Tallsystemer FRA A TIL Å

Tallsystemer FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til tallsystemer T - 2 2 Grunnleggende om tallsystemer T - 2 2.1 Tegn og symboler T - 3 2.2 Nullen er viktig T - 5 3 Tallsystemer som bruker posisjonsystemet T - 6 3.1 Titallsystemet T - 7 3.2 Totallsystemet T - 8 3.3 Femtallsystemet T - 11 4 Tallsystemer som ikke bruker posisjonsystemet T - 14 4.1 Romertall T - 15 5 Andre tallsystemer som er i daglig bruk T - 19 5.1 Tallsystemer i forbindelse med tid T - 19 5.2 Tallsystemer i forbindelse med måling T - 23 6 Tallsystemer fra historie T - 25 6.1 Det egyptiske tallsystemet T - 25 6.2 Det babylonske tallsystemet T - 27 6.3 Mayaindianernes tallsystem T - 30

Innledning til tallsyste mer 1 INNLEDNING TIL TALLSYSTEMER Vi har vent oss til å regne med et tallsystem som vi kaller for titallsystemet. Det betyr at alle de tallene vi kan tenke oss er skrevet med med ti ulike tallsymboler, nemlig tallene fra 0 til 9. De fleste tror at dette er det tallsystemet vi kan, og at alle andre tallsystemer er vanskelig å lære seg. Der tar de aller fleste feil. Til daglig bruker vi mange ulike tallsystemer. De fleste av oss klarer å bruke opp til 4-5 ulike tallsystemer samtidig uten å blunke. Faktisk er det slik at det til tider kan være et spørsmål om titallsystemet er det tallsystemet vi behersker best. Kanskje er det slik at vi er bedre på andre tallsystemer! Når vi snakker om tid, snakker vi nemlig både om 7-tallsystemet (1 uke = 7 dager), 12-tallsystemet (1 år = 12 måneder) og 60-tallsystemet (1 time = 60 minutter). Og hvor ofte bruker vi ikke klokka og kalenderen? Tallsystemer handler om ulike måter å organisere tall og mengder på. Vi trenger det til målinger og sammenligninger, utregninger og beregninger. Ulike kulturer har utviklet ulike systemer. De eldste tallsystemene vi kjenner var svært enkle, og veldig praktiske. Etter hvert som samfunnet utviklet seg og ble mer og mer sammensatt og komplisert, ble det også behov for mer avanserte tallsystemer og måter å regne på. Dette kapitlet handler om tallsystemer fra flere verdenshjørner og fra mange tidsepoker. Å kjenne til noen flere tallsystemer enn de vi bruker til daglig, vil være med på å utvikle en større tallforståelse, samtidig som det jo også bidrar til økt kunnskap, både om tallenes historie og nødvendigheten av å bruke tall og symboler som uttrykk for enheter og mengder. Grunnleggende om tallsyste mer 2 GRUNNLEGGENDE OM TALLSYSTEMER I dette kapitlet vil du støte på de vanlige tallsymbolene som vi er vant til å bruke, og tegn som vi trenger en forklaring på for å forstå. Jeg bruker med vilje to ord om noe som for mange kanskje betyr det samme: Tegn og symboler. Det T- 2

er derfor grunn til å forklare hvorfor det er viktig å skille mellom disse to ordene. 2.1 Tegn og symboler Tegn og symboler Talltegn er i utgangspunktet bilder som skal fortelle deg hva de betyr. Til å begynne med er det lett å forestille seg at folk telte ved hjelp av fingre. 1 finger = 1 enhet. Tenk deg at du skal vise en annen at du trenger 7 enheter av et eller annet, la oss si 7 piler, fordi du skal ut på jakt. Da peker du på en pil og viser 7 fingre i været, og den andre vil antagelig kunne forstå dette. Men det blir jo etter hvert behov for å kommunisere tall og mengder skriftlig. Vel, kanskje ikke skriftlig slik vi forstår det, papir og blyant var ikke funnet opp ennå. Men kanskje å kunne fortelle til en som kommer senere at du har tatt med deg 7 piler. Da trenger du å legge igjen en beskjed. Det kan jo for eksempel være 7 pinner i en rekke, der pinnene i grunnen både kan bety 7 fingre og 7 piler. Etter hvert utvikler dette seg videre. Tenk deg at du har tatt med deg 18 piler. Det blir mange pinner, og man kan lett gå i surr. Det er her tegnene kommer inn. Hvis en pinne skal bety 1 finger, så har vi jo 5 fingre på hver hånd. Så hvis du lar en stein bety en hand (altså fem fingre), så trenger du bare å legge 3 stein og 3 pinner. Dette vil da bety 18 pinner altså 18 piler. Hvis vi utvikler dette videre, kan vi tenke oss at det vil bli behov for å vise adskillig høyere mengder. Når du kommer opp i 5-6 steiner, kan dette også bli litt rotete. Så la oss innføre enda et tegn et pilkogger der det er plass til 20 piler. Og vi kan la en tykk bit av en rot bety et kogger. For å vise at du har tatt med deg 34 piler legger du derfor en rot (20 piler), 2 steiner (5 + 5 piler) og 4 pinner. Og slik kan dette systemet med tegn for mengder utvikle seg videre. T- 3

