«Det kan jeg ikke regne ut, for det har vi ikke lært enda» en case-studie av elevers forståelse av brøk i og utenfor kontekst.

Transkript

1 «Det kan jeg ikke regne ut, for det har vi ikke lært enda» en case-studie av elevers forståelse av brøk i og utenfor kontekst av Mari Nymoen Eikre 628 Veileder: Bodil Kleve, Matematikk Bacheloroppgave i Grunnskolelærerutdanning trinn G1PEL3900 Institutt for grunnskole- og faglærerutdanning Fakultet for lærerutdanning og internasjonale studier Høgskolen i Oslo og Akershus 23. april, 2015 Antall ord: 7169

2 Innhold Sammendrag... 3 Innledning... 4 Bakgrunn for studien... 4 Brøk i Kunnskapsløftet (2006)... 4 Ulike aspekter og representasjonsformer for brøk... 4 Instrumentell og relasjonell forståelse... 6 Brøkspråket... 7 Metode... 9 Case-studie som metode... 9 Materiale og fremgangsmåte... 9 Datamateriale... 9 Analyse og drøfting Oppgave 1: «Det har vi ikke lært enda» Oppgave 2: Kjent kontekst Oppgave 3: Memorerte regler Oppgave 4: Logiske resonnement Oppgave 5: Brøkspråk i bruk Oppgave 6: Brøk kontra desimaltall Interessante funn Konklusjon Instrumentelle strategier Relasjonelle strategier Avslutning Litteraturliste Vedlegg 1: Oppgaver uten kontekst, del a) Vedlegg 2: Oppgaver med kontekst, del b) Vedlegg 3: Egenerklæring angående fusk og plagiering

3 Sammendrag Brøk er et matematisk fenomen barn møter og bruker i mange sammenhenger utenfor skolen. Denne bacheloroppgaven tar for seg hvordan man kan bruke matematikken som allerede finnes i barnas hverdag, i skolen. Den gjennomførte studien viser at barna klarer å løse flere matematiske problemer dersom de blir gitt gjennom en kjent kontekst og med et språk barna forstår. Dette gjelder også matematiske temaer de er mindre kjente med. Nøkkelord: brøk, kontekst, representasjonsformer, meningsfull læring, relasjonell forståelse. 3

4 Innledning Gjennom arbeid i praksis og studiene, har jeg opplevd at mange elever og lærere oppfatter brøk som er vanskelig tema. Dette var utgangspunktet for hva jeg ønsket mer kunnskap om. I denne bacheloroppgaven vil det bli sett på hva det innebærer å ha forståelse for brøk, og hvordan man kan ta for seg konseptet brøk med barn. Dette vil være bakgrunnen for en casestudie av om og eventuelt hvordan elever løser oppgaver ulikt dersom det kun oppgis tall og symboler, eller om disse er satt inn i en kontekst ved hjelp av tekst og bilder. Datamaterialet innsamlet fra denne undersøkelsen vil videre bli analysert og drøftet i sammenheng med den presenterte teorien. Med god fremstilling og variasjon i kontekst, tror jeg brøk kan fremstå konkret og virkelighetsnært for elevene. Men er det egentlig mulig å kontekstualisere alle brøker, og hva innebærer det å ha relasjonell forståelse for brøk? Dette er noen av spørsmålene som har vært med på å inspirere til å grundigere undersøke hvordan barn arbeider med brøk. Problemstillingen det ble jobbet ut fra er derfor Hvordan kan ulike representasjonsformer hjelpe til med å forenkle brøkregning? Ved å se på innsamlede elevsvar på brøkoppgaver, vil jeg se på hvilke strategier barn bruker for å regne med brøk, og om de klarer mer dersom oppgavene formuleres i større grad av et språk de kjenner til. Bakgrunn for studien Brøk i Kunnskapsløftet (2006) Første gang brøk nevnes i læreplanen, er etter 4. årstrinn. Her skal elevene kunne bruke og uttrykke enkle brøker på varierte måter. Etter 7. trinn skal de også kunne finne fellesnevner, utføre addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av brøk (Kunnskapsdepartementet, 2006). Selv om divisjon av og med brøk ikke er tema før på ungdomsskolen, valgte jeg å ta med to slike oppgaver for å undersøke problemstillingen grundigere. Et annet mål som er relevant for denne studien, sier at elevene skal etter 7. trinn kunne finne informasjon i tekster eller situasjoner, stille opp og forklare beregninger og vurdere resultatet. Ulike aspekter og representasjonsformer for brøk En brøk kan uttrykke ulike funksjoner som gjerne deles inn i fem aspekter. Brøken kan fungere som en tallstørrelse, som en del av en enhet, som forhold, operator eller kvotient. En brøk fungerer som en tallstørrelse når den opptrer som et tall i seg selv. For eksempel ligger 4

5 brøken ¼ mellom 0 og ½ på tallinja (Hinna, Rinvold, & Gustavsen, 2012). Brøk som tallstørrelse brukes også ofte ved måling. For eksempel når det står i en oppskrift at man trenger 1 / 3 liter fløte. Brøk som del av en helhet er når brøkens størrelse blir sett på i sammenheng med en enhet, og er det aspektet som er mest brukt i skolen (Hinna et al., 2012). En vanlig misoppfatning er at en brøk som del av en helhet oppfattes som en absolutt størrelse. Det er derfor spesielt viktig å skille mellom aspektene brøk som tallstørrelse, og brøk som del en enhet der den varierer ut fra konteksten, den er relativ (McIntosh, 2007). En brøk fungerer som en operator når den virker inn på et annet tall, for eksempel ⅓ av klassens elever eller ⅓ av sparepengene. Her fungerer ⅓ som operator og skal multipliseres med en størrelse. Brøk kan også ha funksjon som kvotient, det vil si at brøken er svaret i et divisjonsstykke og utrykker forholdet mellom dividend og divisor. Eksempler på brøk som kvotient er ⅓ : 2 = ⅙ eller 2 : 7 = 2 / 7. Hvis man sier at 1 av 5 barn er overvektige, uttrykker brøken et forhold eller andel, som anses som det femte aspektet av brøk (Hinna et al., 2012). Brøk kan også være representert i forskjellige former. Lesh, Post, and Behr (1987) samler disse i fem ulike kategorier. Oversatt til norsk er disse konkreter, illustrasjoner, kontekster fra virkeligheten, verbale symboler og skriftlige symboler. Konkreter er objekter som kan beveges, stables og tas på, og er både autentiske og abstrakte. Dette kan for eksempel være lekeklosser; spesielt tilpassede klosser, Cuisinaire-staver; en sjokoladeplate eller en perlesnor som eleven kan ta i bruk for å løse matematiske problemer. Illustrasjoner er mer abstrakte enn konkreter. Når brøker er representert ved illustrasjon, er det oftest enten i form av en arealmodell, en tallinje eller en mengdemodell, men det kan også være elevens egen tolkning av matematikken. Hvordan eleven fremstiller sin matematiske idé, kan fortelle mye om elevens forståelse. I skolen brukes arealmodellen brøksirkler, gjerne beskrevet som kake eller pizza, ofte for konkretisere og visualisere brøk (Hinna et al., 2012). Det å knytte en brøk til kontekster vil si å at man bruker situasjoner fra virkeligheten for å konkretisere matematikken,. Det er viktig å bruke situasjoner elevene er kjent med, og hvis konteksten i tillegg er interessant og meningsfull for eleven, kan det virke positivt inn på motivasjonen (Lesh et al., 1987). Verbale symboler er den muntlige framstillingen av brøk. Denne representasjonen er det viktig at elevene får øvd på, blant annet ved å forklare tenkemåten sin. Dette blir ofte understimulert i skolehverdagen. Skriftlige symboler refererer den skriftlige formuleringen av matematikken. Dette kan både være tall og andre symboler. For elevene kan denne representasjonsformen ofte virke som den mest abstrakte. Det er viktig å jobbe med overganger både innenfor og mellom de ulike representasjonsformene, fordi mange elever 5

