S1 eksamen høsten 016 løsningsforslag Oppgave 1 (4 poeng) Løs likningene a) x 1 3 x 5 3 4 6 Fellesnevner blir 1 x1 3x 5 1 1 1 3 4 6 (x 1)4 (3x )3 5 8x 4 9x 6 10 x 10 6 4 0 x 0 b) lg(x 6) 10 10 lg(x6) x 6 100 x 100 6 106 x 106 x 53 Oppgave (4 poeng) Skriv så enkelt som mulig a) a( a b) b( b a ) a ab b ab a ab b ( a b ) b) ( ab ) b 3 1 a b 3 a b b a b 1 ab a b c) lg lg4 lg9 lg3 lg8 43 b 1 ( ) b 1 b 3 3 lg lg lg 3 lg lg lg lg 3 3lg (1 3)lg lg 3 lg 3 Eksamen REA306 Matematikk S1 høsten 016 Side 1 av 18
Oppgave 3 (3 poeng) På mandag hadde Per og Ola til sammen 00 kroner. Dagen etter hadde Per brukt halvparten av sine penger, mens Ola hadde brukt 10 kroner. Til sammen hadde de nå 110 kroner igjen. a) Sett opp et likningssystem som beskriver situasjonen. x: Per sine penger. y: Ola sine penger Per sine penger + Ola sine penger = 00 kroner Halvparten av Per sine penger + Ola sine penger - 10 kroner = 110 kroner xy 00 (I) x y 10 110 x y 110+10 x y 10 (II) b) Bestem hvor mye penger Per hadde på mandag. Ordner på likning (I): y 00 x Setter inn i likning (II): x 00 x 10 Multipliserer med : x 00 x 10 x 400 x 40 x 40 400 160 x 160 Per hadde 160 kroner på mandag. Eksamen REA306 Matematikk S1 høsten 016 Side av 18
Oppgave 4 ( poeng) Løs ulikheten x 65x Først ordner vi ulikheten: x 5x 6 0 og finner nullpunktene til x 5x 6. b b 4 ac ( 5) ( 5) 4 1 6 5 5 4 5 1 5 1 x a 1 5 1 5 1 x 3 x Tester så uttrykket x 5x 6 for x-verdiene 0,,5 5 og 4 for å sjekke om vi får positivt eller negativt svar: x 0 : 0 50 6 6 0 5 5 5 5 5 5 50 4 1 x : 5 6 6 0 4 4 4 4 4 x 4 : 4 54 6 16 0 6 0 Vi tegner fortegnsskjema (trengs egentlig ikke, vi har de opplysningene vi trenger, over!): 0 0 Ulikheten er oppfylt når uttrykket x 5x 6 0. Vi finner at: x 6 5 x for x, 3 (eller: x 3) Oppgave 5 (4 poeng) Line, Lars og fire venner skal på kino. De har seks nummererte billetter. Billettene blir delt ut tilfeldig. a) Hvor mange måter kan de seks billettene deles ut på? Oppgaven spør etter hvor mange uordnede utvalg på 6 av 6 stykker det går an å lage. Det er 6!. Billettene kan deles ut på 6! 6 5 4 3 1 30 4 3 10 3 360 70 måter. Fire av billettene er på rad 8 og to billetter er på rad 9. Eksamen REA306 Matematikk S1 høsten 016 Side 3 av 18
b) Bestem sannsynligheten for at Line og Lars får billetter på rad 9. Hvis vi antar at Line og Lars er de to første som trekker billett, blir sannsynligheten slik: 1 1 siden sannsynligheten for at de 4 andre havner på rad 8 er lik 1. Dersom 6 5 30 15 Line og Lars er nummer og 4 som trekker billett, blir sannsynligheten for at de havner på rad 9, slik: 4 3 6 5 4 1 3 1 30 15, altså den samme som i stad, uavhengig av når de to trekker billett. Sannsynligheten for at Line og Lars havner på rad 8, er altså 1 15. (Oppgaven kan også løses med hypergeometrisk sannsynlighet der vi regner på sannsynligheten av hvor mange av de to som havner på rad 8.) Oppgave 6 (9 poeng) Per har fått sommerjobb på en møbelfabrikk. Der skal han sette sammen stoler. Det viser seg at funksjonen S gitt ved S( t) 17t 0,5 t, t 0, 8 er en god modell for hvor mange stoler han greier å sette sammen i løpet av t timer på en normal dag. a) Tegn en skisse av grafen til S. Ser at S er en andregradsfunksjon med negativ koeffisient foran andregradsleddet. Det betyr at andregradskurven vender den hule siden ned. Ser også kjapt at S (0) 170 0,5 0 0, som altså er et nullpunkt. Deriverer S: S'( x) 17 0,5 t 17 t Finner toppunktet med S'( x) 0 17 t 0 t 17 Toppunktet er utenfor definisjonsområdet, så grafen stiger fra t = 0 til t = 8, men svakere og svakere. Regner ut noen verdier: S() 17 0,5 34 3 S(4) 17 4 0,5 4 68 8 60 S(6) 17 6 0,5 6 10 18 84 S(8) 17 8 0,5 8 136 3 104 Eksamen REA306 Matematikk S1 høsten 016 Side 4 av 18
b) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til S i tidsrommet [0, 4]. Hva forteller dette svaret deg? Gjennomsnittlig vekstfart er det samme som stigningstallet til linja mellom de to punktene på grafen, der t = 0 og t = 4. Stigningstallet er: 60 0 60 15 4 0 4 Stigningstallet betyr at i løpet av de 4 første timene på dagen øker antall produserte stoler med 15 i gjennomsnitt per time. Eller: I løpet av de 4 første timene klarer han å produsere 15 stoler per time i gjennomsnitt. c) Bestem S '(4). Hva forteller dette svaret deg? S '(4) 17 4 13 Svaret forteller at 4 timer ut i arbeidsdagen øker antall produserte stoler med 13 per time. Eller: 4 timer ut i arbeidsdagen er produksjonsfarten 13 stoler per time. Per får 10 kroner per stol han setter sammen. d) Hvor mye tjener han dersom han jobber 4 timer? S(4) 174 0,5 4 68 8 60 60 10 600 Han tjener 600 kroner på å jobbe 4 timer. En dag var den gjennomsnittlige timelønnen 140 kroner. e) Hvor lenge jobbet han denne dagen? Når timelønna er 140 kroner, betyr det at han i gjennomsnitt har produsert per time. Fra b) har vi at gjennomsnittlig vekstfart er det samme som er (0, 0). Da må vi løse denne likningen: St () t 140 14 10 stoler siden startpunktet Eksamen REA306 Matematikk S1 høsten 016 Side 5 av 18
St () 14 t 17t 0,5t 14 t t (17 0,5 t) 14 t 17 0,5t 14 0,5t 14 17 0,5t 3 0,5 0,5 t 6 Denne dagen har han jobbet i 6 timer. Oppgave 7 (5 poeng) En funksjon f er gitt ved 3 f( x) x 8x 5x 14 a) Hvilket av de tre faktoriserte polynomene nedenfor er det samme som f(x)? P ( x) ( x )( x 6x 7) 1 P ( x) ( x )( x 6x 7) P ( x) ( x )( x 6x 7) 3 Det går an å multiplisere ut parentesene, men her går det også an å se på konstantleddet, som er positivt. Det betyr at konstantleddene i parenteser som skal ganges sammen, må enten begge være positive eller begge være negative. Dette er kun oppfylt for det siste polynomet. Det er altså P ( ) 3 x som er det samme som fx. ( ) b) Bruk det du fant i oppgave a), til å bestemme nullpunktene til f. Da er det P ( ) 3 x som gjelder, og ett av nullpunktene er da x 0, dvs x. Nullpunkter til x 6x 7: Løser likningen x 6x 7 0 med andregradsformelen der a = 1, b = 6 og c = 7: b b 4 ac ( 6) ( 6) 4 1 ( 7) 6 36 8 6 64 6 8 x a 1 Dette gir: Eksamen REA306 Matematikk S1 høsten 016 Side 6 av 18
6 8 14 x 7 6 8 x 1 Nullpunktene til f blir: x 1, x, x 7 c) Bestem x-koordinater til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. Deriverer funksjonen: f '( x) 3x 8 x 5 3x 16x 5. Løser likningen f'( x ) 0 : 3x 16x 5 0, der a = 3, b = -16, c =5: b b 4 ac ( 16) ( 16) 4 3 5 16 56 60 16 196 16 14 x a 3 6 6 6 16 14 30 x 5 6 6 16 14 1 x 6 6 3 Nullpunktene til f blir: x 5, x 1 3 Tester den deriverte funksjonen ved å regne ut funksjonsverdier på hver side av nullpunktene til f : f '(0) 3 0 16 0 5 5 0 f '(1) 3 1 16 1 5 3 16 5 8 0 f '(6) 3 6 16 6 5 108 96 5 7 0 Fortegnsskjema for den deriverte blir: Dette betyr at funksjonen stiger fram til x 1, synker fram til x 5, og stiger igjen etter det. 3 Når x 1, har vi altså et toppunkt, og når x 5, har vi et bunnpunkt. 3 Eksamen REA306 Matematikk S1 høsten 016 Side 7 av 18
Oppgave 8 (4 poeng) Et område i planet er begrenset av de tre ulikhetene y 5x 9 5y x 3 x y 3 a) Skraver området i et koordinatsystem. Tegner opp grenselinjene først ved å bruke konstantledd og stigningstall: y 5x 9 5y x 3 y 5x9 5y x3 5y x 3 5 5 1 3 y x 5 5 x y 3 y x 3 b) Avgjør om det finnes punkter ( x, y ) i det skraverte området som oppfyller ligningen 3x y 5. Tegner inn likningen, som er ei rett linje: 3x y 5 y 3x 5 Eksamen REA306 Matematikk S1 høsten 016 Side 8 av 18