Etter hvert som behovene for større tall og mengder øker, dukker det opp et behov for å skrive. Det kan jo for eksempel være begrenset hva du kan finne rundt deg av steiner og pinner. Så la oss utvikle tegnene våre videre, til bilder. En pinne kan være en strek, en stein kan bli en runding og et pilkogger kan bli en avlang figur. For eksempel slik: Pinne Stein Pilkogger Alle disse tre tegnene er illustrasjoner. De forsøker å være bilder eller tegn som kan forklare betydningen. For å skrive 34 med disse symbolene kan vi tenke oss noe slikt: Fire pinner, 2 steiner og 1 pilkogger = 34 piler. Og her har vi begynnelsen til et helt nytt og hittil ukjent tallsystem, basert på talltegn. Tallsymboler er noe annet. Her er det tallene som er viktig, ikke tingene. 4 er et slikt tallsymbol. Det forsøker ikke en gang å ligne på noe. Tvert imot det er viktig at symbolet blir så tydelig som mulig så ulikt alt annet et symbol man ikke kan misforstå. Hvis du ser på de 10 tallsymbolene vi bruker, vil du se at de hver for seg er helt spesielle (Kanskje med unntak av 6 og 9). Men samtidig blir det litt vanskeligere også. Alle må jo lære seg hva disse symbolene betyr. Hvis ikke mister de meningen sin. T- 4

Ingen vil forstå dette tallet: Fordi det er skrevet med symboler som vi ikke er enige om, og derfor helt meningsløse for andre enn de som har lært hva akkurat disse symbolene betyr. Derfor er for eksempel romertall vanskelig å forstå for noen. De vet rett og slett ikke hva tegnene betyr, og kjenner ikke reglene for hvordan de skal brukes. 2.2 Nullen er viktig De eldste tallsystemene trengte ikke noe tegn for null. Ser du på det tallsystemet vi lagde med streker, rundinger og rektangler, vil du se at null er unødvendig. Du kan godt skrive tegn for, tja la oss si 25, uten å bruke null. I vårt tallsystem ville det kunne blitt Når det ikke står noen enere (streker) der, trenger vi ikke noe tegn for å vise det. Både babylonerne og mayaene brukte et tegn for null, men hos disse var ikke dette et tall. Det var et tegn for ingenting. Først da en europeisk matematiker på 1600-tallet fant opp det binære tallsystemet (totallsystemet) dukket nullen opp som et tall. Og da posisjonsystemet ble oppfunnet og tatt i bruk, fikk nullen en viktig betydning. Faktisk gjør nullen og posisjonsystemet at vi kan skrive alle tall ved hjelp av ganske få symboler. Men nullen er altså viktig. Forsøk å skrive 100 uten å bruke null! Og hva blir 105 uten nullen? T- 5

Tallsyste mer som bruker posisjons ystemet 3 TALLSYSTEMER SOM BRUKER POSISJONSYSTEMET Posisjonsystemet innebærer at tallenes plassering spiller en betydelig rolle når vi skal forstå tallene. Et eksempel vil vise dette: Bruker vi sifrene 4, 5 og 6 kan vi skrive mange tall. Tar vi for eksempel 3- sifrede tall kan vi skrive hele 6 ulike tall med disse tre sifrene, nemlig 456, 465, 546, 564, 645 og 654. Velger vi ut sifret 4, vil du se at det har ulik verdi etter hvilken plass (posisjon) det har. I 456 betyr 4-tallet 400, mens det betyr 40 i tallet 645. Posisjonssystemet er altså bygget opp etter hvilken plass sifrene har, og sifrene skifter verdi etter hvilken plass det står på. Derfor kalles posisjonsystemet også plassverdisystemet. Vi snakker om enerplass, tierplass, hundrerplass o.s.v. Dette er forklart i eget kapittel om posisjonsystemet. At vi kaller posisjonene for enerplassen, tierplassen og hundrerplassen er knyttet til titallsystemet. Når det gjelder andre tallsymbolsystemer vil posisjonene få andre navn. Dette blir forklart under totallsystemet og åttetallsystemet. Kapitlet om posisjonsystemet tar utgangspunkt i det tallsystemet vi bruker titallsystemet. Men for bedre å forstå hvordan posisjonsystemet tilpasses tallsystemene, skal vi her gå litt dypere inn i akkurat dette. Den første posisjonen er alltid enerplassen. Titallsystemet bruker 10 tallsymboler. Siden det ene av disse symbolene er 0 (null), har vi behov for en ny posisjon når vi skal skrive tallet 10. Da dukker tierplassen opp. Samtidig er det nettopp derfor plassen heter tierplass. Vi skriver et tall som betyr 10. T- 6