6 synes dette er en utfordring. Det å variere og veksle er også med på å utvikle forståelse og kompetanse innenfor temaet (Lesh et al., 1987). Det å bruke flere representasjonsformer tilbyr ulike perspektiver på et spesifikt problem, og støtter dermed en dypere forståelse og bygge opp en mer abstrakt matematisk tenkning. Når elever blir eksponert for konkreter før man presenterer formelle matematiske notasjoner, kan de koble de konkrete representasjonene til de abstrakte matematiske ideene. På denne måten tar man i bruk styrkene fra ulike former, samtidig som man eliminerer svakhetene som finnes i hver alene (Lesh et al., 1987). Selv om ulike representasjonsformer hjelper elevene til å forstå matematiske konsepter, kan det variere hvilken effekt det har på læringen hvilke man tar i bruk. For eksempel kan en arealmodell godt underbygge brøk som del av en helhet, men egner seg dårlig for å illustrere brøk som tallstørrelse, hvor en tallinje kan gi større effekt. Kompliserte problemstillinger kan lett struktureres ved hjelp av for eksempel enkle skisser som hjelpemiddel, men også for eldre elever er det viktig å gi mening til matematikken. Problemer med brøkregning kan oppstå fordi man abstraherer den for tidlig. Manglende eller lite konkretisering kan være årsak til lavere forståelse (Martinussen & Smestad, 2010). Allikevel er det viktig å være klar over at materialet, eksempelet og konteksten også kan forstyrre den ønskete abstraksjonen, eller være for sterke slik at de overdøver, gir feil assosiasjoner eller gir for snevre bilder av matematiske begrep. Hjelpemidlene må fungere som støtte til den matematiske tenkningen, og elevene må forstå hva materialet brukes til og representerer (Solem, Alseth, & Nordberg, 2011). Konkretisering er altså ikke nok i seg selv, men kan brukes som et redskap, som ved god bruk, gir positive læringseffekter. Instrumentell og relasjonell forståelse Matematikkprofessor og psykolog Skemp (1976) argumenterer for mer fokus på relasjonell og mindre fokus på instrumentell forståelse for matematikk i skolen. Relasjonell forståelse beskriver han som det vi vanligvis mener med forståelse, og innebærer at man vet både hva man skal gjøre og hvorfor. Instrumentell forståelse derimot, mener han, kan sies å være å kunne regler, men ikke meningen med dem. Det er fordeler og ulemper ved begge typer forståelse. Instrumentell forståelse kan, innenfor sin egen kontekst, være enklere å håndtere. For eksempel når man regner med negative tall og bruker regelen minus og minus blir pluss, og så videre. Hvis målet er å komme raskt frem til riktige svar, er slik instrumentell forståelse effektivt. Dette kan igjen gi elevene øyeblikkelig tilbakemelding om riktig svar og gi opplevelse av suksess, noe som ikke må undervurderes. Instrumentelle ferdigheter er også 6

7 overførbare til nye oppgaver, og på den måten nyttige hvis man vet hvordan de fungerer. Instrumentelle ferdigheter er på ingen måte noe man skal utelukke, nettopp fordi de er svært anvendelige. Det som blir understreket er at man ikke kan lære bort disse alene, men sammen med den relasjonelle forståelsen. Selv om relasjonell forståelse ofte tar lenger tid og er vanskeligere å oppnå, er det enklere å huske. Ved å se hvordan ulike sider av matematikken er relatert til hverandre, åpner man opp for å huske disse som ulike sider av et hele. Dette krever mindre å huske, nettopp fordi man i stedet bruker sin logiske sans. Det er allikevel ønskelig å kunne enkelte regler, men i stedet for å minnes nøyaktig hvordan dens formulering, kan man resonnere seg frem til den. Relasjonell forståelse er ikke bare et nyttig redskap, men kan også betraktes som et mål i seg selv. Denne forståelsen gir tilfredsstillelse i tillegg til å øke lærelysten og motivasjonen (Skemp, 1976). Å oppnå relasjonell forståelse i matematikk innebærer altså å bygge opp en begrepsstruktur sammen med eleven som han eller hun kan bruke for å selv finne veien fra start til mål. Botten (2003) beskriver også problemer med at mange oppfatter matematikk som oppgaver som løses ved å memorere hvordan man gjorde oppgaven tidligere, eller hvordan læreren fortalte at slike oppgaver skulle løses. Faget blir på denne måten da omgjort til rituelle handlinger, og ikke matematikkforståelse. En vanlig strategi han nevner, er å skumme vekk teksten, finne frem tallene og gjør det de synes mest fornuftig med disse. Barn burde derfor få mulighet til å utforske egne metoder før man gir instruksjon i regler. Ofte vil de klare å finne en måte å løse problemstillinger på, bare den er koblet til elevenes erfaringsverden. Matematikkundervisningen på mange barneskoler er uforståelig for barna fordi man ikke gjør dette, men bruker tid på å la elevene jobbe med regler for regneoperasjoner før de forstår hva de holder på med (Botten, 2003). Brøkspråket På samme måte som at man lærer ordforråd ved å bli eksponert for det, utvikler man tallforståelse ved å snakke om tall. Derfor er det viktig å snakke om matematikken når den dukker opp, og man får muligheten til å reflektere over tall og matematiske problemstillinger når de ser og hører dem. Dette gjelder både møte med siffer som nummeret på bussen, telefonnummer, og lignende, og praktisk matematikk som for eksempel handleturer, rettferdig deling av goder, og opptjening av ukepenger (Anghileri, 2011). Språklige uttrykk for brøk er også noe barna møter fra tidlig alder av, spesielt en halv eller halvparten (Solem et al., 2011). 7