Ser at linja krysser det skraverte området; altså finnes det punkter (x, y) i det skraverte området som oppfyller likningen 3x y 5. Eksamen REA306 Matematikk S1 høsten 016 Side 9 av 18
Oppgave 1 (4 poeng) To skoleklasser har vært på teater. Rektor ved skolen får to regninger fra teateret. Regning 1: 3 elever og 4 lærere, totalt 1760 kroner Regning : 13 elever og 7 lærere, totalt 1445 kroner a) Forklar at likningssystemet 3x4y 1760 13x7y 1445 kan brukes til å finne prisen per billett for elevene og for lærerne. Vi setter x lik billettprisen for en elev og y lik billettprisen for en lærer. For hver regning vil summen bli antall elever ganget med billettpris elev pluss antall lærere ganget med billettpris lærer: 3 x 4 y 1760 3x4y 1769 13 x 7 y 1445 13x7y 1445 b) Bruk CAS til å bestemme billettprisene. Billettprisen var 60 kroner for en elev og 95 kr for en lærer. Eksamen REA306 Matematikk S1 høsten 016 Side 10 av 18
Oppgave (7 poeng) I pengespillet Lotto legges 34 kuler i en beholder. Hver kule er nummerert med ett av tallene fra 1 til 34. Sju kuler trekkes tilfeldig uten tilbakelegging. Tallene på de sju kulene er vinnertallene. a) Forklar at sannsynligheten for at nøyaktig 4 av vinnertallene er mindre enn 10, er gitt ved 9 5 4 3 34 7 Dette er et uordnet utvalg uten tilbakelegging. Det skal trekkes 7 av totalt 34, som gir en hypergeometrisk sannsynliget. Det skal være 4 av totalt 9 tall som er mindre enn 10, og dermed 3 av totalt 5 tall som er 10 eller større. 9 er da antall måter å trekke 4 tall av 9 4 på, og 5 er antall måter å trekke 3 tall av 5 på. 34 er hvor mange måter vi kan trekke 3 7 7 tall av totalt 34 på. Sannsynligheten blir da som angitt. b) Bestem sannsynligheten for at 3 eller færre av vinnertallene er mindre enn 10. Åpner sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra, velger Hypergeometrisk fordeling med populasjon på 34, n = 7 og utvalg = 9. Svaret på oppgaven er da P(X 3) nederst, dvs. at sannsynligheten for at 3 eller færre av vinnertallene er mindre enn 10 er 0,94. Eksamen REA306 Matematikk S1 høsten 016 Side 11 av 18
Vi lar p være sannsynligheten for at tallet 11 ikke er blant vinnertallene i en spilleomgang. c) Vis at p 0,794. Dette er det samme som sannsynligheten for at første tall ikke er 11 ganget sannsynligheten for at andre tall ikke er 11, og så videre. Det gir følgende utregning: 33 3 31 30 9 8 7 0,794, se utregning i CAS nedenfor. 34 33 3 31 30 9 8 Kåre følger med i Lotto. I løpet av de 10 første spilleomgangene et år blir tallet 11 ikke trukket ut en eneste gang. d) Bestem sannsynligheten for at dette skulle skje. Med tilsvarende argument som i oppgave c) blir denne sannsynligheten 10 0,794 0,1. Oppgave 3 (7 poeng) Tabellen nedenfor viser det samlede antallet registrerte el-biler i Norge i årene 010 014. Årstall 010 011 01 013 014 Antall el-biler 035 3 849 7 961 17 670 38 4 a) La x være antall år etter 010. Bestem en eksponentiell modell som passer med verdiene i tabellen. Eksamen REA306 Matematikk S1 høsten 016 Side 1 av 18
Skrev inn tallene i regnearket i Geogebra og laget en kolonne med antall år etter 010. Markerte denne kolonnen og kolonnen med antall elbiler og valgte Regresjonsanalyse. Valgte så eksponentiell regresjonsmodell, se ovenfor, og fikk Nx ( ) 1916,7,096 x b) Når vil det samlede antallet registrerte elbiler passere 00 000 dersom vi legger denne modellen til grunn? Kopierte modellen inn i grafikkfeltet. Skrev inn linja y = 00 000 og brukte verktøyet Skjæring mellom to objekt for å finne skjæringspunktet mellom modellen og linja, se punktet A på figuren nedenfor. Antall el-biler passerer 00 000 etter denne modellen 6,8 år etter 010, dvs. i 016. Eksamen REA306 Matematikk S1 høsten 016 Side 13 av 18