I totallsystemet mangler vi et symbol for 2. Derfor må vi bruke en ny posisjon for å skrive tallet 2 ved hjelp av sifrene 1 og 0. Da er det naturlig at den nye posisjonen kalles toerplassen. Tenk deg at vi skal skrive tallet 5 i et femtallsystem. Femtallsystemet har bare 5 symboler, nemlig 0, 1, 2, 3 og 4. Så når vi skal skrive 5, trenger vi en ny posisjon. Fordi vi skal skrive tallet 5, kaller vi posisjonen femmerplassen. Men hva kalles så den neste plassen? Og den neste? I titallsystemet kalles den hundrerplassen. Vi finner navnet på plassen med å gange den sist kjente plassen (tierplassen) med antall symboler i tallsystemet. I titallsystemet er det 10 symboler. 10 10 = 100 - altså: hundrerplassen. Neste plass blir 10 100 = 1000 - altså: tusenplassen I totallsystemet er den sist kjente plassen toerplassen, og vi har bare 2 symboler. 2 2 = 4 - altså: firerplassen. Neste posisjon blir 2 4 = 8 - altså: åtterplassen. For å finne ut posisjonene i andre tallsystemet bruker vi samme fremgangsmåte: Tallsystem Posisjoner 1 2 3 4 10 1 10 1 10 10 10 100 10 100 1000 2 1 2 1 2 2 2 4 2 4 8 5 1 5 1 5 5 5 25 5 25 125 8 1 8 1 8 8 8 64 8 64 512 12 *) 1 12 1 12 12 12 144 12 144 1728 20 *) 1 20 1 20 20 20 400 20 400 8000 *) Skulle vi bruke et tolvtall- eller et tjuetallsystem, måtte vi innføre flere symboler. 3.1 Titallsystemet Titallsystemet er bygget på 10 tallsymboler. De ti symbolene er Titallsystemet 0 1 2 3 4 5 6 7 8 og 9 Når vi har behov for å skrive tall som er større enn 9, bruker vi 2 symboler, nemlig 1 og 0. T- 7

Titallsystemet er nøye forklart i eget kapittel. Vi er vant til å bruke titallsystemet, og barn blir ofte forvirret når vi snakker om at 10 skrives med to siffer. Det er en tenkemåte som er uvant for dem. For å forstå hvordan posisjonsystemet virker krever en viss utviklet evne til å tenke teoretisk, selv om man rent praktisk faktisk bruker andre tallsystemer i det daglige. Et eksempel på dette er totallsystemet, som vi bruker daglig og som de fleste voksne og barn behersker ganske godt. Totallsystemet 3.2 Totallsystemet Totallsystemet er bygget på at vi bare har to tallsymboler, nemlig 0 og 1. Uten å vite det bruker vi dette tallsystemet daglig, for eksempel når vi skal finne skoene våre om morgenen. Til å sortere et par sko ut av en haug med sko i gangen når du skal gå hjemmefra, trenger du nemlig bare de to tallverdiene 0 og 1: Til å begynne med står du der med ingen sko, altså 0. Så finner du den ene skoen, altså: 1. Men hva skjer når du har funnet sko nummer to? Da snakker du ikke lenger om 2 sko, men om ett par. Vel, i grunnen er ikke dette et fullstendig totallsystem, eksemplet med skoene gir et sterkt forenklet bilde av hva totallsystemet handler om. Men bildet gir et nyttig innblikk i hvordan slike tallsystemer er å forstå. Så la oss ta en liten titt på det egentlige totallsystemet. Vi har altså bare disse to sifrene: 0 og 1. Dermed vil vi få et stort problem allerede når vi skal skrive verdien 2 med totallsystemet, for symbolet 2 finnes jo ikke. T- 8

Det er her plassverdisystemet kommer inn. I titallsystemet oppstår denne situasjonen når vi skal skrive tallet som kommer etter 9. Da oppretter vi en ny posisjon og skriver 0 på enerplass og 1 på den nye plassen, som vi kaller tierplassen. I totallsystemet gjør vi det på samme måte, men altså allerede når vi kommer til tallet som er større enn 1. Vi oppretter en toerplass: I I totallsystemet titallsystemet Toerplass Enereplass 0 0 1 1 2 1 0 Og nå har vi mulighet til å skrive tall til inn i dette systemet: I I totallsystemet titallsystemet Toerplass Enereplass 0 0 1 1 2 1 0 3 1 1 Men allerede når vi kommer til 4, oppstår et nytt problem. Begge posisjonene er fylt opp med 1-tall, og det er jo det største tallet vi har i totallsystemet. Altså må vi lage en ny posisjon, Firerplassen: I titallsystemet I totallsystemet Firerplass Toerplass Enereplass 0 0 1 1 2 1 0 3 1 1 4 1 0 0 I totallsystemet skriver vi altså verdien 4 med sifrene 100. Det betyr 1 på firerplassen, 0 på toerplassen og 0 på enerplassen. T- 9

