Hvordan utvikle språk om multiplikasjon og divisjon på småskoletrinnet?

Hvordan utvikle språk om multiplikasjon og divisjon på småskoletrinnet? Oda Tingstad Burheim Charlottenlund skole Frode Rønning Institutt for matematiske fag NTNU Kunnskap for en bedre verden

www.laudim.no Mål for prosjektet: Få større kunnskap om læringsmiljøets betydning for utvikling av matematisk tenking og forståelse Utvikle elevenes evne til å framstille matematikk, muntlig og skriftlig, diskutere matematikk, begrunne hvorfor noe er riktig eller ikke Samarbeid mellom NTNU og to barneskoler Designet bygger på Teorien for didaktiske situasjoner (Brousseau, 1997) Kunnskap for en bedre verden 2

Fasene i en didaktisk situasjon Formulering Aksjon Analyse av målkunnskapen og oppgavedesign Devolusjon (overlevering) = lærer inaktiv Institusjonalisering Validering Kunnskap for en bedre verden 3

Introduksjon av divisjon på 3. trinn Målingsdivisjon eller delingsdivisjon? Kunnskap for en bedre verden 4

Elevenes strategier Tegne og telle Gjentatt addisjon - tallinje eller tall 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96 Gjentatt subtraksjon - tallinje eller tall 96, 84, 72, 60, 48, 36, 24, 12 Kunnskap for en bedre verden 5

Kunnskap for en bedre verden 6

Kunnskap for en bedre verden

Arbeid med målingsdivisjon Innføring av symbolet : og språket delt i, basert på elevenes forklaring av strategier 96 : 12 96 delt i tolvere Naturlig språk (skriftlig og muntlig), tegning og symbolspråk Kunnskap for en bedre verden 8

Introduksjon av delingsdivisjon Tekstoppgaver Elevene hadde færre strategier, dele ut en og en Kunnskap for en bedre verden 11

Modeller for multiplikasjon Like grupper Gjentatt addisjon Multiplikativ sammenligning ganger så mange som Rate mål per enhet antall enheter Kartesisk produkt Antall kombinasjoner Rektangulært areal (Greer, 1992) Kunnskap for en bedre verden 15

Multiplikasjon: 3 barn har 4 lekebiler hver. Hvor mange lekebiler har de til sammen? 3 grupper med 4 i hver 3 4 = 12 3 multiplikator 4 multiplikand 12 - produkt Målingsdivisjon: 12 lekebiler deles slik at hver får 4 biler. Hvor mange kan få? 12 : 4 = 3 12 - dividend 4- divisor 3 - kvotient Delingsdivisjon: 3 barn skal dele 12 lekebiler. Hvor mange får hver? 12 : 3 = 4 12 - dividend 3 - divisor 4 - kvotient Kunnskap for en bedre verden

Intuitive modeller For multiplikasjon: Gjentatt addisjon For divisjon: Delingsdivisjon Disse modellene er rotfestet i menneskers mentale handlinger, men de er ufullstendige og vil etter hvert komme i konflikt med de formelle begrepene multiplikasjon og divisjon (Fischbein, Deri, Nello, & Marino, 1985) Men kanskje det ikke er så enkelt? Kan målingsdivisjon være like intuitivt? Hvorfor vektlegge målingsdivisjon? Kunnskap for en bedre verden 17

Lekse Kunnskap for en bedre verden

Begrensninger i gjentatt addisjon og delingsdivisjon 3 4 = 12 tenkt som gjentatt addisjon multiplikator multiplikand = produkt Må være heltall Behøver ikke å være heltall 12 : 3 = 4 tenkt som delingsdivisjon dividend : divisor = kvotient Behøver ikke å være heltall Må være heltall Kunnskap for en bedre verden 19

Hvorfor målingsdivisjon? 12 : 3 = 4 tenkt som delingsdivisjon dividend : divisor = kvotient Behøver ikke å være heltall Må være heltall 12 : 4 = 3 tenkt som målingsdivisjon dividend : divisor = kvotient Behøver ikke å være heltall Behøver ikke å være heltall Kunnskap for en bedre verden 20

48 : 6 = 8 Det som skal deles Så mange deler Kunnskap for en bedre verden

Konsekvent språkbruk 3 4 = 12 forstås som tre firere 12 : 4 = 3 forstås som 12 delt i firere 12 : 3 = 4 forstås som 12 delt på tre Kunnskap for en bedre verden 23

20 delt på fire Fire femmere Kunnskap for en bedre verden

Her er det tre firere Delingsdivisjon Kunnskap for en bedre verden

Her er det fire femmere Målingsdivisjon Kunnskap for en bedre verden

Når divisor ikke er et heltall Kunnskap for en bedre verden

Referanser Brousseau, G. (1997). The theory of didactical situations in mathematics: Didactique des mathématiques, 1970-1990 (N. Balacheff, M. Cooper, R. Sutherland & V. Warfield, Red. & Overs.). Dordrecht, Nederland: Kluwer. Fischbein, E., Deri, M., Nello, M. S., & Marino, M. S. (1985). The role of implicit models in solving verbal problems in multiplication and division. Journal for Research in Mathematics Education, 16(1), 3-17. Greer, B. (1992). Multiplication and division as models of situations. I D. A. Grouws (red.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (s. 276-295). New York, NY: Simon and Schuster Macmillan. Kunnskap for en bedre verden 31