8 Tall vil få mening innenfor en virkelig kontekst, og barna vil bli sikrere i å bruke og identifisere matematikk som et redskap for å gjøre verden meningsfull. For å hjelpe elevene til å knytte uformell kunnskap til formell kunnskap, kan man å trekke inn situasjoner fra livet utenfor skolen der tallene opptrer naturlig. Tradisjonell undervisning tar ikke utgangspunkt i hvordan barn lærer tall og matematikk (Anghileri, 2011). Matematikkens språk og terminologi kan ofte oppleves fremmed og uforståelig og fjernt fra språket som brukes i samfunnet. Når begrepene som brukes i skolen er så ulike fra de som brukes utenfor skolen, er dette med på å fjerne matematikken fra det normale. Dette kan igjen føre til at barna får problemer med å knytte sammen det som foregår på skolen og deres hverdag utenfor skolen, og gjøre det vanskelig å skape den nære forbindelsen som er nødvendig for å kunne ta matematikken i bruk (Botten, 2003). Fremmedgjøring og avstanden som blir til mellom matematikken og oss selv, kan være med på å gjøre at man i stedet for å se på faget som nyttig og meningsfullt, fokuserer på særheter og blokkeringer, og utvikler motstand for faget. Betegnelsen språk av 1. og 2. orden brukes av Høines (2006) for å karakterisere hvordan språket fungerer for oss. Når språket står i direkte kontakt med begrepsinnholdet, kan vi bruke det for å uttrykke oss spontant, samt som støtte. Dette er det hun kaller språk av 1. orden. Det finnes ulike språkformer, for eksempel muntlig språk, tegning, antall fingrene, skriftspråk eller tallsymboler, men den samme språkformen kan fungere ulikt hos forskjellige elever. Språk av 2. orden er et språk som må oversettes fordi den ikke står i direkte kontakt med begrepsinnholdet og må oversettes. Denne oversettelsen er et bindeledd mellom det nye språket og barnets erfaringsverden, og er en prosess vi må akseptere at kan ta tid. Lærerens rolle er å hjelpe elevene med å gjøre språk av andre orden til språk av første orden, slik at de erfarer at de kan benytte seg av matematikk som redskap. Her er det essensielt å tenke over hvilke ord man velger, fordi disse er med på å påvirke barnas assosiasjoner. Undervisning av tall og symboler kan ikke skje som om de var naturgitte, symbolisering er en abstrakt prosess som krever oppmerksomhet. Barna kan hjelpes mot forståelse ved å bruke deres dagligspråk og deres tegn, men trenger ofte hjelp til å utvikle et muntlig språk som kan oversette symbolene de møter, fra annen til første orden (Høines, 2006). Målet er at elevene skal kunne bygge opp sitt symbolspråk på en mer bevisst måte enn bare å lære de matematiske navnene på de ulike fenomenene, og lære å uttrykke begrepsinnholdet. 8

9 Metode Case-studie som metode Ved gjennomføringen av denne studien ble det benyttet enkelt casedesign med én analyseenhet. Dette innebærer at det ble samlet inn informasjon fra en begrenset enhet, altså en gruppe, innenfor studiet av et avgrenset system, her skolen. Det som studeres kan være en hendelse, et individ eller som i dette tilfellet, en aktivitet, som er tids- og stedsavhengig. Casestudier er en ofte brukt metode innenfor utdanningsforskning, blant annet fordi de gir forskeren stort spillerom ved gjennomføringen av undersøkelser. Metoden kjennetegnes av at forskeren henter inn detaljert og omfattende informasjon fra en eller få enheter, ofte med en kvalitativ tilnærming, men kan også ha innslag av kvantitative teknikker. Analysen av de innsamlede dataene kan enten være basert på teoretiske antakelser, eller være et beskrivende casestudium. (Christoffersen & Johannesen, 2012). Da det allerede finnes forskning på det aktuelle området, vil analysen i stor grad være teoristyrt. Materiale og fremgangsmåte Undersøkelsen ble gjort som arrangert setting i et klasserom med syv elever på sjette trinn. Disse var tilfeldig utvalgte elever jeg ikke hadde noen kjennskap til på forhånd, annet enn at de gikk på skolen jeg hadde praksis ved. Elevene ble plassert hver for seg, og fikk først utdelt et ark hver med del a) av oppgavene. Oppgavene var formulert med tall og symboler som representerte regneoperasjoner, både addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon (se vedlegg 1). Etter om lag et kvarter sa alle seg ferdige. Da ble dette arket samlet inn, og elevene fikk utdelt del b), som altså var de samme oppgavene, men denne gangen plassert inn i en kontekst (se vedlegg 2). Da nye femten minutter var gått, ble disse oppgavene samlet inn. Etter ønske fra deltakerne ble de riktige svarene gjennomgått. Datamateriale I tabellen under er alle elevsvarene gjengitt så tro som mulig for å opprettholde deltakernes anonymitet og i henhold til etiske retningslinjer. 9