En modell for antall registrerte bensin- og dieselbiler til privat bruk er gitt ved 3 g( x) 800x 600x 65 000x 300 000 der x er antall år etter 010. c) Bruk graftegner til å tegne grafene til g og f i samme koordinatsystem. Skrev inn funksjonen i inntastingsfeltet i Geogebra: Eksamen REA306 Matematikk S1 høsten 016 Side 14 av 18
(Algebrafeltet kan sløyfes her, men er med for fullstendighetens skyld.) d) Når vil det ifølge modellene være flere registrerte el-biler enn privatbiler som går på bensin eller diesel? Se figuren i c). Brukte verktøyet Skjæring mellom to objekt og fant skjæringspunktet mellom grafene til N og til g, se punktet B på figuren. Ifølge modellene vil det være flere registrerte elbiler enn fossile biler 9,5 år etter 010, dvs. år 019. Oppgave 4 (6 poeng) I et område planlegges en parkeringsplass for biler og busser. Det totale tilgjengelige parkeringsarealet er på 1000 m. Hver oppstillingsplass for biler skal være på 1 m, mens hver oppstillingsplass for busser skal være på 50 m. Parkeringsplassen har lov til å ta imot maksimalt 60 kjøretøy. La x være antall biler, og la y være antall busser på parkeringsplassen. a) Forklar at opplysningene gir følgende ulikheter: x 0 y 0 x y 60 6x5y 500 Både antall biler og antall busser må være større enn eller lik null. Dette gir de to første ulikhetene. Antall biler x pluss antall busser y kan høyst være 60, noe som gir den tredje ulikheten. Antall biler x ganget med 1 m + antall busser y gange med 50 m må være mindre enn størrelsen på parkeringsplassen, altså 1000 m. Dette gir Eksamen REA306 Matematikk S1 høsten 016 Side 15 av 18
1x50y 1000 1x 50y 1000 6x5y 500 som er den fjerde ulikheten. b) Skraver området som er begrenset av ulikhetene ovenfor, i et koordinatsystem. Skrev inn alle fire ulikhetene i Geogebra. Det aktuelle området som oppfyller alle ulikhetene, er det mørkeste på utklippet nedenfor. Timeprisen for parkering er 30 kroner for biler og 100 kroner for busser. c) Hvor mange biler og hvor mange busser må stå på plassen for at inntektene skal bli størst mulig? Hva blir inntektene da? Inntektene I blir lik antall biler ganget med 30 kroner pluss antall busser ganget med 100 Eksamen REA306 Matematikk S1 høsten 016 Side 16 av 18
kroner. Dette gir: I 30x 100y 100y 30x I Ordner likningen slik at leddet med y kommer på venstre side og skriver den inn i Geogebra slik at det blir en glider for I, se den røde linja f på figuren nedenfor. Ser at inntektene blir størst når linja f går så høyt som mulig, dvs. at den går gjennom skjæringspunktet for grenselinjene til ulikhetene c og d på figuren. Disse grenselinjene gir oss to ligninger med to ukjente: x y 60 (1) 6x5y 500 () Skriver ligningene inn i CAS i Geogebra: Det vil altså være størst inntekt med enten 7 eller 8 busser. Tester hvor mange biler det er plass til med 7 og med 8 busser og regner ut inntekten i disse tilfellene: Eksamen REA306 Matematikk S1 høsten 016 Side 17 av 18
Med 7 busser er det plass til 54 biler. Men siden det ikke kan være mer enn 60 kjøretøy på parkeringsplassen, kan det ikke være mer enn 53 biler. Inntekten blir da 90 kroner. Med 8 busser er det plass til 50 biler. Da blir inntekten 300 kroner. Inntekten er altså størst med 8 busser og 50 biler, og da er den 300 kroner per time. Eksamen REA306 Matematikk S1 høsten 016 Side 18 av 18