Gravitasjonskonstanten

Gravitasjonskonstanten Morten Stornes Institutt for fysikk, NTNU, N-7491 Trondheim, Norge 19. oktober 2007 Sammendrag Gravitasjonskonstanten har blitt bestemt ved å bruke Cavendish metode. Den ble bestemt til G = 6, 752 10 11 ± 2, 755 10 12 Nm 2 /kg 2. Innledning Legemer påvirker hverandre med en kraft kjent som gravitasjon. Gravitasjonskraften er avhengig av flere varierende faktorer og en konstant. Målet for dette forsøket er å bestemme gravitasjonskonstanten. Teori Gravitasjonskraften er en kraft som virker mellom legemer, og virkende mellom to legemer, kan den uttrykkes ved F der F = G m 1m 2 b 2, (1) hvor G står for gravitasjonskonstanten, m 1 og m 2 for massen til de to legemene og b for avstanden mellom dem. Gravitasjonskraften mellom to legemer kan måles for eksempel ved hjelp av en torsjonsvekt. I ei torsjonsvekt vil kraften i et kraftmoment som gir en metalltråd en torsjon θ rundt sin egen akse være F = D r θ, (2) hvor D er torsjonsstivheten og r kraftmomentets arm. Utifra figur 2 får vi momentbalansen til torsjonsvekten som er 2F r + 2F r = Dθ 1 + Dθ 2. (3) Videre, når avstanden mellom speilet og målestaven, L, er mye større enn utslaget S på målestaven, vil vi få at S L = tan2(θ 1 + θ 2 ) 2(θ 1 + θ 2 ). (4) Ved å kombinere likning 3 og 4 får vi et nytt uttrykk for F TFY4145 Mekanisk fysikk, laboratoriekurs, H2007, Gruppe 2. F = DS 8Lr. (5) 1

En utledning av torsjonsstivheten D er vist av Mikkelsen og Sikorski 1 og gir følgende likning: D = 4π2 I T 2 (6) der T er svingeperioden til pendelen, og I = 2mr 2 er treghetsmomentet til de små blykulene. Her er r avstanden mellom senteret av torsjonstråden og de små blykulene, som vist i figur 2. Ved å kombinere likning 1, 5 og 6, kan vi finne gravitasjonskonstanten G: G = π2 S b 2 r T 2 L M. (7) Her er M gjennomsnittsmassen til de store blykulene og b avstanden mellom de store og de små blykulene i likevektsposisjonene. Ettersom det er to små og to store kuler som påvirker hverandre i apparaturen, vil det oppstå en systematisk feil ved at de store kulene også tiltrekker seg den motsatte lille kulen i løpet av eksperimentet. Figur 1: Systematisk feil. Den store kulen tiltrekker seg både den lille kulen i avstand b og den lille kulen i avstand b 2 + 4r 2 Kraften mellom en stor kule og den lille kulen lengst fra er F 0 = G mm b 2 + 4r 2. (8) Figur (1) viser at f = F 0 sinα = F 0 β. Kraften som virker innad i systemet er F = F 0 + f. Da kan F finnes ved følgende likning F = F 0 + f = F 0 + F 0 β = F 0 (1 + β) (9) hvor β = b 3 /(b 2 + 4r 2 ) 3/2. Ved å kombinere (9) med (1) finner man den korrigerte verdien av G G = G 0 (1 + β) (10) hvor G 0 er den opprinnelige verdien av G, funnet i (7). Metode og apparatur For å bestemme gravitasjonskonstanten brukes torsjonspendel oppsatt som vist i figur 2. Apparaturen består av en torsjonstråd inne i et kammer, hvor den er festet sammen 1 Arne Mikkelsen og Pawel Sikorski: Labhefte i TFY4145 Mekanisk Fysikk 2