10 Oppg. 1 Penger 2 Sjokolade 3 Saft 4 Kake 5 Brus 6 Gløgg Elever A a) 1/5 200 = 200/5 1-1/3-2/4 = 12/12-4/12-6/12 = 2/12 b) Ja, fordi det er 1/3+2/4 = umulig å si hvor 4/12+6/12 = mye penger de 10/12 har brukt. Han spiser 2/12 1/8+4/6 = 38/48 1/6 6 = 6/6=1 1/2:3 =1,5 5:1/4 =1/24 1/8+4/6 = 0,5 brus 3 personer 0,25 10 = 2,5 1 6/ /6 8 = 0,25 10 = 2,5 6/48+32/48 = 5:3 =1,42 5,0 38/48 liter 1,42 l brus hver 20 kopper 6/6 kg hvetemel B a) 1/5 200=200/5?? 1/6 6= 6/12 1/2:3= 3/2 5:1/4= 1/4 b) Oda har brukt mest fordi 5 er større enn 4. 1/3+2/4= 4/12+6/12= 10/12? 1/6 3 = 3/6 Jeg ganget bare med telleren fordi man ikke 1/5 3 = 3/5 Fordi man ikke kan gange med nevner, 5:0,25=5 fordi 5 5=25. 5 kopper Jeg bare plussa kan gange med nevner. 3/6 kg ganget jeg bare med telleren. 3/5 liter C a) 1/5 200 = 200/5 1-1/3-2/4 = 12/12-4/12-6/12 = 1/8+4/6 = 1 6/ /6 8 = 1/6 6= 1= 6/6 1/2:3 = 1 3/2 3:3 = 3/6:3 = 1/6 5:1/4= 1 5/4 5 = 5/20:5 = 1/20 2/12 = 1/6 6/48+32/48 = 38/48 = 19/24 b) Ja, hvis Oda hadde 500 kr og Therese hadde 4 Tomas: 2 3/4 3=6/12 Leo: 1 4/3 4 = 4/12 Sjokoladen har 12 1/8= 1 6/8 6= 6/48 = 3/24 1/ liter:3=0,333 l 0,333 l:2=0,1666 Fordi 4 kopper er 1 liter, er 5 liter 20 kopper. kr. ruter. Håkon får 2/12 4/6=4 8/6 8= 32/48=16/24 De får 1,66 dl 3/24+16/24= 19/24 D a)?? 1/8+4/6 = 38/48 1/6 6 = 1 hel = 6/6 1/2:3 = 1,5? b) Ja, fordi 1/4 av 1/3+2/4 = 1/8+4/6 = 1/6 6 = 6/6 kg hvetemel 1,5 3 = 4,5 20 kopper med gløgg 500 kr er mer 4/12+6/12 = 1 3/ /6 4 = enn 1/5 av /12 3/24+16/24 = 1,6 3 = 4,8 kr Tomas og Leo spiser 19/24 5:3 = 4,8 10/12, da spiser Håkon 2/12. E a)?? 1/8+4/6 = 38/48 1/6 6 = 6/6 1/2:3 = 1,5? x a)?? 1/8+4/6 = 5/14 1/6 6 = 6/36 1/2:3 = 2 5:1/4 = 20/5 b) Ja, det spørs hvor mye b) Oda penger har de brukt har. mer enn Therese. 1/3+2/4 = 2 3/ /3 4 = 6/12+4/12 = 10/12 spiser Tomas og Leo. Håkon spiser 2/12. Da får Håkon 5/8 1/8+4/6 = 1 3/ /6 4 = 1/8+4/6 3/24+16/24 = 5/14 = liter 19/24 liter saft Ganger 6 fordi det var 1/6 på en halv.? 1,5 1/6 6 = 6/6 kg mel på 3 + 1,5 hele kaker + 1,5 = 4,5 5:3? 5 liter = 20 kopper F a) 1/5 200 = 1 200/5 200 = 200/ /3-2/4 = 1-1/1-3 = 0/-1 1/8+4/6 = 1 6/ /6 8 = 6/48+32/48 = 38/48 1/6 6 = 1 6/6 6 = 6/36 1/2:3 = 1:3/2:3 = 3/6 5:1/4 = 5:1/5:4 = 5/1 b) Nei. 1/3+2/4 = 1 4/ /4 3 = 4/12+6/12 = 10/12 2/12 1/8+4/6 = 1 6/ /6 8 = 6/48+32/48 = 38/48 1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/ 6 = 6/6 = 1 kg? 0,25+0,25+0,25+0,25 0,25+0,25+0,25+0,25 0,25+0,25+0,25+0,25 0,25+0,25+0,25+0,25 0,25+0,25+0,25+0,25 20 kopper G a) 1/5 200 = /3-2/4 = 1/3 1/8+4/6 = 19/24 1/6 6 = 1 1/2:3 =1/6 5:1/4 =1 1/4 b) Ja, hvis Oda hadde 500 kr og Therese hadde 4 kr for eksempel. Håkon fikk 1/6 Jeg forstørret sånn at begge hadde lik nevner og plussa. Da spiste han det som var igjen. 0,791 liter saft Prøvde å finne 1/8 av en liter og 4/6 av en liter og plusset dem sammen. En halv kake x 2 = en hel kake. Så jeg tok det tre ganger. 1 kilo hvetemel Prøvde å dele 0,5 på 3 og stykket er uendelig. 1, kopper Jeg vet at 0,25x4 er 1 liter, så jeg tok det 5 ganger. 10 Grønt: Tilfredsstillende svar Rødt: Ikke tilfredsstillende svar Oransje: Delvis tilfredsstillende eller ikke fullført oppgave

11 Analyse og drøfting I analysen av datamaterialet vil de to delene av hver oppgave bli drøftet i sammenheng. På denne måten vil jeg få frem om det har noe å si om oppgavene blir oppgitt med eller uten kontekst. Oppgave 1: «Det har vi ikke lært enda» Del a) i den første oppgaven bestod av multiplikasjonsstykket 1 / Dette samsvarer ikke nødvendigvis med tallene del b) hvor pengesummene barna hadde ikke ble oppgitt, men 200 er en verdi jeg vurderte som passende. Oda og Therese er på handletur. Oda har brukt ⅕ av pengene sine, og Therese har brukt ¼ av sine. Kan Oda ha brukt mer enn Therese? Vis hvordan du tenker. I denne konteksten fungerer brøken som operator. For å løse denne oppgaven måtte elevene ha forståelse for at brøken virker inn på andre tall, og at enheten for brøken er relativ. Elev A, elev C og elev G har kommet frem til tilfredsstillende svar på begge disse oppgavene, og viser at de har forståelse for brøk som variabel størrelse. De har forstått at nevneren viser hvor mange deler den hele har blitt delt i, og at telleren angir hvor mange av disse delene det dreier seg om. Når man behersker dette, vil man kunne arbeide med brøk uten å måtte lære seg regler for hvert spesielle tilfelle. Med slik relasjonell forståelse kan man utlede og velge strategien som passer for hvert tilfelle man møter. Elev B klarte oppgaven kun formulert med tall, men ikke kontekstoppgaven. Han har antakeligvis husket formelen for multiplikasjon med brøk, men har ikke forståelse for hvordan brøknotasjonen fungerer. Dette kommer frem i elevens begrunnelse for sitt svar: «Oda har brukt mest fordi 5 er større enn 4». Det er en vanlig misoppfatning som oppstår når elever skal sammenlikne to brøker at de vurderer en større nevner automatisk som en større brøk. Dette kommer av at man overfører kunnskap fra hele tall til brøk. Misoppfatningen kan rettes opp ved gjentagende erfaring med konkretisering for å vise hva brøk er, og gi forståelse og evne til å bruke denne (McIntosh, 2007). Elev F kom ikke frem til riktig svar verken med eller uten kontekst. Dette kan være et tegn på at hun mangler forståelse for dette aspektet for brøk. I del a) multipliserer eleven 200 med både teller og nevner. Kanskje kan dette tyde på at hun ikke husker regelen, eller at hun overgeneraliserer matematikken og overfører ritualene for å finne fellesnevner. I del b) har eleven forsøkt seg på å illustrere problemet ved hjelp av to sirkler. Det å bruke en slik arealmodell, er problematisk i denne typen oppgave med ulik enhet. Kanskje kan dette være et 11

