HØGKOLEN I ØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksmesdto: 5. jui 04 Vrighet/eksmestid: Emekode: 3 timer ALM304V Emev: Mtemtikk 4 Klsser: tudiepoeg: Bygg, Elektro, Mski, Kjemi, Logistikk, Mteriltekologi 5 stp Fglærer: Ror Berge (tel 906 77 84) Kotktperso(dm.) Hjelpemidler: Oppgvesettet består v: Vedlegg består v: Klkultor, type 7 oppgver, sider, ikludert dee forside Formelsmlig, 5 sider Merkd: Oppgvetekste k beholdes v studeter som sitter eksmestide ut. NB! Les gjeom hele oppgvesettet før du begyer rbeidet, og dispoer tide. Dersom oe virker uklrt i oppgvesettet, skl du gjøre die ege tgelser og forklre dette i besvrelse. Alle svr skl begrues. Det må ts med så mye mellomregig t frmggsmåte går tydelig frm v besvrelse. Oppgvesettet består v 9 delpukter, som lle teller likt. Lykke til!
Oppgve ( ) si cos,si cos,, 0,. Bestem slik t legde på blir lik 6. E kurve er gitt ved r t [ t t t + t t] t Oppgve i) ii) Gjør om uttrykket + y + ( z ) til kulekoorditer. Beskriv legemet. π Hvilke flte beskriver uttrykket som gitt i kulekoorditer er θ? Teg figur. 4 Oppgve 3 Gitt vektorfeltet F(, y, z) [ y,, 0] og puktee P0 (,0, 0) og P (0,,0). ) Avgjør om feltet er koservtivt eller ikke. b) Bereg rbeidet med å forflytte e prtikkel fr P0 til P i ) lgs e rett lije ii ) lgs e sirkel. Kommeter resulttee. Oppgve 4 E ellipse k beskrives ved prmeterfrmstillige ( t) 3 cos t, y( t) si t, t [ 0, π >. Beytt Grees setig til å bestemme relet v ellipse. Oppgve 5 Fi relet v flte z y ved bruk v dobbeltitegrl. Oppgve 6 Gitt vektorfeltet F(, y, z) [ y,, z] og et legeme vgreset v fltee z y og 0 z. ) Fi flukse ut gjeom legemet ved å beytte divergessetige. Teg figur. b) Fi flukse ved direkte beregig. Oppgve 7 Bruk toke s setig til å bestemme oktt og F(, y, z) [ z, y, 3z] F dr der kurve er rde v plet + y + z i første. Positiv retig til er mot urvisere, sett ovefr.
Progrm for llmefg Mtemtikk 4 Avdelig for tekologi Emeummer ALM304V Høgskole i ør-trødelg FORMELARK 03-4 Poteser og rotstørrelser m m m+ m m m,, ( b) b, ( ),, b b, m, b b ( ) Trigoometri m m 0 si( ± y) si cos y ± cos si y, cos( ± y) cos cos y si si y, cos + si si ( cos( )), cos ( + cos( )), cos cos si, si si cos Logritmer og regeregler for logritmer y l Nturlig logritme: y l e der e, 7888 er Eulers tll. Altså er e. t Regeregler: l( b) l + l b, l ( ) l l b, l t l b Derivsjo dy f ( + ) f ( ) Defiisjo: y ' f '( ) lim d 0 Geerelle derivsjosregler der u u( ), v v( ): ( u ± v) ' u ' + v ', ( k u)' k u ' der k kostt, ( u v) ' u ' v + u v ', u ' u ' v u v ' dy du, ( f ( g( ))) ' f '( u) u ' der u g( ) v v du d De deriverte v oe elemetære fuksjoer k ' 0 der k kostt r ( )' r (l )' ( e ) ' e r ( )' l (si ) ' cos (cos )' si (t )' + t cos (rcsi )' (rct ) ' + Det ubestemte itegrl f d F + F f [ ± ] ± Defiisjo: ( ) ( ) der '( ) ( ) og er e vilkårlig kostt. Egeskper: k f ( ) d k f ( ) d der k kostt, f ( ) g( ) d f ( ) d g( ) d
Progrm for llmefg Mtemtikk 4 Avdelig for tekologi Emeummer ALM304V Høgskole i ør-trødelg FORMELARK 03-4 Det ubestemte itegrl til oe fuksjoer k d k + r + +, d l + r r+ d r e d e + si d si + 4 cos d + si + 4 d rcsi + d rct + + d + l si d cos + cos d si + cos ( t ) t d + d + Itegrsjosmetoder ubstitusjosmetode: f ( g( )) g '( ) d f ( u) du der u g( ) og du g '( ) d b g ( b) f ( g( )) g '( ) d f ( u) du g ( ) Delvis itegrsjo: u v ' d u v u ' v d der u u ( ), v v ( ) Vektorer Notsjo: [,, 3 ] i + j + 3k e + ey + 3ez Legde: + + 3 klrprodukt: b b + b + 3b3 b cosθ e ey ez Kryssprodukt: b 3 ( b3 3b ) e ( b3 3 b ) ey + ( b b ) e z b b b3 Legde v b : b bsiθ Vektor fr P(, y, z ) til Q(, y, z ) : PQ, y y, z z Prmeterfrmstillig v kurver Rett lije: r( t) r0 + t v Rett lije fr r til r : r( t) t r + t r, t 0, 0 0 ( ) [ Ehetssirkele med setrum i origo: r( t) cos t,si t, t 0, π >