Og nå kan vi fortsette en liten stund med å legge inn flere tall i denne tabellen: I titallsystemet I totallsystemet Firerplass Toerplass Enereplass 0 0 1 1 2 1 0 3 1 1 4 1 0 0 5 1 0 1 6 1 1 0 7 1 1 1 8 Men når vi kommer til 8, oppstår problemet igjen, og det er behov for nok en posisjon, åtterplassen. Totallsystemet ble oppfunnetrundt 1600-tallet, men det ble ikke særlig mye brukt. Ikke før man på 1940-tallet begynte å utvikle datamaskiner. Fortsatt brukes totallsystemet (det binære tallsystemet) i dataprogrammene. Datamaskiner kan bare lese 1 og 0. Alle prosesser som skjer inne i en datamaskin bruker det binære systemet. Det er derfor man stadig støter på tallkombinasjoner som 32, 64, 128 og 256 i datasammenheng. Slike tall finner man igjen i posisjonsystemet i totallsystemet. Posisjonsystemet vil nemlig ha de samme tallene: Posisjon Navn 1 Enerplassen 2 Toerplassen 3 Firerplassen 4 Åtterplassen 5 Sekstendeplassen 6 Trettitoerplassen 7 Sekstifirerplassen 8 Hundreogtjueåtterplassen 9 Tohundreogfemtisekserplassen 10 Femhundreogtolverplassen 11 Tusenogtjuefirerplassen T- 10

3.3 Femtallsystemet Femtallsystemet bygger på fem tallsymboler, nemlig o, 1, 2, 3 og 4. For å forstå dette tallsystemet, kan det hjelpe å tenke seg at vi bare kan telle med én hånd. Femtallsystemet Tenker man praktisk vil det kunne si at i stedet for tallet 5, som jo ikke finnes i femtallsystemet, bruker vi en hånd i stedet. Altså blir tellingen: 0, 1, 2, 3, 4, 1h. Seks blir da 1h og 1. Bruker vi posisjonsystemet trenger vi to posisjoner når vi kommer til tallet 5: I I femtallsystemet titallsystemet Femmerplass Enereplass 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 1 0 Og så kan vi telle oss videre: I I femtallsystemet titallsystemet Femmerplass Enereplass 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 1 0 6 1 1 7 1 2 8 1 3 9 1 4 10?? Men hva gjør vi når vi kommer til 10? T- 11

Jo 10 er jo 2 femmere. Altså: I I femtallsystemet titallsystemet Femmerplass Enereplass 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 1 0 6 1 1 7 1 2 8 1 3 9 1 4 10 2 0 Her ser vi at 10 er det samme som 2 femmere og 0 enere. 11 er 2 femmere og 1 ener, ikke sant? Og 15 er 3 femmere og 0 enere I I femtallsystemet titallsystemet Femmerplass Enereplass 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 1 0 6 1 1 7 1 2 8 1 3 9 1 4 10 2 0 11 2 1 12 2 2 13 2 3 14 2 4 15 3 0 16 3 1 T- 12

Men hva når vi kommer til24, som er 4 femmere og 4 enere, og trenger det neste tallet? Og så kan vi telle oss videre: I I femtallsystemet titallsystemet Femmerplass Enereplass 21 4 1 22 4 2 23 4 3 24 4 4 25?? 26 27 28 29 30 Jo, da har vi altså det høyeste tallet både på enerplassen og femmerplassen. Da må vi ha en plass til, nemlig 25-plassen. Og så kan vi fortsette: I titallsystemet I femtallsystemet Tjuefemmerplassen Femmerplass Enereplass 21 4 1 22 4 2 23 4 3 24 4 4 25 1 0 0 26 1 0 1 27 1 0 2 28 1 0 3 29 1 0 4 30 1 1 0 Her ser vi at 30 i titallsystemet skrives som 100 i femtallsystemet. Det betyr 1 tjuefemmer 1 femmer og 0 enere. T- 13

Neste gang vi trenger en ny posisjon blir ved 25 5 = 125. Det vil si at når vi trenger å skrive det tallet som i titallsystemet skrives 125, innfører vi i femtallsystemet den fjerde posisjonen. Da må vi ha en plass til, nemlig 25-plassen. Og så kan vi fortsette: I titallsyst. I femtallsystemet Hundreogtjuefemmere Tjuefemmere Femmere Enere 121 4 4 1 122 4 4 2 123 4 4 3 124 4 4 4 125 1 0 0 0 126 1 0 0 1 127 1 0 0 2 Og så fortsetter vi å telle videre på enerplassen. Vi innfører altså en ny kolonne, posisjon, når alle kjente posisjoner er fylt opp til femtallsystemets høyeste tallsymbol, nemlig 4. På samme måte kan man utvikle andre tallsystemer, for eksempel tretallsystemet, åttetallsystemet o.s.v. Lager man et tallsystem med flere enn ti symboler, må man i tillegg skape nye tallsymboler. Lager man for eksempel et tolvtallsystem, mangler man jo symboler for 10 og 11. Tallsystemer som ikke bruker posisjonsystemet 4 TALLSYSTEMER SOM BRUKER ET ANNET POSISJONSYSTEMET Vi De fleste av de eldste tallsystemene kjente ikke til noe posisjonssystem. Det systemet vi kjenner, og innføring av null som tall dukket som sagt opp i Europa i middelalderen, altså for noen få hundre år siden. Før vårt posisjonssystem ble utviklet var allerede et annet i bruk. Det var mindre funksjonelt, manglet symbol for null og ble altså etter hvert erstattet av det systemet vi kjenner i dag. Jeg tenker på romertallene. T- 14