12 tegn på at elevene ofte møter denne måten å visualisere brøk på, omtalt av Hinna et al. (2012). Det at brøksirkler og andre lignende typer illustrasjoner er så hyppig brukt, kan gjøre at konkretiseringen er med på å hemme læring, nettopp fordi den kun støtter opp under et snevert brøkbegrep. Illustrasjonen eleven har laget tar utgangspunkt i at barna hadde like mye penger. Riktignok kan dette være fordi eleven har en prinsipiell oppfatning om rettferdighet, men det kan også vise at eleven ikke har forståelse for at brøk som operator har en relativ funksjon. Elev D klarte å vurdere 1 / 5 av 200 kroner og ¼ av 500 kroner, og sammenligne dette, men ikke å regne ut 1 / Penger er noe elevene kjenner til fra sin egen hverdag, og bare det å formulere det slik at regneoperasjonen kan relateres til noe kjent, viser hvor mye språket har mye å si. Dette underbygger Anghileri (2011) sin påstand om at tall vil få mening for barna innenfor en reell kontekst. Og at de innenfor denne vil bli i stand til å identifisere og bruke matematikken som et redskap. Da oppgaven ble delt ut, var elev E sin første reaksjon til 1a) «Det kan jeg ikke regne ut, for det har vi ikke lært enda» og et oppgitt stønn. Da oppgaven ble presentert for eleven med et språk hun enda ikke var kjent med, ble hun motløs og demotivert. Del b) viser imidlertid at eleven faktisk kunne komme frem til et svar ved å bruke sin logiske vurderingsevne, nettopp fordi hun hadde forståelse for bruk av brøk. Dette er et typisk eksempel på fordelen med å ha relasjonell forståelse (Skemp, 1976). Selv om eleven enda ikke har arbeidet med å regne med multiplikasjon av brøk når det fremstilles isolert, i følge henne selv, vil forståelsen hun besitter kunne være til stor hjelp for å kunne resonnere seg til regler ved senere anledninger. Det at det samme matematiske problemet ble formulert med et språk eleven behersket, var antakelig også en faktor til at hun kunne løse det. Konteksten med penger fungerte som en oversettelse mellom elevens språk av annen til første orden (Høines, 2006). Oppgave 2: Kjent kontekst Den andre oppgaven elevene fikk var 1 - ⅓ - 2 / 4. Den isolerte oppgaven krever ferdigheter innen det å finne fellesnevner og utføre subtraksjon av brøk. Det er også mulig å løse oppgaven ved å illustrere mengdene, men det har ingen av elevene gjort. Måten regnestykket er formulert på, kan kanskje ha vært med på å innsnevre og komplisere måten å tenke på. I stedet for å starte med helheten og deretter trekke fra, er det kanskje mer naturlig å legge sammen de to kjente først, deretter trekke dette fra 1 eller se hva som må legges til eller mangler for å få et hele. I tekstoppgaven er elevene mer frie til å plassere opplysningene selv, og det er kanskje enklere å holde styr på hva som skjer matematisk. En annen grunn til at 12

13 elevene ikke har forsøkt å illustrere oppgaven, kan muligens være fordi de ikke er vandt til å gjøre dette dersom det i undervisningen fokuseres på å stille opp regnestykkene og løse dem på korrekt måte. Mange av elevene har derimot kommet frem til tilfredsstillende svar i del b). I tekstoppgaven fungerer brøk som del av en helhet: Leo, Tomas og Håkon deler en sjokoladeplate. Leo spiser 1 / 3, Tomas spiser 2 / 4 og Håkon spiser resten. Hvor mye fikk Håkon? Vis hvordan du tenker. For å løse oppgaven, må elevene holde styr på hva som er enheten. Sjokoladeplater er en enhet elevene kjenner til, og som også innbyr til illustrasjon, selv om ingen tegnet noe. Elev A og C klarte begge deloppgavene og viser at de har ferdigheter innen denne måten å bruke brøk på. Begge har funnet fellesnevner for brøkene og kommet frem til rett svar. Elev A har brukt en lignende metode for b), men har her startet med å utvide delene som er kjent til tolvdeler, for deretter antakelig å se hva som er igjen av helheten når 10 / 12 er tatt. Elev C har strukturert etter hvem som har fått hva for deretter å utvide til 12 som fellesnevner. Han har poengtert at dette var antallet sjokoladeruter. Dette kan antyde en god forståelse for brøkkonseptet. Samtidig har denne elevens måte å løse oppgaven på kontekstualisert begrepet fellesnevner. Selv om han ikke kom frem til tilfredsstillende svar verken ved del a) eller b), var elev B på god vei i del b). Han har funnet fellesnevner og addert de to brøkene som er oppgitt, men ikke sett eller oppfattet hva det spørres om. Kanskje sliter denne eleven med å hente ut relevant informasjon fra teksten. Som tidligere omtalt, er det også en kjent strategi for Botten (2003) at elever skummer vekk teksten, og kun ser på tallene de finner. Jeg mener dette viser hvor viktig det er å arbeide med flere av målene i Kunnskapsløftet (2006) parallelt. Det å lese i matematikk, og trekke informasjon ut fra tekster og situasjoner, er noe man må arbeide med kontinuerlig sammen med et innhold. Dette gjelder også brøk. Elevene må øve seg på å se på konteksten som et hjelpemiddel og ikke overflødig tekst man må myse forbi for å finne tallene man skal regne med. Elev D, E, F, G klarte ikke oppgaven i a)-delen, men kom frem til riktig svar da de fikk den samme oppgaven med kontekst. Elev D og elev E har ingen forslag til svar på 1 - ⅓ - 2 / 4, mens elev F ser ut til å ha overført det hun kan om multiplikasjon av brøk til subtraksjon av brøk, og subtraherer teller fra teller og nevner fra nevner. Det er vanskelig å se hva elev G har tenkt, men han har heller ikke kommet frem til rett svar. Ved del b) har de har først funnet frem til hvor mye de to guttene spiser til sammen, for deretter å se hva som er igjen. Alle har 13

14 funnet fellesnevner og altså addert brøkene og deretter sett på helheten. De er tydelig å se at disse elevene har tatt konteksten godt i bruk. Oppgave 3: Memorerte regler Den tredje oppgavene elevene fikk, var addisjonsoppgaven 1 / / 6. Brøk som tallstørrelse var aspektet det ble tatt utgangspunkt i for danning av kontekst. Her fungerer brøken sammen med en fast enhet, som i dette tilfellet er liter. Bjørn blander saft. Han bruker 1 / 8 liter saft og 4 / 6 liter vann. Hvor mye ferdig saft får han? Vis hvordan du tenker. Dette er verdier det er vanskelig å visualisere på tallinje, geometrisk eller ved annen illustrasjon, og er noe jeg burde tenk bedre over på forhånd. I en oppgave som denne er det vanskelig å komme frem til et nøyaktig svar uten å kunne regler for addisjon av brøk. Brøk blir blant annet brukt for å kunne uttrykke eksakte mengder, men det er nok ikke logisk å bruke brøk i denne sammenhengen for barna. Konteksten får derfor ikke den store støttefunksjonen man er ute etter. Elev A, C, D, E, F og G bruker regler de har lært om fellesnevner, og kom alle frem til riktige svar på begge deloppgavene. Dette er et eksempel på at det også er positivt å mestre instrumentelle ferdigheter. Skemp (1976) sitt poeng var ikke at man ikke hadde behov for disse, men at måten man lærte dem på, men ved å la elevene utvikle forståelse for hva som skjer i prosessene, vil de ha større nytte av matematikken. Elev B klarte ingen av oppgavene, derimot. Han husket kanskje ikke regelen for addisjon av brøk med ulik nevner, og hadde ingen strategi for å komme frem til en løsning. Konteksten hjalp han antakelig heller ikke. I del b), er elev G den eneste som har omgjort brøkene til desimaltall. Han har kommet frem til korrekt svar, men det er ikke like nøyaktig som det kunne vært ved uttrykking i brøk. Selv om han behersket matematikken i del a), har han valgt å løse oppgaven annerledes når den omhandlet saft. Dette kan være en indikasjon på at eleven føler seg tryggere på å regne med desimaltall enn med brøk. Oppgave 4: Logiske resonnement Den fjerde oppgaven elevene fikk, var også et multiplikasjonsstykke, 1 / 6 6, mens kontekstoppgaven tok for seg brøk som forhold: Hvis man trenger ⅙ kg hvetemel for å bake en halv kake, hvor mye trenger man for å bake 3 hele kaker? Vis hvordan du tenker. Her må barna ha forståelse for at 1 / 6 står til ½ som 1 står til 3. Det å bake eller lage mat har antakelig alle erfaring med, men det er ikke sikkert de har måttet justere oppskrifter før. Allikevel er det sjelden man baker sjelden halve kaker, så konteksten er kanskje ikke helt realistisk. 14

