( + v( u( v( + lim 0 v( + v( ( u( + v( u( v( + u( v( u( v( + = lim 0 v( + v( ( u( + u( v( + v( = lim v( u( 0 v( + v( du( dv( u '( v( u( v' ( v( u( ( v( ( v( y ' = lim = lim = = = Forklariger: I overgag ( trekker jeg fra og legger til u( v( i tellere I overgag ( setter jeg v( + v( som felles everfaktor utefor paretes Samtidig splitter jeg opp brøke i to, og setter felles faktor utefor paretes i hver av de to brøkee Til slutt lar jeg 0, og beytter da defiisjoe av de deriverte 4 Derivasjo av potesfuksjoer Vi skal å utlede derivasjosregele for potesfuksjoe y = f ( = Vi har allerede vist at y = f = y = ' Vi ka derivere y = f ( = ved å bruke defiisjoe på derivert slik: f ( + f ( ( + Bjør Davidse, Uiversitetet i Tromsø + + y ' = lim = lim = lim 0 0 0 + ( = lim = lim ( + = 0 0 3 4 På samme måte ka vi gå fram for å derivere y =, y = osv Me du iser sikkert at regearbeidet etter hvert blir gaske omfattede, og det blir vaskelig å fie e geerell formel for derivasjo av y = La oss heller prøve å oppfatte som og bruke derivasjosregele for et produkt Da får vi: y = f ( = = y' = + = På samme måte deriverer jeg 3 y = f ( = = Jeg får
= + = y' 3 Her begyer det å dae seg et møster Det ser ut som om y = f = y' = Dee regele gjelder i alle fall for =,, og 3 Jeg bruker et iduksjos-resoemet til å vise at de gjelder geerelt, og atar at regele gjelder for = k Når jeg setter = k + får jeg: k+ k y = f = = + y' = k + = k + = k + = k + k k k k k k k Og det er jo samme formel som jeg får dersom jeg erstatter med k + i uttrykket y = f = y' = Altså er påstade bevist, forutsatt at er et helt, positivt tall Et alterativt bevis forutsetter bruk av logaritmisk derivasjo Det beviset er kaskje eklere (forutsatt at du behersker logaritmisk derivasjo, og gjelder for alle verdier av Det viser altså at regele ikke er begreset til heltallige, positive verdier av Bjør Davidse, Uiversitetet i Tromsø