4.1 Romertall Romertall stammer fra det gamle romerriket, som gikk under noen hundre år etter Kristus. Det var et tallsystem bygget opp på symboler, nemlig bokstaver, og som til en viss grad var basert på en blanding av femtall og titallsystem, og som bruker en form for posisjoner, om enn i en noe annen form enn det systemet vi kjenner. Jeg skal komme tilbake til denne formen for posisjonsystem. La oss først se på hvilke symboler dette tallsystemet er bygget opp med: Romertall Våre tall Romertall Våre tall Romertall 1 I 100 C 5 V 500 D 10 X 1000 M 50 L Dette er de tallsymbolene de brukte, og de kunne skrive alle tall med dette systemet. Nå skal det sies at det jo begrenser seg oppover, siden den høyeste enheten er M, altså 1000. For å skrive 2, brukte de ganske enkelt to enere, altså II. 3 ble III. Men så hadde de en regel som innebar at de aldri skrev 4 enere. For å skrive 4, brukte de IV, altså en ener og en femmer. Når eneren kom foran femmeren, betydde det 1 mindre enn 5, altså 4. For å skrive 6, 7 og 8, brukte de femmeren og det nødvendige antall enere. Det ble altså VI, VII og VIII. Når de skulle skrive 9 skrev de 1 mindre enn 10, med andre ord IX. Her følger en oversikt over alle tallene fra 1 til 20. 1 = I 6 = VI 11 = XI 16 = XVI 2 = II 7 = VII 12 = XII 17 = XVII 3 = III 8 = VII 13 = XIII 18 = XVII 4 = IV 9 = IX 14 = XIV 19 = XIX 5 = V 10 = X 15 = XV 20 = XX T- 15

Symbolenes innbyrdes plassering har stor betydning. Sammenlign tallene 11 og 14. De skrives XI og XIV. Det er I-en som er interessant. Plassert etter et annet tegn betyr den 1 mer (XI = 10 + 1). Mens den betyr en mindre når den står foran et annet tegn (IV = 5 1). Men når den kommer mellom to tegn hører den alltid til det siste tegnet. Derfor skrives 14 = XIV, altså 10 + 4). Det samme forholdet gjør seg gjeldende mellom X og C, altså 10 og 100: XC = 90 mens CX = 110. Regelen er at når et tegn med mindre verdi står foran et annet tegn betyr det 1 mindre. Står det minste tegnet etter betyr det 1 mer. I tillegg er det slik at de største tallsymbolene alltid kommer først. Skal du skrive 22 begynner du med de to tierne: 22 = XXII. Dette betyr at symbolenes plassering er viktig, og det er derfor romertallsystemet er en form for posisjonssystem. Noen talleksempler viser begge disse reglene: 47 = XLVII betyr XL + VII = 40 + 7 69 = LXIX betyr LX + IX = 60 + 9 666 = DCLXVI betyr DC + LX + VI = 600 + 60 + 6 1998 = MCMXCVIII betyr MCM + XC + VIII = 1900 + 90 + 8 2001 = MMI betyr MM + I = 2000 + 1 2012 = MMXII betyr MM + XII = 2000 + 12 Du ser at MCM, som betyr 1900 er satt sammen av M og CM (1000 og 900), C-en hører altså til den siste M-en, akkurat som I-en i tallet 14 hører til V og ikke X. Skal vi regne med romertall må vi holde tunga rett i munnen. Enkle plusstykker går vel greit: II + VI = Vi ser at dette betyr 2 + 6 = Svaret blir 8, altså VIII. Med litt større tall, vil det være klokt å summere romertall ved hjelp av flere trinn: T- 16

Før vi ser på noen eksempler er det lurt å repetere de tre reglene: 1. Aldri mer enn 3 like tegn etter hverandre dersom det kan skrives på en annen måte. 2. Et mindre tall plassert foran et større tall betyr det største tallet minus den minste. 3. Et tall skrives med den største verdien først. Så la oss se på et plusstykke: Eksempel 1: Trinn a XIV + XXVII = Vi begynner med å dele opp tallene, slik at vi ser hvilke tegn som hører sammen Eksempel 1: Trinn b Det første tallet: XIV = X + IV Det andre tallet XXVII = XX + VII Så legger vi sammen de to gruppene, men vi må huske på hva kombinasjonene betyr: Eksempel 1: Trinn c X-gruppene: X + XX IV-gruppene: IV + VII = XXX = IVVII T- 17