15 Elev A, D, E, G har riktige svar på begge deloppgavene. I del b) har elev E og G brukt logiske resonnement, mens D har løst oppgaven likt som den kontekstløse. Elev A tegnet opp tre sirkler for å representere kakene. Deretter har han delt dem inn i halvdeler og markert hver av dem med 1 / 6 som antakelig representerer antall kilo mel per halve kake. Dette er en av få oppgaver det er brukt en annen representasjonsform enn verbale og skriftlige symboler. Selv om eleven er kommet frem til rett svar, er arealmodellen uegnet for denne funksjonen av brøk. Det kan være utfordrende å holde styr på hva som er enheten, men det ser i dette tilfellet ut til å fungere for å visualisere elevens tankerekke, selv om illustrasjonen i seg selv er noe tvetydig. Også elev C har kommet frem til riktig svar ved del a), og selv om han er på rett vei i del b), er ikke løsningen tilfredsstillende. Det han har skrevet er riktig, men ser ikke ut til å være fullført. Elev B kom ikke frem til tilfredsstillende svar i noen av disse oppgavene. I den kontekstfrie oppgaven er det vanskelig å si eksakt hva eleven har tenkt, men det ser ut til at eleven har addert nevnerne og multiplisert tellerne. Det er vanskelig å si hva det skyldes at eleven har fått til multiplikasjonen i oppgave 1 a), men ikke denne. Dette viser en svakhet ved instrumentell forståelse. Eleven er ikke sikker på algoritmene, eller husker ikke formelen riktig, og matematikken gir ikke mening. I del b), har han derimot klart å finne frem det rette formelen, forklart som Jeg ganget bare med telleren fordi man ikke kan gange med nevner med elevens egne ord. Utregningen er korrekt, men 3 / 6 kg er ikke rett svar. Dette kommer av at eleven ikke har funnet frem til de relevante opplysningene i teksten. Også her ser det ut til at eleven bare har funnet frem til tallene, 1 / 6 og 3, og gjort det han synes virker mest fornuftig med dem, som i dette tilfellet er å multiplisere dem. Oppgave 5: Brøkspråk i bruk Den femte og sjette oppgaven tok for seg divisjon av og med brøk. Siden dette ikke står som mål i læreplanen (Kunnskapsdepartementet, 2006) er dette et tema elevene antakeligvis ikke hadde arbeidet mye med. Jeg valgte å ta med to slike oppgaver for å se om konteksten kunne støtte dem til allikevel å komme frem til en løsning. I den første av disse, altså oppgave 5, fungerte brøken som dividend, i tillegg til at svaret, altså kvotienten ville være en brøk. I del a) fikk de regnestykket ½ : 3, mens tekstoppgaven var En halv liter brus skal deles på tre personer. Hvor mye brus får hver person? Vis hvordan du tenker. Også her brukes aspektet brøk som tallstørrelse, og benevnelsen er liter. 15

16 Elev C har kommet frem til rett svar for oppgavene både i del a) og b), og ser ut til å ha god forståelse for brøk. Han har først utvidet ½ ved å multiplisere med 3 / 3, for deretter å dividere 3 / 6 med 3. Denne eleven fant altså en strategi ved å ta i bruk kunnskap angående brøk og divisjon, og løste oppgaven selv om han ikke hadde lært standardalgoritmen for divisjon av brøk. Dette viser god relasjonell forståelse for brøkers notasjon og funksjon. Også elev G har kommet frem til rett svar i del a), men det er vanskelig å si noe om hvordan han tenkte. I del b) kommer det frem at han har tenkt riktig, men ikke klart å utføre divisjonen korrekt. Eleven viser forståelse for brøk som tallstørrelse, men er kanskje ikke komfortabel med å bruke aspektet. Ingen av de andre elevene klarte del a), men også del b) av denne oppgaven ser ut til å ha vært utfordrende for mange av dem. Både elev A, C og G har gjort om til desimaltall, men kun elev C har kommet frem til et tilfredsstillende svar. Det kan virke som om barna ikke forbinder En halv med ½ på samme måte som 0,5, og at brøkspråket fungerer i andre orden for barna (Høines, 2006). Selv om ord som en halv er ord barna er godt kjente med og bruker selv, virker det som at de kanskje ikke er bevisste på at det er dette som er matematikk. For dem blir brøkspråket i skolen noe fjernt og annerledes fra deres hverdag. Regning med desimaltall kan også være noe de er bedre kjent med, og er derfor en strategi de velger fordi de føler seg tryggere på dette. Selv om barna antakelig ikke har arbeidet med divisjon av og med brøk på skolen, er det noe oppsiktsvekkende i hvilken grad elevene her viser manglende evne til å vurdere svarene de kommer frem til. Flere av elevene har kommet frem til verdier større enn utgangspunktet på en halv liter, og noen også på over en liter. Det er viktig å øve opp metoder for å kontrollere om et svar er gyldig. For eksempel gjennom å bedømme størrelsen på en brøk ut fra erfaringsreferansene null, en halv og én (McIntosh, 2007). Oppgave 6: Brøk kontra desimaltall Den siste oppgaven, 5 : ¼, var også en divisjonsoppgave, men her var brøken divisoren i stykket. Tekstoppgaven var som følger: På en fest er det en 5 liters kjele med gløgg. Alle har kopper som tar 1 / 4 liter. Hvor mange kopper kan fylles? Vis hvordan du tenker. Fordeling er matematikk barn møter fra tidlig alder av (Anghileri, 2011), dog muligens ikke i nøyaktig denne formen. 16