Progrm for llmefg Mtemtikk 4 Avdelig for tekologi Emeummer ALM304V Høgskole i ør-trødelg FORMELARK 03-4 Pl Et pl gjeom P(, y, z ) med ormlvektor, b, c : ( ) + b( y y ) + c( z z ) 0 0 0 0 0 0 0 Vektorfuksjoer d r Romkurve: r( t) [ f ( t), g( t), h( t) ] Derivsjo: r '( t) [ f '( t), g '( t), h '( t) ] dt r '( t) Itegrsjo: r( t) dt f ( t) dt, g( t) dt, h( t) dt Ehetstgetvektor: T ( t) r '( t) t t T '( t) Ehetsormlvektor: ( t) Legde v kurve : ds v( t) dt r '( t) dt T '( t) t t0 t t0 Fuksjoer v to eller flere vrible: Kjereregele: At z f (, y), g( t) og y h( t). dz df d df dy D er + f r '( t) dt d dt dy dt Trippelitegrl: Volum dv Msse til E : dm ρ(, y, z) dv E E E Tygdepuktets koordit (, y, z ): dm ρ(, y, z) dv, m m y y dm y (, y, z) dv, z z dm z (, y, z) dv m ρ ρ m m m E E E E E E Koorditsystemer: Polrkoorditer ( r, θ ) : r cos θ, y r si θ, da rdrdθ yliderkoorditer ( r, θ, z) : r cos θ, y r si θ, z z, dv rdrdθdz Kulekoorditer ( ρ, ϕ, θ ) : ρ cosθ si ϕ, ρ siθ si ϕ, ρ cos ϕ, ρ siϕ ρ θ ϕ y z dv d d d 3
Progrm for llmefg Mtemtikk 4 Avdelig for tekologi Emeummer ALM304V Høgskole i ør-trødelg FORMELARK 03-4 Vektorlyse: klrfelt: f f (, y, z) Vektorfelt: F F(, y, z) P(, y, z), Q(, y, z), R(, y, z) f f f P Q R,,, grd f f,,, div F F y z y z + + y z e ey ez R Q R P Q P curl F F, ( ), y z y z z y P Q R Koservtivt vektorfelt F: F f, f er feltets potesilfuksjo Fudmetlteoremet: F dr f dr f ( r( t )) f ( r( t )) 0 irkulsjoe til F rudt e kurve : F dr, dr d, dy, dz v dt Flteitegrl til g over e flte : g d Fluks til F over e flte : Φ F d Q P Grees setig: F dr ( Pd + Qdy) ( ) da ( F) ez da y D D Arel med Grees setig: A dy y d ( dy y d) tokes setig: F dr ( F) d, er rdkurve til. Divergessetige: F d div F dv, er rdflte til E. Fluks til F over kurvestykket : F ds ( Qd + Pdy) E P Q Fluks til F over lukket kurve : F ds ( Qd + Pdy) + da F da y R R Prmeterfrmstillig v flte: Defiisjo: r( u, v) [ ( u, v), y( u, v), z( u, v) ] r r Tgetvektorer til flte: ru ( u, v), rv ( u, v) u v Normlvektor til flte: N ru rv Arelelemet: d d NdA, der daer projeksjoe i i uv-plet. 4
Progrm for llmefg Mtemtikk 4 Avdelig for tekologi Emeummer ALM304V Høgskole i ør-trødelg FORMELARK 03-4 Uttrykk for d og d ved beregig v flteitegrl: Projeksjo i i y - pl: z f (, y), da ddy, d + ( ) + ( ) da, d ±,, da Projeksjo i i z - pl: y f (, z), da ddz, d + ( ) + ( ) da, d ±,, da Projeksjo i i yz - pl: f f f f y y f f f f z z f f f f f ( y, z), da dydz, d + ( ) + ( ) da, d ±,, da y z y z. ordes homogee, lieære differesillikiger y y, y y( ), kostt Løsig: y e y f ( ) y, f ( ) er e vilkårlig fuksjo Løsig: y e f ( ) d. ordes homogee, lieære differesillikiger med kostte koeffisieter y + by + cy 0 hr geerell løsig y c y + c y, Krkteristisk likig: r br c 0 der y og y er to lieært uvhegige løsiger. + + ) b 4 c 0 gir to forskjellige reelle løsiger v krkteristisk lik > Løsig v differesillikige : y c e + c e ) 4 0 gir to like reelle løsiger v krkteristisk likig : 3) b r r r ig, r og r. b b c r r r α r Løsig v differesillikige : y c e + c e 4 c < 0 gir to forskjellige komplekse (kojugerte) b 4c b løsiger v krkteristisk likig: r α ± iβ ± i α Løsig v differesillikige : y c e cos β + c e si β α 5