Nå er det klokt å tenke på verdiene: X-gruppa XXX betyr 30 Y-gruppa IV VII betyr 4 + 7 = 11 Eksempel 1: Trinn d X-gruppen + IV-gruppen: XXX + IVVII = XXX + XI Her ser vi at vi får 4 X-er etter hverandre. Eksempel 1: Trinn e XXXIVVII = XXXXI Så må vi se på reglene. Her trenger vi regel 1. XXXX skal bety 40. Men 40 kan vi skrive som 50 10, altså gjør vi det. Eksempel 1: Trinn e XXXXIII = XLI Vi ser at svaret blir XLI, altså 41. Vi kan jo kontrollere om det stemmer: XIV + XXVII = 14 + 27 = 41 T- 18

Med litt trening trenger vi ikke denne detaljerte fremgangsmåten. Likevel kan vi gjennom dette eksemplet ane at det er lett å gå seg vill, selv om det er få regler (eller kanskje nettopp derfor?). 5 ANDRE TALLSYSTEMER SOM ER I DAGLIG BRUK Det er flere andre tallsystemer som er i daglig bruk, også hos oss som vanligvis bruker titallsystemet. Mange tallsystemer henger igjen fra gamle dager, da vi regnet med lengdemål som alen, mengder som favn, snes og tylft. Vi snakker fortsatt om en favn med ved, selv om dette i våre dager delvis erstattes med hektoliter og kilo. Favner er også mye brukt som mål på dybde til sjøs. I byggebransjen er det vanlig å oppgi mål i tommer. Andre tallsystem som er i daglig bruk Slike måleenheter skal vi komme tilbake til. Først skal vi se på tallsystemer som vi alle sammen bruker daglig, flere ganger på dagen. Jeg snakker om enheter for tid. Både når det gjelder klokke og kalender bruker vi enheter som er hentet fra andre tallsystemer. 5.1 Tallsystemer forbindelse med tid 60-tallsystemet For å lage et slags system i dette, begynner jeg med de minste enhetene først og går videre til større og større enheter. Sekstitallsystemet De minste enhetene vi bruker om tid er sekunder. Det er 60 sekunder i ett minutt. Her bruker vi altså 60-tallsystemet. Tabellen nedenfor viser hvordan vi veksler over fra sekunder til minutter: T- 19

Minutt Sekund 56 57 58 59 1 0 1 1 1 2 Vi er vant til å gå over til minutter når vi kommer over 59 sekunder. Det er fordi 60 sekunder = 1 minutt. Og når vi har innført minutter, vet vi at det går 60 minutter på hver time. Altså bruker vi fortsatt 60-tallsystemet. Time Minutt Sekund 59 56 59 57 59 58 59 59 1 0 0 1 0 1 1 0 2 Tjuefiretallsystemet 24-tallsystemet Men så gjør vi noe pussig. Vi forlater 60-tallsystemet. Når vi har talt oss opp til 23 timer 59 minutter og 59 sekunder, bruker vi dager eller døgn. Det er nemlig 24 timer i et døgn. Altså går vi over fra 60-tallsystemet til 24-tallsystemet. Døgn Time Minutt Sekund 23 59 56 23 59 57 23 59 58 23 59 59 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 2 T- 20

7-tallsystemet Pussighetene stopper ikke der. Fra nå av bruker vi et nytt tallsystem for hver nye tidsenhet vi bruker. Vi regner jo dager i uker, ikke sant? Da går vi over til 7-tallsystemet: Uke Døgn Time Minutt Sekund 6 23 59 56 6 23 59 57 6 23 59 58 6 23 59 59 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 2 4-tallsystemet Deretter blir det hele mindre oversiktelig. Den neste tidsenheten vår er jo måneder. Men det er jo ikke noe fast antall uker i en måned. Ikke er det noe fast antall dager i en måned heller. Vel, når vi skal regne med slike tidsenheter, er det vanlig å regne med 4 uker i en måned. Bankene gjør for eksempel det. Det betyr at vi bruker 4-tallsystemet. Måned Uke Døgn Time Minutt Sekund 3 6 23 59 56 3 6 23 59 57 3 6 23 59 58 3 6 23 59 59 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 12-tallsystemet Når vi skal videre i bruken av tidsenheter, snakker vi om år. Og siden det er 12 måneder i et år, bruker vi altså 12-tallsystemet. sjutallsystemet Firetallsystemet Tolvtallsystemet T- 21

År Måned Uke Døgn Time Minutt Sekund 11 3 6 23 59 56 11 3 6 23 59 57 11 3 6 23 59 58 11 3 6 23 59 59 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 2 Når det gjelder de største enhetene, dager, uker, måneder og år, bruker vi ofte en mer nøyaktig regnemåte. Vi regner ofte direkte fra dager til år. Det er 365 dager i året, og ofte bruker vi dette for å få et mer nøyaktig regnestykke. År Døgn Time Minutt Sekund 364 23 59 56 364 23 59 57 364 23 59 58 364 23 59 59 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 2 Men helt nøyaktig blir ikke disse tidsangivelsene. I tidsberegninger over et døgn vet vi jo at månedene har ulikt antall dager, og i tillegg har årene også litt ulikt antall dager. Hvert fjerde år er jo skuddår, som har 366 dager. Når vi regner med dager, måneder og år bruker vi derfor å regne med 30 dager i måneden, eller 360 dager i året. Hvordan man regner med tidsenhetene er nærmere omtalt i et eget kapittel om tid. T- 22