17 Som noe forventet, klarte ingen av elevene del a) av denne oppgaven. Tallene opptrer i et antakelig ukjent språk for elevene, og uten noen kontekst å støtte seg til, gir tallene liten mening. Utfallet er at de overfører metoder de har brukt tidligere, uten å komme frem til tilfredsstillende svar. Det er vanskelig å si hva elevene har tenkt, da det er utfordrende å se en direkte sammenheng mellom tallene, men det ser ut til å være kombinasjoner av addisjon, subtraksjon og multiplikasjon. Elev C har byttet plass på dividend og divisor og løst stykket på samme måte som han gjorde med suksess i forrige oppgave. Han har altså løst ¼:5 i stedet for 5:¼, noe som ikke gir riktig svar. Det ser ut til at elev F har forsøkt å bruke en regel lignende multiplikasjon av brøk, og satt opp 5 dividert med teller og 5 dividert med nevner. Muligens fikk hun problemer da hun skulle regne ut 5:4 og valgte å subtrahere i stedet for. Del b) var det overraskende mange av barna som fikk til, og er kanskje det beste eksempelet på hvordan konteksten kan støtte elevene. Både elev A, B, E, F og G har omgjort til desimaltall. Grunnen til dette, kan kanskje være som nevnt tidligere at dette er et system de er bedre kjent med, i tillegg til at ¼ er en stambrøk det er lett å kjenne igjen. Elevene har brukt ulike metoder for å komme frem til et svar. C, E og G har først funnet ut hvor mange kopper man får fylt av 1 liter, for deretter å multiplisere dette med fem, mens elev A ser ut til å først prøve seg frem med 10 kopper og deretter se at dette går opp to ganger i fem liter. Elev F har også prøvd seg frem, men har kun lagt sammen én kopp av gangen, og på den måten brukt gjentatt addisjon som strategi. Elev B ser ut til å ha fått med seg at man kan reversere divisjonen for å kontrollere svaret, men ikke det var kvotienten som skulle multipliseres med divisoren. Her kommer nok en gang en utfordring ved instrumentell forståelse (Skemp, 1976) frem. Det er vanskelig å bare huske disse reglene hvis man ikke har forståelse for hvorfor man gjør som man gjør, og har strategier for å gjeninnhente denne kunnskapen. Som det kommer frem gjennom disse ulike måtene å løse oppgavene på, har elevene større mulighet til å legge mening i tallene, og på den måten tenke logisk og komme frem til et fornuftig svar, når tallene opptrer i en kontekst. Kanskje kunne elev B fått til mer om han i større grad ble oppmuntret til å illustrere oppgaven, eller hadde tilgang på konkreter som kunne støtte hans tankegang, som er med på å oversette symbolspråket som ser ut til å fungere i annen orden for eleven (Høines, 2006). 17

18 Interessante funn Som det kommer tydelig frem i tabellen ovenfor, er det kun ett tilfelle av at en elev har kommet frem til et tilfredsstillende svar ved del a), men ikke ved del b), mens det er hele 13 tilfeller av at elevene har fått til oppgaven med kontekst selv om de ikke klarte det oppstilte regnestykket fra del a). De oransje feltene er ikke medregnet. Selv om elevene får til mange av oppgavene med isolerte regnestykker, kommer det frem at de får problemer når de ikke husker nøyaktig hvordan algoritmene de har lært er. Om man får riktige eller gale svar, er ofte avhengig av om man husker formelen eller ikke. Dersom tallene settes inn i en kontekst får de større mening for barna. Konteksten kan fungere som oversetter for symbolspråket som ofte ikke er internalisert hos elevene. De som fokuserer på hva teksten sier og bruker fornuften, klarer ofte å komme frem til et svar selv om de ikke får riktig svar ved er tilsvarende oppstilt regnestykke, for eksempel i oppgave 1 der 1 / virket tilsynelatende uforståelig, mens 1 / 5 av 200 kroner ga mening. En kontekst legger bedre til rette for at man kan bruke en strategi man selv er sikker på. Dette kommer frem i for eksempel oppgave 2 og oppgave 6 hvor konteksten gir tallene mening og dermed elevene oversikt over hva som skjer. De som er tryggere på addisjon enn subtraksjon av brøk får større mulighet til å komme frem til et svar. Selv om brøkene settes inn i kjente situasjoner, kreves det ofte også noe kunnskap om brøk for å kunne løse problemet. Elev B har tydelig mangler på dette feltet, og fikk til få av oppgavene. Kanskje kan dette også være en effekt av hvilket fokus man har i undervisningen. Hvis man ikke er vandt til å skulle tenke logisk og vurdere, men kun finne frem til rett svar ved å huske riktig formel, kan det være utfordrende å se brøken i praktiske sammenhenger. Det å sette tallene inn i en kontekst kan også gi noen utfordringer. De som behersker instrumentelle ferdigheter innen brøkregning, kan allikevel få feil svar når de må sette opp regnestykket selv. Av og til bærer løsningene deres preg av at de leter frem til tallene i teksten og ikke vurderer svaret de kommer frem til. Ved å utvikle og etablere en intuitiv forkunnskap, utvikler man en trygghet og evne til å gjenkjenne brøk, og forstå og håndtere regler for å regne med brøk i ulike situasjoner. Slik forkunnskap kan for eksempel være evnen til å bedømme størrelsen på en brøk ut fra erfaringsreferanser. Da elevene fikk beskjed om å vise hvordan de tenkte, skjedde dette i størst grad i form av lange utregninger eller verbale forklaringer som for eksempel: «Jeg forstørret sånn at begge 18

19 hadde lik nevner», «Jeg prøvde å dele det på dette» eller «Ganga bare med teller, man kan ikke gange med nevner». Tallene virker derfor til tider noe distansert fra konteksten. Illustrasjoner bli så å si ikke brukt, kanskje fordi dette sjelden blir sett på som gyldig svar når elevene skal vise utregning? Forståelse for hvorfor man gjør som man gjør, går kanskje på bekostning av et stort fokus på effektive strategier og ferdigheter. En grunn til dette kan være at undervisningen blir styrt i denne retningen fordi man raskere kan oppnå gode resultater på prøver, men som har mindre verdi som praktisk nytte senere i livet. Spesielt oppgave 1 og 6 viser at barna har kapasitet til å løse multiplikasjon og divisjon med brøk, selv om de ikke har arbeidet mye med utregning av dette på skolen, i følge elevenes kommentarer og hva som står i læreplanen. Elevene oppdaget ikke selv at de løste de samme oppgavene to ganger, og virket positivt overrasket over seg selv da de fikk høre dette. Dette viser enda en fordel med å arbeide med kontekstuell matematikk, nemlig det å gi barna mestringsfølelse. Dette er inspirerende for videre arbeid. Antakelig arbeider man ikke bare med å pugge regler og formler i skolen, men noen ganger er det mulig man abstraherer matematikken for fort. Det er ikke til stor nytte å kunne multiplisere brøker om man ikke vet når man har brukt for multiplikasjon av brøk. For å gradvis oversette symbolspråket for brøk fra språk av annen til første orden, er det derfor viktig å jobbe med å sammenhengen mellom ulike representasjonsformene. Reversible oppgaver som «Lag en tekst til dette regnestykket» eller «Hva blir regnestykket til denne teksten eller illustrasjonen?», i tillegg til å bruke flere typer illustrasjoner og aktiviteter som å plassere brøker på en tallinje eller tegne dem, vil være med på å oppnå større relasjonell forståelse hos barna, og dermed et videre brøkbegrep. Dette vil kreve tid og at man har toleranse for å la barna utforske matematikken. Konklusjon Gjennom denne studien kommer det tydelig frem at barn klarer mer dersom oppgavene formuleres på et språk de forstår, og er plassert i en kontekst de kan relatere til. Dette skaper mening og forståelse hos elevene, kan gi motivasjon og dermed gjøre det mulig å finne en løsning på oppgaven. Abstraherer man for tidlig, kan man skape avstand mellom barnas erfaringsverden og matematikken i skolen. Dette kan føre til overflatelæring som gjør at elevene pugger fakta og utfører prosedyrer uten å forstå hvorfor. Slike regler eller formler har liten verdi om de ikke er bygget på forståelse for hva som ligger under. Dette kalles instrumentell forståelse. 19