med to små blykuler på hver sin ende av tråden. Utenfor kammeret er det plassert to stor blykuler som skal trekke de små blykulene til seg. Disse store blykulene kan flyttes til posisjon 2 etter at den første likevektsposisjonen er funnet. Midt på torsjonstråden er det festet et speil som reflekterer laserlyset fra laseren bort på målestaven. Når likevektsposisjonen endres, endrer laserstrålen posisjon på målestaven, og utifra dette kan vinkelen θ finnes. Figur 2: Oppsettet med torsjonsvekten i forsøket sett ovenfra. (1) Torsjonstråd, (2) speil, (3) små blykuler, (4) store blykuler, (5) laser, (6) laserstråle, (7) målestav. Posisjon 1 er vist heltrukket, posisjon 2 stiplet og den halvstiplede linjen mellom posisjon 1 og 2 for blykulene er likevektsstillingen til pendelen når de store blykulene er fjernet. Posisjonen leses av hvert halve minutt ved hjelp av kikkert, og tiden og utslaget noteres ned. Dette gjøres til pendelen har svingt minst tre hele perioder for å få en tilfredstillende nøyaktighet. L måles ved bruk av målebånd, mens r finnes med skyvelære. Da de store kulene ligger i anslag mot kammeret i begge posisjoner, brukes skyvelæren for å finne b ved å måle tykkelsen på kammeret og diameteren på de store kulene. Resultat og diskusjon Vi finner skalautslagene S 1 og S 2 ut ifra pendelamplituden til de respektive likevektsposisjonene. S n = S n maks + S nmin 2 Dette resultatet forbedres ved å ta snittet av flere ekstremalverdier: (11) S n = S n 1 + S n 2 + S n 3 (12) 3 Figur (3) og (4) viser amplituden i forhold til tiden for svingeutslagene S 1 og S 2. Verdiene som ble direkte målt under forsøket er oppført i tabell (1) og verdiene som måtte beregnes ut ifra målte verdier er oppført i tabell (2). Vi finner G som et resultat av målte og beregnede verdier satt inn i likning (10), og får at G = 6, 752 10 11 Nm 2 /kg 2. Gauss feilforplantningslov brukes til å finne usikkerheten til G, noe som gir G G = ( S ) 2 ( ) 2 2 b + + S b ( ) 2 ( ) 2 r 2 T + + r T ( ) 2 L + L ( ) 2 M. (13) M 3

Figur 3: Svingeutslaget til torsjonspendelen i posisjon 1, som en funksjon av tida Figur 4: Svingeutslaget til torsjonspendelen i posisjon 2, som en funksjon av tida Dette gir en relativ usikkerhet G G = 0, 041 (4,1 %) som medfører at G = 2, 755 10 12 Nm 2 /kg 2. Dette gir altså G = 6, 752 10 11 ± 2, 755 10 12 Nm 2 /kg 2 Tabellverdien for gravitasjonskonstanten 2 G er 6, 6742 10 11 Nm 2 /kg 2. Dette er innenfor resultatet fra forsøket medberegnet usikkerhet. Likefullt kan svaret bli mer nøyaktig med mer nøyaktige målinger. Grunnet tidsbegrensing måtte likevektsposisjonene S 1 og S 2 avgjøres ved å måle amplituden til pendelsvingningene over tid. Pendelen var opprinnelig i likevektsposisjon S 1 da forsøket startet, men grunnet en feil ble pendelen satt i sving, og S 1 måtte måles på samme vis som S 2. Ved å la pendelen stå i posisjon S 1 over lengre tid slik at man får en stabil posisjon, for så å lese av og gjøre det samme i posisjon S 2 vil resultatet bli mer nøyaktig. Usikkerhetsmomentet i form av tiden T og S vil bli eliminert. Andre feilkilder kan selvsagt være avstandsmålingene i form av L, b og r, eventuelle systematiske feil, samt grove feil som avlesningsfeil av tid og svingningsutslag. De parametrene som har størst innvirkning på G er b og T, da G er avhengig av både T 2 2 Angell og Lian: Fysiske størrelser og enheter 4

Tabell 1: Målte verdier Størrelse Målt verdi Usikkerhet L(cm) 226,5 0,05 M(kg) 1,495 2 10 4 b(mm) 47,0 0,05 r(mm) 33,0 0,05 Tabell 2: Beregnede verdier Størrelse Beregnet verdi Usikkerhet T (s) 585 10 S 1 (mm) 394 1 S 2 (mm) 485 1 S(mm) 91 2 og b 2. Et eksempel på feilkilde i form av S eller T kan sees i figur 3 rundt (125,397). Den største feilkilden er mest sannsynlig T, da G som tidligere nevnt er avhengig av T 2. I tillegg må den måles flere ganger, og den samme feilen i målingen kan bli gjort om igjen. Derfor hadde det vært interessant å gjøre forsøket igjen over lengre tid og gitt pendelen god tid til å stabilisere seg i likevektsposisjonene. Konklusjon Vi har funnet gravitasjonskonstanten G ved å bruke Cavendish metode. Vi kom frem til at G = 6, 752 10 11 ± 2, 755 10 12 Nm 2 /kg 2, noe som stemmer overens med tabellverdier usikkerheten tatt i betraktning. 5