Lengde- og breddegrader Når det gjelder vanlig kartinndeling brukes også 60-tallsystemet. Jorda er delt inn i et nett på 360 lengdegrader og 360 breddegradergrader. Breddegrader er de vannrette linjene som er parallelle med ekvator. Ekvator har posisjonen 00. Lengdegrader går rundt jorda gjennom syd- og nordpolen. Den lengdegraden som har posisjonen 00 går gjennom en liten by utenfor London som heter Greenwich. Derfor er den lengdegraden ofte kalt Greenwich-meridianen. Hver grad er igjen delt inn i 60 minutter, og hvert minutt er delt inn i 60 sekunder, akkurat som på klokka. Men her betyr minutter og sekunder lengdemål og ikke tid. Du finner en nærmere forklaring på lengde- og breddegrader i et eget kapittel om kart. 5.2 Tallsystemer i forbindelse med måling Lengdemål Mange lengdemål har kroppen som utgangspunkt. Både ordene favn, alen, tomme og fot er hentet fra slike mål. I de fleste tilfeller der slike måleenheter brukes i dag, gjøres de om til meter og centimeter. Tallsystemer i forbindelse med måling Hvilken kroppsdel som er utgangspunktet Favn Alen Fot Tomme Fra fingerspiss Underarmen Foten fra Tommelen til fingerspiss fra albuen tå til hæl. med begge til armene utstrakt fingerspiss Omregnet til cm 1,88 m 62,8 cm 31,4 cm 2,6 cm Omregn Favn 1 1/3 1/18 1/72 et til Alen 3 1 1/2 1/24 andre Fot 6 2 1 1/12 mål Tomme 72 24 12 1 T- 23

Uttrykk til sjøs Nautisk mil 1 nautisk mil er like lang som ett breddeminutt, nærmere bestemt 1852 meter. Denne måleenheten brukes i dag til sjøs, men også i luften og i forbindelse med meteorologi. Kabellengde En kabellengde er også en måleenhet som brukes til sjøs. Det går 10 kabellengder på en nautisk mil. Det betyr at en kabellengde er 185,2 meter. En favn Favn brukes i flere betydninger. Både som lengdemål og som volum. Til sjøs brukes enheten som lengdemål. Vanligst om dybder. En favn i den sammenhengen tilsvarer ca. 1,88 meter. Knop Knop er en enhet for fart. En knop er den hastigheten du trenger for å kjøre 1 nautisk mil på 1 time. Tidligere brukte man en line til å måle fart. Linen hadde knuter (knoper) i nøyaktig avstand fra hverandre, og den ble lagt ut i den farten båten holdt. Man målte farten ved å telle hvor mange knuter som ble sluppet ut i løpet av et halvt minutt. Sjømil En sjømil er 4 nautiske mil, eller omtrent 7408 meter. Mange blander sammen sjømil og nautiske mil. Da kan det være greit å huske at en nautisk mil ofte ble kalt en kvartmil, altså ¼ sjømil. T- 24

6 TALLSYSTEMER FRA HISTORIEN Menneskene har hatt bruk for å regne med verdier og mengder i tusener av år. Til å begynne med antagelig muntlig, men etter hvert også skriftlig. Og med behovet for å gjøre regning og telling skriftlig, kom behovet for tallsymboler. I de første historiske tall- og regnesystemene ble tallsymbolene illustrasjoner på verdiene. Etter hvert utviklet disse seg ofte til mer abstrakte symboler. Tallsyste mer fra historien De fleste læreverk i matematikk for mellomtrinnet viser noen slike historiske tall- og regnesystemer. Her presenteres de vanligste, nemlig tall- og regnesystemene fra det gamle Egypt, fra Mesopotamia og fra Mayaindianerne. 6.1 Det egyptiske tallsystemet I det gamle Egypt brukte de en form for skrift som kalles hieroglyfer. Det var i stor grad bygget på bilder som kan minne om piktogrammer, altså tegn som de fleste kunne forstå betydningen av. I vår tid brukes ofte piktogrammer på plakater som alle forstår betydningen av uten at det er behov for skrifttegn. Trafikkskilt er eksempler på dette. Det egyptiske tallsyste met Egypterne brukte også slike tegn eller bilder når de skrev tall. Selv om betydningen ikke er like klare for oss i dag, var tallsymbolene i det egyptiske tallsystemet enkle å forstå i sin samtid. De egyptiske tallsymbolene så slik ut. 1 10 100 1000 10000 100000 1 mill. 10 mill. T- 25