20 Relasjonell forståelse derimot, innebærer at elevene er i stand til å bruke det de kan om brøk, og tenke logisk, i stedet for å prøve å huske en generell regel. Ved å finne situasjoner der utregningen er aktuell, gjenkjennbar og meningsfull, kan elevene utvikle verktøy for å løse liknende oppgaver senere. Det er spesielt noen strategier som har utmerket seg i de innsamlede elevsvarene. Jeg har under forstøkt å strukturere disse ut fra Skemp (1976) sine kriterier for de ulike formene for forståelse, men noen av punktene innebærer elementer fra begge. Instrumentelle strategier 1. Plukke ut tallene man ser og sette opp et regnestykke 2. Bruke formler og algoritmer man husker og overføre disse til fra en oppgave til en annen 3. Gjøre om brøken til desimaltall og bruke regler fra regning med desimaltall Relasjonelle strategier 1. Illustrere problemet og tankeprosessene sine 2. Relatere til kjente situasjoner og vurdere om svaret kan være gyldig 3. Regne ut ved hjelp av mindre abstrakte metoder, for eksempel gjentatt addisjon Det å omgjøre til desimaltall kan også anses som en relasjonell strategi, dersom den er bygget på brøkforståelse, og ikke ritual man gjør i møte med brøk. Strategiene ovenfor gikk igjen i denne studien, men det ble gitt for få oppgaver til å bestemme elevenes helhetlige brøkforståelse. Kanskje ville det også blitt et noe annerledes utfall dersom konteksten hadde virket enda mer støttende. Som nevnt i analysen, var ikke alltid konteksten like logisk. Tidspunktet for datainnsamlingen kan også ha vært med å påvirke resultatet med tanke på hvilke temaer elevene nylig hadde gjennomgått. Avslutning I denne bacheloroppgaven har jeg forhåpentligvis kommet nærmere noen løsninger på hvordan man kan arbeide med brøk på barneskolen. Det er tydelig å se at en god kontekst kan være til stor hjelp for å gjøre matematikken meningsfull for elevene. For barn har jeg erfart at det kan være utfordrende å finne logiske og nivåtilpassede eksempler på alle brøker med ord. Her vil kanskje andre representasjonsformer fungere bedre. Det kunne vært interessant å fortsette studien ved å undersøke hvordan barn løser overganger mellom ulike 20

21 representasjonsformer, for eksempel ved å la de tegne brøker, selv sette regnestykker inn i en kontekst, eller å bruke en tallinje. Det ville også vært spennende å se på hvordan yngre barn som ikke har hatt formell opplæring i brøk løser slike matematiske problemer i kontekst, med eller uten for eksempel konkreter, verbale symboler eller illustrasjoner som supplement. Det viktigste jeg vil ta med meg fra denne forskningen inn i mitt arbeid som lærer, er å være påpasselig med å knytte matematikken til barnas hverdag. Eller rettere sagt, trekke ut matematikken som allerede finnes i barnas hverdag, og bruke den i skolen. 21

22 Litteraturliste Anghileri, J. (2011). Teaching Number Sense. India: Continuum International Publishing Botten, G. (2003). Meningsfylt matematikk nærhet og engasjement i læringen. Straume: Caspar Forlag. Christoffersen, L., & Johannesen, A. (2012). Forskningsmetode for lærerutdanningene. Otta: Abstrakt forlag AS. Hinna, K. R. C., Rinvold, R. A., & Gustavsen, T. S. (2012). Q. E. D Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Litauen: Høyskoleforlaget. Høines, M. J. (2006). Begynneropplæringen. Fagdidaktikk for barnetrinnets matematikkundervisning. Bergen: Caspar Forlag. Kunnskapsdepartementet. (2006). Læreplanverket for Kunnskapsløftet. Oslo: Utanningsdirektoratet. Lesh, R., Post, T., & Behr, M. (1987). Representations and Translations among Representations in Mathematics Learning and Problem Solving. In C. Janvier (Ed.), Problems of Representations in the Teaching and Learning of Mathematics (pp ). Hillsdale, New Jersey: Lawrence Erlbaum. Martinussen, G., & Smestad, B. (2010). Multiplikasjon og divisjon av brøk. Tangenten, tidsskrift for matematikkundervisning(1/2010), McIntosh, A. (2007). Alle teller! Håndbok for lærere som underviser i matematikk i grunnskolen. Skipnes: Matematikksenteret. Skemp, R. R. (1976). Relational Understanding and Instrumental Understanding. Mathematics teaching, 77, Solem, I. H., Alseth, B., & Nordberg, G. (2011). Tall og tanke. Matematikkundervisning på 1. til 4. trinn. Oslo: Gyldendal Norsk Forlag AS. 22

23 Vedlegg 1: Oppgaver uten kontekst, del a) 23

24 Vedlegg 2: Oppgaver med kontekst, del b) 1. Oda og Therese er på handletur. Oda har brukt ⅕ av pengene sine, og Therese har brukt ¼ av sine. Kan Oda ha brukt mer enn Therese? Vis hvordan du tenker. 2. Leo, Tomas og Håkon deler en sjokoladeplate. Leo spiser ⅓, Tomas spiser 2 / 4 og Håkon spiser resten. Hvor mye fikk Håkon? Vis hvordan du tenker. 3. Bjørn blander saft. Han bruker 1 / 8 liter saft og 4 / 6 liter vann. Hvor mye ferdig saft får han? Vis hvordan du tenker. 4. Hvis man trenger ⅙ kg hvetemel for å bake en halv kake, hvor mye trenger man for å bake 3 hele kaker? Vis hvordan du tenker. 5. En halv liter brus skal deles på tre personer. Hvor mye brus får hver person? Vis hvordan du tenker. 6. På en fest er det en 5 liters kjele med gløgg. Alle har kopper som tar ¼ liter. Hvor mange kopper kan fylles? Vis hvordan du tenker. 24

25 Vedlegg 3: Egenerklæring angående fusk og plagiering 25