Egypternes tallsystem var ikke et plassverdisystem slik vi bruker. Om de skrev elller spilte i grunnen ingen rolle. Tallet betød uansett 1 ener og 1 tier, altså 11. Systemet bygget ganske enkelt på å skrive så mange tegn man trengte, et slags tellesystem. 2 ble skrevet som 2 enere: De hadde likevel et slags orden på dette når det ble mange like tegn. I stedet for å skrive: (9) skrev de: De hadde ikke noe tegn for 0 (null). Det trengte de da heller ikke. Hvis de skulle skrive et tall der vi er vant til å bruke 0, for eksempel 204, trengte de bare to hundrere og 4 enere, slik: Så la de sammen verdien av de tegnene som ble skrevet: 100 + 100 + 4 = 204. Et slikt system kalles et additivt system. Når vi ser på hvilke tallverdier egypterne brukte, ser vi at det er et titallsystem. For hver gang de har bruk for 10 like tegn, bruker de heller et nytt tegn. T- 26

Overført til våre tall, ser vi at for hver gang tallverdien øker med en null hadde de et nytt tegn. Det er både morsomt og lærerikt å leke med å skrive egyptiske tall. Enda morsommere er det å addere to egyptiske tall. Da legger man bare sammen alle like tegn. Dersom antall like tegn i svaret overstiger 9, veksler man inn i en høyere verdi: + = = 6.2 Det babylonske tallsystemet Babylonerne hadde ikke flere enn 2 tegn. Et tegn for 1 og et tegn for 10. 1 10 Det mesopotamiske tallsystemet Ved hjelp av disse to tegnene kunne de skrive ganske store tall, men systemet var ganske uoversiktelig. Babylonerne brukte et 60-tall system. Det vil si at de kunne telle opp til 59, og så begynte de på nytt igjen. Siden de ikke hadde noe tegn for null, kunne det i noen tilfeller være vanskelig å vite hva tallene egentlig betydde. La oss se på det litt grundigere. T- 27

Her er de babylonske tallene fra 1 til 20. Våre tall Babylonske Våre tall Babylonske 1 11 2 12 3 13 4 14 5 15 6 16 7 17 8 18 9 19 10 20 Når babylonerne kom til 60, begynte de på nytt igjen, men 60 hadde en annen posisjon: T- 28

Slik så det ut: Våre tall 58 Babylonske 59 60 61 62 Hvis du sammenligner tallet 1 med tallet 60, ser du at det kan være vanskelig, og litt forvirrende å vite hvilket tall som menes. For å skrive litt større tall med babylonernes tallsystem, må vi først oversette tallet til 60-tallsystemet. Her er et par eksempler: Våre tall Skrevet i 60- tallsystemet 109 60 + 40 + 9 Babylonske tall 232 60 + 60 + 60 + 50 + 2 T- 29

Mayaindianernes tallsystem 6.3 Mayaindianernes tallsystem Mayaindianerne utviklet et enkelt 20-tallsystem. De hadde med andre ord en ny posisjon først når de kom til tallet 20. Men i tillegg brukte de et veldig enkelt 5-tallsystem for tallene under 20. De første tallsymbolene hos mayaindianerne var: Våre tall 1 2 3 4 Mayaindianernes tall Når de kom til tallet 5, brukte de en vannrett strek Våre tall 1 2 3 4 5 Mayaindianernes tall Tallet 6 skrev de som 1 femmer og 1 ener: Våre tall 1 2 3 4 5 6 Mayaindianernes tall T- 30

Og deretter fortsatte de å legge til enere og femere helt til de kom til 19. Våre tall 14 Mayaindianernes tall 15 16 17 18 19 Når de kom til 20, brukte de en ny posisjon, omtrent som vi gjør når vi kommer til 10. Men det er en viktig forskjell: Mayaenes skrev tallene, altså posisjonene under hverandre. Tallet 20 ble altså en ener, men i en ny etasje: Våre tall 20 Mayaindianernes tall T- 31

Men dette ble jo egentlig ganske likt 1! Vel mayaene var blant de første som innførte et symbol for null, nemlig. Dermed kunne de skrive null på enerplassen, slik: Våre tall 20 Mayaindianernes tall Og så kunne de bare fortsette tallrekken sin: Våre tall 20 Mayaindianernes tall 21 22 25 27 For å skrive større tall med mayaindianernes tallsystem, må vi altså «oversette» våre tall til et 20-tallsystem, der 20 er 1 prikk, 40 er 2 prikker, 60 er 3 prikker. Da blir 100 en strek (5 20-ere). På neste side ser du noen eksempler på hvordan tallene skrives om, først til 20-tallsystemet, og deretter overført til mayaenes tallsystem: T- 32

Våre tall 20-tallsystemet Mayaindianernes tall 163 163 = 160 + 3 160 = 20 8 160 216 216 = 200 + 16 200 = 20 10 16 = 15 + 1 3 200 16 473 473 = 400 + 70 + 3 400 = 20 20 70 = 60 + 10 73 = 60 + 13 400 60 13 Det krever litt trening å tenke i 20-tallsystemet, og enda litt trening å tenke posisjonene over hverandre og ikke ved siden av hverandre slik vi er vant til. Men det er morsomt når man får det til. T- 33